精品解析：山东省东营市利津县高级中学2024-2025学年高三下学期收心考试数学试题

2024—2025学年（下）高三收心考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 某生命科学研究所通过研究发现，当一个人的肥胖指数大于24但不大于28时，可认定为轻微肥胖；当一个人的肥胖指数大于28时，可认定为严重肥胖，且轻微肥胖和严重肥胖均为肥胖类型的一种，据上述文字叙述可以得知（ ） A. 严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件 B. 严重肥胖是肥胖指数大于24的必要不充分条件 C. 严重肥胖是肥胖指数大于24充要条件 D. 严重肥胖既不是肥胖指数大于24的充分条件也不是必要条件 3. 葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄､多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上､中､下三个几何体的高度之比为，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（ ） A. B. C. D. 4. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为，乙罐中有三个相同的小球，标号为，从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（ ） A. 事件发生的概率为 B. 事件相互独立 C. 事件是互斥事件 D. 事件发生的概率为 5. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知双曲线的左右焦点分别为，且，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ） A. B. 离心率为 C. 的面积为6 D. 的面积为12 10. 有下面四个不等式，其中恒成立的有（　　） A. B. C. D. 若，则 11. 已知函数，则下列说法正确是（ ） A. 若，则有2个零点 B. 若，则在上既有极大值，又有极小值 C. 若，则在上没有极值 D. 若，则在上必有极小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，给出下列四个结论： ①对，方程都有3个实数根； ②，使得； ③若互不相等的实数满足，则的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是______. 13. 从，，，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分别记为，，记“”，则______. 14. 已知是边长为4等边三角形，将它沿中线折起得四面体，使得此时，则四面体的外接球表面积为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记等差数列的前项和为，已知，. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，求. 16. 已知：如图，三角形ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且，F为BE的中点． （1）求点B到平面ADF距离； （2）求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的正弦值． 17. 已知幂函数在上单调递减． （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围． 18. 为了解某市高三学生的睡眠时长，从该市6.6万名高三学生中随机抽取600人，统计他们的日均睡眠时长及分布人数如下表所示： 睡眠时长（小时） 人数 150 270 180 注：睡眠时长在的为睡眠充足，在的为睡眠良好，在的为睡眠不足． （1）估计该市6.6万名高三学生中日均睡眠时长大于等于6小时的人数约为多少？ （2）估计该市高三学生日均睡眠时长； （3）若从这600名学生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取4人做进一步访谈调查，求这4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生的概率． 19. 动点在轴右侧，到轴的距离比它到点的距离小. （1）求动点的轨迹的方程； （2）已知点，过的直线与交于两点，分别与交于点. ①求证：直线过定点； ②求与面积之和的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年（下）高三收心考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列前项和与等差数列的性质求，由求公差，再应用性质转化为代入求解可得. 【详解】由， 有， 可得 ． 故选：A． 2. 某生命科学研究所通过研究发现，当一个人的肥胖指数大于24但不大于28时，可认定为轻微肥胖；当一个人的肥胖指数大于28时，可认定为严重肥胖，且轻微肥胖和严重肥胖均为肥胖类型的一种，据上述文字叙述可以得知（ ） A. 严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件 B. 严重肥胖是肥胖指数大于24的必要不充分条件 C. 严重肥胖是肥胖指数大于24的充要条件 D. 严重肥胖既不是肥胖指数大于24的充分条件也不是必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定新定义概念结合充分必要条件定义分别判断各个选项即可. 【详解】由题意可得严重肥胖一定能推出肥胖指数大于24， 但肥胖指数大于24，不大于28时不能推出严重肥胖， 因此严重肥胖是肥胖指数大于24的充分不必要条件． 故选:A． 3. 葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄､多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上､中､下三个几何体的高度之比为，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得两球的半径，结合球的体积公式运算求解即可. 【详解】由葫芦摆件总高度为，且高度之比为， 可得两个球的直径分别为，故它们的半径分别为， 所以下面球的体积与上面球的体积之差为. 故选：D. 4. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为，乙罐中有三个相同的小球，标号为，从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（ ） A. 事件发生的概率为 B. 事件相互独立 C. 事件是互斥事件 D. 事件发生的概率为 【答案】B 【解析】 【分析】写出样本空间以及各个事件所包含的基本事件，结合古典概型概率计算公式、独立事件以及互斥事件的概念即可逐一判断各个选项. 【详解】从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，设甲罐中抽取小球的标号为，乙罐中抽取小球的标号为， 则的所有可能为：，共12种可能， 事件“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：，共3种可能， 事件“抽取的两个小球标号之积小于6”包含的基本事件有： ，共7种可能， 对于A，事件发生的概率为，故A不符合题意； 对于BC，，而不可能同时发生，这意味着事件是互斥事件，即， 故，即事件不相互独立，故B符合题意，C不符合题意； 对于D，事件发生的概率为，故D不符合题意. 故选：B. 5. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】把已知等式分解为，再令，解出，然后利用基本不等式求解； 【详解】因为，所以， 令，则且， 所以.当且仅当时等号成立. 故选：C. 6. 已知双曲线的左右焦点分别为，且，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件探求出的内切圆圆心坐标，借助点到直线距离公式计算可得，结合求，进而得离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为，则， 由对称性，不妨令与平行的渐近线为， 则直线方程为：，即， 设的内切圆与三边相切的切点分别为，，， 如图所示， 则， 即，而轴，圆半径为，则， 点到直线的距离：，整理得， 且，解得， 又因为，可得， 所以双曲线离心率， 故选：D. 7. 已知函数，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，则，从而可得，构造函数，对函数求导，得出函数的单调性与最值，从而得解. 【详解】令，则， 所以，， 所以. 令，则， 则在上单调递减， 在上单调递增，故， 故的取值范围是. 故选：B. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数据结构特征可通过和比较c和b的大小，再通过构造函数，研究函数的单调性可求解判断a和c，进而得解. 【详解】设函数，又， 所以当时，0， 所以区间内单调递增，又， 所以当时，0恒成立，即， 所以当时， ，即， 所以， 所以．即； 设， 而， 设，则， 当时，单调递增，所以， 所以当时，，即当时单调递增， 所以，故当时，单调递增，所以， 即，所以， 即，即． 综上，， 故选：B． 【点睛】思路点睛：比较具有共性的复杂的数的大小，通常根据数据共性联系构造函数，通过研究函数单调性得函数的正负情况，从而比较得出数的大小关系. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是椭圆两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ） A. B. 离心率为 C. 的面积为6 D. 的面积为12 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程求出，再由题意及椭圆定义列出方程求解可判断A，根据离心率定义判断B，根据A可知三角形为直角三角形，求面积可判断CD . 【详解】由，得，则， 因为是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，故A正确； 对于B，离心率为，故B正确； 对于CD，因为，所以为直角三角形，， 所以，故C正确，D错误． 故选：ABC 10. 有下面四个不等式，其中恒成立的有（　　） A. B. C. D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】举反例说明A错误，举反例说明B错误，根据重要不等式证明C，根据基本不等式证明D. 【详解】对于A，若，，， 当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，取可得，故B错误； 对于C，，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立，D正确； 故选：CD． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则有2个零点 B. 若，则在上既有极大值，又有极小值 C. 若，则上没有极值 D. 若，则在上必有极小值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据零点定义计算求解判断A,求导函数正负得出函数的单调性进而判断极值判断B,构造函数设求出导函数再确定函数的单调性分两种情况分别数形结合判断C,D. 【详解】对于A，若，则,令，则或，故A正确． 对于B，当时，，则,令，得． 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以在上只有极小值，没有极大值，故B错误; 对于C，． 设，则． 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增,又当时，，且恒成立， 所以的大致图象如图（1），其与直线可能在上有交点，所以有可能有极值，故C错误． 对于D，由C的分析知，直线与的大致图象如图（2）， 则在上必有交点，在点附近，先负后正，则先减后增，其必有极小值，故D正确． 故选：AD． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合判断函数的交点，进而判断导函数正负确定函数的极值点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，给出下列四个结论： ①对，方程都有3个实数根； ②，使得； ③若互不相等的实数满足，则的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】②③ 【解析】 【分析】分析并作出函数的图象，再利用图象判断各个命题得解. 【详解】当时，的图象是开口向上、对称轴为直线的抛物线在y轴及左侧部分， 当时，的图象是对数函数的图象向上平移1个单位而得，如图， 对于①，观察图象知，当时，方程只有2个实数根，①错误； 对于②，当时，使得有成立，即与有交点， 而的图象与函数的图象关于y轴对称， 显然的图象与函数的图象有公共点，②正确； 对于③，不妨设互不相等的实数且，当满足时， 由图可知，即，当，，即时，， 当，，即时，，因此， 所以，③正确， 所以所有正确结论的序号是②③. 故答案为：②③ 13. 从，，，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分别记为，，记“”，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的性质、排列知识和古典概型的概率公式可得结果. 【详解】因为，所以或， 从中任取两个不同的数，共可得到取法， 其中对数值为负数的有个， 所以. 故答案为：. 14. 已知是边长为4的等边三角形，将它沿中线折起得四面体，使得此时，则四面体的外接球表面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设为四面体的外接球球心，为外接圆的圆心，取的中点，四边形为长方形可得，在中由正弦定理可得，再由可得答案. 【详解】设为四面体的外接球球心，连接， 因为，，平面， 所以平面，， 因为，，由余弦定理可得 ， 因为，所以，， 设为外接圆的圆心，连接， 则平面，，取的中点，连接， 因为，所以，所以四边形为长方形， 可得， 在中，由正弦定理可得， 所以， 则四面体的外接球表面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是确定外接球的球心和外接圆的圆心. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记等差数列的前项和为，已知，. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2）8872 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质和基本量法，列出方程，即可求解； （2）根据通项公式去绝对值，再根据等差数列的前项和公式，即可求解. 【小问1详解】 由 则 设的公差为 则 则 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由题可知 ， . 16. 已知：如图，三角形ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且，F为BE的中点． （1）求点B到平面ADF的距离； （2）求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的正弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）在平面ACDE内，过点D向EA做垂线，垂足记为G，根据已知证明平面ADF，则点B到平面ADF的距离为线段BF的长，即可求距离. （2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的正弦值. 【小问1详解】 在平面ACDE内，过点D向EA做垂线，垂足记为G，又， ， 在直角中，， 在直角中，， ，又F为BE的中点， ，又，则， 平面ADF， 平面ADF，即点B到平面ADF的距离为线段BF的长， 因为，所以． 【小问2详解】 如图，取AC的中点O，连接BO，则， 以O为坐标原点，AO，BO分别为x，y轴，过O作平行于AE的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得，易知是平面ABC的一个法向量， 设平面BDE的一个法向量为，则，即， 令，则，所以，则， 所以平面BDE与平面ABC所成锐二面角的正弦值为． 17. 已知幂函数在上单调递减． （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据函数是幂函数，单调性计算求参即可. （2）根据单调性求不等式. 【小问1详解】 由幂函数在上单调递减， 可得，解得，所以． 【小问2详解】 由函数图象关于轴对称，且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得，所以的取值范围是． 18. 为了解某市高三学生的睡眠时长，从该市6.6万名高三学生中随机抽取600人，统计他们的日均睡眠时长及分布人数如下表所示： 睡眠时长（小时） 人数 150 270 180 注：睡眠时长在的为睡眠充足，在的为睡眠良好，在的为睡眠不足． （1）估计该市6.6万名高三学生中日均睡眠时长大于等于6小时的人数约为多少？ （2）估计该市高三学生日均睡眠时长； （3）若从这600名学生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取4人做进一步访谈调查，求这4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生的概率． 【答案】（1）4.95（万人） （2）（小时） （3） 【解析】 【分析】（1）由样本中日均睡眠时长大于等于6小时的频率估计总体即可； （2）用样本平均数估计总体平均数即可； （3）由古典概型结合组合数公式即可求解. 【小问1详解】 由题知，随机抽取的600人中日均睡眠时长大于等于6小时的人数为（人）， 所以估计该市6.6万名高三学生中日均睡眠时长大于等于6小时的人数约为（万人）； 【小问2详解】 随机抽取的600人的日均睡眠时长为（小时）， 所以估计该市高三学生日均睡眠时长约为（小时）； 【小问3详解】 从这600名学生中利用分层抽样的方法抽取20人，抽样比例为， 所以睡眠时长在抽取（人）， 睡眠时长在抽取（人）， 睡眠时长在抽取（人）， 则从这20人中随机抽取4人，这4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生的概率为. 19. 动点在轴的右侧，到轴的距离比它到点的距离小. （1）求动点的轨迹的方程； （2）已知点，过的直线与交于两点，分别与交于点. ①求证：直线过定点； ②求与面积之和的最小值. 【答案】（1）; （2）证明见解析，. 【解析】 【分析】（1）利用几何意义转化为坐标运算，即可得抛物线方程； （2）①利用直线过轴上的已知点，与抛物线联立方程组的两个交点纵坐标之积为定值，再假设直线方程，再利用两交点纵坐标之积为定值，得到定点坐标； ②求这两个三角形的面积时，都只需要用到它们的纵坐标，然后都转化到两点的纵坐标上来，再利用韦达定理把面积转化到关于系数的函数上来求解最值即可. 【小问1详解】 设动点的坐标为， 由动点在轴的右侧，到轴的距离比它到点的距离小1， 可得：，移项平方得：， 整理得：， 所以动点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 ①设过点的直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，再设交点坐标，则， 设过点的直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，再设交点坐标则， 设过点的直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，再设交点坐标则， 设直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，由交点坐标则， 而，即，解得， 所以直线为，即直线过定点； ②与面积之和为 ， 当时，即垂直于轴时，面积之和取到最小值. 【点睛】关键点点睛：利用直线过轴上的已知点，与抛物线联立方程组的两个交点纵坐标之积为定值，反之，如果两个交点的纵坐标之积为定值，就这条直线必过轴上的一个定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$