第09讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（春季讲义）-2024-2025学年高一数学春季讲义（人教A版2019必修第二册）

第09讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 【人教A版2019】 模块一 平面 1．平面 (1)平面的概念 生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平 面”就是从这样的一些物体中抽象出来的. (2)平面的画法 ①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. ②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所 示，常把平行四边形的一边画成竖向. (3)平面的表示方法 平面一般用希腊字母表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶 点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. 2．点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的 集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“∈”“∉”表示，直线与平面之间的位置关系用符号表示. 3．三个基本事实及其推论 (1)三个基本事实及其表示 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A,B,C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且 P ∈β⇒ α∩β=l,且P∈l. (2)三个基本事实的作用 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面. 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. (3)基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉a⇒a与A共面于平面α,且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=P⇒a与b共面于平面α,且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b⇒直线a,b共面于平面α,且平面唯一. 4．共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内. (2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 5．平面分空间问题 一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢? (1)两个平面有两种情形： ①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)； ②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2). (2)三个平面有五种情形： ①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)； ②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)； ③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)； ④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)； ⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5). 【题型1 平面的基本性质及推论】 【例1.1】（23-24高二上·上海浦东新·期末）下列条件不能确定一个平面的是（    ） A．不共线三点 B．直线和直线上一点 C．两条平行直线 D．两条相交直线 【例1.2】（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【变式1.1】（24-25高二上·四川达州·期中）下列说法中正确的是（   ） A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．两个互异平面和有三个不共线的交点 【变式1.2】（23-24高一下·四川德阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．平面，使得有且只有一个公共点 B．若直线平面，则 C．三平面最多把空间分成7部分 D．若3个平面两两相交，且交线互不相同，则3条交线互相平行或交于一点 【题型2 空间中的点共线、点（线）共面问题】 【例2.1】（2024·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 【例2.2】（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（    ）    ①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2.1】（24-25高一·全国·课后作业）如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 【变式2.2】（24-25高二上·上海·单元测试）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【题型3 空间中的线共点问题】 【例3.1】（24-25高一·全国·课后作业）在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG=P，则点P（    ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．在直线AC或BD上 D．不在直线AC上，也不在直线BD上 【例3.2】（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（    ） A．过点B B．不一定过点B C．的延长线与的延长线的交点在上 D．的延长线与的延长线的交点在上 【变式3.1】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【变式3.2】（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 【题型4 平面分空间的区域数量】 【例4.1】（2024·广东广州·模拟预测）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（2024·四川内江·三模）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式4.1】（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）空间四个平面最多能把空间分成 部分． 【变式4.2】（2024·河北石家庄·模拟预测）金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成 部分（用数字作答）． 【题型5 由平面的基本性质作截面图形】 【例5.1】（23-24高二下·浙江杭州·期末）在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【例5.2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知正方体棱长为2，E为棱的中点，则经过三点的正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（2024·新疆阿克苏·一模）已知，，是正方体的棱，，的中点，则平面截正方体所得的截面是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式5.2】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 模块二 空间点、线、面之间的位置关系 1．空间中直线与直线的位置关系 (1)三种位置关系 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种： (2)异面直线的画法 为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示. 2．空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线在平面内 有无数个公共点 直线与平面相交 有且只有一个公共点 直线与平面平行 没有公共点 3．空间中平面与平面的位置关系 (1)两种位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 (2)平行平面的画法技巧 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行. 【题型6 直线与直线的位置关系】 【例6.1】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知空间中的三条直线l、m、n，若l与m异面，且l与n异面，则m与n（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．均有可能 【例6.2】（23-24高二下·云南·期末）如图，在正方体中，直线与直线BD（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 【变式6.1】（24-25高二上·上海·期中）已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【变式6.2】（2024高二上·北京·学业考试）如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（    ） A．与直线相交 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．与直线是异面直线 【题型7 直线与平面的位置关系】 【例7.1】（2024·上海长宁·二模）已知直线和平面，则下列判断中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例7.2】（23-24高二下·浙江舟山·期末）已知平面，直线，若且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7.1】（24-25高一·全国·课后作业）a，b是异面直线，P为空间中不在a，b上的一点，下列命题正确的个数为（    ） ①过点P总可以作一条直线和a，b都垂直； ②过点P总可以作一条直线和a，b都相交； ③过点Р总可以作一个平面和a，b都平行； ④过点Р总可以作一条直线与a，b之一垂直与另一条平行； ⑤过点Р总可以作一个平面与a，b之一垂直与另一条平行． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式7.2】（24-25高三上·浙江宁波·期末）如图， 在正方体中， 点分别为的中点， 设过点的平面为， 则下列说法正确的是（    ） A．在正方体中， 存在某条棱与平面平行 B．在正方体 中， 存在某条面对角线与平面平行 C．在正方体 中， 存在某条体对角线与平面平行 D．平面截正方体所得的截面为五边形 【题型8 平面与平面的位置关系】 【例8.1】（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例8.2】（23-24高一下·北京大兴·期末）已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8.1】（23-24高二上·上海徐汇·期中）已知两个不同平面和三条不重合的直线，则下列命题： （1）若，a ，则 且 . （2）若平面内有不在同一直线的三点到平面的距离都相等，则 ； （3）若分别经过两异面直线，且，则必与或相交； （4）若是两两互相异面的直线，则存在无数条直线与都相交. 其中正确的命题是（    ）. A．（1）（3） B．（2）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4） 【变式8.2】（24-25高二上·黑龙江大庆·开学考试）设是三条不同的直线，是两个不重合的平面，给定下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥. 其中为真命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 一、单选题 1．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．平行四边形是一个平面 B．任何一个平面图形都是一个平面 C．平静的太平洋面就是一个平面 D．一个平面可以将空间分成两部分 2．（24-25高三上·天津·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若且则 B．若则 C．若则 D．若则 3．（24-25高一下·全国·随堂练习）两个相交平面画法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·上海·模拟预测）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 7．（23-24高二下·江西南昌·期末）在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（    ） A．一定在直线上； B．一定在直线上； C．可能在直线上，也可能在直线上； D．不在直线上，也不在直线上． 8．（23-24高二上·黑龙江双鸭山·开学考试）一个正方体纸盒展开后如图所示，在关于原正方体纸盒的下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·广西南宁·期末）在空间中，设是不同的直线，表示不同的平面，则下列命题错误的是（   ） A．若 ，则 . B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 10．（23-24高一下·四川攀枝花·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B． C．，，三线共点 D． 11．（2024·江西景德镇·一模）如图，正方体的棱长为2，E，F，G，H分别是所在棱上的点，且满足 ，则（    ）    A．若四边形为矩形，则 B．若四边形为菱形，则E，G或F，H为所在棱中点 C．若四边形为菱形，则四边形的周长取值范围为 D．当且仅当E，F，G，H均为所在棱中点时，四边形为正方形 三、填空题 12．（24-25高二上·四川达州·期中）两个平面把空间最多分成 个部分. 13．（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，平面BMN截正方体所得截面为 . 14．（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知是两条不同的直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中不能推出的是 . ①，且；②，且；③，且；④，且. 四、解答题 15．（23-24高二·上海·课堂例题）已知直线和平面、，判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，，则； (2)若，，则； (3)若，，则． 16．（2024高一下·全国·专题练习）根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系. (1)点与直线； (2)点与直线； (3)点与平面； (4)点与平面； 17．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 18．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)若，判断四边形的形状： (2)证明：和是异面直线. 19．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 【人教A版2019】 模块一 平面 1．平面 (1)平面的概念 生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平 面”就是从这样的一些物体中抽象出来的. (2)平面的画法 ①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. ②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所 示，常把平行四边形的一边画成竖向. (3)平面的表示方法 平面一般用希腊字母表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶 点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. 2．点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的 集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“∈”“∉”表示，直线与平面之间的位置关系用符号表示. 3．三个基本事实及其推论 (1)三个基本事实及其表示 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A,B,C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且 P ∈β⇒ α∩β=l,且P∈l. (2)三个基本事实的作用 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面. 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. (3)基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉a⇒a与A共面于平面α,且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=P⇒a与b共面于平面α,且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b⇒直线a,b共面于平面α,且平面唯一. 4．共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内. (2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 5．平面分空间问题 一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢? (1)两个平面有两种情形： ①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)； ②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2). (2)三个平面有五种情形： ①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)； ②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)； ③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)； ④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)； ⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5). 【题型1 平面的基本性质及推论】 【例1.1】（23-24高二上·上海浦东新·期末）下列条件不能确定一个平面的是（    ） A．不共线三点 B．直线和直线上一点 C．两条平行直线 D．两条相交直线 【解题思路】根据确定平面的公理及其推论，即可判断． 【解答过程】经过不共线三点，有且只有一个平面，故A不符合题意； 经过直线和直线上一点，有无数个平面，故B符合题意； 经过两条平行直线，有且只有一个平面，故C不符合题意； 经过两条相交直线，有且只有一个平面，故D不符合题意． 故选：B． 【例1.2】（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【解题思路】根据平面基本事实可得正确的选项. 【解答过程】自行车的前轮、后轮、排脚与地面的三个接触点不在同一条直线， 它们可以确定一个平面，因此自行车就稳了， 故选：B. 【变式1.1】（24-25高二上·四川达州·期中）下列说法中正确的是（   ） A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．两个互异平面和有三个不共线的交点 【解题思路】根据点、线、面的位置关系依次判断各个选项即可. 【解答过程】对于A，共线的三点无法确定一个平面，A错误； 对于B，空间四边形不是平面图形，B错误； 对于C，梯形有一组对边互相平行，则四个顶点必然处于同一平面内，即梯形一定是平面图形，C正确； 对于D，两个互异平面若有交点，则所有交点必在同一条直线上，D错误. 故选：C. 【变式1.2】（23-24高一下·四川德阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．平面，使得有且只有一个公共点 B．若直线平面，则 C．三平面最多把空间分成7部分 D．若3个平面两两相交，且交线互不相同，则3条交线互相平行或交于一点 【解题思路】对于A，利用基本事实3分析即得；对于B，由直线平面的情况即可排除；对于C，结合长方体的模型即可排除；对于D，对于符合条件的情况，结合模型即可分析得到. 【解答过程】对于A，利用基本事实3知，平面如果有一个公共点，那么它们必有一条含该公共点的直线，故A错误； 对于B，由直线平面，则或与相交，当时，则有，故B错误； 对于C，当三个平面是长方体中两两垂直的平面时，可以将空间分成8部分，故C错误； 对于D，当3个平面两两相交，且交线互不相同时，则这3个平面可看成一个三棱柱或三棱锥的三个侧面， 利用棱柱与棱锥的定义可得，3条交线互相平行或交于一点，故D正确. 故选：D. 【题型2 空间中的点共线、点（线）共面问题】 【例2.1】（2024·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 【解题思路】对于AB，利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于C，利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断；对于D，举反例即可判断. 【解答过程】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以 四点共面，故AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，故C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，故D错误. 故选：D. 【例2.2】（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（    ）    ①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线． A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】推导出，，从而，由此能证明E，F，G，H四点共面；，从而直线EG与直线FH必相交，设交点为P，证明P点在直线上． 【解答过程】如图所示，      E，F分别为AB，AD的中点，∴，， 分别在，CD上，且，∴，， ∴，则E，F，G，H四点共面，说法①正确； ∵，四边形是梯形，不成立，说法②错误； 若直线与直线交于点P，则由，平面，得平面， 同理平面，又平面平面， ∴则P，A，C三点共线，说法③正确； 说法中正确的有2 个. 故选：C. 【变式2.1】（24-25高一·全国·课后作业）如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 【解题思路】（1）根据中位线及等比分点可得平行，进而可证四点共面； （2）结合面面位置关系可得证. 【解答过程】（1） 连接、，， 由，分别为，中点，则， 又，，则， ， 、、、四点共面. （2） 由，， 易知， 又，分别为，中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线、不平行， 设它们交点为，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即、必相交且交点在直线上． 【变式2.2】（24-25高二上·上海·单元测试）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【解题思路】（1）先证明两直线平行，再根据两平行线可确定一平面证明共面； （2）结合面面交线证明三点共线； （3）根据面面相交于一条直线，再证明三线交于一点； 【解答过程】（1）证明：因为EF是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面． （2）在正方体中，设平面为、平面BDEF为． 因为，所以．又，所以．所以Q是与的公共点． 同理，P也是与的公共点．所以． 又，所以，，且．则， 故P、Q、R三点共线． （3）因为且，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由，平面，得平面， 同理，点平面．又平面平面， 所以．所以DE、BF、三线交于一点M． 【题型3 空间中的线共点问题】 【例3.1】（24-25高一·全国·课后作业）在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG=P，则点P（    ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．在直线AC或BD上 D．不在直线AC上，也不在直线BD上 【解题思路】先说明点P在平面ABC，且在平面ACD上，进而得到答案. 【解答过程】如图，    ∵EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG=P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD． 又平面ABC∩平面ACD=AC，∴P∈AC. 故选：B． 【例3.2】（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（    ） A．过点B B．不一定过点B C．的延长线与的延长线的交点在上 D．的延长线与的延长线的交点在上 【解题思路】作出辅助线，得到，P，B，Q四点共面，即平面，又平面，所以；作出辅助线，得到平面，平面，故，同理D正确. 【解答过程】连接，，如图， 因为P，Q分别是棱，的中点， 由勾股定理得， 所以四边形是菱形， 所以，P，B，Q四点共面，即平面. 又平面，所以，故A结论正确，B结论错误. 如图，延长与的延长线交于点F，延长与的延长线交于点E. 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面，所以， 同理，故C，D正确. 故选：B. 【变式3.1】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【解题思路】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； 【解答过程】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴ . ∵四边形为平行四边形，∴ ， ∴ ， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴ ，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 【变式3.2】（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 【解题思路】（1）作出辅助线，由中位线得到平行关系及比例关系，进而得到，且，故四边形为梯形； （2）由（1）得到相交于一点，因为平面，平面，而平面平面，所以，证明出结论. 【解答过程】（1）由题意，作图如下： 连接、，因为空间四边形中，分别是的中点， 所以，且， 又因为，所以，且， 所以，且， 故四边形为梯形. （2）由（1）知四边形为梯形，且是梯形的两腰， 所以相交于一点. 设交点为， 因为平面，所以平面， 同理平面，而平面平面，所以， 故点是直线的公共点，即直线相交于一点. 【题型4 平面分空间的区域数量】 【例4.1】（2024·广东广州·模拟预测）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作出图形，可得出三个不互相重合的平面将空间所分成的部分数，即可得出的值. 【解答过程】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；    （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分.    （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分；    综上，可以为、、、部分，不能为部分， 故选：B. 【例4.2】（2024·四川内江·三模）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【解题思路】求出三个不同平面分空间所成的部分数即可得解. 【解答过程】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；    （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分； （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分，      所以三个不平面将空间分成、、、部分，的最小值与最大值之和为12. 故选：B. 【变式4.1】（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）空间四个平面最多能把空间分成 15 部分． 【解题思路】根据平面与平面的位置关系，结合题意，从而可得到结果． 【解答过程】三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分， 再作一个平面，与三个平面都相交，且与这三个平面能围成一个三棱锥， 如图所示，将各平面无限延展，此时可以把空间分成15部分， 故答案为：15．    【变式4.2】（2024·河北石家庄·模拟预测）金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成 23 部分（用数字作答）． 【解题思路】假想一个没有上顶的正方体，该正方体会把空间分割成块，把四面进行极限倾斜相交分析求解. 【解答过程】假想一个没有上顶的正方体，该正方体会把空间分割成块， 把四面进行极限倾斜相交，如图所示， 在倾斜的过程中，在不管底面的情况下，个侧面在顶点以下的“水平范围”内最多可以切割出个空间，与没有倾斜极限的情况一样， 多出来的空间是交叉的切割出来的空间， 在空间上是对称的，四个倾斜的侧面在空间中的延伸还是这样的倾斜侧面， 如图所示的对称的锥面同样会切割出个空间， 即顶点之上的个延伸的倾斜的面同样会切割出个空间， 但是四个空间和下面的四个倾斜的侧面切出的是同一个， 即标记“×”的位置， 所以在的基础上加减，即结果是. 故答案为：. 【题型5 由平面的基本性质作截面图形】 【例5.1】（23-24高二下·浙江杭州·期末）在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【解题思路】画出图形，然后判断即可. 【解答过程】在正方体中，取，， 连接，，，，，，如下图所示： 因为在正方体中，，分别是棱和上的点，，， 所以，且，则四边形为平行四边形，则，， 又因为，且，所以四边形为平行四边形， 则，， 所以，，所以为平行四边形， 则正方体中过点，，的截面形状为四边形. 故选：B. 【例5.2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知正方体棱长为2，E为棱的中点，则经过三点的正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】如图，确定四边形为经过三点的正方体的截面，结合梯形的面积公式计算即可求解. 【解答过程】正方体中，平面， 则平面与平面的唯一交线与平行. 取BC中点，连接 ， 则四边形即为经过三点的正方体的截面， 梯形中，， 则梯形的高为， 所以梯形的面积为， 故选：A. 【变式5.1】（2024·新疆阿克苏·一模）已知，，是正方体的棱，，的中点，则平面截正方体所得的截面是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【解题思路】取，，的中点，，，可得，，，由基本事实及其三个推论得，，，，，六点共面，从而求出截面是六边形. 【解答过程】如图所示，分别取，，的中点，，，连接 ，，，，，，则，. ，. 同理可得，. 由基本事实及其三个推论得，，，，，六点共面， 所以平面截正方体所得的截面是六边形. 故选：D. 【变式5.2】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】做截面的常用两种方法：作平行线和作延长线.对于本题，过点A作PQ的平行线即可得到截面. 【解答过程】①当时，如图（1），是四边形，故①正确； ②当时，如图（2），是等腰梯形，故②正确； ③当时，如图（3），此时截面为菱形，两条对角线的长分别为 所以，③正确. ④当时，如下图，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，则，由，可得，所以，故④正确； 故选：D. 模块二 空间点、线、面之间的位置关系 1．空间中直线与直线的位置关系 (1)三种位置关系 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种： (2)异面直线的画法 为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示. 2．空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线在平面内 有无数个公共点 直线与平面相交 有且只有一个公共点 直线与平面平行 没有公共点 3．空间中平面与平面的位置关系 (1)两种位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 (2)平行平面的画法技巧 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行. 【题型6 直线与直线的位置关系】 【例6.1】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知空间中的三条直线l、m、n，若l与m异面，且l与n异面，则m与n（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．均有可能 【解题思路】根据题意作出图形,进行判断即可. 【解答过程】空间三条直线. 若与异面,且与异面，则可能平行，如图， 也可能相交，如图， 也可能与异面，如图， 故选：D. 【例6.2】（23-24高二下·云南·期末）如图，在正方体中，直线与直线BD（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 【解题思路】法一：根据异面直线的概念判断即可.法二：利用反证法可证明直线与直线异面. 【解答过程】法一：由图形可知，直线与直线不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线. 法二：（反证法）假设直线与直线不异面，则直线与直线共面， 设直线与直线确定的平面，又不共线，所以确定平面， 所以平面与平面重合，从而可得平面，与平面矛盾， 所以直线与直线异面. 故选：A. 【变式6.1】（24-25高二上·上海·期中）已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【解题思路】根据空间中线线的位置关系判断即可. 【解答过程】因为与相交，所以与确定一个平面，不妨设为， 又，所以或， 若，则与相交，若，则与异面； 综上可得与的位置关系是相交或异面. 故选：B. 【变式6.2】（2024高二上·北京·学业考试）如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（    ） A．与直线相交 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．与直线是异面直线 【解题思路】由直三棱柱的特征逐项判断即可. 【解答过程】易知三棱柱为直三棱柱， 由图易判断与异面，AB错误； 因为,与相交但不垂直，所以与直线不垂直，C错误； 由图可判断与直线是异面直线，D正确. 故选：D. 【题型7 直线与平面的位置关系】 【例7.1】（2024·上海长宁·二模）已知直线和平面，则下列判断中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】根据空间中直线，平面的位置关系分析判断各个选项. 【解答过程】对于A，由，，则与可能平行，相交，异面，故A错误； 对于B，由，，则或，故B错误； 对于C，由，，则，故C正确； 对于D，由，，则或或，故D错误. 故选：C. 【例7.2】（23-24高二下·浙江舟山·期末）已知平面，直线，若且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据线线垂直、线面垂直和面面垂直的相互转化和必要不充分条件的定义可得答案. 【解答过程】如下图且，，则l//a，此时，，所以，充分性不成立；    若，因为，所以，必要性成立，    故 “”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式7.1】（24-25高一·全国·课后作业）a，b是异面直线，P为空间中不在a，b上的一点，下列命题正确的个数为（    ） ①过点P总可以作一条直线和a，b都垂直； ②过点P总可以作一条直线和a，b都相交； ③过点Р总可以作一个平面和a，b都平行； ④过点Р总可以作一条直线与a，b之一垂直与另一条平行； ⑤过点Р总可以作一个平面与a，b之一垂直与另一条平行． A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据异面直线的定义以及直线与平面平行或垂直的位置关系，逐一进行判断即可. 【解答过程】对①：由于是异面直线，将其平移到过点的直线，则相交于点，所以确定平面，而过点有且只有一条直线与垂直，则①正确； 对②：当点Р与直线所确定的平面与平行时，不满足，则②错误； 对③：当点Р与直线所确定的平面与平行时，不满足，则③错误； 对④：异面直线所成角不是时，过点不可以作一条直线与之一垂直与另一条平行，则④错误； 对⑤：异面直线所成角不是时，过点不可以作一个平面与之一垂直与另一条平行，则⑤错误； 故选：B. 【变式7.2】（24-25高三上·浙江宁波·期末）如图， 在正方体中， 点分别为的中点， 设过点的平面为， 则下列说法正确的是（    ） A．在正方体中， 存在某条棱与平面平行 B．在正方体 中， 存在某条面对角线与平面平行 C．在正方体 中， 存在某条体对角线与平面平行 D．平面截正方体所得的截面为五边形 【解题思路】根据题意可得 交平面于点， 交平面于点， 交平面于点， 故不存在某条棱与平面平行，即可以判断选项A错误； 由六个面的12条面对角线与平面都相交，即可判断选项B错误； 体对角线全部与面相交，即可判断选项C错误； 补全图形可得平面截正方体所得的截面为五边形，即可以判断选项D正确. 【解答过程】对于选项A，交平面于点，平面， 都不与平面平行， 交平面于点，平面， 都不与平面平行，   交平面于点，平面， 都不与平面平行， 故A错误； 观察几何体可知六个面的12条面对角线与平面都相交， 故B错误； 四条体对角线全部与面都相交， 故C错误. 如下图，取中点为，易得， 取中点为，连接，易得， 再取中点为，连接，则， ， 是平面与正方体底面的交线， 延长，与的延长线交于，连接，交于， 则可得五边形即为平面交正方体的截面， 故D正确；            故选：D. 【题型8 平面与平面的位置关系】 【例8.1】（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】作出满足条件的图，举出反例，排除ABD选项，作出满足条件的图，并证明，得到C选项正确. 【解答过程】A选项：如图：    在正方体中，，此时与夹角为，A选项错误； B选项：如图：    在正方体中，，此时，B选项错误； D选项：如图：    在正方体中：，此时，D选项错误； C选项：如图：    过作平面，使得，，∵，∴，则， 又∵，∴，∴，C选项正确. 故选：C. 【例8.2】（23-24高一下·北京大兴·期末）已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】由空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系结合充分必要条件判断即可. 【解答过程】若，，则与位置关系有：平行，相交，异面，则不一定垂直； 若，，则与不一定垂直，也可以平行，故“”是“”的既不充分也不必要条件； 故选：D. 【变式8.1】（23-24高二上·上海徐汇·期中）已知两个不同平面和三条不重合的直线，则下列命题： （1）若，a ，则 且 . （2）若平面内有不在同一直线的三点到平面的距离都相等，则 ； （3）若分别经过两异面直线，且，则必与或相交； （4）若是两两互相异面的直线，则存在无数条直线与都相交. 其中正确的命题是（    ）. A．（1）（3） B．（2）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4） 【解题思路】简单的反例可以否定（1），（2），利用反证法，借助平行公理可以判断（3），通过较为复杂的构造与证明，可以判断（4）. 【解答过程】对于（1），若 ，则 或 ，或，故（1）错误； 对于（2），一个平面里有三个不同的点到另一个平面的距离都相等，则这两个面可能相交也可能平行， 例如：在正方体中，M、N、P、Q分别为棱的中点， 记平面为平面，平面为平面，如图： 平面中的点到平面的距离均相等， 但是平面与平面相交，不平行，故（2）错误； 对于（3），假若c既不与a相交，也不与b相交，由于a,c都在内，故a,c平行， 同理b,c平行，根据平行公理得到a,b平行，与已知a,b为异面直线矛盾，故（3）正确； 对于（4），如图所示， a，b，c是异面直线，上下两个平面，是分别通过a,c中的一条而与另一条平行的平面， 直线b与这两个平面都相交，交点A,B都不在直线a,c上. 在直线b上任取一点不同于A,B的点P，由于a,b异面，所以，则直线a与点P确定一个平面， 可知这平面与直线c相交，设交点为Q,连接PQ的直线与直线a必然相交（否则，这条线必在平面内)， 由于P点的任意性，可知这样可以做出无数条直线与a,b,c都相交，故（4）正确. 故选：D. 【变式8.2】（24-25高二上·黑龙江大庆·开学考试）设是三条不同的直线，是两个不重合的平面，给定下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥. 其中为真命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据空间中点线面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】对于①，若，则或者相交，故①错误， 对于②,由于未必相交，所以不一定得到，故②错误， 对于③，由于，故，③正确 对于④,由面面垂直的判定可知④正确， 对于⑤,若，则或者相交或者异面，故⑤错误， 对于⑥,若， 或相交或者异面，故⑥错误， 故选：B. 一、单选题 1．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．平行四边形是一个平面 B．任何一个平面图形都是一个平面 C．平静的太平洋面就是一个平面 D．一个平面可以将空间分成两部分 【解题思路】直接由平面的概念逐一分析四个选项得答案． 【解答过程】A不正确，我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面，平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的； B不正确，平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以无限延展的； C不正确，太平洋再大也会有边际，也不可能是绝对平面； D正确，平面是无限延展的，它将空间分成两部分． 故选：D. 2．（24-25高三上·天津·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若且则 B．若则 C．若则 D．若则 【解题思路】根据空间中各要素的位置关系，逐个判断即可． 【解答过程】解：若且则m与可以成任意角，A选项错误； 若则，B选项正确； 若则n与可以成任意角，C选项错误； 若则m与可以成任意角，D选项错误． 故选：B. 3．（24-25高一下·全国·随堂练习）两个相交平面画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据相交平面的画法逐一判断即可. 【解答过程】对于A，需要画出两相交平面的交线，故A错误； 对于B，两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故B错误； 对于C，需要画出两相交平面的交线，故C错误； 对于D，因被挡住的部分应画虚线，不被挡住的画出实线， 且两平面的交线需从平面的上边界画到平面的下边界，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据图形及平行公理判断即可. 【解答过程】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D. 5．（2024·上海·模拟预测）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据异面直线的定义一一判断即可. 【解答过程】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 6．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 【解题思路】作出辅助线，得到，所以四边形为平行四边形，求出经过、、的截面为平行四边形. 【解答过程】取的中点，连接， 因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为， 所以，， 故， 所以四边形为平行四边形， 故经过、、的截面为平行四边形. 故选：D. 7．（23-24高二下·江西南昌·期末）在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（    ） A．一定在直线上； B．一定在直线上； C．可能在直线上，也可能在直线上； D．不在直线上，也不在直线上． 【解题思路】由公理2知，不共线的三点确定一个平面，由于是空间四边形，故，确定平面，，确定平面，再由公理1，3可得的位置． 【解答过程】由于是空间四边形，故，确定平面，，确定平面． ，，， 面，面， ， 面，面 面面 故选：A． 8．（23-24高二上·黑龙江双鸭山·开学考试）一个正方体纸盒展开后如图所示，在关于原正方体纸盒的下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，利用正方体的几何特征逐项判断. 【解答过程】解：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图所示：    则，故A正确； 因为，则为直线AB与直线CN所成的角，因为是等边三角形，则，故AB与CN不垂直，故B错误； 因为，又，所以，故C错误； 因为，则为直线MN与直线EF所成的角，因为是等边三角形，则，故MN与EF不平行，故D错误； 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高一下·广西南宁·期末）在空间中，设是不同的直线，表示不同的平面，则下列命题错误的是（   ） A．若 ，则 . B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 【解题思路】根据线面关系基本定理举反例判断A；根据线面关系基本定理举反例判断B；根据线面关系基本定理举反例判断C；根据线面关系基本定理判断D． 【解答过程】对于A，，，可能，不一定，所以A错； 对于B，，，可能有，不一定，所以B错； 对于C，，，可能有或等，未必有，所以C错； 对于D，设，取不在、、、上点，过作交于，作交于， ，，，设与确定的平面交于点，连，，，， ，，为二面角的平面角， 四点、、、共圆； ，所以D对． 故选：ABC． 10．（23-24高一下·四川攀枝花·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B． C．，，三线共点 D． 【解题思路】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断C；举反例即可判断D. 【解答过程】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以 四点共面，AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，D错误. 故选：ABC. 11．（2024·江西景德镇·一模）如图，正方体的棱长为2，E，F，G，H分别是所在棱上的点，且满足 ，则（    ）    A．若四边形为矩形，则 B．若四边形为菱形，则E，G或F，H为所在棱中点 C．若四边形为菱形，则四边形的周长取值范围为 D．当且仅当E，F，G，H均为所在棱中点时，四边形为正方形 【解题思路】由正方体的结构特征，结合已知和平面的基本性质、矩形、菱形的特征判断各项正误即可. 【解答过程】A：若四边形为矩形，也有可能，如下图示，即只需用一个垂直于一组对面的平面截正方体，并保证 即可，错；    B：若四边形为菱形， ，则且对角线垂直， 若E，G或F，H都不是棱中点，如下图，作，分别交于， 因为E，G都不是棱中点，则，易知，与菱形矛盾， 所以E，G或F，H至少有一对是棱中点，对；    C：由B分析知：四边形为菱形，假设E，G是棱中点，且， 所以F，H都是棱中点时，菱形边长最短为2；F，H都是顶点时，菱形边长最长为， 棱长的范围为，故四边形的周长取值范围为，对；    D：要使四边形为正方形，即用一个垂直于一组对面的平面截正方体，且截面过一组相对侧棱的中点， 结合矩形和菱形的性质，且 ，则E，F，G，H均为所在棱中点，对. 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高二上·四川达州·期中）两个平面把空间最多分成 4 个部分. 【解题思路】两个平面分平行、相交两种情况讨论，从而可得结果. 【解答过程】空间中两个平面的位置关系是平行或相交， 若两个平面平行，则可将空间分成3部分， 若两个平面相交，可将空间分成4部分， 所以两个平面可以将空间最多分成 4个部分. 故答案为：4． 13．（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，平面BMN截正方体所得截面为 等腰梯形 . 【解题思路】根据两条平行线可以确定一个平行判断. 【解答过程】连接，，由于M，N分别是，的中点， 则,而，即四边形为平行四边形， 故，得，且, 结合正方体性质可知， 所以平面BMN截正方体所得截面为梯形，且为等腰梯形， 故答案为：等腰梯形. 14．（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知是两条不同的直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中不能推出的是 ①③④ . ①，且；②，且；③，且；④，且. 【解题思路】以正方体为例，举例即可得出答案. 【解答过程】 对于①，如图，正方体中，平面平面，平面，但是与平面不垂直.故①不能推出； 对于②，若，且，可知.故②一定能推出； 对于③，如图，正方体中，平面平面，平面，但是与平面.故③不能推出； 对于④，如图，正方体中，，平面，但是平面.故④不能推出. 故答案为：①③④. 四、解答题 15．（23-24高二·上海·课堂例题）已知直线和平面、，判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，，则； (2)若，，则； (3)若，，则． 【解题思路】根据线线、线面及面面的位置关系逐一判断即可. 【解答过程】（1）命题为假命题，理由如下： 例如，如图所示，平面，，平面. （2）命题为假命题，理由如下： 例如，如图所示，平面平面， 平面，平面. （3）命题为假命题，理由如下： 例如，如图所示，平面， ，平面. 16．（2024高一下·全国·专题练习）根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系. (1)点与直线； (2)点与直线； (3)点与平面； (4)点与平面； 【解题思路】先判断位置关系，再根据符号语言表示即可. 【解答过程】（1）点在直线上，所以 ； （2）点不在直线上，所以 ； （3）点在平面内，所以平面； （4）点不在平面内，所以平面. 17．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 【解题思路】（1）根据三角形中位线定理、平行线的性质，结合基本事实进行证明即可； （2）根据面面交成线进行证明即可. 【解答过程】（1）因为、分别是、的中点， 所以， 又因为、分别在、上，且． 所以，于是有， 所以、、、四点共面； （2）∵EG与HF交于点P， ∴P在面ABC内， 同理P在面DAC内. 又∵面面， ∴P在直线AC上，∴P、A、C三点共线． 18．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)若，判断四边形的形状： (2)证明：和是异面直线. 【解题思路】（1）先证明四边形为平行四边形，再由证明它是菱形即得； （2）运用反证法思路，先假设和共面，即共面，与题设产生矛盾，得出假设不成立即可. 【解答过程】（1）因为，，，分别是空间四边形的边，，，的中点， 所以线段是的中位线，所以且， 同理可得且， 即，，所以四边形为平行四边形， 又同理可得且，且，所以， 故平行四边形为菱形； （2）假设和不是异面直线，则与平行或相交， 即与确定一个平面，则，，，， 这与四边形为空间四边形矛盾，故和是异面直线. 19．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【解题思路】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上. （2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面. 【解答过程】（1）平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. （2）如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$