8.3 简单几何体的表面积与体积-2024-2025学年高一下学期数学《一隅三反》系列（人教A版2019必修第二册）

8.3 简单几何体的表面积与体积 考点一 多面体的表面积 【例1-1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正方体的棱长为，则正方体的表面积是， 正四面体的棱长为，它的表面积是， 因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为． 故选：D． 【例1-2】（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）如图，在正四棱台中．，，则正四棱台的表面积为（    ） A．28 B．26 C．24 D．16 【答案】B 【解析】在正四棱台的侧面中，过点作，垂足为E， 则， 侧面的面积， 所以正四棱台的表面积． 故选：B 【一隅三反】 1．（24-25云南）若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的表面积为（    ） A．50 B．100 C．248 D．168 【答案】D 【解析】由题意可知，正四棱台的斜高为，故侧面积等于， 所以表面积为．故选：D 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】正三棱锥的所有棱长均为，则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形， 等边三角形的高为，则该三棱锥的表面积为.    故选：. 3．（24-25北京）若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】正方体的棱长为，此时正四面体的棱长为，则正方体的表面积为， 正四面体的表面积为，两者之比为，故选：A. 考点二 多面体的体积 【例2-1】（23-24高一下·河南洛阳·期中）如图，正方体的八个顶点中，其中A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的体积与正方体的体积之比为（    ） A． B． C．1：3 D．1：4 【答案】C 【解析】设正方体的棱长为1，则由题意可得正四面体的体积为 ，所以此正四面体的体积与正方体的体积之比为1：3.故选：C 【例2-2】（23-24高一下·江苏·阶段练习）若正六棱台的高为6，且，，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正六棱台上、下底面的面积分别为、， 因为，，高为，所以，， 所以该棱台的体积.故选：C. 【一隅三反】 1．（24-25福建）如图所示，在正方体中，点为棱上一动点，四棱锥的体积占正方体体积的（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【解析】不妨设正方体的棱长为1，则正方体的体积为：， 四棱锥的体积为：，则四棱锥的体积占正方体体积的， 故选：B 2（23-24高一下·山东烟台·期中）已知正四棱台的上、下底面边长分别为7，9，体积为193，则该正四棱台的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】   如上图所示，正四棱台，，易知即棱台的高， 由棱台的体积公式知：， 所以， 所以侧棱长. 故选：C 3．（2024上·四川南充）如图，在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为（    ）． A． B．3 C． D．6 【答案】A 【解析】因为正三棱柱，所以， 则 ，故选：A. 考点三 旋转体的表面积 【例3-1】（24-25高一上·河北保定·期中）若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（    ） A．2π B．3π C．2 D． 【答案】B 【解析】设圆锥的轴截面是边长为（）的等边三角形，则，则， ∴圆锥底面半径，母线长，∴.故选：B 【例3-2】（2024北京房山·期中）以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，正三角形绕所在直线为旋转轴旋转一周， 得到几何体是两个同底的圆锥， 圆锥的底面半径为，所得几何体的表面积为． 故选：D． 【一隅三反】 1．（24-25重庆）已知某圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为 . 【答案】 【解析】设底面圆的半径为，可知母线长，所以该圆锥的侧面积与底面积之比为.故答案为：. 2．（2024下·福建莆田）已知圆锥的母线为6，底面半径为1，把该圆锥截成圆台，使圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为 【答案】 【解析】作出圆锥、圆台的轴截面，如图所示， 圆锥的母线为，底面半径，圆台上底面半径， 由三角形相似可得，解得，则圆台母线长，圆台的侧面积为. 3（2024上·江苏南京）（多选）以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】当圆柱底面半径为，高为时，表面积； 当圆柱底面半径为，高为时，表面积.故选：CD 考点四 旋转体的体积 【例4-1】（2024·吉林）一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆柱的底面半径为，高为，因为圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形， 所以，所以，，所以圆柱的体积为.故选：D. 【例4-2】（23-24高一下·四川凉山·期末）若圆锥的表面积为，且其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 因为圆锥的表面积为，所以， 因为圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，所以，所以，， 所以，所以圆锥的体积.故选：B. 【例4-3】（24-25·山西）已知某圆台的侧面展开图如图所示，，，，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆台的上，下底面半径分别为，，则，解得， 所以圆台的上，下底面半径分别为． 如图1，因为，所以， 又由，得到，由，得到， 所以圆台的母线， 设圆台的高为，如图2，易知， 所以圆台的体积， 故选：B． 【一隅三反】 1．（24-25黑龙江鸡西·期中）如图，将底面半径为1高为3的圆锥截去体积为的锥尖，剩余圆台的侧面积为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设锥尖的半径为，高为， 则锥尖的体积为，解得. 又因为， 所以. 所以圆台侧面积. 故选：A 2．（23-24高一下·四川绵阳·期末）等腰直角的面积为1，以斜边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，又， 解得，所以， 所以边上的高为， 以斜边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体为两个底面重合的圆锥组成， 其中圆锥的底面半径为，高为， 所以该几何体的体积为． 故选：B. 3．（24-25湖南永州）已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为，，，，则该四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不妨设该四棱锥为，其底面为正方形，边长为4，四条侧棱分别为，，，， 当相对的棱长不相等时，不妨设， 分别取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 因为平面，平面平面， 过于，因为平面平面，平面， 所以平面， 因为，所以， 因为，所以为等腰直角三角形， 所以， 所以，所以， 则由，得， 所以四棱锥为的体积为 当相对的棱长相等时，不妨设， 因为，所以此时不能形成三角形，不符合题意，综上，此四棱锥的体积为. 故选：D 考点五 空间几何体的实际应用 【例5-1】（24-25江西南昌）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆台的底面半径分别是和，且，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图： ，，，. 根据圆台的侧面积公式：. 所以圆台的高：. 所以圆台的体积为：. 故选：C 【例5-2】（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（   ） A． B．2dm C．3dm D． 【答案】D 【解析】因为圆锥的底面半径为2dm，母线长为，所以高为， 当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的， 所以液面的半径为1，此时液体的体积为， 当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒立的圆锥， 设圆锥的底面半径为，高为，则有，即， .此时液体的体积为， 由，得，所以. 故选：D. 【一隅三反】 1．（24-25江苏·阶段练习）如图1的方斗杯古时候常作为盛酒的一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加某种酒，当酒的高度是方斗杯高度的一半时，用酒，则该方斗杯可盛该种酒的总容积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、， 则， 设棱台的高为，体积为， 则棱台的高为，设其体积为， 则，则， 所以，，所以，该方斗杯可盛该种酒的总容积为. 故选：C. 2．（安徽省滁州市2025届高三第一次教学质量监测数学试题）中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为，上板长为若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设小扇形的半径为xcm，则大扇形的半径为， 设圆台的上下底面半径分别为，则， 所以，所以， 所以圆台的高为 故选： 3．（2025·新疆乌鲁木齐）如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时，水面高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图， 设圆柱底面半径为，则当母线水平放置时，圆柱中含水部分可以看作是以弓形为底，为高的柱体， 因为水面过的中点，则， 则弓形的面积为， 当底面圆水平放置时，底面圆的面积为，设水面高为， 则由水的体积不变可得：，即， 解的：. 故选：. 4．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）一个高为的直三棱柱容器内装有水，将侧面水平放置如图（1），水面恰好经过棱，，，的中点，现将底面水平放置如图（2），则容器中水面的高度是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记棱，，，的中点依次为， 设直三棱柱的底面面积为， 在图中，设水面的高度为，则水的体积为， 在图中，几何体为直四棱柱， 因为分别为棱，，，的中点，所以， 则水的体积为，解得. 故选：C. 考点六 外接球与内切球 【例6-1】（2025陕西省）已知直三棱柱中，，则直三棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取的中点为, ,连接 ,取的中点, 由于且三棱柱为直三棱柱， 故为外接球的球心， ,, 故外接球的表面积为, 故选：C 【例6-2】（2024·湖南邵阳）已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，， 则的外接圆的半径， 因为平面，，设此三棱锥外接球的半径为， 则， 则三棱锥的外接球的表面积为． 故选：B． 【例6-3】（24-25安徽·阶段练习）在正四棱台中，，高为，则该正四棱台的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设及下图，知， 若是在面上投影，易知在上，且面， 所以， 若外接球球心到面的距离为，球体半径为， 则，且，可得（负值舍）， 所以，故正四棱台的外接球的体积为. 故选：C 【一隅三反】 1．（23-24云南曲靖·阶段练习）．已知直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，由正弦定理得外接圆半径满足，所以， 又因为在直三棱柱中侧棱垂直于底面，所以该三棱柱外接球的球心到平面的距离为， 所以该三棱柱外接球的半径为，体积为.    故选：B. 2．（24-25河北秦皇岛）已知圆柱的底面半径等于球的半径，圆柱的侧面积与球的表面积之比为，则圆柱外接球的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆柱的底面半径与球的半径都为，圆柱的高为， 则圆柱的侧面积为，球的表面积为， 则，则， 则圆柱外接球的体积为， 球的体积为，则. 故选：C. 3．（2024·广东·期中）半径为的球内有一个高为的正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画出正四棱锥，外接球球心为    由题可知，，所以， 根据勾股定理可知， 所以， 所以该四棱锥体积， 因为球的半径为， 所以球的体积为， 所以 故选：B 4．（23-24高一下·江苏南京·期末）设是球表面上的四个点，平面，，，，，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，画出几何体的图形，如图所示， 把扩展为三棱柱， 上下底面三角形外接圆圆心连线的中点与的距离为球的半径， 由，，，， 则， 设三角形外接圆半径为，球的半径为， 则，且， 所以外接球的表面积为. 故选：B. 5．（24-25高二上·四川内江·期末）已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可所求球即为该正方体的内切球， 该球的半径为正方体的棱长的一半，即， 所求球的体积为 故选：B 考点七 最值问题 【例7-1】（2025·湖北）若正六棱锥的体积为，则PA的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【解析】   设正六棱锥的底面边长与高分别为, 底面为正六边形，设底面的中心为，连接， 则，底面，为正六棱锥的高， 所以， 因为正六棱锥的体积为，所以，即， 则 ， 因为， 当且仅当，即时取最小值， 则 的最小值为. 故选：A. 【例7-2】（2025·山东日照）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，作出圆台的轴截面，要使球的表面积最大，则球需要与相切， 设圆的半径为，则， 因为，所以， 作，，因为，所以， 而，由勾股定理得， 则，且， 而， 即得到，解得， 则该球的表面积的最大值为，故B正确. 故选：B 【一隅三反】 1.（2024重庆）如图，正四面体的棱长为2，在上有一动点，过作平行于底面的截面，以该截面为底面向下挖去一个正三棱柱，则该正三棱柱侧面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，设正三棱柱为，其上下底面的中心为, 由于为正三角形,故也为其中心,        设正三棱柱底面正三角形边长为， 由题意可知为正三角形，故， 又， 故， 所以正三棱柱为的高为， 故该正三棱柱侧面积为， 当时，取到最大值为1， 故的最大值为， 故选：A 2．（24-25云南文山）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由长方体的体积为16可得： ，即， 长方体外接球的半径为， 所以， 当且仅当“”时取等，所以， 当，长方体外接球表面积的最小值为. 故选：C. 3．（23-24高一下·浙江·期中）如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱. (1)求此圆锥的表面积与体积； (2)试用x表示圆柱的高h； (3)当x为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？ 【答案】(1)表面积，体积 (2)， (3)当时，. 【解析】（1）由，，得，所以，， 故 ，； （2）由相似可得，得，； （3）记圆柱得全面积为S， ， ∵，∴当时，. 一、单选题 1．（23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】正四棱柱是底面为正方形的直棱柱， 设底面边长为， 因为截面是边长为的正方形，所以，， 则，解得（负值已舍去）， 所以正四棱柱的表面积. 故选：D 2．（2024 北京）小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 【答案】C 【解析】设此半正多面体模型的体积为，则.故选：C. 3．（23-24高一下·山东威海·期末）有一个正四棱台形状的油槽，最多装油，已知它的两底面边长分别为和，则它的深度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因，而，设棱台的深度为， 由棱台的体积公式可得，，解得. 故选：B. 4．（24-25高一上·湖南娄底·期中）已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（　　） A．2 B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】设圆锥的底面半径为，母线为，则，解得（负值已舍去）， 故选：A 5．（24-25宁夏银川·阶段练习）若一个圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知圆锥的母线长，底面圆周长为，底面圆面积为， 所以圆锥侧面积为，故该圆锥表面积为. 故选：A. 6．（24-25辽宁抚顺）已知圆柱和圆锥的高相等，侧面积相等，且它们的底面半径均为2，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆柱和圆锥的高为，则圆锥的母线长为：， 由圆锥与圆柱侧面积相等得：，解得， 故圆锥的体积：. 故选：D 7．（2025·浙江·一模）将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，半圆的周长为，设圆锥底面圆的半径为，则，解得，又母线长为4， 所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为.故选：B. 8（2025海南）如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和10，则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由几何体的直观图知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示， 将圆柱补全，并将圆柱从点处水平分成上，下两部分， 由图知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的， 所以该几何体的体积． 故选：B 9．（24-25甘肃白银·阶段练习）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设分析  如下图，转动了45°后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为x， 则斜边为，则，解得． 由几何关系得1个小三角形的面积为， 所以增加的面积为． 故选：A 10．（24-25湖北）在测量降雨量的实践活动中，某小组利用现有仪器，将一个玻璃漏斗固定在一个较大的锥形瓶上，漏斗的下端伸进锥形瓶内，下雨时将其置于室外收集雨水．如图所示，已知锥形瓶的底部直径为，瓶口直径为，玻璃漏斗口直径为，收集完毕后测得水面距瓶底，水面直径，则平地降雨量大约为（    ）注：平地降雨量等于收集到的雨水体积与收集雨水玻璃漏斗口的面积之比 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设收集到的雨水体积为，收集雨水的面积为， 则， ， 故平地降雨量为， 故选：D. 11．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）已知三棱锥，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为平面， 所以平面， 如图经补形可知球心在直三棱柱高的中点处为外接圆的圆心， 则， 所以， 则外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积． 故选：A. 12．（24-25高一上·湖南娄底·期中）已知球是三棱锥的外接球，，则当点到平面的距离取最大值时，球的表面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，当点到平面的距离取最大值时，则平面， 又，所以为等边三角形， 过点作与平面平行的平面，，得到正三柱， 则三棱锥的外接球即为正三棱柱的外接球，如图：   ， 设外接球半径为， 则， 所以球的表面积. 故选：D. 二、多选题 13（24-25高一下·全国·单元测试）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．三棱锥的体积为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的体积为 【答案】AC 【解析】三棱锥与三棱锥的底面都是，是的中点， 三棱锥的高是三棱锥高的2倍， 三棱锥的体积也是三棱锥的体积的2倍， 在三棱锥中，其棱长都为1，如图所示， ，高， ， ， 故选：AC． 14．（24-25河北邢台）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积也相等，则（    ） A．圆柱和圆锥的体积之比为3 B．圆柱的底面半径和高之比为 C．圆锥的母线和高之比为2 D．圆柱和圆锥的表面积之比为 【答案】ABC 【解析】设圆柱和圆锥的底面半径为，高为，则，， 所以，故A正确； 圆锥的母线，又圆柱和圆锥的侧面积相等，所以， 所以，则，即圆柱的底面半径和高之比为，故B正确； 所以圆锥的母线，则圆锥的母线和高之比为，故C正确； 圆柱的表面积， 圆锥的表面积， 所以，故D错误. 故选：ABC 15．（24-25河北张家口·开学考试）已知正四棱台上底面的边长为2，下底面边长为4，棱台的体积为56，则下列说法正确的是（   ） A．该四棱台的高为3 B．该四棱台的侧棱长为 C．该四棱台的侧面积为 D．该四棱台一定不存在内切球 【答案】BC 【解析】对于A，设该四棱台的高为，则，解得，A错误； 对于B，该四棱台的侧棱长，B正确； 对于C，该四棱台的斜高为，侧面积为，C正确； 对于D，若该四棱台有内切球，内切球必与两底相切，球的直径为四棱台的高6， 而该球的直径一定小于正四棱台下底边长4，矛盾，因此该四棱台不存在内切球，D错误. 故选：BC 16．（24-25·新疆）在直四棱柱中，底面四边形是边长为的菱形，，，则下列说法正确的是（    ） A．该直四棱柱的体积为 B．该直四棱柱的表面积为 C．三棱锥外接球的半径为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 对于A，由题意，得菱形的面积，则该直四棱柱的体积，故A正确； 对于，该直四棱柱的表面积为，故B错误； 对于C，将正三角形的中心记为，则，，三棱锥外接球的球心记为，设三棱锥外接球的半径为，由，得，解得，所以，解得，故C正确； 对于D，点到平面的距离等于点到平面的距离，记为． 计算，得，． 由，得，解得，故D正确． 故选：ACD． 17．（24-25广东肇庆·期末）如图所示的圆台，在轴截面中，，则（   ） A．该圆台的高为1 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的体积为 D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 【答案】BCD 【解析】对于A，在梯形中，即代表圆台的高， 利用勾股定理计算可得，所以A错误； 对于B，轴截面梯形的面积为，因此B正确； 对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为； 所以该圆台的体积为，可得C正确； 对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示： 易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，； 由弧长公式可知，解得； 所以可得， 设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短， 易知，且， 由勾股定理可知，可知D正确. 故选：BCD 18．（24-25湖北）已知圆锥的顶点为P，AB为底面圆O的直径，，，点C在圆O上，则（    ） A．该圆锥的侧面积为 B．该圆锥的体积为 C．三棱锥体积的最大值为1 D．该圆锥内部最大的球的半径为 【答案】BCD 【解析】 ∵，，∴，， ∴圆锥底面圆半径为，. A.圆锥的侧面积为，选项A错误. B.圆锥的体积，选项B正确. C.， 当C为中点时，最大，最大为，故三棱锥体积的最大值为1，选项C正确. D.当球与圆锥内切时，表面积最大，此时球心在上， 设内切球球心为，半径为r，则， 过向PB作垂线，垂足为D，则， ∵，∴， ∴，解得，选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题 19．（2024浙江）棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则三棱锥的体积为 . 【答案】1 【解析】如图，由正方体棱长为2及分别为，的中点， 得， 又易知为三棱锥的高，且， . 故答案为：. 20．（23-24高一下·福建漳州·期中）某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上､下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为 .    【答案】193 【解析】由题意可知，该四棱台的上､下底面边长分别为， 故该香料收纳罐的容积为． 故答案为：193. 21．（2024河北）已知圆柱与圆锥的高均为3，底面半径均相等，若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等，则圆锥的体积为 ． 【答案】 【解析】设圆柱和圆锥的底面半径均为，则圆柱的侧面积为， 圆锥的表面积为， 由圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等可得， 化简得，解得， 故圆锥体积． 故答案为： 22．（24-25河南）某一次性咖啡杯的杯体近似视为圆台，如图所示，该圆台的上、下底面圆周长分别为，，侧面积为，则该咖啡杯的体积为 ． 【答案】 【解析】设该圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为l，则，， 解得，，则圆台的侧面积为，解得， 则圆台的高， 圆台上、下底面面积分别为，， 由圆台的体积计算公式可得． 故答案为：. 23．（24-25上海长宁·期末）在三棱锥中，平面，，若点A，B，C，D均在球O的表面上，且，则球O的表面积为 . 【答案】 【解析】 由题意可知三棱锥的顶点都为棱长为1的正方体的顶点， 将三棱锥补成正方体，棱长为1， 故其该正方体的外接球的直径为， 即三棱锥的外接球的直径为，则三棱锥的外接球的半径为， 则球O的表面积为. 故答案为：. 24．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）将一个底面边长为2cm，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为 . 【答案】/ 【解析】底面边长为2cm，高为的正四棱锥的斜高， 因此该四棱锥的表面积， 依题意，制作的球体零件表面积最大时，该球为正四棱锥的内切球，设其半径为， 则，解得，该球的表面积为. 故答案为： 25．（23-24高一下·河南漯河·期中）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为 . 【答案】 【解析】因为平面，我们将三棱锥补成长方体. 在中，，， 设，根据正弦定理（为外接圆半径）， 这里就是长方体底面长方形外接圆半径. ，即，解得. 又因为，这个就是长方体的一条棱. 设外接球半径为，根据长方体的体对角线长等于外接球的直径. 长方体底面长方形的对角线长为，长方体的一条棱. 根据长方体体对角线公式（这里，和是底面长方形的两条边，其对角线长为），则体对角线. 因为，所以. 故答案为：. 26．（24-25上海·期末）将一个半径为5的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和为 ． 【答案】; 【解析】设小球的半径为，则，得， 所以这些小球的表面积之和为. 故答案为： 四、解答题 27．（23-24高一下·陕西安康·期末）如图，在正四棱锥中，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求四棱锥的表面积. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）连接，，记，连接， 如图所示.棱锥为正四棱锥， 所以平面， 又平面， 所以， 因为,即, 所以， 所以四棱锥的体积 . （2）取的中点，连接，，如图所示. 因为平面， 平面， 所以，且, 所以， 所以四棱锥的表面积. 28．（24-25高一·全国·假期作业）我们生活中常以多少毫米降雨量来描述雨势的大小，例如：降雨量10毫米的实际意义为本次降雨过程平地上每平方米的平均水深为10毫米．这种计量方式源远流长，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中有天池测雨一题：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸、深一尺八寸，接雨水深九寸，欲求平地雨降几何？ (1)试说明秦九韶认为不能直接用盆里的水深来代替平地水深的原因； (2)该盆的容积为多少立方寸？（注：径指直径，盆视为一个圆台，一尺等于十寸） (3)题中记载八百年前的这次降雨过程折算到现代为多少毫米的降雨量．（精确到1毫米，宋代一寸约为现代31.2毫米） 【答案】(1)答案见解析 (2)； (3)94毫米 【解析】（1）因为器形不同，所以不能直接用盆里的水深来代替平地水深. （2）根据题意，该盆可以视作圆台，故作出该圆台的轴截面，如图， 根据题意得：寸，寸，寸，寸． （立方寸）. （3）由（2）知寸，即水面的半径为10寸， 所以盆中水的体积为（立方寸） 因为平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积，所以平地降雨量为寸． 再根据1寸约为现代的31.2毫米计算可得：（毫米） 故折算到现代的雨量约为94毫米． 29．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm， 所以.    设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积. 所以剩下的几何体的体积. （2）由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体， 它的外接球的球半径满足，即. 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.    30（23-24高一下·福建福州·期末）罗星塔，位于福州马尾，某校开展数学建模活动，有学生选择测量罗星塔的高度，为此，他们设计了测量方案，如图， 罗星塔垂直于水平面，他们选择了与罗星塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得∠ADB=45°， AB=30米，且在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和 ，其中 . (1)求罗星塔的高 CD的长； (2)在(1)的条件下求多面体A-BCD的表面积； (3)在(1)的条件下求多面体A-BCD的内切球的半径. 【答案】(1)30； (2)平方米； (3)米. 【解析】（1）设米， 在中，，则，   在中，，且， 则，所以，   因为，所以由余弦定理得：， 整理得：，解得x=30（米） （2）由（1）知均为直角三角形， ，所以， 所以在中，满足，所以为直角三角形； 所以，   所以平方米； （3）设多面体的内切球的半径为，根据等体积转换： 所以米； 31．（23-24高一下·北京·期末）高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱. 的高 是正四棱锥. 的高 的4倍. (1)若 ； (i)求该模型的体积； (ii)求顶部正四棱锥的侧面积； (2)若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当 为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值. 【答案】(1)（i）312；（ii）； (2)，. 【解析】（1）（i）由，得，又， 因此正四棱锥的体积， 正四棱柱的体积， 所以模型有体积. （ii）取的中点，连接，由，得， 所以正四棱锥的侧面积. （2）设，正四棱柱的侧面积为， 则， 于是 ，而， 因此当，即时，， 所以当时，下部分正四棱柱的侧面积最大，最大面积是. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.3 简单几何体的表面积与体积 考点一 多面体的表面积 【例1-1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）如图，在正四棱台中．，，则正四棱台的表面积为（    ） A．28 B．26 C．24 D．16 【一隅三反】 1．（24-25云南）若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的表面积为（    ） A．50 B．100 C．248 D．168 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25北京）若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（    ） A． B． C． D． 考点二 多面体的体积 【例2-1】（23-24高一下·河南洛阳·期中）如图，正方体的八个顶点中，其中A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的体积与正方体的体积之比为（    ） A． B． C．1：3 D．1：4 【例2-2】（23-24高一下·江苏·阶段练习）若正六棱台的高为6，且，，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（24-25福建）如图所示，在正方体中，点为棱上一动点，四棱锥的体积占正方体体积的（    ） A． B． C． D．不确定 2（23-24高一下·山东烟台·期中）已知正四棱台的上、下底面边长分别为7，9，体积为193，则该正四棱台的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 3．（2024上·四川南充）如图，在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为（    ）． A． B．3 C． D．6 考点三 旋转体的表面积 【例3-1】（24-25高一上·河北保定·期中）若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（    ） A．2π B．3π C．2 D． 【例3-2】（2024北京房山·期中）以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（24-25重庆）已知某圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为 . 2．（2024下·福建莆田）已知圆锥的母线为6，底面半径为1，把该圆锥截成圆台，使圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为 3（2024上·江苏南京）（多选）以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为（   ） A． B． C． D． 考点四 旋转体的体积 【例4-1】（2024·吉林）一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（23-24高一下·四川凉山·期末）若圆锥的表面积为，且其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【例4-3】（24-25·山西）已知某圆台的侧面展开图如图所示，，，，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（24-25黑龙江鸡西·期中）如图，将底面半径为1高为3的圆锥截去体积为的锥尖，剩余圆台的侧面积为（  ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·四川绵阳·期末）等腰直角的面积为1，以斜边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25湖南永州）已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为，，，，则该四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 考点五 空间几何体的实际应用 【例5-1】（24-25江西南昌）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆台的底面半径分别是和，且，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（   ） A． B．2dm C．3dm D． 【一隅三反】 1．（24-25江苏·阶段练习）如图1的方斗杯古时候常作为盛酒的一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加某种酒，当酒的高度是方斗杯高度的一半时，用酒，则该方斗杯可盛该种酒的总容积为（    ）      A． B． C． D． 2．（安徽省滁州市2025届高三第一次教学质量监测数学试题）中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为，上板长为若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·新疆乌鲁木齐）如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时，水面高为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）一个高为的直三棱柱容器内装有水，将侧面水平放置如图（1），水面恰好经过棱，，，的中点，现将底面水平放置如图（2），则容器中水面的高度是（    ）. A． B． C． D． 考点六 外接球与内切球 【例6-1】（2025陕西省）已知直三棱柱中，，则直三棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【例6-2】（2024·湖南邵阳）已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【例6-3】（24-25安徽·阶段练习）在正四棱台中，，高为，则该正四棱台的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（23-24云南曲靖·阶段练习）．已知直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25河北秦皇岛）已知圆柱的底面半径等于球的半径，圆柱的侧面积与球的表面积之比为，则圆柱外接球的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东·期中）半径为的球内有一个高为的正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏南京·期末）设是球表面上的四个点，平面，，，，，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·四川内江·期末）已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为（    ） A． B． C． D． 考点七 最值问题 【例7-1】（2025·湖北）若正六棱锥的体积为，则PA的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D． 【例7-2】（2025·山东日照）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1.（2024重庆）如图，正四面体的棱长为2，在上有一动点，过作平行于底面的截面，以该截面为底面向下挖去一个正三棱柱，则该正三棱柱侧面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25云南文山）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江·期中）如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱. (1)求此圆锥的表面积与体积； (2)试用x表示圆柱的高h； (3)当x为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？ 一、单选题 1．（23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024 北京）小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 3．（23-24高一下·山东威海·期末）有一个正四棱台形状的油槽，最多装油，已知它的两底面边长分别为和，则它的深度为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖南娄底·期中）已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（　　） A．2 B． C．1 D．2 5．（24-25宁夏银川·阶段练习）若一个圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25辽宁抚顺）已知圆柱和圆锥的高相等，侧面积相等，且它们的底面半径均为2，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江·一模）将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 8（2025海南）如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和10，则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25甘肃白银·阶段练习）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（   ） A． B． C． D． 10．（24-25湖北）在测量降雨量的实践活动中，某小组利用现有仪器，将一个玻璃漏斗固定在一个较大的锥形瓶上，漏斗的下端伸进锥形瓶内，下雨时将其置于室外收集雨水．如图所示，已知锥形瓶的底部直径为，瓶口直径为，玻璃漏斗口直径为，收集完毕后测得水面距瓶底，水面直径，则平地降雨量大约为（    ）注：平地降雨量等于收集到的雨水体积与收集雨水玻璃漏斗口的面积之比 A． B． C． D． 11．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）已知三棱锥，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·湖南娄底·期中）已知球是三棱锥的外接球，，则当点到平面的距离取最大值时，球的表面积是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 13（24-25高一下·全国·单元测试）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．三棱锥的体积为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的体积为 14．（24-25河北邢台）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积也相等，则（    ） A．圆柱和圆锥的体积之比为3 B．圆柱的底面半径和高之比为 C．圆锥的母线和高之比为2 D．圆柱和圆锥的表面积之比为 15．（24-25河北张家口·开学考试）已知正四棱台上底面的边长为2，下底面边长为4，棱台的体积为56，则下列说法正确的是（   ） A．该四棱台的高为3 B．该四棱台的侧棱长为 C．该四棱台的侧面积为 D．该四棱台一定不存在内切球 16．（24-25·新疆）在直四棱柱中，底面四边形是边长为的菱形，，，则下列说法正确的是（    ） A．该直四棱柱的体积为 B．该直四棱柱的表面积为 C．三棱锥外接球的半径为 D．点到平面的距离为 17．（24-25广东肇庆·期末）如图所示的圆台，在轴截面中，，则（   ） A．该圆台的高为1 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的体积为 D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 18．（24-25湖北）已知圆锥的顶点为P，AB为底面圆O的直径，，，点C在圆O上，则（    ） A．该圆锥的侧面积为 B．该圆锥的体积为 C．三棱锥体积的最大值为1 D．该圆锥内部最大的球的半径为 三、填空题 19．（2024浙江）棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则三棱锥的体积为 . 20．（23-24高一下·福建漳州·期中）某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上､下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为 .    21．（2024河北）已知圆柱与圆锥的高均为3，底面半径均相等，若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等，则圆锥的体积为 ． 22．（24-25河南）某一次性咖啡杯的杯体近似视为圆台，如图所示，该圆台的上、下底面圆周长分别为，，侧面积为，则该咖啡杯的体积为 ． 23．（24-25上海长宁·期末）在三棱锥中，平面，，若点A，B，C，D均在球O的表面上，且，则球O的表面积为 . 24．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）将一个底面边长为2cm，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为 . 25．（23-24高一下·河南漯河·期中）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为 . 26．（24-25上海·期末）将一个半径为5的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和为 ． 四、解答题 27．（23-24高一下·陕西安康·期末）如图，在正四棱锥中，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求四棱锥的表面积. 28．（24-25高一·全国·假期作业）我们生活中常以多少毫米降雨量来描述雨势的大小，例如：降雨量10毫米的实际意义为本次降雨过程平地上每平方米的平均水深为10毫米．这种计量方式源远流长，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中有天池测雨一题：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸、深一尺八寸，接雨水深九寸，欲求平地雨降几何？ (1)试说明秦九韶认为不能直接用盆里的水深来代替平地水深的原因； (2)该盆的容积为多少立方寸？（注：径指直径，盆视为一个圆台，一尺等于十寸） (3)题中记载八百年前的这次降雨过程折算到现代为多少毫米的降雨量．（精确到1毫米，宋代一寸约为现代31.2毫米） 29．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 30（23-24高一下·福建福州·期末）罗星塔，位于福州马尾，某校开展数学建模活动，有学生选择测量罗星塔的高度，为此，他们设计了测量方案，如图， 罗星塔垂直于水平面，他们选择了与罗星塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得∠ADB=45°， AB=30米，且在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和 ，其中 . (1)求罗星塔的高 CD的长； (2)在(1)的条件下求多面体A-BCD的表面积； (3)在(1)的条件下求多面体A-BCD的内切球的半径. 31．（23-24高一下·北京·期末）高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱. 的高 是正四棱锥. 的高 的4倍. (1)若 ； (i)求该模型的体积； (ii)求顶部正四棱锥的侧面积； (2)若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当 为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$