8.1 立体基本图形-2024-2025学年高一下学期数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）

8.1 立体的基本图形 考点一 多面体 【例1】（2024湖南）下面关于空间几何体叙述正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．正四棱柱都是长方体 D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆柱 【答案】C 【解析】对于A，底面是正多边形且顶点在底面内的射影为底面中心的棱锥是正棱锥，故A错误； 对于B，将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形， 但是这样的多面体不是棱台，故B错误； 对于C，因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是长方体，故C正确； 对于D，根据圆锥的定义可知D不正确. 故选：C. 【一隅三反】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）有下列四个命题，其中正确的是（    ） A．底面是矩形的平行六面体是长方体 B．棱长相等的直平行六面体是正方体 C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体 【答案】D 【解析】对于A，底面是矩形的平行六面体，它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，即A不正确； 对于B，若底面是菱形，则棱长都相等的直四棱柱不是正方体，故B不正确； 对于C，若侧棱垂直于底面两条平行边，则侧棱不一定垂直于底面，故侧棱垂直于底面两条边的平行六面体不一定是直平行六面体．故C不正确；. 对于D，若平行六面体对角线相等，则对角面皆是矩形，于是可得侧棱垂直于底面，因此对角线相等的平行六面体是直平行六面体，故D正确. 故选：D. 2．（23-24高一下·广东清远·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．一个多面体至少有4个面 C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】B 【解析】正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A错误； 多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确，； 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误；用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误. 故选：B. 3．（23-24四川成都）下列说法正确的是（    ） A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 C．多面体至少有5个面 D．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形 【答案】D 【解析】A选项：各侧面都是正方形的四棱柱，可以是底面为菱形的直棱柱，不一定是正方体，故A错； B选项：有2个面平行，其余各面都是梯形，但若是各侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体不是棱台，故B错； C选项：多面体是指四个或四个以上多边形所围成的立体，故C错； D选项：根据棱柱的定义可知六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形，故D正确. 故选：D. 4．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（　　） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 【答案】D 【解析】对于A中，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误； 对于B中，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，所以B错误； 对于C中，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，所以C错误； 对于D中，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，所以D正确. 故选：D. 考点二 旋转体 【例2-1】（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）（多选）以下四个空间几何体是旋转体的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BD 【解析】因为球和圆柱都是旋转体，所以B、D项正确.故选：BD. 【例2-2】（2024云南）下列结论中正确的是（    ） A．半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球 B．直角三角形绕一直角边为轴旋转一周得到的旋转体是圆锥 C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 D．用一个平面截圆锥底面与截面组成的部分是圆台 【答案】B 【解析】因为半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，故错误； 当以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转时，其余各边旋转形成的面所围成的几何体是圆锥，故正确； 当两个平行截面不平行于上、下两个底面时，两个平行截面间的几何体不是旋转体，故错误； 圆锥的截面不与底面平行时，圆锥底面与截面组成的部分不是圆台，故错误. 故选：B. 【一隅三反】 1.（2025山东）给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；⑤圆台所有母线的延长线交于一点其中正确的命题是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 【答案】D 【解析】由于圆柱母线所在的直线互相平行且与旋转轴平行，而在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点， 这两点的连线与旋转轴不一定平行，故①错误，④正确；由圆锥母线的定义知②正确； 在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线， 且圆台所有母线的延长线交于一点，故③错误，⑤正确.故选：D. 2（2024河北）给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的； ⑤圆台所有母线的延长线交于一点其中正确的命题是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 【答案】D 【解析】由于圆柱母线所在的直线互相平行且与旋转轴平行，而在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点， 这两点的连线与旋转轴不一定平行，故①错误，④正确；由圆锥母线的定义知②正确； 在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线， 且圆台所有母线的延长线交于一点，故③错误，⑤正确.故选：D. 3（2024广东深圳）（多选）下列关于球体的说法正确的是（    ） A．球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 B．球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 C．一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体 D．球的对称轴只有1条 【答案】BC 【解析】空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所以A错误，B正确； 由球体的定义，知C正确；球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以D错误.故选:BC. 考点三 组合体 【例3-1】（24-25湖南）如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线l旋转一周可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A旋转一周是圆锥，不满足题意；B旋转一周是两个圆锥，满足题意； C旋转一周是圆锥，不满足题意；D旋转一周是圆柱挖去一个圆锥的几何体，不满足题意.故选：B. 【例3-2】（23-24高一下·河南·期中）两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起不可能拼成的是 （   ） A．一个三棱锥 B．一个四棱锥 C．一个三棱柱 D．一个四棱柱 【答案】D 【解析】对于A，三棱锥中，分别取的中点，再取的中点，连接， 则三棱锥可拆割成三棱锥和四棱锥，A可能； 对于B，四棱锥，取的中点，则四棱锥可拆割 成三棱锥和四棱锥，B可能； 对于C，三棱柱中，取的中点，则三棱柱可拆割为 三棱锥和四棱锥，C可能； 对于D，一个四棱柱割去一个四棱锥后的几何体不可能由两个三棱锥拼成，D不可能. 故选：D 【一隅三反】 1．（2025福建）能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，是由A中的平面图形旋转形成的. 故选：A. 2（2024上海）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由 (　　) A．一个圆台、两个圆锥构成 B．两个圆台、一个圆锥构成 C．两个圆柱、一个圆锥构成 D．一个圆柱、两个圆锥构成 【答案】D 【解析】旋转体如图，中间是一个圆柱，两端是相同的圆锥构成，故选D． 3（2025湖北）如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是　(　　) A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体 B．该组合体仍然关于轴l对称 C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点 D．该组合体中的球和半球只有一个公共点 【答案】A 【解析】将该几何体绕轴l旋转180°后形成一个组合体，该组合体是由圆台、圆柱、圆锥和球，半球 组成的，由此A选项错误故选A 考点四 距离最短 【例4-1】（2025云南）某圆柱的高为，底面周长为，，分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中，如图所示，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆柱的侧面展开图及，的位置（为的四等分点）如图所示， 底面周长为展开矩形的长，故，圆柱高为展开矩形的高，故， 所以，连接，则图中即为到的最短路径， . 故选: B. 【例4-2】（2024·陕西西安）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【解析】P为圆台母线AB的中点，分别为上下底面的圆心，把圆台扩成圆锥，如图所示， 则，，， 由，有，，， 圆锥底面半径，底面圆的周长为，母线长， 所以侧面展开图的扇形的圆心角为，即，如图所示， 质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则运动的最短路径为展开图弦， ，，有. 故选：A 【例4-3】（24-25上海徐汇）已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是 ． 【答案】 【解析】如图正四棱柱中，若沿着侧棱展开，可得图（1） 此时, 若沿着侧重展开，可得图（2），此时, 若沿着侧重展开，可得图（3），此时 由于，故最短距离为， 故答案为： 【例4-4】（24-25 上海·期末）如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示： 连接，则的长度即为的最小值， 因为，所以 ， 所以，所以，即的最小值为. 故答案为：. 【例4-5】（24-25 上海·期中）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】平面，平面，，， ，，平面，平面， 又平面，； 将侧面沿展开，得到展开图如下图所示， 则当，时，取得最小值； ，，，， ，， ， . 故答案为：. 【例4-6】（24-25安徽如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由长方体的结构特征知，关于面对称的点为， 所以， 当且仅当共线时，取等号. 故选：C 【一隅三反】 1．（24-25高一上·四川成都·开学考试）如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为，则蚂蚁爬行的最短路径为， 如图，由题意可知，，在，，所以它爬行的最短路程为， 故选：C 2（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为 . 【答案】 【解析】根据正方体结构，将面以为轴旋转展开，与面在同一个平面内， 易知：要使最小，即为上述所得平面内. 故答案为： 3．（23-24高一下·福建福州·期中）已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为 【答案】 【解析】因为圆的周长为，则底面圆的半径， 又，所以上底面半径为， 将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，如图， 显然弧的长为，弧的长为，设，则，， 则，又，即，所以，则，， 在中由余弦定理， 所以蚂蚁爬行的最短路程为. 4（23-24高一下·河北石家庄·期中）如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB到达C点，则细绳的最短长度为 ． 【答案】/ 【解析】如图，将侧面展开在一个平面， 由题意， 在中，， 所以在中，， 由余弦定理得， 所以， 即细绳的最短长度为. 故答案为：. 5（23-24高一下·河北·期末）如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为 【答案】2 【解析】如图，将正四棱锥的侧面展开，则的最小值为， 在中，， ， 所以，故，则. 6（2024·江苏苏州）如图， 四棱锥 截取自边长为1 的正方体.其中 平面且 是线段 上靠近 的三等分点， 是线段 上最靠近 B的四等分点，M，N 分别是棱 和 上的动点且恒有， 垂足为H， 则 的最小值为    【答案】 【解析】先把及展开在一个平面上， 当过点做的垂线垂足为,，当三点共线时即得的最小值， 因为是取自边长为1的正方体，易知，且面，面， 所以， ， ， ， 在，等面积法得， 因为是靠近的三等分点，所以，所以.    7（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为 【答案】 【解析】将底面旋转，以为轴，旋转至平面与平面共面，如图， 设的中心为，此时为最短距离，设到直线的距离为， 则，所以. 8.（23-24高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是 【答案】 【解析】把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 过点作，则，又，则， 在中，，，则， 此时线段中点到点的距离，即线段与相交， 因此的最小值就是展开图中的长，点为与的交点， 所以的最小值为.    考点五 截面 【例5-1】（24-25北京）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（1）（5） 【答案】D 【解析】当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1）；当不过上、下底的中心时，截面图形为（5）. 所以只有（1）、（5）正确.故选：D. 【例5-2】（23-24高一下·河南新乡·期中）一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（    ） A．32 B． C． D． 【答案】D 【解析】若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为； 若2为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为. 故选：D. 【例5-3】（2024北京）圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（    ） A． B．18 C． D．9 【答案】B 【解析】如图，过圆锥顶点认作一截面，交底面圆与， 圆锥轴截面的顶角为， 则时，截面面积取最大值， 过圆锥顶点的截面中，最大截面面积为， 故选：B． 【例5-4】（2024·四川达州）如图，在正方体中，为中点，为线段上一动点，过的平面截正方体的截面图形不可能是（    ）    A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【答案】A 【解析】B选项，当点与重合时，    取中点，因为是中点，则，且， 连接，则四边形为平行四边形， 又因为，所以平行四边形为矩形，故排除B选项； C选项，当点与重合时，    取中点，因为是的中点，所以， 连接，截面四边形为梯形，故排除C选项； D选项，当点为中点时，    因为是中点，所以且， 连接，则四边形是平行四边形， 又因为，， 因为是正方体，所以，所以， 所以平行四边形是菱形，故排除D选项； 不管点在什么位置，都不可能是三角形. 故选：A. 【一隅三反】 1．（2024黑龙江）圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆柱底面为正三棱锥底面三角形的外接圆，如下图所示， 则过棱锥的一条侧棱和高作截面，棱锥顶点为圆柱上底面的中心，可得截面图如下图， 故选：D. 2．（2025北京）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5） 【答案】D 【解析】当截面如下图为轴截面时，截面图形如（1）所示； 当截面如下图不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物线的形状； 故选：D 3（24-25 广西柳州·期中）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为 . 【答案】 【解析】如图所示： 因为，所以，所以截面为梯形， 因为正方体的棱长为2，则， 梯形的高为， 所以梯形的面积为：， 故答案为： 4（23-24高一下·湖南长沙·期末）在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为 【答案】6 【解析】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面的周长最小， 连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长， 因为侧棱长为的正三棱锥，， 所以， 由余弦定理可得 ， ，所以截面的最小周长为. 5．（2024高三·全国·专题练习）我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积为 . 【答案】/ 【解析】延长，与的延长线交于点，则∈平面，连接，与交于点，连接，得到的四边形是平面截“堑堵”所得截面图形， 由题意解三角形可得， ，， ∴中边上的高， 中边上的高. ∴截“堑堵”所得截面图形的面积 . 故答案为： 6．（23-24内蒙古）若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为3的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为 【答案】 【解析】由题意得，圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，圆锥的母线长为， 设过圆锥顶点的截面三角形顶角为，则， 则截面面积为，当时，， 1． 单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）下列几何体中是旋转体的是（    ） ①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体． A．①和⑤ B．①和② C．③和④ D．①和④ 【答案】D 【解析】根据旋转体的定义可得圆柱和球体为旋转体.故选：D. 2．（23-24高一下·北京大兴·期中）在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．三棱锥 B．三棱台 C．四棱锥 D．组合体 【答案】C 【解析】 三棱台中，截去三棱锥后得到的是四棱锥， 故选：C. 3．（2025福建）下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【解析】对于A选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱柱，故A选项不正确； 对于B选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱锥，故B选项正确； 对于C选项，图形沿着折线翻折起来是一个三棱台，故C选项不正确； 对于D选项，图形沿着折线翻折起来是一个四棱柱，故D选项不正确； 故选：B. 4．（24-25北京·阶段练习）下列四个命题中正确的是（   ） A．正三棱锥的每个面都是正三角形 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 【答案】C 【解析】对于A，正三棱锥的底面为正三角形，侧面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形， 且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可，可知A错误； 对于B，底面是菱形的直四棱柱，其侧棱长与底面边长相等时， 该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，可得B错误； 对于C，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即C正确； 对于D，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，可得D错误. 故选：C 2． 多选题 5．（23-24高一下·云南昭通·期中）下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】BC 【解析】 如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误； 棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥， 故B正确；由平行六面体的概念和性质可知： 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故C正确； 根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点。 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体， 不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误. 故选：BC. 6．（23-24高一下·山西大同·期中）下列说法正确的是（    ） A．一个多面体至少有4个面 B．圆柱的母线与它的轴可以不平行 C．用任意一个平面截球得到的截面都是一个圆面 D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 【答案】AC 【解析】对于A，多面体至少有4个面，故A正确； 对于B，圆柱的母线与它的轴平行，故B错误； 对于C，用任意的平面截一个球得到的截面都是一个圆面，故C正确； 对于D，满足条件的几何体可能是组合体，如图所示，故D错误． 故选：AC． 7．（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．多面体的每条棱都是一条线段 B．在四棱台中，四点可以不共面 C．上、下底面均为正方形的四棱台的四条侧棱长一定相等 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 【答案】AD 【解析】根据棱长的定义可知，故A正确； 根据棱台的性质知四点确定的是对角面，所以四点一定是共面关系，故B错误； 对于四棱锥，底面是正方形， 当侧棱垂直底面时，该四棱锥所截的四棱台的侧棱不相等，故C错误； 圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，故D正确. 故选：AD 8．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）以下说法不正确的是（    ） A．各侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱 【答案】ACD 【解析】对于A：长方体不仅需要各侧面为矩形，上下底面也要为矩形，故A错误； 对于B：有两个相邻侧面是矩形说明侧棱垂直于底面，是直棱柱，故B正确； 对于C：正棱锥不仅要求底面是正多边形，还需要侧面为全等三角形，故C错误； 对于D：正四棱柱是上下底面为正方边形的长方体，底面需要是正方形，而底面四边相等可能是菱形，故D错误. 故选：ACD 9．（23-24高一下·河南郑州·期中）下列命题正确的是（   ） A．一个棱锥至少5个面 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【答案】BCD 【解析】对于A，三棱锥只有4个面，故A错误； 对于B，由平行六面体的定义可知，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确； 对于C，由棱锥的定义可知，侧面是三角形，底面的边数决定了它是几棱锥，从而有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故C正确； 对于D，由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确. 故选：BCD. 10（2024浙江温州·期末）用一个平面去截一个几何体， 所得截面的形状是正方形， 则原来的几何体可能是（    ） A．长方体 B．圆台 C．四棱台 D．正四面体 【答案】ACD 【解析】对于A：若长方体的底面为正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故A正确； 对于B：圆台的截面均不可能是正方形，故B错误； 对于C：若四棱台的底面是正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故C正确； 对于D：如图所示正四面体，将其放到正方体中， 取的中点，的中点，取的中点，的中点， 依次连接、、、，由正方体的性质可知截面为正方形，故D正确； 故选：ACD 11．（2024高三·全国·专题练习）如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体．下列可能是该几何体的截面的为（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】截面中间是矩形，如果可能的话，那么一定是用和正方体底面平行的截面去剖开正方体，并且是从挖去四棱锥的那部分剖开的，但此时剖面中间应该是一个正方形，因此选项A不可能是截面；当从正方体底面的一组相对棱的中点处剖开时，截面正好通过四棱锥顶点，如图①，此时截面形状如选项B，故B可能是该几何体的截面； 当截面不经过底面一组相对棱的中点处，并和另一组棱平行去剖开正方体时，如图②中截面PDGH位置，截面形状就会如选项C，故C可能是该几何体的截面； 如图③，按图中截面A1B1C1的位置去剖开正方体，截面就会如选项D，故D可能是该几何体的截面． 故选BCD. 3． 填空题 12．（23-24上海·课堂例题）如图，给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，可以得到下面哪些类型的多面体？ ①四面体；    ②四棱锥；    ③四棱柱； ④五棱锥；    ⑤五棱柱；    ⑥六棱锥； ⑦七面体． （找出可能的结果，并将序号填在横线上） 【答案】①③⑤⑦ 【解析】 如图，平面截正方体，可得到四面体； 如图，平面截正方体，可得到四棱柱； 如图，平面截正方体，可得到五棱柱，也是七面体. 故答案为：①③⑤⑦. 13．（23-24高一下·北京大兴·期中）给出下列命题： ① 一个棱柱至少5个面； ② 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③ 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形； ④ 所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ⑤ 有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台. 其中，所有正确命题的序号是 ． 【答案】①③ 【解析】根据棱柱的特征可得，一个棱柱的底面至少有三条边，所以至少有5个面；即①正确； 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥侧棱长不一定相等， 如图，三棱锥中，都是等腰三角形，， 是等边三角形，，故三棱锥不是正三棱锥，故②不正确； 由平行六面体的概念和性质，可知：平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形；即③正确； ④所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体，底面不一定是正方形，故④错误； ⑤有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台， 根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点。有两个面平行且相似， 其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故⑤错误. 故答案为：①③. 14（2024海南）一个正四棱台上､下底面边长分别为2，4，高为3，则经过相对两侧棱的截面的面积为 . 【答案】 【解析】 由正四棱台的几何特征知，,,且四边形为高为3的等腰梯形， 所以, 所以, 因此经过相对两侧棱的截面的面积为， 故答案为：. 15．（24-25高一上·上海·期末）如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是 .    【答案】 【解析】画出侧面展开图，如下，已知，则，弧， 侧面从到的最短距离是.根据勾股定理知道. 故答案为：.    16．（24-25上海·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则昆虫爬行的最短距离是 . 【答案】15 【解析】作出圆柱的侧面展开图如下图所示， 则当昆虫的爬行路线为线段时，爬行的路程最短， 因为圆柱体的底面周长为，即，且, 所以最短路程为：. 故答案为：. 17．（24-25上海宝山·期末）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为 公里. 【答案】32 【解析】沿母线将圆锥的侧面展开，如图：      记为上的任意一点，作，垂足为，连接， 由的长为，得，由两点间线段最短，知观光铁路为图中线段， 而，则， 上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大， 因此上坡段的铁路，即图中的线段，由，得. 故答案为：32 18（24-25上海）已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为 ． 【答案】 【解析】依题意，设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为，高为1， ， 设圆锥的轴截面的两母线夹角为，则， ，， 则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为， 故截面的面积为，当且仅当时，等号成立， 故截面的面积的最大值为2． 故答案为：2. 19（2024河北邯郸·期中）如图，在正四棱锥中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为分别是线段上的一点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】如图，将正四棱锥的侧面展开，则的最小值为； 在中，，则． 所以的最小值为. 故答案为：. 20（23-24高二下·上海·开学考试）如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，则圆锥过轴的截面面积为 ，圆柱的底面半径为 ．    【答案】 1 【解析】圆锥的高，圆锥过轴的截面面积为：；    设圆柱的底面半径，由相似知识可知，解得． 故答案为：；1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1 立体的基本图形 考点一 多面体 【例1】（2024湖南）下面关于空间几何体叙述正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．正四棱柱都是长方体 D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆柱 【一隅三反】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）有下列四个命题，其中正确的是（    ） A．底面是矩形的平行六面体是长方体 B．棱长相等的直平行六面体是正方体 C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体 2．（23-24高一下·广东清远·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．一个多面体至少有4个面 C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 3．（23-24四川成都）下列说法正确的是（    ） A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 C．多面体至少有5个面 D．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形 4．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（　　） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 考点二 旋转体 【例2-1】（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）（多选）以下四个空间几何体是旋转体的是（    ） A．   B．   C．   D．   【例2-2】（2024云南）下列结论中正确的是（    ） A．半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球 B．直角三角形绕一直角边为轴旋转一周得到的旋转体是圆锥 C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 D．用一个平面截圆锥底面与截面组成的部分是圆台 【一隅三反】 1.（2025山东）给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；⑤圆台所有母线的延长线交于一点其中正确的命题是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 2（2024河北）给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的； ⑤圆台所有母线的延长线交于一点其中正确的命题是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 3（2024广东深圳）（多选）下列关于球体的说法正确的是（    ） A．球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 B．球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 C．一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体 D．球的对称轴只有1条 考点三 组合体 【例3-1】（24-25湖南）如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线l旋转一周可以得到（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（23-24高一下·河南·期中）两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起不可能拼成的是 （   ） A．一个三棱锥 B．一个四棱锥 C．一个三棱柱 D．一个四棱柱 【一隅三反】 1．（2025福建）能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是 A． B． C． D． 2（2024上海）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由 (　　) A．一个圆台、两个圆锥构成 B．两个圆台、一个圆锥构成 C．两个圆柱、一个圆锥构成 D．一个圆柱、两个圆锥构成 3（2025湖北）如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是　(　　) A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体 B．该组合体仍然关于轴l对称 C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点 D．该组合体中的球和半球只有一个公共点 考点四 距离最短 【例4-1】（2025云南）某圆柱的高为，底面周长为，，分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中，如图所示，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【例4-2】（2024·陕西西安）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（    ） A． B．6 C． D． 【例4-3】（24-25上海徐汇）已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是 ． 【例4-4】（24-25 上海·期末）如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为 . 【例4-5】（24-25 上海·期中）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 . 【例4-6】（24-25安徽如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（24-25高一上·四川成都·开学考试）如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为 . 3．（23-24高一下·福建福州·期中）已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为 4（23-24高一下·河北石家庄·期中）如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB到达C点，则细绳的最短长度为 ． 5（23-24高一下·河北·期末）如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为 6（2024·江苏苏州）如图， 四棱锥 截取自边长为1 的正方体.其中 平面且 是线段 上靠近 的三等分点， 是线段 上最靠近 B的四等分点，M，N 分别是棱 和 上的动点且恒有， 垂足为H， 则 的最小值为    7（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为 8.（23-24高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是 考点五 截面 【例5-1】（24-25北京）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（1）（5） 【例5-2】（23-24高一下·河南新乡·期中）一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（    ） A．32 B． C． D． 【例5-3】（2024北京）圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（    ） A． B．18 C． D．9 【例5-4】（2024·四川达州）如图，在正方体中，为中点，为线段上一动点，过的平面截正方体的截面图形不可能是（    ）    A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【一隅三反】 1．（2024黑龙江）圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（    ） A． B． C． D． 2．（2025北京）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5） 3（24-25 广西柳州·期中）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为 . 4（23-24高一下·湖南长沙·期末）在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为 5．（2024高三·全国·专题练习）我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积为 . 6．（23-24内蒙古）若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为3的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为 1． 单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）下列几何体中是旋转体的是（    ） ①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体． A．①和⑤ B．①和② C．③和④ D．①和④ 2．（23-24高一下·北京大兴·期中）在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．三棱锥 B．三棱台 C．四棱锥 D．组合体 3．（2025福建）下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为（    ） A．B．C． D． 4．（24-25北京·阶段练习）下列四个命题中正确的是（   ） A．正三棱锥的每个面都是正三角形 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 2． 多选题 5．（23-24高一下·云南昭通·期中）下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 6．（23-24高一下·山西大同·期中）下列说法正确的是（    ） A．一个多面体至少有4个面 B．圆柱的母线与它的轴可以不平行 C．用任意一个平面截球得到的截面都是一个圆面 D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 7．（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．多面体的每条棱都是一条线段 B．在四棱台中，四点可以不共面 C．上、下底面均为正方形的四棱台的四条侧棱长一定相等 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 8．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）以下说法不正确的是（    ） A．各侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱 9．（23-24高一下·河南郑州·期中）下列命题正确的是（   ） A．一个棱锥至少5个面 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 10（2024浙江温州·期末）用一个平面去截一个几何体， 所得截面的形状是正方形， 则原来的几何体可能是（    ） A．长方体 B．圆台 C．四棱台 D．正四面体 11．（2024高三·全国·专题练习）如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体．下列可能是该几何体的截面的为（　　） A． B． C． D． 3． 填空题 12．（23-24上海·课堂例题）如图，给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，可以得到下面哪些类型的多面体？ ①四面体；    ②四棱锥；    ③四棱柱； ④五棱锥；    ⑤五棱柱；    ⑥六棱锥； ⑦七面体． （找出可能的结果，并将序号填在横线上） 13．（23-24高一下·北京大兴·期中）给出下列命题： ① 一个棱柱至少5个面； ② 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③ 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形； ④ 所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ⑤ 有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台. 其中，所有正确命题的序号是 ． 14（2024海南）一个正四棱台上､下底面边长分别为2，4，高为3，则经过相对两侧棱的截面的面积为 . 15．（24-25高一上·上海·期末）如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是 .    16．（24-25上海·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则昆虫爬行的最短距离是 . 17．（24-25上海宝山·期末）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为 公里. 18（24-25上海）已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为 ． 19（2024河北邯郸·期中）如图，在正四棱锥中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为分别是线段上的一点，则的最小值为 ． 20（23-24高二下·上海·开学考试）如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，则圆锥过轴的截面面积为 ，圆柱的底面半径为 ．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$