（从课本到奥数）奥数专题第八讲：公因数与公倍数-数学五年级下册人教版

从课本到奥数 五年级·下册 LOREM 第八讲 ：公因数与公倍数 知识精讲 短除法. 公因数就是几个数公共的因数，其中最大的一个称为最大公因数；公倍数就是几个数公共的倍数，其中最小的一个称为最小公倍数.特别的，1为所有数的公因数. 1、2、3和6都是24和30的公因数，6是最大公因数.可以发现1，2，3和6都是6的因数. 12和18的公倍数有36,72,108,…36是最小公倍数.可以发现36,72,108及其他公倍数都是36的倍数. 通常，我们把两个数a,b的最大公因数记为(a，b)；a，b的最小公倍数记作[a，b].三个数a,b,c的最大公因数记为(a，b，c)；a，b，c的最小公倍数记作[a，b，c].如：14和21的最大公因数是7,记作：；14和21的最小公倍数是42，记作：[14，21]=42.15，10，21的最大公因数是1，记作：；15，10，21的最小公倍数是210，记作[15，10，21]=210. 若两个数互质，那么它们的最大公因数就是1,最小公倍数就是它们的乘积；若两个数成倍数关系，那么它们的最大公因数就是较小的那个数，最小公倍数就是较大的那个数. 在现实生活中我们常常会用到几个数的最大公因数和最小公倍数，那么我们怎样来求几个数的最大公因数和最小公倍数呢?除了直接枚举之外，最常用的方法是“短除法”. 分解质因数法. 分解质因数法比较实用，也利于我们分析数的构成. 公因数与公倍数的应用. 学习了如何求公因数与公倍数，接下来看一下在实际生活中如何运用公因数与公倍数解决问题. 题型汇总 题型一：短除法求最大公因数与最小公倍数 1．求下面各组数的最大公因数和最小公倍数． 45和9             24和16 【答案】 45和9的最大公因数是3×3＝9． 45和9的最小公倍数是3×3×5×1＝45． 24和16的最大公因数是2×2×2＝8． 24和16的最小公倍数是2×2×2×3×2＝48． 2．求下列各组数的最大公因数和最小公倍数． 36和54                  19和57 【答案】 36和54的最大公因数是2×3×3＝18，最小公倍数是2×3×3×2×3＝108． 19和57的最大公因数是19，最小公倍数是19×3＝57． 题型二：分解质因数法求最大公因数与最小公倍数 1．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 6和18 18和24 35和84 【答案】6；18； 6；72； 7；420； 【分析】两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答；同时考查了求两个数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数；最小公倍数为较大的数。 【详解】6和18是倍数关系，最大公因数是6，最小公倍数是18；   18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 最大公因数6，最小公倍数72； 35＝5×7 84＝2×2×3×7 最大公因数7，最小公倍数420。 【点睛】本题考查了最大公因数和最小公倍数的知识点，根据定义仔细解答即可。 2．写出下面每组数的最小公倍数和最大公因数： 20和30    65和39      8和6     7和11    60和12． 【答案】①20=2×2×5 30=2×3×5 最大公约数是2×5=10 最小公倍数是2×2×5×3=60 ②65=5×13 39=3×13 最大公因数是13 最小公倍数是3×5×13=195 ③8=2×2×2，6=2×3 最大公因数是2 最小公倍数是2×2×2×3=24 ④7和11是互质数 最大公因数是1 最小公倍数是7×11=77 ⑤60是12的倍数 最大公因数是12 最小公倍数是60． 【详解】试题分析：对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；对于两个数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数；是互质数的两个数，它们的最大公约数是1，最小公倍数即这两个数的乘积． 解：①20=2×2×5 30=2×3×5 最大公约数是2×5=10 最小公倍数是2×2×5×3=60 ②65=5×13 39=3×13 最大公因数是13 最小公倍数是3×5×13=195 ③8=2×2×2，6=2×3 最大公因数是2 最小公倍数是2×2×2×3=24 ④7和11是互质数 最大公因数是1 最小公倍数是7×11=77 ⑤60是12的倍数 最大公因数是12 最小公倍数是60． 【点评】此题主要考查了求两个数的最大公因数和最小公倍数：对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；对于两个数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数；是互质数的两个数，它们的最大公约数是1，最小公倍数即这两个数的乘积． 题型三：公因数与公倍数的实际应用 1．淘气和笑笑都很喜欢阅读。淘气每3天去一次图书馆，笑笑每4天去一次图书馆。5月31日他们一起去了图书馆，那么6月份有哪几天他们都去了图书馆？ 【答案】6月12日和6月24日 【分析】因为6月份有30天，分别列出3和4的倍数，找出它们在30以内的公倍数，也就是它们间隔多少天两人又同时去图书馆，据此解题即可。 【详解】3的倍数有：3、6、9、12、15、18、21、24、27… 4的倍数有：4、8、12、16、20、24、28… 所以30以内的3和4的公倍数有12和24， 5月31日＋12天＝6月12日 5月31日＋24天＝6月24日 答：6月份的6月12日、6月24日他们都去了图书馆。 【点睛】此题考查用求公倍数的方法解决生活中的实际问题，注意结合题目的实际，在特定范围内求公倍数。 2．甲、乙、丙三人定期去图书馆，甲每8天（中间空7天，下同）去一次，乙每6天、丙每4天各去一次，在2月份的最后一天，三人刚好都去了图书馆。那么从3月1日到12月31日，甲、乙、丙三人中有人去图书馆的日子有多少天？ 【答案】102天 【分析】甲每8天去一次，丙每4天各去一次，因此甲去图书馆的日子丙肯定去图书馆，所以直接计算丙去图书馆的日子，不用考虑甲的次数；然后计算乙去图书馆的天数，最后算总天数的时候要注意减去乙、丙共去的天数即可。 【详解】总天数：31＋30＋31＋30＋31＋31＋30＋31＋30＋31＝306（天） 306÷4＝76（天）……2（天） 306÷6＝51（天） [4，6]＝12 306÷12＝25（天）……6（天） 76＋51－25 ＝127－25 ＝102（天） 答：甲、乙、丙三人中有人去图书馆的日子有102天。 题型四：公因数与公倍数中的植树问题 1．长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红色点，同时自右向左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点将木棍逐级锯开，那么长度是4厘米的短木棍有多少根？ 【答案】根 【分析】根据题意，画出涂色示意图如下；由于100是5的倍数，所以自右向左每隔5厘米染一个红点相当于自左向右每隔5厘米染一个红点。而每隔30厘米可得到2个4厘米的短木棍。最后（100－30×3）厘米也可以得一个短木棍，故4厘米的短木棍共有：（根）。 【详解】画出涂色示意图如下： 可知，每（5×6）厘米里可以锯2个4厘米的短木棍； 100÷30＝3（个）……10（厘米） 剩下的10厘米还可以锯出1个4厘米长的短木棍。 2×3＋1＝7（根） 答：长度是4厘米的短木棍有7根。 【点睛】由于100是5的倍数，所以自右向左每隔5厘米染一个红点相当于自左向右每隔5厘米染一个红点，这是解题的关键。画涂色示意图发现，这是一个周期为5与6最小公倍数的周期问题。 2．在一根长100厘米的木棍上，从左到右每隔6厘米染上一个红点，同时从右到左每隔5厘米也染上一个红点，然后在红点处把木棍逐段锯开，那么长度为2厘米的短木棍有多少根？ 【答案】6根 【分析】因为100能被5整除，所以从右到左每隔5厘米染上一个红点也可以看作是自左至右每隔5厘米染上一个红点，于是我们可以看作是从同一端点开始染色，6与5的最小公倍数是30，即在30厘米的地方，染两次红色，这样染色就会出现循环，每一周期的长度是30厘米；100÷30＝…3（个）……10（米），共有3个周期余10米，每一周期中有2段长度为2厘米的木棍，如第1周期中，6×2﹣5×2＝2（厘米），5×4﹣6×3＝2（厘米）；剩余10厘米中两个红点之间的长度都不是2厘米，所以锯开后长度2厘米的短木棍共有2×3＝6（根）；据此即可解答。 【详解】100÷30＝…3（个）……10（米） 2×3＝6（根） 答：长度为2厘米的短木棍有6根。 【点睛】解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色，转化为自左向右的染色，便于利用最小公倍数发现周期现象，化难为易。 跟踪训练 一、选择题 1．36是2和18的（    ）。 A．公倍数 B．公因数 C．最小公倍数 D．最大公因数 2．一个比20小的偶数，它有因数3，又是4的倍数（    ）。 A．12 B．16 C．15 D．18 3．多功能教室长12米，宽8米，计划在地面上铺方砖，要求都用整块的方砖，且恰好铺满，方砖的边长可以是（    ）。 A．70厘米 B．80厘米 C．60厘米 D．90厘米 4．一筐鸡蛋，2个2个地数、3个3个地数、4个4个地数、5个5个地数，都正好数完而没有剩余，这筐鸡蛋最少有(    )个． A．30 B．60 C．120 D．90 5．甲每3天去少年宫一次，乙每4天去一次，丙每6天去一次，如果6月1日甲、乙、丙同时去少年宫，则下次同去少年宫应是（ ） A．6月12日 B．6月13日 C．6月24日 D．6月25日 二、填空题 6．两个数的最大公因数是18，这两个数的公因数有( )。 7．12和18的最小公倍数与最大公因数的差是 。 8．甲、乙两数的最大公因数是8，甲＞乙，但甲不是乙的倍数。若甲＋乙＝80，那么甲、乙的差是 。 9．两个数的最大公因数是12，最小公倍数是72，如果其中一个数是24，则另一个数是( )． 10．m、n是非零自然数，如果m=n+1,那么m和n的最小公倍数是( )，如果m=7n，那么m和7的最大公因数是( )． 三、计算题 11．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数． 24和16     32 和63       35和28 四、解答题 12．五（1）班的学生人数比40人多，比60人少，每7人一小组正好分完，每8人一小组也正好分完，五（1）班有多少人？ 13．淘气和笑笑都很喜欢阅读。淘气每3天去一次图书馆，笑笑每4天去一次图书馆。5月31日他们一起去了图书馆，那么6月份有哪几天他们都去了图书馆？ 14．朱老师拿了一摞练习本，如果平均分给第一小组的5个同学，可以正好分完；如果平均分给第二小组的8个同学，也可以正好分完。这摞练习本至少有多少本？ 15．已知自然数、满足以下两个性质：⑴ 、不互素；⑵、的最大公约数与最小公倍数之和为35．那么+的最小值是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】36＝2×18，36是2的倍数、也是18的倍数，所以36是2和18的公倍数，据此解答即可。 【详解】因为，所以36是2和18的公倍数。 故答案为： 【点睛】本题主要考查公倍数的意义，注意掌握两个数的乘积和这两个数的公倍数的关系。 2．A 【分析】根据偶数的意义，在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，又因为它有因数3，又是4的倍数，首先找出20以内3、4的倍数，进而找出的它们的公倍数，解答即可。 【详解】20以内3的倍数有：3、6、9、12、15、18； 20以内4的倍数有：4、8、12、16、20； 所以20以内既有因数3，又是4的倍数的数是12。 故答案为：A 【点睛】此题考查的目的是理解倍数、公倍数的意义，掌握求两个数的公倍数的方法。 3．B 【分析】如果都用整块的方砖，且恰好铺满，应先找到12和8的公因数，它们的公因数应该是方砖边长的倍数。 【详解】12和8的公因数有1、2、4，所以边长的若干倍是1米、2米、4米即100厘米、200厘米、400厘米，当边长是80厘米时，400能被80整除，400÷80＝5，也就是都使用整块的方砖，且恰好铺满。 故答案为：B 【点睛】本题还可以先统一单位，然后用长、宽同时除以每一个选项，如果没有余数，就是所求答案。 4．B 【详解】略 5．B 【分析】根据题意，是求3、4、6的最小公倍数，就是求4、6的最小公倍数，首先把这两个数分解质因数，它们的公有质因数和各自独有质因数的乘积就是它们的最小公倍数，然后进行推算日期即可．此题属于求最小公倍数问题，求3个数的最小公倍数，利用分解质因数的方法，它们的公有质因数和各自独有质因数的乘积就是它们的最小公倍数． 【详解】解：把4、6分解质因数： 4=2×2； 6=2×3； ~4、6的最小公倍数是：2×2×3=12； 他们再过12天同去少年宫； 1+12=13（日），即6月13日． 故选B． 6．1，2，3，6，9，18 【分析】根据公因数的意义可知两个数的公因数即为最大公因数18的因数，只要找出18的因数即可。 【详解】18的因数：1、2、3、6、9、18。 【点睛】此题主要考查学生对最大公因数的理解与认识。 7．30 【分析】用质因数分解法求最大公因数： 全部共有的质因数相乘的积就是这几个数的最大公因数。 用质因数分解法求最小公倍数的方法： 全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 先分别求出12和18的最小公倍数与最大公因数，用最小公倍数减最大公因数即可解答。 【详解】12＝2×2×3 18＝2×3×3 2×3＝6 2×3×2×3＝6×6＝36 36－6＝30 12和18的最小公倍数与最大公因数的差是30。 8．32 【分析】甲、乙两数的最大公因数是8，则甲是8的倍数，乙也是8的倍数。可以设甲是8，乙是8，且m和n互质。再根据8m＋8n＝80，得出m和n的和是10，找出和是10的两个自然数，且这两个数互质，就是m和n的值，再乘8得出甲乙两个数的值，最后相减即可。 【详解】设甲是8，乙是8（，互质） 甲＋乙＝8＋8＝80 ＋＝10 10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5，只有3＋7符合条件。 所以甲＝8×3＝24 乙＝8×7＝56 56－24＝32 则甲、乙的差是32。 9．36 【详解】略 10． mn 7 【详解】略 11．8和48  32和64  7和140 【详解】略 12．56人 【分析】先求出7、8的最小公倍数，再找到7、8的公倍数在40人到60人以内的最多的数即为所求。 【详解】7、8是一组互质数，所以它们的最小公倍数是7×8＝56 答：五（1）班有56人。 【点睛】此题考查了公倍数问题，解答该题关键是会求两个数的最小公倍数，并用它解决实际问题。 13．6月12日和6月24日 【分析】因为6月份有30天，分别列出3和4的倍数，找出它们在30以内的公倍数，也就是它们间隔多少天两人又同时去图书馆，据此解题即可。 【详解】3的倍数有：3、6、9、12、15、18、21、24、27… 4的倍数有：4、8、12、16、20、24、28… 所以30以内的3和4的公倍数有12和24， 5月31日＋12天＝6月12日 5月31日＋24天＝6月24日 答：6月份的6月12日、6月24日他们都去了图书馆。 【点睛】此题考查用求公倍数的方法解决生活中的实际问题，注意结合题目的实际，在特定范围内求公倍数。 14．40本 【详解】5的倍数有：5，10，15，20，25，30，35，40…… 8的倍数有：8，16，24，32，40，48，56，64…… 5和8共同的倍数中最小的是40。 答：这摞练习本至少有40本。 15．25 【详解】因为、的最大公约数与最小公倍数的和是35，所以35是两数最大公约数的倍数．它们的最大公约数可能是5和7（因为两数不互质，所以不为1）．如果、的最大公约数是5，则、的最小公倍数是30，此时有=10、=15或=5、=30；如果、地最大公约数是7，则、的最小公倍数是28，此时有=7、=28． 所以＋的最小值为． 【点睛】、的最大公约数一定是它们最小公倍数的约数．充分应用最大公约数与最小公倍数的关系，并分类讨论多种可能性，考察推理思维的周密性和严谨性，最终找到最小值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$