第08讲 空间几何体（春季讲义）-2024-2025学年高一数学春季讲义（人教A版2019必修第二册）

第08讲 空间几何体 【人教A版2019】 模块一 空间几何体的结构特征 1．空间几何体的有关概念 (1)空间几何体的定义 对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间 图形就叫做空间几何体. 例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体. (2)定理的实质 多面体及其相关概念 ①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体. ②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等. ③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等. ④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等. (3)旋转体及其相关概念 ①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭 的旋转面围成的几何体叫做旋转体. 图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的. ②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴. 2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台. 相关概念 (1)底面(底)：两个互相平行的面； (2)侧面：其余各面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：侧面与底面的公共顶点. (1)底面(底):多边形面； (2)侧面：有公共顶点的各个三角形面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：各侧面的公共顶点. (1)上底面：原棱锥的截面； (2)下底面：原棱锥的 底面 . (3)侧面：其余各面. (4)侧棱：相邻侧面的公共边； (5)顶点：侧面与底面的公共顶点. 图形及表示 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' (或六棱柱AD'). 棱锥S-ABCD(或四棱锥 S - A C ) 棱台ABCD-A'B'C'D' 结构特征 (1)底面互相平行且全等； (2)侧面都是平行四边形； (3)侧棱都相等，且互相平行. (1)底面是多边形； (2)侧面都是三角形； (3)侧面有一个公共顶点. (1)上、下底面互相平行，且是相似图形； (2)各侧棱的延长线交于一点； (3)各侧面为梯形. 分类 棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫几 棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台. 3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 圆柱 圆锥 圆台 球 定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部 分叫做圆台. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球. 相关概念 (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线 (5)顶点：母线的交点. (1)上底面：原圆锥的截面. (2)下底面：原圆锥的底面. (3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线. (4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面. (5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分. (1)球心：半圆的圆心. (2)半径：连接球心和球面上任意一点 的线段. (3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段. 图形及表示 圆柱OO' 圆锥SO 圆台OO' 球O 结 构 特 征 (1)圆柱两个底面是圆面而不是圆. (2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等. (3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (1)底面是圆面. (2)有无数条母线，长度相等且交于顶点. (3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形. (1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面. (2)有无数条母线，等长且延长线交于一点. (3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴 的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半 径)的所有点的集合. (2)球的截面都是圆面. 棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体. 4．简单组合体的结构特征 (1)简单组合体的定义 由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. (2)简单组合体的构成形式 ①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示. ②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示. (3)常见的几种组合体 ①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到. ②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到. ③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成. 5．空间几何体结构特征的判断技巧 (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定. (2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明个命题是错误的，只要举出一个反例即可. 6．正方体的截面形状的探究 通过尝试、归纳，有如下结论. (1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形. (2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四 边形中至少有一组对边平行. (3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是 正五边形. (4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形. 对应截面图形如图中各图形所示 【题型1 简单几何体的结构特征】 【例1.1】（23-24高一下·广东湛江·期末）下列说法正确的是（    ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【例1.2】（24-25高一下·全国·课后作业）一个几何体恰有10个顶点，则这个几何体可能是（    ） A．四棱柱 B．四棱台 C．五棱锥 D．五棱台 【变式1.1】（23-24高一下·天津南开·期末）给出下列命题： ①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台； ④用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形． 其中正确命题是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【变式1.2】（24-25高二上·江西宜春·期中）下列结论正确的选项为（    ） A．三棱锥的四个面都可以是直角三角形 B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C．直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥 D．圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 【题型2 简单组合体的结构特征】 【例2.1】（24-25高一下·全国·课后作业）正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体.如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体.已知多面体满足：顶点数－棱数＋面数，则正二十面体的顶点的个数为（    ）    A．30 B．20 C．12 D．10 【例2.2】（24-25高二上·上海虹口·期末）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有面的个数及棱长分别为（    ） A．26， B．24 ， C．26， D．24 ， 【变式2.1】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【变式2.2】（24-25高一下·河南商丘·阶段练习）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（    ）    A．该几何体的面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面 C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点 【题型3 空间几何体中的最短路径问题】 【例3.1】（2024·广西南宁·一模）如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C．6 D． 【例3.2】（24-25高一上·四川成都·开学考试）如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2024·北京·模拟预测）如图所示，已知正四棱柱的上下底面的边长为3，高为4，点M，N分别在线段和上，且满足，下底面ABCD的中心为点O，点P，Q分别为线段和MN上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高二上·上海静安·期中）如图在一根长11，外圆周长6的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为（    ）    A．61 B． C． D． 【题型4 空间几何体的截面问题】 【例4.1】（2025高二·浙江·专题练习）正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的不可能图形为（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高一下·福建福州·期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·北京·期中）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（1）（5） 【变式4.2】（23-24高一下·湖南长沙·期末）在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 模块二 立体图形的直观图 1．斜二测画法的常用结论： (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：. 【题型5 斜二测画法及其应用】 【例5.1】（2024高三·全国·专题练习）已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，则直角梯形边的长度是（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（24-25高一上·甘肃兰州·期末）如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中2，则原图形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【变式5.1】（23-24高一下·湖北荆州·阶段练习）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形.已知，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【变式5.2】（23-24高一下·福建福州·期中）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知是斜边的中点，轴，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 模块三 简单几何体的表面积与体积 1．多面体的侧面积、表面积和体积 多面体 图形 侧面积与表面积 体积 棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形， S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)， S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高) 棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧Ch' (C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) ( S底为底面面积，h为高) 棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高) 2．旋转体的侧面积、表面积和体积 旋转体 图形 侧面积与表面积 体积 圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积 S=πr2+πrl=πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆台 圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l， 表面积 体积 (S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高) 球 半径为R的球的表面积S=4πR2 半径为R的球的体积 3．空间几何体表面积与体积的常见求法 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解. ②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可. ③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. ④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. (2)求组合体的表面积与体积的方法 求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该 怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. 4．球的截面 (1)球的截面形状 ①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； ②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. (2)球的截面的性质 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：. 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径 为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即. 5．几何体与球的切、接问题 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 【题型6 多面体的表面积与体积】 【例6.1】（24-25高二上·北京·期中）将边长为1的正方形沿对角线折起，折起后点D记为D'.若，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图1的方斗杯古时候常作为盛酒的一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加某种酒，当酒的高度是方斗杯高度的一半时，用酒，则该方斗杯可盛该种酒的总容积为（    ）      A． B． C． D． 【变式6.1】（2025高三·全国·专题练习）定义：通过小时内降水在平地上的积水厚度（）来判断降雨程度；其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）；小明用一个圆锥形容器（如图）接了小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（   ）    A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【变式6.2】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，三棱柱中，E，F分别是AB、AC的中点，平面将三棱柱分成体积为（左为，右为）两部分，则（    ） A．5:6 B．3:4 C．1:2 D．5:7 【题型7 旋转体的表面积与体积】 【例7.1】（24-25高三下·湖南·开学考试）已知某商品的形状为圆台，该圆台的轴截面是上底为2，下底为4，腰为3的等腰梯形，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例7.2】（24-25高三上·湖南常德·期末）已知圆台的母线长为4，在圆台内部，与上、下底面及各母线均相切的球的半径为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（2025·广东广州·模拟预测）某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【变式7.2】（2025·河南洛阳·模拟预测）已知装满水的无盖圆柱容器的底面圆周的半径为，高为，圆柱的侧面积为，在圆柱里面放入两个半径为的铁球，则圆柱中剩余水的体积为（   ） A． B． C． D． 【题型8 组合体的表面积与体积】 【例8.1】（24-25高二上·北京·期中）蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG构成.设BC=1， ，则上顶的面积为（    ） A．3sinθ B． C． D． 【例8.2】（24-25高三上·河南·开学考试）如图所示是一个无盖的瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台组成，圆柱的底面圆的半径为1，圆台的下底面圆的半径为2，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积为，则瓶子的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（2024高三·全国·专题练习）艺术家埃舍尔的作品展示了数学之美，如图①是其作品《星空》中的一部分，由正方体和正八面体相互交叉形成的组合体，可抽象为图②所示的图形．若正八面体的棱长均为2，且相交处均为棱中点，则两个几何体相交后公共部分形成的几何体的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（2024·贵州·模拟预测）为了美化广场环境，县政府计划定购一批石墩．已知这批石墩可以看作是一个圆台和一个圆柱拼接而成，其轴截面如下图所示，其中，，则该石墩的体积为（    ） A． B． C． D． 【题型9 球的截面问题】 【例9.1】（23-24高三上·云南楚雄·期末）若平面截球O所得截面圆的半径为3，且球心O到平面的距离为2，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例9.2】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）在三棱锥中，底面，，，，是线段AC上一点，且，三棱锥的各个顶点都在球的表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式9.1】（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知正三棱锥的外接球的表面积为，侧棱，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9.2】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【题型10 几何体与球的切、接问题】 【例10.1】（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（    ） A． B． C． D．3 【例10.2】（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，P为上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式10.1】（23-24高一下·山东东营·期末）如图，正四棱锥中，是这个正四棱锥的高，是斜高，且，． (1)求这个四棱锥的全面积 (2)分别求出该几何体外接球与内切球的半径． 【变式10.2】（24-25高二上·上海闵行·期末）我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示，在长方体中，已知，. (1)求证：四棱锥是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积； (2)求该“阳马”的外接球的表面积. 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（   ） A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．六条棱长均相等的四面体是正四面体 C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 2．（24-25高二上·北京海淀·期末）正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川达州·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（   ） A．1 B． C． D．3 4．（2024·辽宁大连·模拟预测）唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R，酒杯的容积，则其内壁表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）某圆柱的高为，底面周长为，，分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中，如图所示，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）一个高为的直三棱柱容器内装有水，将侧面水平放置如图（1），水面恰好经过棱，，，的中点，现将底面水平放置如图（2），则容器中水面的高度是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的空间图形是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的复杂空间图形，现用一个竖直的平面去截这个复杂空间图形，则截面图形可能是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·河南驻马店·期末）如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形为等腰梯形 D．四边形的周长为 11．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台轴截面面积为 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 三、填空题 12．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图是用斜二测画法画出的水平放置的正的直观图，其中，则的面积为 . 13．（2024高三·全国·专题练习）正方体的棱长为3，E，F是棱，上的中点，平面截正方体所得截面的周长为 . 14．（23-24高一下·吉林·期中）如图所示，在三棱柱中，若点E，F分别满足，，平面将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为和，则＝ . 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）图中平面图形从上往下依次由等腰三角形、圆、半圆、矩形、等腰梯形拼接形成，若将它绕直线l旋转形成一个组合体，试分析该组合体由哪些简单几何体构成． 16．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 17．（23-24高一下·北京东城·期中）如图是一个正四棱台的石料，上、下底面的边长分别为和，高．    (1)求四棱台的表面积； (2)若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，求圆台的体积． 18．（24-25高一下·全国·课后作业）如图给出两个几何体：    (1)画出两个几何体的平面展开图； (2)图①是侧棱长为的正三棱锥，，过点作截面分别交BD，CD于点E，F，求截面三角形周长的最小值． 19．（24-25高二上·上海·期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. (1)求球的体积； (2)正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 空间几何体 【人教A版2019】 模块一 空间几何体的结构特征 1．空间几何体的有关概念 (1)空间几何体的定义 对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间 图形就叫做空间几何体. 例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体. (2)定理的实质 多面体及其相关概念 ①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体. ②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等. ③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等. ④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等. (3)旋转体及其相关概念 ①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭 的旋转面围成的几何体叫做旋转体. 图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的. ②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴. 2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台. 相关概念 (1)底面(底)：两个互相平行的面； (2)侧面：其余各面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：侧面与底面的公共顶点. (1)底面(底):多边形面； (2)侧面：有公共顶点的各个三角形面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：各侧面的公共顶点. (1)上底面：原棱锥的截面； (2)下底面：原棱锥的 底面 . (3)侧面：其余各面. (4)侧棱：相邻侧面的公共边； (5)顶点：侧面与底面的公共顶点. 图形及表示 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' (或六棱柱AD'). 棱锥S-ABCD(或四棱锥 S - A C ) 棱台ABCD-A'B'C'D' 结构特征 (1)底面互相平行且全等； (2)侧面都是平行四边形； (3)侧棱都相等，且互相平行. (1)底面是多边形； (2)侧面都是三角形； (3)侧面有一个公共顶点. (1)上、下底面互相平行，且是相似图形； (2)各侧棱的延长线交于一点； (3)各侧面为梯形. 分类 棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫几 棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台. 3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 圆柱 圆锥 圆台 球 定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部 分叫做圆台. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球. 相关概念 (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线 (5)顶点：母线的交点. (1)上底面：原圆锥的截面. (2)下底面：原圆锥的底面. (3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线. (4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面. (5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分. (1)球心：半圆的圆心. (2)半径：连接球心和球面上任意一点 的线段. (3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段. 图形及表示 圆柱OO' 圆锥SO 圆台OO' 球O 结 构 特 征 (1)圆柱两个底面是圆面而不是圆. (2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等. (3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (1)底面是圆面. (2)有无数条母线，长度相等且交于顶点. (3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形. (1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面. (2)有无数条母线，等长且延长线交于一点. (3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴 的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半 径)的所有点的集合. (2)球的截面都是圆面. 棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体. 4．简单组合体的结构特征 (1)简单组合体的定义 由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. (2)简单组合体的构成形式 ①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示. ②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示. (3)常见的几种组合体 ①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到. ②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到. ③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成. 5．空间几何体结构特征的判断技巧 (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定. (2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明个命题是错误的，只要举出一个反例即可. 6．正方体的截面形状的探究 通过尝试、归纳，有如下结论. (1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形. (2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四 边形中至少有一组对边平行. (3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是 正五边形. (4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形. 对应截面图形如图中各图形所示 【题型1 简单几何体的结构特征】 【例1.1】（23-24高一下·广东湛江·期末）下列说法正确的是（    ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【解题思路】利用棱柱的定义判断ABC；利用棱台的定义判断D. 【解答过程】对于A，正六棱柱正对的两个侧面平行，但它们不是正六棱柱的底面，A错误； 对于B，底面邻边不等的长方体的相邻两个侧面不全等，B错误； 对于C，由棱柱的定义知，C正确； 对于D，当截面与棱锥的底面不平行时，棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，D错误. 故选：C. 【例1.2】（24-25高一下·全国·课后作业）一个几何体恰有10个顶点，则这个几何体可能是（    ） A．四棱柱 B．四棱台 C．五棱锥 D．五棱台 【解题思路】根据棱柱，棱台和棱锥的顶点个数，结合选项得出答案即可. 【解答过程】对于A，四棱柱是上下两个四边形，有8个顶点，不满足题意； 对于B，四棱台是上下两个四边形，有8个顶点，不满足题意； 对于C，五棱锥有6个顶点，不满足题意； 对于D，五棱台是上下底面均为五边形，有10个顶点，满足题意. 故选：D. 【变式1.1】（23-24高一下·天津南开·期末）给出下列命题： ①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台； ④用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形． 其中正确命题是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【解题思路】根据圆锥母线的定义、棱台的定义、圆台的定义、平面与圆柱底面的位置关系即可依次判断． 【解答过程】解：①根据圆锥的母线的定义，可知①正确； ②把梯形的腰延长后有可能不交于一点，此时得到几何体就不是棱台，故②错误； ③根据圆台的定义，可知③正确； ④当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时，得到的截面不是圆和矩形，故④错误． 故选：B． 【变式1.2】（24-25高二上·江西宜春·期中）下列结论正确的选项为（    ） A．三棱锥的四个面都可以是直角三角形 B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C．直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥 D．圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 【解题思路】本题可通过绘出满足平面、平面的三棱锥判断出A正确，然后通过将两个相同的斜四棱柱叠放在一起得出B错误，再然后根据直角三角形绕斜边旋转一周形成的几何体是两个圆锥的组合体得出C错误，最后根据圆台的母线的定义判断出D错误. 【解答过程】A项：如图：    三棱锥，平面，平面， 则三棱锥的四个面都是直角三角形，A正确； B项：将两个相同的斜四棱柱叠放在一起，得出的几何体不是棱柱，B错误； C项：直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体是两个圆锥的组合体，C错误； D项：圆台是由直角梯形旋转而成，直角梯形不垂直于底面的腰是圆台的母线，D错误， 故选：A. 【题型2 简单组合体的结构特征】 【例2.1】（24-25高一下·全国·课后作业）正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体.如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体.已知多面体满足：顶点数－棱数＋面数，则正二十面体的顶点的个数为（    ）    A．30 B．20 C．12 D．10 【解题思路】首先求出棱数，在根据所给公式计算可得. 【解答过程】因为每个面都是三角形，每个面对应3条棱，且每1条棱被2个三角形共用， 即1个面对应条棱，所以共有条棱， 所以由顶点数－棱数＋面数，得：顶点数棱数面数. 故选：C. 【例2.2】（24-25高二上·上海虹口·期末）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有面的个数及棱长分别为（    ） A．26， B．24 ， C．26， D．24 ， 【解题思路】将该多面体分为三层，分别数出每一层的面数，求和即可得正多面体的面数；设正多面体的棱长为，作出该几何体的截面，为正八边形，利用多面体棱长与正方体的棱长的关系列方程即可求解 【解答过程】可以将该多面体分为三层，上层个面，中层个面，下层个面，上下底各个面， 所以共有个面， 设正多面体的棱长为，作出该几何体的截面如图，截面图为正八边形， 由图可得，， 因为为等腰直角三角形，所以，即， 解得：，所以该多面体的棱长为， 故选：A. 【变式2.1】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【解题思路】根据组合体基本构成即可得答案. 【解答过程】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成. 故选：B. 【变式2.2】（24-25高一下·河南商丘·阶段练习）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（    ）    A．该几何体的面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面 C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点 【解题思路】根据几何体的形状逐个选项判断即可. 【解答过程】据图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确． 故选：B. 【题型3 空间几何体中的最短路径问题】 【例3.1】（2024·广西南宁·一模）如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C．6 D． 【解题思路】画出圆锥的侧面展开图，则蚂蚁爬行的最短距离为，在中，解三角形即可. 【解答过程】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图， 一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点的最短距离为，设， 圆锥底面周长为，所以，所以， 在中，由，得 故选：B． 【例3.2】（24-25高一上·四川成都·开学考试）如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，利用勾股定理计算出即可． 【解答过程】 把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为， 则蚂蚁爬行的最短路径为， 如图，由题意可知，， 在，， 所以它爬行的最短路程为， 故选：C. 【变式3.1】（2024·北京·模拟预测）如图所示，已知正四棱柱的上下底面的边长为3，高为4，点M，N分别在线段和上，且满足，下底面ABCD的中心为点O，点P，Q分别为线段和MN上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，当三点共线，且时，有最小值，利用勾股定理求出答案即可. 【解答过程】过点作，交于点，交于点， 过点作，交于点，连接， 取中点，连接， 根据题意，因为， 所以当三点共线，且时， ，且有最小值，如图所示， 在中，，， 所以， 在中，， 所以， 在中，， 所以， 所以的最小值为， 故选：A. 【变式3.2】（23-24高二上·上海静安·期中）如图在一根长11，外圆周长6的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为（    ）    A．61 B． C． D． 【解题思路】将立体图形展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 【解答过程】圆柱形柱体的高为11，外圆周长6， 又铁丝在柱体上缠绕10圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端， 则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示： 其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长6，高为圆柱的高11， 则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值． 此时铁丝的长度最小值为：． 故选：A．    【题型4 空间几何体的截面问题】 【例4.1】（2025高二·浙江·专题练习）正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的不可能图形为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依次分析各个选项中截面出现的情况即可. 【解答过程】对于A，当截面平行于正方体的一个侧面时，可得A中截面； 对于B，当截面不平行于任何侧面，也不经过正方体的体对角线时，可得B中截面； 对于C，当截面过正方体的体对角线时，可得C中截面； 对于D，截面中的四边形为正方形，且四个顶点均在球的表面；过球心的截面不可能作出D中截面. 故选：D. 【例4.2】（23-24高一下·福建福州·期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，利用正方体的性质，得到截面为正六边形，且边长为，进而求得截面的面积，得到答案. 【解答过程】如图所示，分别取的中点，连接， 在正方体中，可得， 所以经过点的截面为正六边形， 又因为正方体的棱长为， 在直角中，可得， 所以截面正六边形的面积为. 故选：D. 【变式4.1】（24-25高二上·北京·期中）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（1）（5） 【解题思路】该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1），不过上、下底的中心时截面图形为（5）. 【解答过程】当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1）； 当不过上、下底的中心时，截面图形为（5）. 所以只有（1）、（5）正确. 故选：D. 【变式4.2】（23-24高一下·湖南长沙·期末）在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 【解题思路】作出三棱锥的侧面展开图，连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长，利用余弦定理计算可得. 【解答过程】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面的周长最小， 连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长， 因为侧棱长为的正三棱锥，， 所以， 由余弦定理可得 ， ，所以截面的最小周长为. 故选：C. 模块二 立体图形的直观图 1．斜二测画法的常用结论： (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：. 【题型5 斜二测画法及其应用】 【例5.1】（2024高三·全国·专题练习）已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，则直角梯形边的长度是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由直观图作出直角梯形的平面图形，然后斜二测画法规则结合已知的数据可求得结果. 【解答过程】由直观图作出直角梯形的平面图形，如图. 按照斜二测画法规则，由， 得直角梯形中，，. 过作，交于， 则， 所以直角梯形边的长度为， 故选：B. 【例5.2】（24-25高一上·甘肃兰州·期末）如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中2，则原图形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【解题思路】根据直观图与原图的关系即可得解. 【解答过程】因为矩形中， 所以直观图还原得， 四边形为平行四边形，， 则，所以， ， ， 所以，故原图形为菱形. 故选：C. 【变式5.1】（23-24高一下·湖北荆州·阶段练习）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形.已知，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【解题思路】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【解答过程】还原平面图如下图，    对于A，根据斜二测画法可得，故A错误; 对于B，，，B正确; 对于C，过作交于点，则， 由勾股定理得，故四边形的周长为： ，即C错误； 对于D，四边形的面积为：，即D错误. 故选：B. 【变式5.2】（23-24高一下·福建福州·期中）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知是斜边的中点，轴，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据斜二测画法的性质可得，，且为直角三角形，即可由面积公式求解. 【解答过程】因为为等腰直角三角形且，所以，， 由斜二测画法可知，，且为直角三角形， 所以的面积为． 故选：B． 模块三 简单几何体的表面积与体积 1．多面体的侧面积、表面积和体积 多面体 图形 侧面积与表面积 体积 棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形， S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)， S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高) 棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧Ch' (C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) ( S底为底面面积，h为高) 棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高) 2．旋转体的侧面积、表面积和体积 旋转体 图形 侧面积与表面积 体积 圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积 S=πr2+πrl=πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆台 圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l， 表面积 体积 (S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高) 球 半径为R的球的表面积S=4πR2 半径为R的球的体积 3．空间几何体表面积与体积的常见求法 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解. ②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可. ③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. ④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. (2)求组合体的表面积与体积的方法 求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该 怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. 4．球的截面 (1)球的截面形状 ①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； ②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. (2)球的截面的性质 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：. 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径 为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即. 5．几何体与球的切、接问题 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 【题型6 多面体的表面积与体积】 【例6.1】（24-25高二上·北京·期中）将边长为1的正方形沿对角线折起，折起后点D记为D'.若，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设正方形的对角线交点为O，则易得D′O⊥平面ABC，再根据三棱锥的体积公式，即可求解. 【解答过程】设正方形的对角线交点为O， 则可得折叠后的二面角的平面角为， 又，， ∴，∴， ∴平面， ∴四面体的体积为. 故选：A. 【例6.2】（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图1的方斗杯古时候常作为盛酒的一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加某种酒，当酒的高度是方斗杯高度的一半时，用酒，则该方斗杯可盛该种酒的总容积为（    ）      A． B． C． D． 【解题思路】设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算出棱台与棱台的体积之比，即可得该方斗杯可盛该种酒的总容积. 【解答过程】设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、， 则， 设棱台的高为，体积为， 则棱台的高为，设其体积为， 则，则， 所以，，所以，该方斗杯可盛该种酒的总容积为. 故选：C. 【变式6.1】（2025高三·全国·专题练习）定义：通过小时内降水在平地上的积水厚度（）来判断降雨程度；其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）；小明用一个圆锥形容器（如图）接了小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（   ）    A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【解题思路】计算圆锥的体积，进而可得降雨高度，即可判断. 【解答过程】    做出容器的轴截面，如图所示， 则，，， 则为中点， 则，， 由已知在直径为的圆柱内的降雨总体积， 则降雨高度为， 所以降雨级别为中雨， 故选：B. 【变式6.2】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，三棱柱中，E，F分别是AB、AC的中点，平面将三棱柱分成体积为（左为，右为）两部分，则（    ） A．5:6 B．3:4 C．1:2 D．5:7 【解题思路】设面积为，和的面积为，三棱柱高为；；；总体积为：，根据棱台体积公式求；以及面积关系，求出体积之比． 【解答过程】由题：设面积为，和的面积为，三棱柱高为；； ；总体积为： 计算体积： ① ② ③ 由题意可知，④ 根据①②③④解方程可得：，；则. 故选：D． 【题型7 旋转体的表面积与体积】 【例7.1】（24-25高三下·湖南·开学考试）已知某商品的形状为圆台，该圆台的轴截面是上底为2，下底为4，腰为3的等腰梯形，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由轴截面可得上下底面半径和母线，代入表面积公式即可. 【解答过程】该圆台的表面积. 故选：B. 【例7.2】（24-25高三上·湖南常德·期末）已知圆台的母线长为4，在圆台内部，与上、下底面及各母线均相切的球的半径为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台体积公式求解即可． 【解答过程】如图，设圆台上、下底面圆心分别为，半径分别为，， 则圆台内切球的球心O一定在的中点处． 设球O与母线切于M点，所以，则， 则，则，同理， 所以， 过点A作，垂足为G，则， 又，即， 联立，解得， 所以该圆台的体积为 故选：B． 【变式7.1】（2025·广东广州·模拟预测）某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【解题思路】先求圆台的底面半径，计算圆台的侧面积，即可得到答案. 【解答过程】作圆台的轴截面如图： 梯形为等腰梯形，取上、下底面的中心分别为、，再取中点，连接， 则中，因为，所以，，所以. 所以. 所以灯罩的侧面积为：. 所以100个灯罩的外表面面积为：. 又每平方米需要100克涂料，所以共需涂料克. 故选：C. 【变式7.2】（2025·河南洛阳·模拟预测）已知装满水的无盖圆柱容器的底面圆周的半径为，高为，圆柱的侧面积为，在圆柱里面放入两个半径为的铁球，则圆柱中剩余水的体积为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】首先根据圆柱侧面积的条件求出半径，再依据半径计算圆柱下剩余水的体积即可. 【解答过程】已知圆柱的侧面积为，根据圆柱侧面积公式为可得方程. 变为. 解得.   先求圆柱的体积公式为（这里），所以圆柱体积. 那么圆柱下剩余水的体积. 把代入，得到.   故选：B. 【题型8 组合体的表面积与体积】 【例8.1】（24-25高二上·北京·期中）蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG构成.设BC=1， ，则上顶的面积为（    ） A．3sinθ B． C． D． 【解题思路】由三角函数的定义，结合菱形的面积公式求解. 【解答过程】因为ABCDEF是正六边形，又BC=1， 则，即， 因为四边形PGHI为菱形，连接PH，GI，则， 又且GI=AC，则， 设， 则， 则，则， 则菱形PGHI的面积为， 则上顶菱形的面积为. 故选：D. 【例8.2】（24-25高三上·河南·开学考试）如图所示是一个无盖的瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台组成，圆柱的底面圆的半径为1，圆台的下底面圆的半径为2，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积为，则瓶子的体积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据圆柱和圆台的侧面积和体积公式求解即可. 【解答过程】设圆柱和圆台的高为，圆台的母线为，则. 瓶子的侧面积，解得. 瓶子的体积. 故选：A. 【变式8.1】（2024高三·全国·专题练习）艺术家埃舍尔的作品展示了数学之美，如图①是其作品《星空》中的一部分，由正方体和正八面体相互交叉形成的组合体，可抽象为图②所示的图形．若正八面体的棱长均为2，且相交处均为棱中点，则两个几何体相交后公共部分形成的几何体的体积是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，观察得到公共部分形成的几何体是由正方体截去以其八个顶点为三棱锥的顶点构成的八个相同的三棱锥得到，计算得解． 【解答过程】如图，因为正八面体的棱长均为2，且相交处均为棱中点，所以， 所以，则该正方体的棱长为． 易知三棱锥为正三棱锥，则． 易知两个几何体相交后公共部分形成的几何体体积为． 故选：B. 【变式8.2】（2024·贵州·模拟预测）为了美化广场环境，县政府计划定购一批石墩．已知这批石墩可以看作是一个圆台和一个圆柱拼接而成，其轴截面如下图所示，其中，，则该石墩的体积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】过点作于，根据条件，求出圆台的高，再利用圆台与圆柱的体积公式，即可求出结果. 【解答过程】如图，过点作于， 因为，，所以，， 所以圆台的体积为， 又圆柱的体积为， 所以该石墩的体积为， 故选：D. 【题型9 球的截面问题】 【例9.1】（23-24高三上·云南楚雄·期末）若平面截球O所得截面圆的半径为3，且球心O到平面的距离为2，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由条件可得球的半径，再由球的表面积公式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】设球O的半径为R，则，所以球O的表面积为. 故选：B. 【例9.2】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）在三棱锥中，底面，，，，是线段AC上一点，且，三棱锥的各个顶点都在球的表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】如图，将三棱锥补成直三棱柱，根据球的性质确定球心位置，要使过点作球的截面圆的面积最小，只需截面与垂直；当截面过球心时，截面面积最大，即可求解. 【解答过程】将三棱锥补成直三棱柱，如图所示， 则三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球， 设三角形ABC的中心为，球的半径为R，，连接， 则球心到平面ABC的距离为，即，连接，，则， 所以，即． 在中，取AC的中点，连接OD，， 则，，，所以． 连接OD，在中，， 由题意得，当截面与直线OD垂直时，截面圆面积最小， 设此时截面圆的半径为r，则， 所以截面圆的最小面积为； 当截面过球心时，截面圆面积最大，为， 所以，解得，所以球的表面积为， 故选：C． 【变式9.1】（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知正三棱锥的外接球的表面积为，侧棱，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，先确定球心的位置，进而结合，用球心到过点的截面圆的距离的取值范围可得的取值范围，从而得到结果. 【解答过程】设正三棱锥的外接球的半径为，则，得. 假设正三棱锥中， 外接圆的圆心，则球心在上， 设， 外接圆的半径为 即，两式相减得， 又，解得，所以外接圆的圆心是球心. 如图所示： 设球心到过点的截面圆的距离为，截面圆的半径为， 则， 因为球心到过点的截面圆的距离的最大值为， 所以的最小值为， 又因为点在为半径的圆面上，则球心到过点的截面圆的距离的最小值为， 所以的最大值为， 总上可知，，即 所以截面圆的面积的取值范围为. 故选：B. 【变式9.2】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设的外接圆的圆心为，根据 中，，解得，过点作圆的截面，当截面过球心时，截面面积最大，由此能求出所得截面圆面积的最大值． 【解答过程】如图，设的中心为，球的半径为，连接，， 则，， 在 中，，解得， 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为． 所得截面圆面积的最大值为． 故选：D． 【题型10 几何体与球的切、接问题】 【例10.1】（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（    ） A． B． C． D．3 【解题思路】对于正八面体，需要找出其外接球半径和内切球半径的关系，再根据球的表面积公式，来计算表面积的比. 【解答过程】设正八面体的棱长为a，正八面体的中心到顶点的距离就是外接球半径R， ∴中心到面的距离就是内切球半径r, 正八面体的体积， ，解得 根据球的表面积公式，外接球表面积， 内切球表面积； 则外接球与内切球表面积之比 故选：D. 【例10.2】（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，P为上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意，画图找出外接球球心，再利用勾股定理和基本不等式求解即可. 【解答过程】解：由题易知是等腰直角三角形，则外接圆的圆心在AM的中点处， 过作平面ABC的垂线，则外接球的球心O在上， 过点P作交于点N，则四边形为矩形， 因为，，所以， 在三角形中，由余弦定理：可得， 所以， 设，，三棱锥的外接球的半径为R， 则，则， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 则三棱锥的外接球表面积 故选：B. 【变式10.1】（23-24高一下·山东东营·期末）如图，正四棱锥中，是这个正四棱锥的高，是斜高，且，． (1)求这个四棱锥的全面积 (2)分别求出该几何体外接球与内切球的半径． 【解题思路】(1)利用勾股定理计算出 ，可得出，求出侧面三角形面积，计算出该正四棱锥的侧面积和底面积，相加即可得出该正四棱锥的全面积. (2)根据题意，外接球球心在线段上，勾股定理可求出外接的半径，内接球的半径可用等体积法求出半径. 【解答过程】（1）连接，． 在中，，故． 所以，， 故这个四棱锥的全面积为； （2）由题几何体外接球球心在线段上，设为，设外接的半径为． 因为，所以， 在中，由勾股定理得： ，即，解得： 设内接球的半径为．， 所以， 解得：. 【变式10.2】（24-25高二上·上海闵行·期末）我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示，在长方体中，已知，. (1)求证：四棱锥是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积； (2)求该“阳马”的外接球的表面积. 【解题思路】（1）根据平面，且是矩形，可证明四棱锥是“阳马”，根据锥体的体积公式可求其体积； （2）根据长方体的外接球即为四棱锥的外接球，长方体的对角线就是外接球的直径，结合球体的表面积公式求解. 【解答过程】（1）因为长方体中，平面，且是矩形， 所以四棱锥中，底面是矩形，且侧棱底面， 所以四棱锥是一个“阳马”， 体积； （2）长方体的外接球即为四棱锥的外接球， 因为，. 长方体的对角线长为， 则长方体的外接球的半径， 该“阳马”外接球的表面积为. 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（   ） A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．六条棱长均相等的四面体是正四面体 C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 【解题思路】根据三棱锥、棱柱、圆台，正四面体的定义逐一判断即可. 【解答过程】底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A错误； 斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，C错误； 六条棱长均相等的四面体是正四面体，B正确； 截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错误． 故选：B. 2．（24-25高二上·北京海淀·期末）正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】取的中点为，连接，结合勾股定理即可求解； 【解答过程】 取的中点为，连接， 由正三棱柱的性质易知：平面, 又面， 所以，又， 所以， 故选：A. 3．（24-25高二上·四川达州·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（   ） A．1 B． C． D．3 【解题思路】根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积. 【解答过程】在梯形中，，则该梯形的高为， 梯形的面积为， 在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的， 所以平面图形的面积. 故选：D. 4．（2024·辽宁大连·模拟预测）唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R，酒杯的容积，则其内壁表面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据圆柱和球的体积公式和表面积公式即可求解. 【解答过程】设圆柱部分的高是， 所以， 所以 所以， 内壁表面积为， 故选：C. 5．（2025高三·全国·专题练习）某圆柱的高为，底面周长为，，分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中，如图所示，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】通过圆柱侧面展开图，确定，的位置，然后利用勾股定理求展开图中长即可. 【解答过程】圆柱的侧面展开图及，的位置（为的四等分点）如图所示， 底面周长为展开矩形的长，故，圆柱高为展开矩形的高，故， 所以，连接，则图中即为到的最短路径， . 故选: B. 6．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设出正方体的棱长，求出正方体的表面积，再求正四面体的表面积，求比值即可． 【解答过程】设正方体的棱长为，则正方体的表面积是， 正四面体的棱长为，它的表面积是 ， 因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为． 故选：D． 7．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）一个高为的直三棱柱容器内装有水，将侧面水平放置如图（1），水面恰好经过棱，，，的中点，现将底面水平放置如图（2），则容器中水面的高度是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设直三棱柱的底面面积为，在图中，设水面的高度为，根据图和图中水的体积相等可得出关于的等式，即可解得的值. 【解答过程】记棱，，，的中点依次为， 设直三棱柱的底面面积为， 在图中，设水面的高度为，则水的体积为， 在图中，几何体为直四棱柱， 因为分别为棱，，，的中点，所以， 则水的体积为，解得. 故选：C. 8．（23-24高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正四面体的性质，推得球心的位置，求出正方体的高与斜高.根据相似三角形，得出方程，即可求出球的半径，得出答案. 【解答过程】    如图，正四面体，设点是底面的中心，点是的中点，连接. 则由已知可得，平面，球心在线段上，球切平面的切点在线段上，分别设为. 则易知，，设球的半径分别为. 因为，根据重心定理可知，. ，，，，. 由可得，， 即，解得，，所以. 由可得，， 即，解得， 所以，球的体积为. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的空间图形是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的复杂空间图形，现用一个竖直的平面去截这个复杂空间图形，则截面图形可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由组合体结构特征，用一个平面截几何体，根据平面不同截法判断截面轮廓，即可得答案. 【解答过程】一个圆柱被挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的截面轮廓是矩形去掉上侧一条边， 而圆锥截面的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分，且三角形顶点必在矩形下侧底边中点上、抛物线顶点不可能在矩形下侧底边上，排除B,C. 故选：AD. 10．（23-24高一下·河南驻马店·期末）如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形为等腰梯形 D．四边形的周长为 【解题思路】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【解答过程】由题意可画出其直观图如下， 其中 ，故A错误，B正确； 过点分别作，垂足分别为点， 故， ，故， 则四边形为等腰梯形，故C正确； 故四边形的周长为，即D错误. 故选：BC. 11．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台轴截面面积为 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 【解题思路】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断BC选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项． 【解答过程】如图①，作交于E，则， 则，则圆台的高为，故A错误； 圆台的轴截面面积为，故B错误，C正确； 将圆台的一半侧面展开，如图②，设P为的中点，由圆台补成圆锥，圆台对应的圆锥的一半侧面展开为扇形， 可得大圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥侧面展开图的圆心角为， 连接，可得，，则， 所以沿着该圆台表面从点C到中点的最短距离为，故D正确． 故选：CD． 三、填空题 12．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图是用斜二测画法画出的水平放置的正的直观图，其中，则的面积为 . 【解题思路】由直观图可以推得原三角形底边长及高，从而可得，从而求得三角形的高，即可求解面积. 【解答过程】由直观图可知，原三角形边长为4，则边上的高为，所以， 所以的高是，所以的面积是. 故答案为：. 13．（2024高三·全国·专题练习）正方体的棱长为3，E，F是棱，上的中点，平面截正方体所得截面的周长为 . 【解题思路】由直线EF与分别交于G，H，连接AG，AH分别交，于点M，N，得到五边形为平面截正方体所得的截面，然后根据E，F为中点，利用三角形相似，确定点M，N的位置求解. 【解答过程】解：如图所示： 直线EF与分别交于G，H，连接AG，AH分别交，于点M，N， 则五边形为平面截正方体所得的截面， 因为E，F分别是，的中点， 所以易得， 所以， 因为，所以， 可得，同理可得， 所以五边形的周长为， 故答案为：. 14．（23-24高一下·吉林·期中）如图所示，在三棱柱中，若点E，F分别满足，，平面将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为和，则＝ . 【解题思路】先计算三棱柱的体积，再得出三棱台的体积，从而根据，即可求解. 【解答过程】在三棱柱中，设的面积为S，三棱柱的高为h， 则三棱柱的体积为，由，， 得，则，且，于是的面积为， 则三棱台的体积为，从而， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）图中平面图形从上往下依次由等腰三角形、圆、半圆、矩形、等腰梯形拼接形成，若将它绕直线l旋转形成一个组合体，试分析该组合体由哪些简单几何体构成． 【解题思路】根据旋转体的定义判断即可. 【解答过程】因为平面图形从上往下依次由等腰三角形、圆、半圆、矩形、等腰梯形拼接形成， 若将它绕直线l旋转形成一个组合体从上到下依次为圆锥、球、半球、圆柱、圆台. 16．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【解题思路】（1）利用直观图与原图形的关系作图即可得； （2）利用直观图的性质计算可得原图形对应边长，即可计算原图形的高与面积. 【解答过程】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，，则即为原来的图形，如图②所示： （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高， 且， 在直观图中作于点， 则的面积， 在直角三角形中，，所以， 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 17．（23-24高一下·北京东城·期中）如图是一个正四棱台的石料，上、下底面的边长分别为和，高．    (1)求四棱台的表面积； (2)若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，求圆台的体积． 【解题思路】（1）求出侧面的斜高，得到侧面积，再与上下底面积求和得到表面积； （2）最大的圆台是上底面圆与棱台上底面正方形相切，高为棱台的高时，求其体积即可. 【解答过程】（1）如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形，分别取中点，连结.则， 所以， 所以四棱台的表面积.    （2）若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高. 则圆台上底面圆半径，下底面圆半径，高， 则圆台的体积为． 18．（24-25高一下·全国·课后作业）如图给出两个几何体：    (1)画出两个几何体的平面展开图； (2)图①是侧棱长为的正三棱锥，，过点作截面分别交BD，CD于点E，F，求截面三角形周长的最小值． 【解题思路】（1）作出展开图即可. （2）沿着侧棱DA把正三棱锥展开在一个平面内，利用两点间线段最短可求截面周长的最小值． 【解答过程】（1）展开图如下图所示．    （2）将三棱锥沿侧棱DA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图， 线段的长为所求周长的最小值，取的中点，则， 又，可求得，则，即截面三角形周长的最小值为6．    19．（24-25高二上·上海·期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. (1)求球的体积； (2)正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 【解题思路】（1）设球的半径为，根据球和正方体的结构特征结合题意可得球心到正方体上底面中心的距离为和过正方体上底面截球所得截面圆的半径，再根据即可求解. （2）分别计算圆柱的体积，小圆锥的体积和大圆锥的体积，从而计算出圆台的体积，从而得到劣球缺的体积. 【解答过程】（1）设球的半径为， 则由题可知球心到正方体上底面中心的距离为，且过正方体上底面截球所得截面圆的半径为， 所以即，， 所以球的体积为. （2）圆柱体的体积为小圆锥的体积为大圆锥的体积为圆台的体积为 则劣球缺的体积为 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$