6.2.4 组合数（同步教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

人教A版（2019）选择性必修第三册 第六章计数原理 6.2.4 组合数 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 题型探究 方法归纳 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.理解组合和组合数的概念，能够区分组合数和组合； 2.通过探索排列和组合的关系，利用计数原理推导组合数公式； 3.通过组合数的计算，体会“数学运算”，通过探索排列和组合的关系，体会“逻辑推理” 类比排列数，我们引进组合数概念： 情景导入 思考： 探究 前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数 来求组合数 呢? 3个不同元素a, b, c中取出2个共有ab, ac, bc 3个不同的组合， 4个不同元素a, b, c, d中取出3个共有abc, abd, acd, bcd 4个不同的组合， 4个不同元素a, b, c, d中取出3个元素的排列数为 3个不同元素a, b, c中取出2个元素的排列数为 下面我们就来探究 新知探究 从3个不同元素a, b, c中取出2个元素 从4个不同元素a, b, c, d中取出3个元素 组合 ab 排列 ac bc ab ba ac ca bc cb 由此可得 组合 abc 排列 abd acd abc acb bac bca cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bcd bdc cbd cdb dbc dcb 由此可得 这里的n, m∈N*，并且m≤n，这个公式叫做组合数公式. 组合数公式： 另外，我们规定 所以上面的公式还可以写成 概念归纳 例题讲解 思考：观察例的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现? （1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法? 例7 在100件产品中, 有98件合格品, 2件次品. 从这100件产品中任意抽出3件. (1) 有多少种不同的抽法? (2) 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3) 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 解： (1) 所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为 (2) 从2件次品中抽出1件的抽法有 种，从98件合格品中抽出2件的抽法有 种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为 例题讲解 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为 （3）解1(直接法)： 解2(间接法)： 抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即 解： 1. 计算： 课堂练习 证明： 2. 求证： 3. 有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩. (1) 共有多少种不同的选法? (2) 如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法? (3) 如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法? 解： 题型1　组合数公式的应用 题型探究方法归纳 【例2】某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问： (1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？ 题型2　有限制条件的组合问题 【例2】某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问： (1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？ 有限制条件的组合问题分类及解题策略 有限制条件的抽(选)取问题， 主要有两类：一是“含”与“不含”问题， 其解法常用直接分步法， 即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取， 分步计数．二是“至多”“至少”问题， 其解法常有两种解决思路：①直接分类法， 但注意分类要不重不漏；②间接法， 注意找准对立面， 确保不重不漏． 【例3】将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中． (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ 题型3　分组、分配问题 20 【例3】将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中． (4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ (5)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种 放法？ 【例题迁移1】　(变换条件)将例3的条件变为“将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子”，求每个盒子都不空的种数． 【例题迁移2】　(改变问法)例题迁移1的条件不变，将问题变为“求恰有一个空盒子的种数”． 分组与分配问题的解法 (1)分组问题属于组合问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于排列问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． 易错警示　注意组合数中字母的取值范围 易错防范：运用组合数公式时，必须注意其中对字母取值范围的限制． 习题 3.壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值? 由于四张人民币的面值都不相同，组成的面值与顺序无关，所以可以分为四类面值，分别由1张、2张、3张、4张人民币组成，共有不同的面值 4.填空： （1）有三张参观卷，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ； （2）要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数是 ； （3）5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是 ； （4）集合A有m个元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数 是 . mn 5．一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上． （1）如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的放法？ （2）如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法？ 6.（1）空间有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，一共可以作多少个平面? （2）空间有10个点，其中任何4点不共面，以每4个点为顶点作一个四面体，一共可以作多少个四面体? （1）由“三个不共线的点确定一个平面”，所确定的平面与点的顺序无关，所以共可确定的平面数是 7．在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法? 9. 学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，共有多少种不同的排法? 10．班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学组成一支代表队，与其他小组进行辩论赛． （1）每个小组的代表队有多少种选法？ （2）如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组的代表队有多少种选法？ （3）如果每支代表队还要分别指定第一、二、三、四辩手，那么每个小组的代表队有多少种选法？ 11．一个数阵有m行n列，第一行中的n个数互不相同，其余行都由这n个数以不同的顺序组成．如果任意两行的顺序都不相同，那么m可以取多大的值？ 12．（1）从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比500 0000大的正整数． 13.从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，问： （1）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法? （2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法? （3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要1人在内，有多少种选法? 13.从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，问： （4）如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法? 14．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会． （1）如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？ （2）如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？ 15．从含有3件次品的100件产品中，任意抽取5件进行检验． （1）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？ （2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有多少种？ （4）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？ 17. 现有五种不同的颜色要对如图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法? 可以按照I，II，III，IV的顺序分别着色： 分别有5，4，3，3种方法， 所以着色种数有 5×4×3×3＝180（种）. 18．移动互联网给人们的沟通交流带来了方便．某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流．如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到．现有一个10人的“群”，其中1人在平台上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有多少种？ 群里有3人看到了，说明发信息这人在群里的“好友”有3～9人， 19. 甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次. 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”. 从以上回答分析，5人的名次排列有多少种不同情况? 性质1 性质2 组合数的性质： 1. 组合数公式： 规定 性质1 性质2 2. 组合数的性质： 课堂小结 (2)因为2C＜3C，所以2C＜3C. 所以＜3×.所以＜. 又因为所以x≥2.所以2≤x＜. 因为x∈N*， 所以x＝2,3,4,5.所以不等式的解集为{2,3,4,5}． 【例1】(1)求值：C＋C＋C＋…＋C. (2)解不等式：2C＜3C. 解：(1)C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋…＋C ＝C ＝ ＝5 985. 组合数公式的选取 (1)组合数公式C＝一般用于计算，而组合数公式C＝一般用于含字母的式子的化简与证明． (2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数C的隐含条件m≤n，且m，n∈N*；组合数的性质C＝C. 解：(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家外的6人中选取4人，有C种选法，所以共有CC＝90种抽调方法． (2)方法一(直接法)　按选取的外科专家的人数分类： ①选2名外科专家，共有CC种选法； ②选3名外科专家，共有CC种选法； ③选4名外科专家，共有CC种选法． 所以至少有2名外科专家的抽调方法共有CC＋CC＋CC＝185(种)． 方法二(间接法)　没有外科专家的抽调方法有C种，有1名外科专家的抽调方法有CC种，所以至少有2名外科专家的抽调方法共有C－C－CC＝185(种)． (3)至多有2名外科专家的抽调方法有C＋CC＋CC＝115(种)． 解：(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256种放法． (2)这是全排列问题，共有A＝24种放法． (3)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投入方法有2种，故共有C·2＝8种放法． (4)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个，由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有CC＝12种放法． (5)(隔板法)先将编号为1,2,3,4的4个盒子分别放入0,1,2,3个球，再把剩下的14个球分成四组，即在○○○○○○○○○○ ○○○○这14个球中间的13个空中放入三块隔板，共有C＝286种放法． 解：先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C＝10(种)． 解：恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|○|○○○|○○|，有C种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒， 如|○|○○○||○○|，有C种插法，故共有C·C＝40(种)． 【例4】已知－＝，求m. 错解：由组合数公式得， －＝， 化简得m2－23m＋42＝0，∴m＝21或m＝2. 正解：依题意，m的取值范围是{m|0≤m≤5，m∈N*}． 原等式化为－＝，化简得m2－23m＋42＝0，解得m＝21或m＝2. 因为0≤m≤5，m∈N*，所以m＝21应舍去，所以m＝2. 易错辨析　忽略元素无序，造成计数重复 【例5】5本不同的书全部分给4名同学，每名同学至少一本，不同的分法种数为________． 解析：先把5本书分成4堆，然后分给4名同学．第1步，从5本书中任意取出2本捆绑成一个整体，有C种方法．第2步，把4堆书分给4名同学，有A种方法．由分步乘法计数原理知，不同的分法种数为C·A＝240. 答案：240 【易错警示】 解答此题时易得到如下错解： 先从5本书中取4本分给4名同学，有A eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(5)) 种方法，剩下的1本书可以给任意一名同学，有4种分法，不同的分法种数为4×A eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(5)) ＝480. 该解题过程中出现了重复选取的情况．设5本书分别为a，b，c，d，e，4名同学分别为甲、乙、丙、丁．按照上述分法可能有如下的表1和表2： 表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书e给甲；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书a给甲．从结果上看以上两种情况是完全相同的，而在计数时把它们当成了不同的情况，造成重复计数． 纠错心得 对于元素无序的分配问题，一般不能采用分步计数，而是采取先选后排的方法，即可避免重复计数． $$