（从课本到奥数）奥数专题第十讲：分数与小数-数学五年级下册人教版

从课本到奥数 五年级·下册 LOREM 第十讲 ：分数与小数 知识精讲 分数化成小数. 同学们在计算分数的时候一定碰到过除不尽的情况。比如计算,我们会发现商在0和小数点之后一直出现3,怎么也计算不完；再比如在计算的时候，我们会发现商在0和小数点之后不停的出现428571. 像这样，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数，叫做循环小数.例如0.333…,0.428571428571…和1.2357357357…都是循环小数. 通常我们把0.333…简写成,把0.428571428571…简写成, 把1.2357357357…简写成. 一个循环小数的小数部分里，依次不断重复出现的一段数字，叫做这个循环小数的循环节.上面三个循环小数的循环节分别为3，428571和357.循环节从小数点后第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数，例如和.不是从第一位开始的循环小数，叫做混循环小数，例如. 下面我们来学习一下分数与小数之间的互化.把分数化为小数非常简单，直接用分子除以分母即可.例如，. 小数化成分数 对于任意一个分数，我们一定可以把它化成有限小数或循环小数.反过来，我们怎么把一个小数化成分数呢?有限小数化分数很简单，例如，，每个有限小数都可以化成分母是10,100,1000…的分数.那么循环小数呢?循环小数化分数有以下的规律. 纯循环小数化成分数：我们从分子和分母两方面来考虑. 分子是由循环节所组成的多位数；而分母则由若干个9组成，且9的个数恰好等于循环节的位数.比如，，. 混循环小数化成分数：我们同样从分子与分母两方面来考虑. 分子是两数相减所得的差，其中被减数是从小数点后第一位到第一个循环节末位所组成的多位数，而减数则是小数点后不循环的数字组成的多位数；分母由若干个9和若干个0组成，9的个数等于循环节的位数，0的个数等于小数点后不循环部分的位数比如，，. 请同学们务必牢记以上方法，熟练使用. 循环小数周期性. 由于循环节的存在，循环小数小数点后数字排列具有周期性.比如的循环节有两位，小数部分以4，8为一个周期.利用周期性，我们就可以知道小数点后若干位的数字是多少.以分母为7的循环小数为例： 题型汇总 题型一：分数化小数 1．下面的分数中能化成有限小数的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断一个分数能否化成有限小数，首先要看这个分数是不是最简分数，如果不是最简分数，要先约分，再根据一个最简分数，如果分母中只含有质因数2或5，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2或5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。 【详解】A．8＝2×2×2，只含有质因数2，可以化成有限小数； B．分母是11，不能化成有限小数；     C．分母是13，不能化成有限小数； D．12＝2×2×3，除了含有质因数2以外，还含有3，不能化成有限小数； 故答案为：A 2．下面4个真分数，（    ）一定能化成有限小数。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一个最简分数，如果分母中只含有2或5的质因数，不含有其他质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2或5以外的质因数，这个分数就不能化成小数，据此逐项分析解答。 【详解】A． 21＝3×7，分母含有质因数3和7，不能化成有限小数； B． 31＝1×31，分母含有质因数31，不能化成有限小数； C． 32＝2×2×2×2×2，分母含有质因数2，能化成有限小数； D． 30＝2×3×5，分母含有质因数2、3、5，不能化成有限小数。 一定能化成有限小数。 故答案为：C 题型二：小数化分数 1．甲、乙、丙三人参加100米跑步比赛，甲用了20秒，乙用了分，丙用了0.25分，跑步速度最快的是（    ）。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】C 【分析】1分＝60秒，用20除以60，再根据除法与分数的关系，把20秒化成分，最后约分化成最简分数分；0.25分等于分，再约分化成最简分数分；然后再通过通分比较三个分数的大小，据此即可解答。 【详解】20秒＝分 0.25分＝分 ＝ ＝ ＝ 所以＞＞ 20秒＞秒＞0.25秒 所以跑的速度最快的是丙。 故答案为：C 【点睛】掌握小数与分数互化的方法、比较分数大小的方法是解题关键。 2．如果，□里可以填( )；如果，□里最小填( )。 【答案】 7 6 【分析】第一个空，将分数化成小数，分数化小数，直接用分子÷分母，再确定□里可以填的数； 第二个空，将小数化成分数，再通分，即0.5＝，＝，确定□×2最小是几，再根据积÷因数＝另一个因数，求出□最小是几即可。 【详解】＝5÷8＝0.625，如果，□里可以填7或8或9； 0.5＝＝，＝＝，□×2＞11，□×2最小是12，12÷2＝6，如果，□里最小填6。 题型三：循环小数与分数 1．一个分数的分子与分母之和为25，将它化为小数后形如，则这个分数的分母是( )。 【答案】18 【分析】根据题意，将这个分数化为小数是，这个数小于0.5的真分数，即这个分数就小于，那么在分子分母之和是25的分数里小于的分数有：，，，，，，，，根据分数与除法之间的关系，依次将分数转化为小数。得出这个分数后，找到分母。 【详解】小于，在分子分母之和是25的分数里小于的分数有：，，，，，，，。 经过计算可知：， 这个分数是，则这个分数的分母是18。 2．将循环小数0.化成最简分数后，分子与分母的和为134，则原循环小数为 。 【答案】 【分析】纯循环小数指从小数第一位开始循环的小数，例如：0.777……。纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9；9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。即，因为是将分数化成最简分数，则999＝3×3×3×37，约分后分子与分母的和为134，那么分母肯定比999小。可以分类讨论。 【详解】①分子和分母同时除以3时，分子是333，不符和； ②分子和分母同时除以9时，分母是111，分子＝134－111＝23，这个分子数约分后的分子，即原分子是207。这个分数是，约分成最简分数是，符合。＝ 则这个循环小数为。 题型四：循环小数周期问题 1．真分数化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是，则是多少？ 【答案】 【详解】我们知道形如的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组成，只是各个数字的位置不同而已，那么就应该由若干个完整的和一个不完整组成． ，而，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4，2时才符合要求，显然，这种情况下完整的循环节为“”，因此这个分数应该为，所以． 2．真分数化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么是多少? 【答案】 【详解】， ，，，， ．因此，真分数化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以，即． 跟踪训练 一、选择题 1．下面的分数中，能化成有限小数的是（    ）。 A． B． C． D． 2．小明、小林和小军三人读同一篇文章，小明用了小时，小林用了小时，小军用了0.3小时，（    ）。 A．小明速度快 B．小林速度快 C．小军速度快 D．他们速度一样快 3．一位小数“0.”比大，比小。这个小数中被挡住的数字是（    ）。 A．4 B．5 C．6 D．7 4．图中括号里填上适当的分数，应填（    ）。 A． B． C． D． 二、填空题 5．（    ）＝（    ）（填小数）。 6．分数单位是的最大真分数是( )，这个真分数用循环小数的简便记法表示是( )。 7．，这个算式的整数部分是( )。 8．两堆沙子原来相差10吨，如果从多的一堆中运走吨，从少的一堆中运走0.4吨，这时两堆沙子相差( )吨。 9．阅读与解答。 无限循环小数可以转化为分数。像和这样从小数部分第一位开始循环的小数叫做纯循环小数，像和这样不是从小数部分第一位开始循环的小数叫做混循环小数。 （1）将纯循环小数和转化为分数。（在横线上填上合适的数）                  将上两式相减，得        将上两式相减，得              ______         ______ （2）将混循环小数和转化为分数。（将计算过程补充完整）                 ____________ 将上两式相减，得        将上两式相减，得     ____________         ____________                   三、解答题 10．把分数化成小数后，从小数点第一位起连续1000位数字的和是多少？ 11．一盒牛奶，萍萍早上喝了升，晚上喝的比早上多0.2升，加起来正好喝了这盒牛奶的一半。这盒牛奶原来一共有多少升？ 12．阅读与理解：用下面的方法可以把循环小数化成分数：设0.6666…＝x，10x＝6.6666…，可得方程：10x－x＝6，解得x＝，即＝。参考以上方法，解决下面的问题。 （1）把化成分数。 （2）把化成分数。 （3）把化成分数。 （4）通过阅读，解题，你有什么发现与收获吗？ 13．一个分数化成小数后是0.125，如果这个分数的分子扩大到原来的3倍，分母缩小到原来的，那么变化后的分数化成小数是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】判断一个分数能否化成有限小数，首先要看这个分数是不是最简分数，如果不是最简分数，要先约分，再根据一个最简分数，如果分母中只含有质因数2或5，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2或5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。 【详解】A．分母是3，不能化成有限小数； B．＝，4＝2×2，可以化成有限小数； C．分母是13，不能化成有限小数； D．12＝2×2×3，质因数有3，不能化成有限小数。 故答案为：B 2．B 【分析】三人读同一篇文章，用时越少的，读的速度就越快。即比较、、0.3的大小，可以把分数化成小数，用分子除以分母即可，再根据小数大小的比较方法进行比较，得出结论。 【详解】＝1÷5＝0.2 ＝1÷6≈0.167 0.167＜0.2＜0.3 ＜＜0.3 小林用时最少，所以小林速度快。 故答案为：B 3．C 【分析】分数转化为小数用分数的分子除以分数的分母。现将两个分数转化为小数，再选择。 【详解】 则这个1位小数比0.5大，比0.666…小，则这个1位小数是0.6。 故答案为：C 4．A 【分析】从数轴图上发现是将0.8与0.9之间平均分成5份，也就是将0.1平均分成5份，每一份是0.02。括号对应的是2个0.02，也就是0.04，对应的小数是0.84。再将其化成分数，即小数化分数：一位小数、两位小数、三位小数⋯化为分数后，分数的分母为10、100、1000⋯把原来的小数去掉小数点作分子；化成分数后，能约分的要约分，化成最简分数。 【详解】 故答案为：A 5．5；9；45；0.6 【分析】依据分数与除法之间的关系，分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，将分数转换成除法；依据分数的基本性质，分数的分子分母同时乘9，分数的大小不变；依据分数的基本性质，分数的分子分母同时乘3将分数转换成分母是15的分数，分数的分子除以分母可以将分数转换成小数。 【详解】 所以＝0.6 【点睛】 6． 【分析】真分数是比1小的分数，据此找出化简后分母为11的最大真分数即可；用分子除以分母，计算结果根据循环小数的简记方法表示：重复出现的一个或几个数字，叫做“循环节”。记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。 【详解】分数单位是的最大真分数是； 10÷11＝0.9090…＝ 这个真分数用循环小数的简便记法表示是。 7．6 【分析】分数化成小数：用分子除以分母，按照除数是整数的小数除法进行计算；根据式子中每个分数的特点，先把每个分数写成小数的形式，再利用凑整法将算式变为，最后的结果即可轻松得出答案。 【详解】 这个算式的整数部分是6。 【点睛】本题考查了高斯取整的有关计算，解答此题的关键是运用凑整法即可。 8．10.2 【分析】这时两堆沙子相差的质量＝从少的一堆中运走的质量－从多的一堆中运走的质量＋两堆沙子原来相差的质量。 【详解】0.4－＋10 ＝0.2＋10 ＝10.2（吨） 这时两堆沙子相差10.2吨。 9．（1）（2）见详解 【分析】（1）纯循环小数化成分数：根据左边算式可知，右边循环小数的循环节是三位，用×1000，求出积是，再用×1；求出积是，把两个算式左边和左边相减，右边和右边相减，化为×1000－×1＝－，再根据乘法分配律逆运算，化为×（1000－1），＝382；再化为×999＝382，由此可知，＝382÷999，即＝。 （2）混循环小数化成分数：根据左边算式可知，右边循环小数的循环节是三位，用×1000＝；再用×10＝，再把两个算式左边和左边相减，右边和右边相减，×1000－×10＝－，再根据乘法分配律的逆运算，化为：×（1000－10）＝135，据此解答。 【详解】（1） ×1000＝ ×1＝ ×（1000－1）＝－ ×999＝382 ＝ 将纯循环小数和转化为分数。 （2） ×1000＝ ×10＝ ×1000－×10＝－ ×（1000－10）＝135 ×990＝135 ＝ ＝ 将混循环小数和转化为分数。 10．4499 【分析】先把化成小数说明每6个数字一个循环，再求出小数点后面1000位里面有多少个6，就有多少个（5＋7＋1＋4＋2＋8），再根据余数，进一步确定余数是下一个循环的前几个，进而解决问题。 【详解】＝ 5＋7＋1＋4＋2＋8 ＝12＋1＋4＋2＋8 ＝17＋2＋8 ＝19＋8 ＝27 1000÷6＝166……4 27×166＋（5＋7＋1＋4） ＝4482＋17 ＝4499 答：从小数点第一位起连续1000位数字的和是4499。 【点睛】此题属于周期问题，最后的余数是解决问题的关键，最后的余数是下一个周期的前几个，先探索周期的变化规律，再根据规律和余数解答，求出问题。 11．2升 【分析】根据题意，萍萍早上喝了升（升），晚上喝的比早上多0.2升，那么晚上喝了升，早上和晚上共喝了升，加起来正好喝了这盒牛奶的一半，所以原来这盒牛奶的总量＝喝了的量×2，据此解答。 【详解】（升） （升） （升） 答：这盒牛奶原来一共有2升。 12．（1） （2） （3） （4）见详解 【分析】（1）把循环小数化成一般写法，然后设循环小数0.3…＝x，根据等式的性质，在等式两边同时乘10变为第二个算式，再根据等式的性质，在方程两边同时减去x，然后解方程即可； （2）把循环小数化成一般写法，然后设循环小数0.4343…＝x，根据等式的性质，在等式两边同时乘100变为第二个算式，再根据等式的性质，在方程两边同时减去x，然后解方程即可； （3）把循环小数化成一般写法，然后设循环小数5.24343…＝x，根据等式的性质，在等式两边同时乘10变为第二个算式，再根据等式的性质，在方程两边同时减去x，然后解方程即可； （4）根据题意和解题过程说出自己的发现即可。 【详解】（1）设0.3…＝x 10x＝3.33… 10x－x＝3 9x＝3 9x÷9＝3÷9 x＝ （2）设＝x ＝100x 100x－x＝43 99x＝43 99x÷99＝43÷99 x＝ （3）设＝x ＝10x ＝1000x 1000x－10x＝5191 990x＝5191 990x÷990＝5191÷990 x＝ （2）我发现纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。 【点睛】本题考查等式的性质，熟练运用等式的性质是解题的关键。 13．0.75 【分析】根据小数化分数的方法将0.125化为分数，再将分数的分子扩大到原来的3倍，分母缩小到原来的，最后将所得分数化为小数即可。 【详解】0.125＝ 1×3＝3 8×＝4 变化后的分数是，＝3÷4＝0.75。 答：变化后的分数化成小数是0.75。 【点睛】本题主要考查小数与分数的互化，解题的关键是将0.125化为最简分数。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$