第09讲 因式分解（9个知识清单+11类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪科版2024）

第09讲 因式分解 课程标准 学习目标 1 因式分解的意义 2公因式 3因式分解-提公因式法 4因式分解-运用公式法 5提公因式法与公式法的综合运用 6因式分解-分组分解法 7因式分解-十字相乘法等 8实数范围内分解因式 9 完全平方公式分解因式 1、认知目标： （1）理解因式分解的概念和意义。 （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。 2、能力目标：由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。 3、情感目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。 4、【教学重点、难点】 重点是因式分解的概念； 难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。 知识点01 因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 【即学即练1】 1．（2022春•肥东县期末）若多项式能因式分解成，则等于　　 A． B． C．12 D．6 【分析】多项式是完全平方式时能够利用完全平方公式因式分解，完全平方式为，本题中的是公式中的，6是公式中的，由此确定中间项．注意中间项有两种情况． 【解答】解：， 能因式分解成， ， 当时，， ， 当时，， ， 由此得出，． 故选：． 【点评】本题考查的是能利用完全平方公式进行因式分解的多项式具有的特征．能根据完全平方公式求出参数的取值，考虑到可能为正数也可能为负数是本题的关键． 【即学即练2】 2．（2022春•宣州区校级期中）先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式等于整式与整式之积，则称整式和整式为整式的因式． 如：①因为，所以4和9是36的因数； 因为，所以和是的因式． ②若是的因式，则求常数的值的过程如下： 解：是的因式 存在一个整式，使得 当时， 当时， （1）若是整式的一个因式，则　3　． （2）若整式是的因式，求的值． 【分析】（1）根据②中的例子，类比可得结论； （2）根据多项式乘法将等式展开有：，根据当时，，则①，当时，，则②，联立可求常数，的值．可得结论． 【解答】解：（1）是整式的一个因式， 存在一个整式，使得， 当时，， 当时，， ， ； 故答案为：3； （2）整式是， 存在一个整式，使得， 当时，， 即， 则①， 当时，， 即， 则②， 联立①②解得，． ． 【点评】本题考查了因式分解的意义和算术平方根，主要考查学生的理解能力和阅读能力，题目比较好，运用类比的方法解决问题． 知识点02公因式 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 【即学即练1】 3．（2022春•定远县校级月考）若的公因式是，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据公因式是各项中都含有的因式，可得答案． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查了公因式，分解因式是解题关键，注意第一项的负号要提取． 【即学即练2】 4．（谯城区期中）的公因式是　　． 【分析】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解． 【解答】解：原式． 所以公因式为． 【点评】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式． 知识点03因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 【即学即练1】 5．（2023春•宣城期末）计算结果是　　 A． B． C． D． 【分析】原式提取公因式，计算即可求出值． 【解答】解：原式 ． 故选：． 【点评】此题考查了因式分解提公因式法，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【即学即练2】 6．（2023春•阜南县校级期末）分解因式：　　． 【分析】直接提取公因式进行分解因式即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 知识点04因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 【即学即练1】 7．（2023春•裕安区校级期末）用公式法分解因式：①；②；③；④其中，正确的有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用完全平方公式，平方差公式进行分解，逐一判断即可解答． 【解答】解：①，故①不正确； ②，故②正确； ③，故③不正确； ④，故④正确； 所以，其中正确的有2个， 故选：． 【点评】本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式，平方差公式的特征是解题的关键． 【即学即练2】 8．（2022•庐阳区校级开学）阅读下列材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你用“整体思想”解答下列问题： （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）计算：． 【分析】（1）原式利用完全平方公式分解即可； （2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可； （3）原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ． 【点评】此题考查了因式分解运用公式法，弄清题中的方法是解本题的关键． 知识点05提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 【即学即练1】 9．（2023春•滁州期末）下列因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】将各项因式分解后进行判断即可． 【解答】解：，则不符合题意； ，则不符合题意； ，则不符合题意； ，则符合题意； 故选：． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，特别注意因式分解必须彻底． 【即学即练2】 10．（2021春•瑶海区校级期末）分解因式：　　． 【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式， 故答案为： 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 知识点06因式分解-分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 【即学即练1】 11．（2022•庐阳区校级开学）下列因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用提取公因式法、分组分解法、公式法分别对每一个选项中的多项式进行因式分解，再进行判断即可． 【解答】解：，故不符合题意； ，故不符合题意； ，故不符合题意； ，故符合题意； 故选：． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法、分组分解法、公式法进行因式分解是解题的关键． 【即学即练2】 12．（2021春•裕安区期末）将下列各式因式分解： （1）； （2）． 【分析】（1）首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可； （2）首先利用完全平方公式分解，然后利用平方差公式进行分解即可． 【解答】解：（1）； （2）． 【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练运用乘法公式是解题的关键． 知识点07因式分解-十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 【即学即练1】 13．（2023春•瑶海区期末）已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 　　． 【分析】依据题意，，结合二次三项式，可得，，进而得解． 【解答】解：由题意得， ． 又， ，． ，． ． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了因式分解的意义，需要熟练掌握并理解． 【即学即练2】 14．（2023春•定远县校级期中）若，则常数的值是 　　． 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算求解． 【解答】解： ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查多项式乘多项式的运算，掌握运算法则是解题基础． 知识点08实数范围内分解因式 实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）， 一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式． 例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解 x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣） 【即学即练1】 15．下列多项式不能在实数范围内进行因式分解的是　　 A． B． C． D． 【分析】对每个选择支因式分解，可得结论． 【解答】解：， ， ． 故选项、、都能在实数范围内因式分解． 在实数范围内不能因式分解． 故选：． 【点评】本题考查了多项式的因式分解，掌握因式分解的方法是解决本题的关键． 【即学即练2】 16．（2023春•蜀山区校级月考）若，，则　　． 【分析】先提取公因式，再代入，再求出答案即可． 【解答】解：，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了分解因式，能正确分解因式是解此题的关键． 知识点09因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 【即学即练1】 17．（2022•长丰县校级模拟）已知实数，，满足：，，则　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】利用等式的性质，不等式的性质，可得到与0的关系，排除法，排除、，再利用因式分解，配方法，判断、中正确的． 【解答】解：，， ，， ， ，即， 、选项错误； ， 不能确定与0的大小关系， 选项错误； 正确； 故选：． 【点评】本题考查了因式分解的应用，不等式，做题的关键是掌握因式分解，不等式的性质． 【即学即练2】 18．（2023春•裕安区校级期末）已知，，则代数式　　． 【分析】求出，可得结论． 【解答】解：，， ， ． 【点评】本题考查了因式分解的应用，准确代入并计算是解题关键． 题型01 公因式 1．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公因式 【分析】此题考查了找公因式，关键是掌握找公因式的方法．根据公因式的找法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的可得答案． 【详解】解：根据题意可知，多项式的公因式是：． 故选C． 2．多项式2ax2﹣12axy中，应提取的公因式是 ． 【答案】2ax． 【知识点】公因式 【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定出公因式． 【详解】∵2ax2-12axy=2ax（x-6y）， ∴应提取的公因式是2ax． 故答案为2ax． 【点睛】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）相同字母的最低指数次幂． 题型02提公因式法分解因式 3．（22-23七年级下·安徽滁州·阶段练习）把分解因式，正确的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】直接提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解： ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 4．（23-24七年级下·安徽六安·期末）因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）阅读下列分解因式的过程，回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是_______，共应用了_______次； (2)若将分解因式，则需要应用上述方法________次，试写出分解因式的过程． 【答案】(1)提公因式法，2； (2)2024，过程见解析． 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】（1）根据阅读因式分解的过程即可得结论； （2）根据阅读材料的计算过程进行解答即可； 本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解法． 【详解】（1）解：根据题意，上述分解因式的方法是：提公因式法 共应用了2次提公因式 （2）原式＝ ＝ ＝ …… ＝ 需要应用上述方法2024次． 题型03 综合提公因式和公式法分解因式 6．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）下列因式分解中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了公式法提公因式法分解因式，运用提公因式法时，注意各项符号的变化，运用公式法的时候，注意公式的结构特征．根据完全平方公式和平方差公式，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】 解：A、应为，故本选项错误； B、应为，故本选项错误； C、应为，故本选项错误； D、，正确． 故选：D． 7．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了分解因式，能提取公因式的先提取公因式，再利用平方差或完全平方公式进行分解即可，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． 先提取公因式x，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 8．（23-24七年级下·安徽六安·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）提公因式后利用平方差公式因式分解即可； （2）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 题型04 因式分解在有理数简算中的应用 9．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）运用因式分解计算：的结果为（    ） A．314 B．264 C．256 D．300 【答案】A 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题主要考查了分解因式的应用，用提公因式分解因式，然后进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 10．（七年级下·安徽宿州·期中）运用公式法计算： 【答案】40000. 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【详解】试题分析：先将-401拆成-2×201+1，然后与2012构成完全平方式，从而即可得. 试题解析：原式= 题型05 十字相乘法 11．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 【答案】B 【知识点】因式分解的应用、十字相乘法 【分析】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．能够得出、之积为，、之和为是解题的关键．把分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【详解】解：时，； 时，； 时，； 时，； 的取值有4个． 故选：． 12．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）分解因式： ． 【答案】 【知识点】十字相乘法、提公因式法分解因式 【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 13．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】 （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； 【拓展提升】 （3）结合本题知识，分解因式：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）将看成一个整体，再利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3） 题型06 分组分解法 14．（七年级下·安徽安庆·期末）分解因式 ． 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】先利用完全平方公式分解因式，然后利用平方差公式继续分解． 【详解】解：原式＝． 故答案为. 【点睛】本题考查了分组分解法，公式法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能否进行下一步分解． 15．（2024七年级下·安徽·专题练习）（1）分解因式： （2）计算： 【答案】（1）；（2）6 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、分组分解法 【详解】本题考查了因式分解、乘方、零次幂及负整数指数幂等运算， （1）先分组分解，再提取公因式分解即可． （2）先按照偶次方、零次幂及负整数指数幂的运算法则计算，再求和即可． 【分析】解：（1） ． （2） ． 题型07 因式分解的应用 16．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）若k为任意整数，则的值总能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】C 【知识点】平方差公式分解因式、因式分解的应用 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练应用平方差公式分解因式． 根据平方差公式分解因式后判断出的值总能被哪个数整除即可． 【详解】解：∵ ， ∴k为任意整数，的值总能被5整除． 故选：C． 17．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）如图，两个正方形的边长分别为m，n，若，，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【知识点】因式分解的应用、提公因式法分解因式 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及三角形面积、正方形面积，熟练掌握提公因式分解因式是解题关键．先表示阴影部分的面积为，再进一步的运算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 18．（23-24七年级下·浙江·阶段练习）请阅读下面材料，并解答问题： 阅读材料：利用多项式乘法法则可知，所以因式分解． 例如：． 利用以上的因式分解可以求出方程的解，如：，所以可知或者，解得或者，所以方程的解是或者． (1)因式分解： ①． ②． (2)利用因式分解求方程的解． 【答案】(1)①；② (2)或 【知识点】因式分解的应用、一元一次方程解的综合应用 【分析】本题是阅读材料问题，考查了因式分解的应用和解一元一次方程，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据材料方法进行因式分解即可； （2）利用因式分解先将方程左边化为两个一元一次方程，可得方程的解． 【详解】（1）解：①， ②； （2）， ， 或， 或， 方程的解是或． 题型08 平方差公式分解因式 19．（23-24七年级下·安徽六安·期末）若，则k的值为（    ） A．204 B．202 C．200 D．101 【答案】A 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解—平方差公式．利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A 20．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）分解因式： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 21．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）利用完全平方公式可将二次三项式进行配方，再根据平方差公式因式分解，例如： ．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)根据完全平方公式，将下列式子配方成的形式： ①_________，②_________； (2)利用“配方法”因式分解： ①；②． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了多项式的因式分解．利用完全平方公式：配方是解题关键． （1）配方时，先加上的平方，再减去这个平方数；配方时，先加上的平方，再减去这个平方数； （2）①仿照示例利用完全平方公式进行配方变形，即可求解； ②仿照示例利用完全平方公式进行配方变形，即可求解． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：①；②； （2）解：① ； ② ． 题型09 完全平方公式分解因式 22．（21-22七年级下·安徽六安·阶段练习）下列各式中可以利用公式法分解因式的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】运用完全平方公式处理； 【详解】解：A. ，不符合完全平方式特征，本选项不合题意； B. ，不符合完全平方式特征，本选项不合题意；     C. ，不符合完全平方式特征，本选项不合题意；     D. ，符合完全平方式特征，本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查完全平方公式因式分解；掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 23．（21-22七年级下·安徽淮北·期末）因式分解： ． 【答案】/ 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】先根据单项式乘以多项式展开，然后根据完全平方公式因式分解即可求解． 【详解】解：原式＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式是解题的关键． 24．（23-24七年级下·安徽六安·期末）（1）计算： （2）分解因式： 【答案】（1）；（2） 【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解及其应用，熟记乘法公式是解答的关键． （1）提公因式即可简化运算求值； （2）先根据多项式乘多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：（1）计算：； （2）分解因式：． 题型10综合运用公式法分解因式 25．（七年级下·安徽淮北·期末）下列因式分解中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】十字相乘法、综合运用公式法分解因式 【分析】根据因式分解的方法逐项分析即可. 【详解】A. ，故错误；     B. ，故错误； C. ，故错误；     D. ，正确； 故选D. 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止. 26．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）把下列各式分解因式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 题型11已知因式分解的结果求参数 27．（20-21七年级下·安徽合肥·期末）若多项式可分解为，且，，均为整数，则的值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】已知因式分解的结果求参数、计算多项式乘多项式 【分析】把用多项式乘法计算出来对比原式，结合题中条件，分析，，的值． 【详解】解：∵ 又 ∴， ∵，，均为整数， ∴或， ∴或． 故选C． 【点睛】本题考查多项式的乘法，因式分解的概念，熟练多项式的乘法根据条件求出，的值是解题的关键． 28．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ． 【答案】9 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】把展开，求出、的值，计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了整式的乘法和因式分解，解题关键是熟练运用整式乘法法则进行计算． 29．（2024七年级下·安徽·专题练习）已知关于、的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求的值． 【答案】6 【知识点】已知因式分解的结果求参数、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用；由想到设原式，然后利用多项式相等的知识进行解题． 【详解】解：， 设原式， 即， ，， ，， ． 答：的值为6． 一、单选题 1．若ab＝－3，a－2b＝5，则a2b－2ab2的值是(　　) A．－15 B．15 C．2 D．－8 【答案】A 【分析】直接将原式提取公因式ab，进而分解因式得出答案． 【详解】因为. 故答案选：A． 【点睛】本题主要考查用提公因式法分解因式，解题的关键是正确掌握找公因式的方法. 2．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是(     ) A．a2－b2 B．a2－2ab－b2 C．a2－2ab＋42 D．a2＋ab＋b2 【答案】A 【分析】根据①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍进行分析即可． 【详解】解：：A、符合平方差公式特点，故此选项正确， B、三项，平方项为异号，不符合完全平方公式特点，故此选项错误， C、三项，中间一项不是这两数积的2倍，不符合完全平方公式特点，故此选项错误， D、三项，中间一项不是这两数积的2倍，不符合完全平方公式特点，故此选项错误， 故选A． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，能否用公式法进行因式分解关键看是否符合相关公式的特点，熟记平方差公式，完全平方公式的结构是解题的关键． 3．已知不论x为何值，x2-kx-15=（x+5）（x-3），则k值为 A．2 B．-2 C．5 D．-3 【答案】B 【详解】∵x2-kx-15=(x+5)(x-3)=x2+2x-15， ∴k=-2. 故选B. 点睛：因式分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出k的值即可． 4．有一个因式是，则另一个因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先因式分解，再确定另一因式． 【详解】解：， ∴另一个因式为D． 【点睛】本题考查多项式因式分解，掌握因式分解方法是解题关键． 5．若是的因式，则的值是（    ） A．4 B．6 C．－4 D．－6 【答案】D 【分析】利用因式分解与整式乘法的恒等关系计算解答即可． 【详解】∵多项式因式分解后有一个因式为， ∴设另一个因式是，即＝＝， 则， 解得：， 故答案为：D． 【点睛】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 6．因式分解6abc－4a2b2c2＋2ac2时应提取的公因式是(　　)． A．abc B．2a C．2c D．2ac 【答案】D 【分析】数字因式的公因式为2，字母因式的公因式取各项均有的字母，且该字母的指数要取各项最低. 【详解】解：该多项式中，三个单项式的数字公因式为2，字母公因式为ac，则应提取的公因式是2ac， 故选择D. 【点睛】本题考查了提公因式时公因式的确定. 7．下列因式分解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案． 【详解】A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 8．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（    ） A．4x2+1 B．9a2b2-3ab+1 C．x2-x+ D．-x2-y2 【答案】C 【分析】利用平方差公式，完全平方公式判断即可． 【详解】解：A. 4x2+1，两个平方项，符号相同，不能因式分解； B. 9a2b2-3ab+1，有两个平方项，没有二倍项，不能因式分解； C. x2-x+=（x-）2，能用完全平方公式分解； D. -x2-y2，两个平方项，符号相同，不能因式分解； 故选：C． 【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键． 9．把多项式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）分解因式的结果(     ) A．8（7a-8b）（a-b） B．2（7a-8b）2 C．8（7a-8b）（b-a） D．-2（7a-8b） 【答案】C 【详解】把(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)运用提取公因式法因式分解即可得(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a) =(7a-8b)(3a-4b-11a+12b) =(7a-8b)(-8a+8b) =8(7a-8b)(b-a). 故选C. 10．设 是三角形的三边长，且满足，关于此三角形的形状有以下判断：①是直角三角形； ②是等边三角形； ③是锐角三角形；④是钝角三角形，其中正确的说法的个数有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先将原式转化为完全平方公式，再根据非负数的性质得出．进而判断即可． 【详解】∵， ∴， 即， ∴， ∴此三角形为等边三角形，同时也是锐角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，根据式子特点，将原式转化为完全平方公式是解题的关键． 二、填空题 11．分解因式：= ． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 12．因式分解： ． 【答案】 【分析】提公因式法和应用公式法因式分解． 【详解】解： ． 故答案为： 【点睛】本题考查因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 13．因式分解： ． 【答案】 【分析】先提取公因式，后采用公式法分解即可 【详解】∵ =-a = 故答案为: ． 【点睛】本题考查了因式分解，熟记先提取公因式，后套用公式法分解因式是解题的关键． 14．我们知道a(b＋c)＝ab＋ac，反过来则有ab＋ac＝a(b＋c)，前一个式子是整式乘法，后一个式子是因式分解．请你根据上述结论计算：20202－2020×2019＝ ． 【答案】2020 【分析】根据式子ab＋ac＝a(b＋c)的计算方法仿照进行计算即可得. 【详解】20202－2020×2019 =2020×（2020-2019） =2020， 故答案为2020. 【点睛】本题考查了提公因式法在计算中的应用，正确理解是解题的关键. 三、解答题 15．分解因式： （1）a3﹣4a； （2）（x+1）（x+2）+． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）综合利用提公因式法和平方差公式进行因式分解即可得； （2）先计算多项式的乘法与加法，再利用完全平方公式进行因式分解即可得． 【详解】解：（1）原式， ； （2）原式， ， ， ． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的各方法是解题关键． 16．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）；（7）；（8）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）． 【分析】直接利用利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：（1）＝； （2）＝； （3）＝； （4）＝； （5）＝； （6）＝； （7）＝； （8）＝． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 17．（1）能被1999整除吗？能被2000整除吗？ （2）能被4整除吗？ 【答案】（1）能被1999，2000整除；（2）能被4整除 【分析】（1）根据提公因式法分解因式把1999提出来，化为几个因式积的形式，从而可得到整除的结论； （2）根据提公因式法分解因式把提出来，化为几个因式积的形式，从而可得到整除的结论． 【详解】（1）因为， 所以能被1999，2000整除； （2）因为， 所以能被4整除． 【点睛】此题考查了因式分解在有理数混合运算中的运用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 18．（1）分解因式：20a﹣15ax             （2）分解因式：2a（b+c）﹣5（b+c） 【答案】解：（1）5a（4﹣3x）；（2）（b+c）（2a﹣5）； 【分析】根据提取公因式法分解因式即可得到结果． 【详解】解：（1）分解因式：20a﹣15ax＝5a（4﹣3x）； （2）分解因式：2a（b+c）﹣5（b+c）＝（b+c）（2a﹣5）． 【点睛】本题考查的是因式分解，解答本题的关键是熟练掌握把一个多项式进行因式分解，首先看这个多项式各项有无公因式，如果有，就先提取公因式． 19．用提公因式法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，掌握公因式的判定是解本题的关键； （1）提取公因式分解因式即可： （2）提取公因式分解因式即可： （3）提取公因式分解因式即可： （4）提取公因式分解因式即可： 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． （4） ． 20．已知，求和的值分别是多少？ 【答案】x=2;y=-3 【详解】试题分析：运用完全平方公式把x²+y²-4x+6y+13化成(x-2)²+(y+3)²的形式即可知答案. 试题解析：由x²+y²-4x+6y+13=0 ， 得(x-2)²+(y+3)²=0， ∴x-2=0，y+3=0， ∴x=2，y=-3. 【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 21．分解因式 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式2x，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）先进行展开，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可； （4）先利用完全平方公式分解括号内的整式，然后再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式= = （2）解：原式= = = （3）解：原式= = （4）解：原式= = = 【点睛】本题考查了因式分解的知识，熟练掌握因式分解的方法和步骤是解题的关键． 22．小亮在课余时间写了三个算式：．通过观察，小亮发现任意两个连续奇数的平方差是8的倍数 (1)的结果是8的几倍？ (2)设两个连续奇数为（n为正整数），写出它们的平方差，并判断其结果是否是8的倍数 【答案】(1)的结果是8的4倍 (2)，两个连续奇数的平方差是8的倍数 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是在有理数的运算和整式的运算中熟练应用完全平方公式和平方差公式． （1）通过计算即可得出答案； （2）应用因式分解的方法计算，据此可得出结论． 【详解】（1）解：． 故的结果是8的4倍． （2）解： ． 故两个连续奇数的平方差是8的倍数． 23．阅读下列材料． 形如型的二次三项式，有以下特点：①二项式的系数是1；②常数项是两个数之积：③一次项系数是常数项的两个因数的和，把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： 请利用上述方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照材料进行因式分解即可； （2）令仿照材料进行因式分解得，再将代回可得，同理对进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）令，则可得 ， 再将代回，得： 同理：， 即： 【点睛】此题考查了因式分解，弄清阅读材料中的规律是解本题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 因式分解 课程标准 学习目标 1 因式分解的意义 2公因式 3因式分解-提公因式法 4因式分解-运用公式法 5提公因式法与公式法的综合运用 6因式分解-分组分解法 7因式分解-十字相乘法等 8实数范围内分解因式 9 完全平方公式分解因式 1、认知目标： （1）理解因式分解的概念和意义。 （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。 2、能力目标：由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。 3、情感目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。 4、【教学重点、难点】 重点是因式分解的概念； 难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。 知识点01 因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 【即学即练1】 1．（2022春•肥东县期末）若多项式能因式分解成，则等于　　 A． B． C．12 D．6 【即学即练2】 2．（2022春•宣州区校级期中）先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式等于整式与整式之积，则称整式和整式为整式的因式． 如：①因为，所以4和9是36的因数； 因为，所以和是的因式． ②若是的因式，则求常数的值的过程如下： 解：是的因式 存在一个整式，使得 当时， 当时， （1）若是整式的一个因式，则　　． （2）若整式是的因式，求的值． 知识点02公因式 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 【即学即练1】 3．（2022春•定远县校级月考）若的公因式是，则等于　　 A． B． C． D． 【即学即练2】 4．（谯城区期中）的公因式是　　． 知识点03因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 【即学即练1】 5．（2023春•宣城期末）计算结果是　　 A． B． C． D． 【即学即练2】 6．（2023春•阜南县校级期末）分解因式：　　． 知识点04因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 【即学即练1】 7．（2023春•裕安区校级期末）用公式法分解因式：①；②；③；④其中，正确的有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练2】 8．（2022•庐阳区校级开学）阅读下列材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你用“整体思想”解答下列问题： （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）计算：． 知识点05提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 【即学即练1】 9．（2023春•滁州期末）下列因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 【即学即练2】 10．（2021春•瑶海区校级期末）分解因式：　　． 知识点06因式分解-分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 【即学即练1】 11．（2022•庐阳区校级开学）下列因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 【即学即练2】 12．（2021春•裕安区期末）将下列各式因式分解： （1）； （2）． 知识点07因式分解-十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 【即学即练1】 13．（2023春•瑶海区期末）已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 　　． 【即学即练2】 14．（2023春•定远县校级期中）若，则常数的值是 　　． 知识点08实数范围内分解因式 实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）， 一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式． 例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解 x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣） 【即学即练1】 15．下列多项式不能在实数范围内进行因式分解的是　　 A． B． C． D． 【即学即练2】 16．（2023春•蜀山区校级月考）若，，则　　． 知识点09因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 【即学即练1】 17．（2022•长丰县校级模拟）已知实数，，满足：，，则　　 A．， B．， C．， D．， 【即学即练2】 18．（2023春•裕安区校级期末）已知，，则代数式　　． 题型01 公因式 1．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．多项式2ax2﹣12axy中，应提取的公因式是 ． 题型02提公因式法分解因式 3．（22-23七年级下·安徽滁州·阶段练习）把分解因式，正确的结果是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·安徽六安·期末）因式分解： ． 5．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）阅读下列分解因式的过程，回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是_______，共应用了_______次； (2)若将分解因式，则需要应用上述方法________次，试写出分解因式的过程． 题型03 综合提公因式和公式法分解因式 6．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）下列因式分解中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）分解因式： ． 8．（23-24七年级下·安徽六安·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 题型04 因式分解在有理数简算中的应用 9．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）运用因式分解计算：的结果为（    ） A．314 B．264 C．256 D．300 10．（七年级下·安徽宿州·期中）运用公式法计算： 题型05 十字相乘法 11．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 12．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）分解因式： ． 13．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】 （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； 【拓展提升】 （3）结合本题知识，分解因式：． 题型06 分组分解法 14．（七年级下·安徽安庆·期末）分解因式 ． 15．（2024七年级下·安徽·专题练习）（1）分解因式： （2）计算： 题型07 因式分解的应用 16．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）若k为任意整数，则的值总能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 17．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）如图，两个正方形的边长分别为m，n，若，，则图中阴影部分的面积为 ．    18．（23-24七年级下·浙江·阶段练习）请阅读下面材料，并解答问题： 阅读材料：利用多项式乘法法则可知，所以因式分解． 例如：． 利用以上的因式分解可以求出方程的解，如：，所以可知或者，解得或者，所以方程的解是或者． (1)因式分解： ①． ②． (2)利用因式分解求方程的解． 题型08 平方差公式分解因式 19．（23-24七年级下·安徽六安·期末）若，则k的值为（    ） A．204 B．202 C．200 D．101 20．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）分解因式： ． 21．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）利用完全平方公式可将二次三项式进行配方，再根据平方差公式因式分解，例如： ．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)根据完全平方公式，将下列式子配方成的形式： ①_________，②_________； (2)利用“配方法”因式分解： ①；②． 题型09 完全平方公式分解因式 22．（21-22七年级下·安徽六安·阶段练习）下列各式中可以利用公式法分解因式的是（        ） A． B． C． D． 23．（21-22七年级下·安徽淮北·期末）因式分解： ． 24．（23-24七年级下·安徽六安·期末）（1）计算： （2）分解因式： 题型10综合运用公式法分解因式 25．（七年级下·安徽淮北·期末）下列因式分解中正确的是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）把下列各式分解因式． (1) (2) 题型11已知因式分解的结果求参数 27．（20-21七年级下·安徽合肥·期末）若多项式可分解为，且，，均为整数，则的值是（    ） A．2 B．4 C． D． 28．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ． 29．（2024七年级下·安徽·专题练习）已知关于、的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求的值． 一、单选题 1．若ab＝－3，a－2b＝5，则a2b－2ab2的值是(　　) A．－15 B．15 C．2 D．－8 2．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是(     ) A．a2－b2 B．a2－2ab－b2 C．a2－2ab＋42 D．a2＋ab＋b2 3．已知不论x为何值，x2-kx-15=（x+5）（x-3），则k值为 A．2 B．-2 C．5 D．-3 4．有一个因式是，则另一个因式为（    ） A． B． C． D． 5．若是的因式，则的值是（    ） A．4 B．6 C．－4 D．－6 6．因式分解6abc－4a2b2c2＋2ac2时应提取的公因式是(　　)． A．abc B．2a C．2c D．2ac 7．下列因式分解正确的是（ ） A． B． C． D． 8．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（    ） A．4x2+1 B．9a2b2-3ab+1 C．x2-x+ D．-x2-y2 9．把多项式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）分解因式的结果(     ) A．8（7a-8b）（a-b） B．2（7a-8b）2 C．8（7a-8b）（b-a） D．-2（7a-8b） 10．设 是三角形的三边长，且满足，关于此三角形的形状有以下判断：①是直角三角形； ②是等边三角形； ③是锐角三角形；④是钝角三角形，其中正确的说法的个数有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．分解因式：= ． 12．因式分解： ． 13．因式分解： ． 14．我们知道a(b＋c)＝ab＋ac，反过来则有ab＋ac＝a(b＋c)，前一个式子是整式乘法，后一个式子是因式分解．请你根据上述结论计算：20202－2020×2019＝ ． 三、解答题 15．分解因式： （1）a3﹣4a； （2）（x+1）（x+2）+． 16．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）；（7）；（8）． 17．（1）能被1999整除吗？能被2000整除吗？ （2）能被4整除吗？ 18．（1）分解因式：20a﹣15ax             （2）分解因式：2a（b+c）﹣5（b+c） 19．用提公因式法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 20． 已知，求和的值分别是多少？ 21．分解因式 (1) (2) (3) (4)． 22．小亮在课余时间写了三个算式：．通过观察，小亮发现任意两个连续奇数的平方差是8的倍数 (1)的结果是8的几倍？ (2)设两个连续奇数为（n为正整数），写出它们的平方差，并判断其结果是否是8的倍数 23．阅读下列材料． 形如型的二次三项式，有以下特点：①二项式的系数是1；②常数项是两个数之积：③一次项系数是常数项的两个因数的和，把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： 请利用上述方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$