（从课本到奥数）奥数专题第三讲：因数与倍数下-数学五年级下册人教版

从课本到奥数 五年级·下册 LOREM 第三讲 ：因数与倍数下 知识精讲 分解质因数. 我们知道了质数与合数的概念。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，比如.其中质数2,3,5,我们称之为30的质因数，那么像这样，把一个合数写成几个质数相乘的形式就叫做分解质因数。同学们请注意：分解式应该把质因数按从小到大的顺序写好，每个数分解质因数的形式是唯一的. 我们一般使用短除法来分解质因数.如下图所示，我们将30分解质因数，在计算的过程中要善用各种特殊数的整除特性. 100在分解质因数时可以写成：;280在分解质因数时可以写成.这种写法更简洁更方便，其中位于质因数右上角，表示质因数个数的数叫作指数，如： 这里280的分解式中5和7的指数都是1,写的时候可以省略. 找因数个数. 通过枚举的方法可以逐对写出一个数的所有因数，从而算出它的因数个数.但是对很大的数，例如20120000,用枚举来计算个数便很麻烦，所以我们要采用新的方法计算. 以72为例，首先采用枚举法可知72共12个因数，分别为1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72.因为72的因数能整除72,而72的所有质因数也都能整除72,所以对72进行分解质因数，有：,，那么72的所有因数中2的指数最低为0，最高为3，共4种情况；3的指数最低次为0，最高次为2，共3种情况.根据乘法原理，72的因数共(个)，见下表(注意、): 从72的这个例子，我们可以总结出计算因数个数的一个简单做法： 因数个数：等于质因数的指数加1再相乘， 例如：,M的因数个数为：. 若一个数是质数，那么它只有两个因数，就是1与本身，一个数的因数具有“可配对”的特点，在练习时大家可以发现，平方数在进行配对时会出现两个重复的数，所以平方数有奇数个因数，根据上面关于因数个数的知识我们可以知道，有奇数个因数的数一定是平方数，有偶数个因数的数一定不是平方数. 题型汇总 题型一：分解质因数 1．把下列各数分解质因数 18   81   100   129 【答案】18＝2×3×3                 81＝3×3×3×3 100＝2×2×5×5         129＝3×43 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式，据此把题中几个数字分解质因数。 【详解】 18＝2×3×3                 81＝3×3×3×3 100＝2×2×5×5         129＝3×43 2．将下面各数分解质因数。 39    18    45    80 【答案】见详解 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 【详解】39＝3×13 18＝2×3×3 45＝3×3×5 80＝2×2×2×2×5 题型二：分解质因数的实际应用 1．学校花圃种了几行玫瑰花，行数和每行玫瑰花的棵数都是质数。下面四名同学数出的玫瑰花总棵数都不相同，小宇数出68棵，小恒数出70棵，乐乐数出77棵，园园数出72棵。请问谁数对了呢？（每行玫瑰花的棵数相同） 【答案】乐乐数对了 【分析】因为行数和每行玫瑰花的棵树都是质数，可以分别把68、70、77和72这四个数分解质因数，判断哪个数可以分解成两个质数相乘的形式，那么这个数就是玫瑰花正确的总棵树。 【详解】68＝2×2×17 70＝2×5×7 77＝7×11 72＝2×2×2×3×3 这四个数中，只有77可以分解成两个质数相乘的形式，因此玫瑰花总棵树是77棵。 答：乐乐数对了。 2．甲、乙、丙三人去打靶，每人打一枪。三人各自打中环数之积是192，且三人的环数恰好是连续的偶数。这三人的环数分别是多少？ 【答案】4环；6环；8环 【分析】先将192分解质因数，把192写成连续的偶数的乘积的形式，可以得到这三个数分别是4，6，8，即这三人的环数。 【详解】192＝2×2×2×2×2×2×3＝（2×2）×（2×3）×（2×2×2）＝4×6×8 答：这三人的环数分别是4环，6环，8环。 题型三：分解质因数解决年龄问题 1．有4个小朋友，他们的年龄恰好是4个连续的自然数，他们的年龄的积是360，最大的小朋友多少岁？ 【答案】6岁 【分析】解答本题时首先把360分解质因数，然后把这些质因数转化为4个相邻的自然数。 【详解】根据分析可得： 360 ＝2×2×2×3×3×5 ＝3×（2×2）×5×（2×3） ＝3×4×5×6 所以这四个小朋友的年龄分别是3岁、4岁、5岁、6岁。 6＞5＞4＞3 答：最大的小朋友6岁。 【点睛】本题是一道分解质因数类型的题目，解决这类问题的关键是明确相邻自然数相差1；分解质因数就是把一个合数分解成几个质因数的乘积的形式。 2．三个小朋友，他们的年龄正好是三个连续的自然数，且他们年龄的积是60，这三个小朋友年龄最大的是多少岁？ 【答案】5岁 【分析】本题考查利用分解质因数解决问题，可先把60分解质因数，然后把结果写成三个连续自然数的积的形式，即可求得这三个小朋友中最大的年龄。 【详解】60＝2×2×3×5 ＝3×4×5     因为3＜4＜5 因此年龄最大的是5岁。 答：这三个小朋友年龄最大的是5岁。 【点睛】 题型四：因数个数定理 1．有一个自然数含有12个不同的因数，但质因数只有两个。这个自然数最小是 。 【答案】72 【分析】因数个数定理：一个自然数因数的个数等于它分解质因数后各质因数指数加1的和的乘积。例如36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36（共9个），分解质因数36＝2×2×3×3（质因数是2和3）写成乘方的形式（指数按从大到小的顺序）是36＝22×32，所以因数的个数（2＋1）×（2＋1）＝9。 设满足条件的最小数是n，n可以写成。根据上述定理，。通过满足条件的不同a和b的值，讨论出这个自然数是多少即可。 【详解】设满足条件的最小数是n，n可以写成，。 当b＝1，a＝5时，； 当b＝2，a＝3时，； 因为96大于72，所以这个自然数最小是72。 【点睛】本题考查因数个数定理的应用，熟悉因数的概念，分解是因数的方法及乘方的概念是解题的关键。 2．2250的因数共有多少个？所有因数的和是多少？ 【答案】24个；6084 【分析】 对于一个大于1的整数a可以分解质因数：a＝×××……，则a的约数的个数就是（r1＋1）（r2＋1）（r3＋1）……（rk＋1）。需要指出来的是，a1，a2，a3……ak都是a的质因数。r1，r2，r3……rk是a1，a2，a3……ak的指数。简单说就是：约数个数等于指数加1再相乘。这个整数a的所有约数和为：（）×（）×……×（）。 【详解】2250＝2×32×53 （1＋1）×（2＋1）×（3＋1） ＝2×3×4 ＝6×3 ＝24（个） （1＋2）×（1＋3＋9）×（1＋5＋25＋125） ＝3×13×156 ＝6084 答：2250的因数共有24个，所有因数的和是6084。 【点睛】熟练掌握约数个数与约数和公式是解答本题的关键。 跟踪训练 一、选择题 1．一个两位数，个位上与十位上的数字都是质数，它们的和是10，积是21，这样的数有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 2．把36分解质因数（    ）。 A．36＝1×36 B．36＝2×2×3×3 C．36＝4×3×3 3．将40分解质因数，下面选项正确的是（     ）。 A．40＝5×8 B．40＝5×4×2 C．40＝1×2×2×2×5 D．40＝2×2×2×5 4．永星小学五年级有4个班，五（1）班37人，五（2）班40人，五（3）班41人，五（4）班43人。能够把全班分成人数相同小组的是（    ）。 A．五（1）班 B．五（2）班 C．五（3）班 D．五（4）班 5．N＝2×2×3，它的全部因数有（    ）个。 A．3 B．5 C．6 6．如果A＝2×3×5，那么A的因数有（    ）个。 A．8 B．6 C．7 二、填空题 7．在括号里填合适的质数。 21＝( )＋( )＝( )×( ) 34＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( ) 72＝( )×( )×( )×( )×( ) 8．已知一个两位数“3□”是2和3的公倍数，□里最小填( )，把这个两位数分解质因数是( )。 9．小明、小红和小军三个人是好朋友，他们三个人的年龄的乘积正好是210，而且是三个连续的自然数，他们三个人的年龄分别是 、 、 。 10．甲数是一个质数，乙数是一个合数，它们的和是11，甲、乙两数相乘的积最小是( )，把这个乘积分解质因数是( )。 11．三个连续偶数的和是78，这三个连续的偶数中，最大的一个是( )，把它分解质因数是( )。 三、解答题 12．哥哥和妹妹的年龄是两个质数，已知这两个质数的积是85，则哥哥和妹妹分别是多少岁？ 13．明明翻开数学书，他发现把连续两个页码的数字相乘得420，求出这两页的页码分别是多少？ 14．甲乙两数的积是90168，已知乙数比甲数少187，问甲数是多少，乙数是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】个位上与十位上的数字都是质数，积是21，据此把21分解质因数为21＝3×7，而3＋7＝10，则这个两位数是37或73，据此解答。 【详解】通过分析可得：这样的数是37或73，有2个。 故答案为：B 2．B 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 【详解】把36分解质因数为：36＝2×2×3×3 故答案为：B 3．D 【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。 【详解】A．40＝5×8，8是合数，不是分解质因数； B．40＝5×4×2，4是合数，不是分解质因数； C．40＝1×2×2×2×5，1既不是质数也不是合数，不是分解质因数； D．40＝2×2×2×5，是分解质因数。 将40分解质因数，选项正确的是40＝2×2×2×5。 故答案为：D 4．B 【分析】这些班的人数中，是合数的可以分成每组人数相同的组数，是质数的就不能分成每组人数相同的组数。 【详解】40＝2×2×2×5 37＝1×37 41＝1×41 43＝1×43 40是合数，可以平均分成人数相同的小组，37、41、43是质数，不可以分成人数相同的小组，所以五（2） 班、可以平均分成人数相同的小组。 故答案为：B 【点睛】本题考查了根据质数和合数的性质进行求解。 5．C 【分析】先计算出N的值，然后根据列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。进而N判断有几个因数。 【详解】2×2×3＝12 N的值为12， 12＝1×12＝2×6＝3×4 据此可知，12有6个因数。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查了分解质因数的认识以及因数的求法。 6．A 【分析】A＝2×3×5＝30，根据找一个数因数的方法成对的找出30的因数即可。 【详解】A＝2×3×5＝30 30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 所以30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30共8个，即A的因数有8个。 故答案为：A。 【点睛】本题主要考查求一个数因数的方法。 7． 2 19 3 7 3 31 5 29 11 23 17 17 2 2 2 3 3 【分析】因数只有1和它本身两个数的数叫质数。看清楚是相加还是相乘，从最小的质数2尝试，找出几个质数相加或者找出几个质数相乘。 【详解】21＝2＋19＝3×7 34＝3＋32＝5＋29＝11＋23＝17＋17 72＝2×2×2×3×3 8． 0 30＝2×3×5 【分析】2和3的最小公倍数是：2×3＝6，这个两位数是2和3的公倍数，则这个数是6的倍数；将一个数分解质因数时，依次分解为几个质数相乘，据此可得出答案。 【详解】这个两位数是2和3的公倍数，根据2和3的最小公倍数是：2×3＝6，则这个两位数是6的倍数，则这个两位数最小是6×5＝30，即□里最小填0；分解质因数是：30＝2×3×5。 9． 5岁 6岁 7岁 【分析】根据题意，三个人的年龄的乘积正好是210，先用分解质因数的方法把210分解成若干个质数相乘的形式，再把这些质数重新组合，组合成三个连续的自然数即是他们三个人的年龄。 【详解】210＝2×3×5×7 其中2×3＝6 这三个连续自然数是5、6、7； 所以，他们三个人的年龄分别是5岁、6岁、7岁。 10． 18 18＝2×3×3 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。先把11拆分两个数相加，找出符合题意的所有情况，再找出最小的积即可；分解质因数是将合数写成几个质数相乘的形式表示出来。据此解答。 【详解】11＝1＋10＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6 符合题意的只有2＋9、3＋8、4＋7、5＋6； 2×9＝18 3×8＝24 4×7＝28 5×6＝30 18＜24＜28＜30 18＝2×3×3 甲数是一个质数，乙数是一个合数，它们的和是11，甲、乙两数相乘的积最小是18，把这个乘积分解质因数是18＝2×3×3。 【点睛】本题主要考查了质数、合数以及分解质因数的认识和应用，要熟练掌握每个知识点。 11． 28 28＝2×2×7 【分析】根据偶数的意义可知，每相邻的偶数相差2，设中间的偶数为x，则另外两个偶数为x－2，x＋2，三个偶数的和是78，列方程：x－2＋x＋x＋2＝78，解方程，即可求出最大的数；再根据分解质因数的方法：把一个合数写成几个质数相乘的形式，据此解答。 【详解】解：设中间的偶数为x，则另外两个偶数为：x－2；x＋2。 x－2＋x＋x＋2＝78 3x＝78 3x÷3＝78÷3 x＝26 最大的偶数：26＋2＝28 28＝2×2×7 三个连续偶数的和是78，这三个连续的偶数中，最大的一个是28，把它分解质因数是28＝2×2×7。 【点睛】本题考查方程的实际应用，利用偶数的意义列方程，解方程，以及分解质因数的方法进行解答。 12．哥哥17岁：妹妹5岁 【分析】把85写成两个质数相乘，其中较大的数是哥哥的年龄，较小的数是妹妹的年龄。 【详解】85＝17×5，所以哥哥17岁，妹妹5岁。 答：哥哥17岁，妹妹5岁。 【点睛】解答此题的关键在于知道85是两个质数17和5的积。 13．20页和21页 【分析】根据题意可知，把两个页码数相乘，积正好是420＝2×2×3×5×7，由于每页纸两面的页码相差1，根据420的质因数可得这两个数为3×7＝21与2×2×5＝20，由此即可解答。 【详解】分解420质因数，420＝2×2×3×5×7，又因为3×7＝21与2×2×5＝20，所以这两个相邻数页数是20和21。 答：这两页的页码分别是20页和21页。 【点睛】本题考查质因数分解的应用，关键要看清楚条件，两个页码是连续页码。 14．甲数是408，乙数是221 【详解】90168＝2×2×2×3×13×17×17＝221×408 221＋187＝408 所以甲数是408，乙数是221。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$