（从课本到奥数）奥数专题第六讲：长方体和正方体（三）-数学五年级下册人教版

从课本到奥数 五年级·下册 LOREM 第六讲 ：长方体和正方体（三） 知识精讲 长方体与正方体的体积公式的实际应用 长方体和正方体的体积. 长方体或正方体的底面的面积叫做底面积.在求长方体或者正方体的体积的时候，也可以用底面积乘高来计算.可以写成.其中的S表示长方体或者正方体的底面积. 等体积问题. 利用长方体和正方体的体积公式，可以解决一些实际问题，例如：熔铸问题，将正方体铁块熔铸成长方体铁块，如果不考虑损耗，铁块的体积是不变的.再如：将小水杯中的水，倒入大水杯中，水的体积也是不变的. 水中浸物 前面已经学习过正方体和长方体的体积公式，但是有一些物体既不是正方体也不是长方体，它们的体积该如何进行计算呢? 可以用排水法计算不规则物体的体积，例如称量一个铁球的体积，具体操作步骤如下：在一个容器内先装一定量的水，容器中的水要足够多，能够完全浸没被测物体，容器保证足够大，能够放下被测物体，并且浸没时水不会溢出. 首先先确定容器内水的体积，例如图1中烧杯内水的体积是300毫升，接下来将要称量的铁球浸没在水中，观察浸没后图2的水面高度对应的体积是500毫升，那么这个铁球的体积是(毫升). 求不规则物体的体积可以用排水法，物体的体积等于浸没在水中时水面上升的那部分的体积，即容器的底面积乘水面上升的高度. 题型汇总 题型一：长方体、正方体体积的实际应用 1．光明学校游泳池长40米，宽25米，深2米，要把游泳池四周及底面贴上瓷砖。 （1）一共需要贴多少平方米的瓷砖？ （2）为了学生的安全，游泳池的水位设定为1.2米，需要向水池注入多少立方米的水？ 【答案】（1）1260平方米 （2）1200立方米 【分析】（1）贴瓷砖的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答； （2）水位相当于长方体的高，根据长方体体积＝长×宽×高，求出注入的水的体积。 【详解】（1）40×25＋40×2×2＋25×2×2 ＝1000＋160＋100 ＝1260（平方米） 答：一共需要贴1260平方米的瓷砖。 （2）40×25×1.2＝1200（立方米） 答：需要向水池注入1200立方米的水。 2．下图是一块长方体木料。从这块木料上锯下一个最大的正方体。 （1）正方体木料的体积是多少立方厘米？ （2）剩余部分的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）1728立方厘米 （2）1152立方厘米 【分析】（1）长方体木料锯下最大的正方体，正方体的棱长＝长方体最短的棱，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，列式解答即可； （2）长方体体积＝长×宽×高，长方体体积－正方体体积＝剩余部分的体积，据此列式解答。 【详解】（1）12×12×12＝1728（立方厘米） 答：正方体木料的体积是1728立方厘米。 （2）20×12×12－1728 ＝2880－1728 ＝1152（立方厘米） 答：剩余部分的体积是1152立方厘米。 题型二：等体积问题-熔铸 1．把一个棱长为0.8米的正方体实心铁块，煅铸成一块宽为0.8米，高为0.4米的长方体实心零件（不计损耗）。 （1）长方体零件的长应是多少米？ （2）这个长方体零件的表面积是多少？ 【答案】（1）1.6米 （2）4.48平方米 【分析】（1）根据正方体的体积公式：V＝，代入数据求出正方体铁块的体积，熔铸后，体积不变，再根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可求出这个长方体铁块的长。 （2）根据长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，代入数据解答即可。 【详解】（1）0.8×0.8×0.8＝0.512（立方米） 0.512÷0.8÷0.4 ＝0.64÷0.4 ＝1.6（米） 答：长方体零件的长应是1.6米。 （2）（1.6×0.8＋0.8×0.4＋1.6×0.4）×2 ＝（1.28＋0.32＋0.64）×2 ＝（1.6＋0.64）×2 ＝2.24×2 ＝4.48（平方米） 答：这个长方体零件的表面积是4.48平方米。 2．把一块长是3分米、宽是6厘米、高是9厘米的长方体铁块，锻造成边长是3厘米的小正方体铁块，能锻造成多少块？ 【答案】60块 【分析】根据题意，3分米＝30厘米，结合长方体的体积公式：长×高×宽，先求出长方体铁块的体积，再根据正方体的体积公式：边长×边长×边长，用长方体的体积除以正方体的体积，即可求出答案。 【详解】3分米＝30厘米 30×6×9 ＝180×9 ＝1620（立方厘米） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（立方厘米） 1620÷27＝60（块） 答：能锻造成60块。 题型三：等体积问题-侧面竖起 1．有一个长方体容器（图1），长30厘米，宽20厘米，高10厘米，里面的水深6厘米。为了节约占地面积，把这个容器盖紧，再朝左竖起来（图2），里面的水深应该是多少？ 【答案】18厘米 【分析】首先要明确无论容器怎么放，里面的水的体积不变，先根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出容器中水的体积。把容器朝左竖起来时，左侧面成为长方体的底面，根据“长方体的体积＝底面积×高”，用水的体积除以左侧面面积（宽×高）即可求出这时的水深，如果让长10厘米、宽20厘米的面朝下，则这个面成为底面，同样用水的体积除以这个面的面积，即可求出这时水的深度。 【详解】30×20×6 ＝600×6 ＝3600（立方厘米） 3600÷（10×20） ＝3600÷200 ＝18（厘米） 答：里面的水深应该是18厘米。 2．在一个封闭的水箱内装入水，从里面量，水箱的长、宽、高如下左图所示。水深24厘米，如果把这个水箱立起来放（如下右图），这时水深有多少厘米？ 【答案】72厘米 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出左图形里水深24厘米的水的体积，由于体积不变，再用水的体积÷（右图的长×宽），即可求出这时水深，据此解答。 【详解】90×60×24÷（60×30） ＝90×60×24÷1800 ＝5400×24÷1800 ＝129600÷1800 ＝72（厘米） 答：这时水深72厘米。 题型四：水中浸物 1．在一个长80厘米、宽50厘米、高40厘米的长方体水箱中有30厘米深的水。如果在水中沉入一个棱长为20厘米的正方体铁块，这时水箱中水深多少厘米？ 【答案】32厘米 【分析】将水中沉入一个棱长为20厘米的正方体铁块，则水面上升的体积就是正方体的体积，根据，得出水上升的体积，长方体的体积＝底面积×高，长方体的底面积＝长×宽，那么用水上升的体积除以长方体的底面积，就是水面上升的高度，最后再加上原来水箱中水的高度就是现在水的深度。 【详解】20×20×20＝8000（立方厘米） 8000÷（80×50） ＝8000÷4000 ＝2（厘米） 30＋2＝32（厘米） 答：这时水箱中水深32厘米。 2．数学实践活动课上，王老师带来了甲、乙两个容器（已知两个容器中装有同样多的水，甲容器里面长30厘米，宽20厘米；乙容器内水高21厘米），并布置了一项实验活动。 实验内容：利用提供的辅助工具测量甲、乙容器中水的体积。 辅助工具：一块小石头、一把断尺、一支笔。 小明思考片刻后做起了实验，并很快计算出了两个容器中水的体积。下面是小明的实验过程和实验数据： 同学们，你知道小明是怎样求出乙容器中水的体积的吗？请在答题卡上写出计算过程。 【答案】见详解 【分析】两个容器中，水面上升的体积就是小石头的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，甲容器的长×宽×水面上升的高度＝小石头的体积，即乙容器水面上升的体积，乙容器水面上升的体积÷乙容器水面上升的高度＝乙容器的底面积，再用乙容器的底面积×原来的高，即可求出水的体积。 【详解】30×20×2÷3＝400（平方厘米） 400×21＝8400（立方厘米） 答：乙容器中水的体积是8400立方厘米。 跟踪训练 一、选择题 1．如图，在一个长方体玻璃容器里摆了若干个棱长为1厘米的小正方体，这个玻璃容器的容积是（    ）立方厘米。 A．72 B．75 C．90 D．108 2．一个长方体水箱，从里面量长5分米，宽4分米，高3分米，箱中水面高2分米，把一个棱长2分米的正方体铁块放入水箱，水面会上升多少分米？（    ） A．0.4分米 B．0.8分米 C．1.2分米 D．1.4分米 3．长方体的长，宽，高都扩大到原来的3倍，那么它的体积会扩大到原来的（    ）倍。 A．6 B．9 C．27 D．3 4．把64升水倒入一个长4分米，宽2.5分米，高8分米的长方体水箱中，这时水面距箱口多少分米？（    ） A．6.4 B．3.2 C．0.6 D．1.6 5．把一个棱长是8厘米的正方体钢锭，熔铸成一个长方体钢锭，已知长方体的长是5厘米，宽是8厘米，它的高是（    ）厘米。 A．12.6 B．12 C．9.6 D．12.8 二、填空题 6．一个长方体，长、宽、高分别为5m、1m和2m，如果把这个长方体平放在地面上，占地面积最大是( )m2，最小是( )m2，这个长方体的体积是( )m3。 7．要在平地上挖一个长20米、宽8米、深50厘米的长方体土坑，一共要挖出( )方的土，土坑占地面积是( )平方厘米。 8．一个棱长5厘米的正方体玻璃水箱，里面装有3厘米深的水，当把一块不规则的石头完全浸入水中后，水面上升到4厘米，这块石头的体积是( )立方厘米。 9．将一个棱长总和是60厘米的正方体实心铁块锻造成一个长是10厘米，宽是2厘米的长方体实心铁块，这个长方体铁块的高是( )厘米。 10．小丽有一个封闭的长方体容器（如下图），长4分米，宽1分米，高2分米，里面水深16厘米。现在她把这个容器的左侧面平放于桌面上。这时水深( )分米。 三、解答题 11．一根方钢的长是3米，它的横断面是一个边长为2分米的正方形。已知1立方分米的钢重7.8千克，这根方钢重多少千克？ 12．一个正方体铁块，棱长是4分米。把它锻造成长和宽分别是5分米、4分米的长方体，锻造成的长方体铁块的高是多少分米？（消耗的部分忽略不计） 13．一个长方体的体积是125立方厘米，底面积是25平方厘米。这个长方体的高是多少厘米？ 14．如图。如果长方体水箱的底面积是16平方分米，那么石块的体积是多少立方分米？ 15．在学过排水法测量体积之后，红红想测量家中一个土豆的体积。她拿出一个可封闭的长方体玻璃缸，并注入水，如下左图所示。可这时水面高度只有3厘米，放入土豆后无法淹没土豆。红红灵机一动，扣好盖子把玻璃缸立了起来，如下右图。请求出这个土豆的体积。    16．有甲、乙两个长方体容器，从甲容器内部量得长、宽、高分别为40厘米、10厘米、10厘米。将甲容器的右面作为底面，直立起来就是乙容器，已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。 （1）甲容器中水的体积是多少？ （2）现在把甲、乙两个容器放在同一桌面上，将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么乙容器中需要倒入多少毫升水？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】通过平移图形可知，这个长方体容器的里面的长是6厘米，宽是5厘米，高是3厘米，根据长方体的容积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】 （立方厘米） 所以，这个玻璃容器的容积是90立方厘米。 故答案为：C 2．A 【分析】水箱中的水面高度＝正方体铁块棱长，将正方体铁块放入水箱，铁块完全浸入水中，水面上升的体积就是铁块的体积，根据正方体棱长＝棱长×棱长×棱长，求出水面上升的体积，再根据长方体的高＝体积÷底面积，即可求出水面上升的高度。 【详解】2×2×2÷（5×4） ＝8÷20 ＝0.4（分米） 水面会上升0.4分米。 故答案为：A 3．C 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，原来长方体的体积＝长×宽×高，扩大后的长方体的体积＝长×3×宽×3×高×3，因此现在的体积会扩大到原来（3×3×3）倍，据此解答。 【详解】3×3×3＝27 因此它的体积会扩大到原来的27倍。 故答案为：C 4．D 【分析】水倒入长方体后，体积不变，变成一个长4分米，宽2.5分米的长方体，先求出64升水在长4分米，宽2.5分米，高8分米的长方体水箱中的高度，该高度＝水的体积÷长方体水箱的底面积，再用水箱的高度减去水的高度即可。 【详解】64升＝64立方分米 64÷（4×2.5） ＝64÷10 ＝6.4（分米） 8－6.4＝1.6（分米） 这时水面距箱口1.6分米。 故答案为：D 5．D 【分析】根据题意，正方体的钢锭的体积等于长方体钢锭的体积，根据得出正方体的体积是512立方厘米，即长方体的体积也是512立方厘米，根据，得出长方体的高＝体积÷长÷宽。 【详解】8×8×8＝512（平方厘米） 512÷5÷8＝12.8（厘米） 它的高是12.8厘米。 故答案为：D 6． 10 2 10 【分析】根据题意可知：这个长方体的最大面的面积＝长×高，最小面的面积＝宽×高，据此求出占地面积最大和最小的情况；长方体的体积＝长×宽×高，把数据代入公式解答即可。 【详解】5×2＝10（m2） 1×2＝2（m2） 5×1×2 ＝5×2 ＝10（m3） 一个长方体，长、宽、高分别为5m、1m和2m，如果把这个长方体平放在地面上，占地面积最大是10m2，最小是2m2，这个长方体的体积是10m3。 7． 80 1600000 【分析】第一问就是要求长方体的体积，根据1方＝1立方米，先把50厘米转化为0.5米，再根据，代入数据计算后把单位转化为方即可。 第二问就是要求长方体的底面积，土坑占地面积是一个长是20米，宽是8米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，再根据1平方米＝10000平方厘米，把单位转化为平方厘米即可。 【详解】50厘米＝0.5米 （立方米）＝80（方） （平方米）＝1600000（平方厘米） 要在平地上挖一个长20米、宽8米、深50厘米的长方体土坑，一共要挖出80方的土，土坑占地面积是1600000平方厘米。 8．25 【分析】这块石头的体积＝上升的水的体积。根据题意，上升的水的形状是长5厘米，宽5厘米，高（4－3）厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出这块石头的体积。 【详解】5×5×（4－3） ＝5×5×1 ＝25（立方厘米） 则这块石头的体积是25立方厘米。 9．6.25 【分析】已知正方体实心铁块的棱长总和是60厘米，根据正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出正方体铁块的棱长；再根据正方体的体积公式V＝a3，求出铁块的体积。 已知把这块正方体实心铁块锻造成一个长方体实心铁块，铁块的体积不变；根据长方体的高＝体积÷长÷宽，求出长方体铁块的高。 【详解】60÷12＝5（厘米） 5×5×5＝125（立方厘米） 125÷10÷2 ＝12.5÷2 ＝6.25（厘米） 这个长方体铁块的高是6.25厘米。 10．3.2 【分析】长方体容器中水的形状是长4分米，宽1分米，深16厘米（即1.6分米）的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，可以求出容器中水的体积。把这个容器的左侧面平放于桌面上，水的体积不变，这时长是2分米，宽是1分米，用求得的水的体积连续除以2和1，即可求出水深的高度。 【详解】16厘米＝1.6分米 4×1×1.6÷2÷1 ＝6.4÷2÷1 ＝3.2（分米） 则这时水深3.2分米。 11．936千克 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，根据题意可知，方钢的长是2分米，宽是2分米，高是3米，根据1米＝10分米，将单位统一，再代入数据，求出方钢的体积，再用方钢的体积乘7.8，即可求出方钢的重量。 【详解】3米＝30分米 2×2×30×7.8 ＝120×7.8 ＝936（千克） 答：这根方钢重936千克。 12．3.2分米 【分析】由题意得，正方体变成长方体体积不变，可用正方体棱长求出正方体体积，正方体体积即是长方体体积。再用长乘宽求出长方体底面积，最后用体积除以底面积即可求出高。据此解答。 【详解】43÷（5×4） ＝64÷（5×4） ＝64÷20 ＝3.2（分米） 答：锻造成的长方体铁块的高是3.2分米。 13．5厘米 【分析】根据长方体的高＝体积÷底面积，列式解答即可。 【详解】125÷25＝5（厘米） 答：这个长方体的高是5厘米。 14．11.2立方分米 【分析】据题意可知，石块的体积等于上升的水的体积，用水箱的底面积乘上升的水的高度，即可得解。 【详解】 （立方分米） 答：石块的体积是11.2立方分米。 15．600立方厘米 【分析】先分析左图情况：左图中玻璃缸长30厘米，宽10厘米，水面高度3厘米。根据长方体体积公式：长方体体积＝长×宽×高，此时水的体积为30×10×3＝900（立方厘米）； 再分析右图情况：右图中玻璃缸长10厘米，宽10厘米，水面高度15厘米。此时水和土豆的总体积为10×10×15＝1500（立方厘米）； 最后求土豆体积：用右图中水和土豆的总体积减去左图中水的体积，即土豆的体积为1500－900＝600（立方厘米） 【详解】计算左图水的体积： V1＝30×10×3 ＝300×3 ＝900（立方厘米） 计算右图水和土豆总体积： V2＝10×10×15 ＝100×15 ＝1500（立方厘米） 土豆体积：V＝V1－V2＝1500－900＝600（立方厘米） 这个土豆的体积为600立方厘米。 16．（1）2000立方厘米 （2）400毫升 【分析】（1）从图中可以看出，甲容器装水的体积等于甲容器体积的一半，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 （2）从图中可知，甲容器的底面积是（40×10）平方厘米；将甲容器的右面作为底面，直立起来就是乙容器，则乙容器的底面积是（10×10）平方厘米； 将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使得甲、乙容器中的水面一样高，则水的体积不变，水的高度一样，那么可以把甲、乙两个容器看作一个底面积为甲、乙两个底面积之和的容器； 根据长方体的高h＝V÷S，代入数据计算求出容器中水的高度；再根据长方体的体积公式V＝abh，求出乙容器中水的体积。注意单位的换算：1立方厘米＝1毫升。 【详解】（1）40×10×10÷2 ＝400×10÷2 ＝4000÷2 ＝2000（立方厘米） 答：甲容器中水的体积是2000立方厘米。 （2）2000÷（40×10＋10×10） ＝2000÷（400＋100） ＝2000÷500 ＝4（厘米） 10×10×4 ＝100×4 ＝400（立方厘米） 400立方厘米＝400毫升 答：乙容器中需要倒入400毫升水。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$