精品解析： 广东省深圳市31校 2024—2025学年下学期2月九年级质量检测数学试题

2025年初三年级质量检测 数学（2月） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共24分，第Ⅱ卷为9-20题，共76分．全卷共计100分．考试时间为90分钟． 注意事项： 1．答题前，请将学校、姓名、班级、考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码贴在答题卡指定位置． 2．选择题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动请用2B橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．非选择题，答题不能超出题目指定区域． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 第Ⅰ卷（本卷共计24分） 一、选择题：（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共计24分） 1. 榫卯结构是中国传统建筑，家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（　　） A B. C. D. 2. 若是一元二次方程的解，则的值为（　　） A B. 0 C. 1 D. 2 3. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节间的距离．若间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为（　　）． A. B. C. D. 5. 如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的山东省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 6. 验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度． A. 150 B. 200 C. 250 D. 300 7. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为（　　）米． A. B. C. D. 第Ⅱ卷（本卷共计76分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则__________． 10. 若二次函数的图象开口向下，顶点在轴正半轴上，则二次函数表达式为___________．（写出一个即可） 11. 把一块含60°角的三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边与x轴的夹角，若，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为______． 12. 如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是___________．（填上所有满足条件的序号） 13. 如图，在中，，，是边上一点，且，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，则的面积为___________． 三、解答题：（本大题共7小题，共61分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 14. 计算： 15. 某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生共有__________人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为__________； （2）若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数； （3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率． 16. 如图，在中，． （1）按如下步骤用直尺（不带刻度）和圆规作图．（要求：保留作图痕迹，不写作法．） ①在上取一点，使；②作的平分线交于点；③连接． （2）若，，求出（1）中所作的四边形的面积． 17. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了元，请完成下列问题： （1）降价元后月销售量为___________件：（用含的式子表示） （2）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 18. 根据以下素材，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 素材1 某小区为解决“停车难”这个问题，改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，，出入口斜坡长． 素材2 图2是地下停车库门口安装车牌识别设备，摄像头D点位于B点正上方，D，B，C三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭． （参考数据：，，） 素材3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速 问题解决 任务一 确定斜坡坡比：如图1，求的值． 任务二 判断车辆是否顺利通过：如图3，当时，请判断此时车辆以最高限速行驶到达B点时，闸门是否已经打开，请通过计算说明． 19. 已知二次函数． （1）若函数图象经过点，解决下列问题： ①求该二次函数的表达式； ②若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标． （2）设点，是该函数图象上两点，若，求证：． 20. 在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角． （1）填空： ①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（___________，___________）； ②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为___________； （2）如图3，经过得到，又将经过得到，连接，，求证：四边形是平行四边形． （3）如图4，在中，，，，若经过（2）中的变换得到的四边形恰好是正方形时，则的长为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年初三年级质量检测 数学（2月） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共24分，第Ⅱ卷为9-20题，共76分．全卷共计100分．考试时间为90分钟． 注意事项： 1．答题前，请将学校、姓名、班级、考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码贴在答题卡指定位置． 2．选择题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动请用2B橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．非选择题，答题不能超出题目指定区域． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 第Ⅰ卷（本卷共计24分） 一、选择题：（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共计24分） 1. 榫卯结构是中国传统建筑，家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，根据从正面看到的图形即可求解，掌握物体三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：榫的主视图为： 故选：B． 2. 若是一元二次方程的解，则的值为（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】把代入，转化为m的方程求解即可． 本题考查了一元二次方程的定义，方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴， 解得， 故选：D． 3. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节间的距离．若间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接，根据菱形的性质可得，可得是等边三角形，可算出，根据，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵衣帽架是由三个全等的菱形构成的，间的距离调节到， ∴， ∵菱形的边长， ∴， ∴是等边三角形，则， ∵四边形是菱形， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． 4. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的的应用，小孔到的距离为，由得，即得，据此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：小孔到的距离为， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：． 5. 如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的山东省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，几何概率，先根据折线图，利用频率估算出概率，再利用几何概率的计算公式，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，频率稳定在左右， ∴， ∴不规则图案的面积为； 故选B． 6. 验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度． A. 150 B. 200 C. 250 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可． 【详解】解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了（度）， 故选：B 7. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 8. 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为（　　）米． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点E作于点I，利用三角函数得出，根据勾股定理得出，根据等腰三角形性质可得，最后勾股定理求得，即可． 【详解】解：过点E作于点I， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵长为米，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查了正切函数的应用，平行线的性质，等腰三角形的三线合一性质，余角的性质，熟练掌握正切函数，等腰三角形的性质是解题的关键． 第Ⅱ卷（本卷共计76分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 10. 若二次函数的图象开口向下，顶点在轴正半轴上，则二次函数表达式为___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质．根据二次函数的开口向下可知该二次函数的二次项系数小于0，再由顶点位于y轴正半轴上，可知常数项是正数，由此可得出符合条件的二次函数的解析式． 【详解】解：∵二次函数的开口向下， ∴该二次函数的二次项系数小于0， ∵顶点在y轴的正半轴上， ∴该函数的一次项系数为0，常数项大于0， ∴符合条件的二次函数的解析式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 11. 把一块含60°角的三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边与x轴的夹角，若，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设反比例函数解析式为，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别为D，E，解，求出，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为，点A，C分别作轴，轴，垂足分别为D，E，如图， 在中，， ∴， ∴， 在中，∠， ∴∠， ∴， ∴， ∵∠ ∴ 在中，∠， ∴， ∴， ∴， 设，则 ∴， ∴ ∵A，C均在反比例函数图象上， ∴ 解得，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确表示出点A和点C的坐标是解答本题的关键． 12. 如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是___________．（填上所有满足条件的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故①正确． ∵,， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故②正确． ∵， ∴四边形是菱形， 故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形矩形， 故④正确． 故答案：①②④． 13. 如图，在中，，，是边上一点，且，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作交的延长线于G，证明；延长交的延长线于H，证明，过点B作于F，证明，利用勾股定理，三角形相似，面积计算的分割法，解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ， 过点B作交的延长线于G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， 延长交的延长线于H， 由折叠知，，，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∴， ， ， 过点B作于F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，分割法计算图形的面积，熟练掌握勾股定理，折叠的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 三、解答题：（本大题共7小题，共61分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 14. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值及零次幂的运算法则是解题的关键． 把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】解：原式 ． 15. 某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生共有__________人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为__________； （2）若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数； （3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率． 【答案】（1）100； （2）估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人 （3）列表见解析，刚好抽中两名同学为一男一女的概率为 【解析】 【分析】本题主题考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、列表法求概率等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用“选择地点B的学生人数其其占比”求解即可；利用“选择地点A的学生占比”求解即可； （2）利用“该校学生总数×选择地点C的学生占比”，即可求得答案； （3）根据题意列表，结合表格即可获得答案． 【小问1详解】 解：此次被调查的学生共有（人）； 研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为． 故答案为：100；； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人． 小问3详解】 解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1男2 男1女1 男1女2 男2 男2男1 男2女1 男2女2 女1 女1男1 女1男2 女1女2 女2 女2男1 女2男2 女2女1 由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种， 刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：（一男一女）． 答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为． 16. 如图，在中，． （1）按如下步骤用直尺（不带刻度）和圆规作图．（要求：保留作图痕迹，不写作法．） ①在上取一点，使；②作的平分线交于点；③连接． （2）若，，求出（1）中所作的四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①以A为圆心，以长为半径画弧，交于点，则； ②根据角的平分线的基本作图，解答即可； ③用直尺连接． （2）先证明四边形是菱形，再过D作交于G，结合已知，利用菱形的面积公式计算即可． 本题考查了常见的基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握基本作图，菱形的判定是解题的关键． 【小问1详解】 解：所求图形，如图所示． 【小问2详解】 解：∵根据作图，平分，则， 又，, ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 过D作交于G， 又，， ∴， ， ∴菱形的面积为． 17. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了元，请完成下列问题： （1）降价元后的月销售量为___________件：（用含的式子表示） （2）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1） （2）当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了元，则降价元后的月销售量为件． （2）设降价降了元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为8400元列方程求解即可． 【小问1详解】 解： 降价元后的月销售量为件 故答案为： 【小问2详解】 解：设降价降了元，则每件的利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 18. 根据以下素材，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 素材1 某小区为解决“停车难”这个问题，改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，，出入口斜坡长． 素材2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，摄像头D点位于B点正上方，D，B，C三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭． （参考数据：，，） 素材3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速 问题解决 任务一 确定斜坡坡比：如图1，求的值． 任务二 判断车辆是否顺利通过：如图3，当时，请判断此时车辆以最高限速行驶到达B点时，闸门是否已经打开，请通过计算说明． 【答案】任务一：；任务二：闸门没有打开，理由详见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 任务一：利用勾股定理求出，从而得解； 任务二：过点作于，设，则，利用得到，从而求出，利用求出，从而得到，从而计算出车辆以最高限速行驶到达点的时间，从而得解． 【详解】解：任务一：，，长， ， 的值为：； 任务二：闸门没有打开，理由如下： 过点作于， ，， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 解得：， ， 车辆以最高限速行驶到达点的时间为： 秒，， 闸门没有打开． 19. 已知二次函数． （1）若函数图象经过点，解决下列问题： ①求该二次函数的表达式； ②若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标． （2）设点，是该函数图象上的两点，若，求证：． 【答案】（1）①；② （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法、二次函数图像的性质、配方法的应用等知识点，掌握二次函数图像的性质成为解题的关键． （1）①直接将代入求得a即可解得；②先根据平移表示出B、C两点的坐标，然后根据二次函数图像的对称性和二次函数的性质即可解答； （2）由可得，则有，，再用表示出可得，然后运用配方法解答即可． 【小问1详解】 解：①将代入可得， 解得：， ∴该二次函数的表达式为； ②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为：， ∴， 解得：， 把代入， 得，即． 【小问2详解】 证明：∵设点，是该函数图象上的两点， ∴ ∴，， ∴ ， ∵， ∴，即． 20. 在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角． （1）填空： ①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（___________，___________）； ②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为___________； （2）如图3，经过得到，又将经过得到，连接，，求证：四边形是平行四边形． （3）如图4，在中，，，，若经过（2）中的变换得到的四边形恰好是正方形时，则的长为___________． 【答案】（1）①；②2 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①根据新定义的意义直接写出答案为即可； ②根据旋转相似变换，得到，根据得是边长为的等边三角形，得到，，于是，得到，解答即可； （2）根据经过得到，得到，得到，；根据经过得到，得到，得到从而得到；由得即结合得到得到，继而得到得到，同理可证证明即可． （3）将经过得到，又将经过得到，得到的四边形恰好是正方形时，计算即可． 【小问1详解】 ①解：根据新定义的意义，得答案为， 故答案为：； ②解：根据旋转相似变换，得到， 根据得是边长为的等边三角形，得到，， 于是， 故， 故答案为：2，逆60°． 【小问2详解】 证明：∵经过得到， ∴， ∴，； ∵经过得到， ∴， ∴ ∴； ∵， ∴即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证。 故四边形是平行四边形． 【小问3详解】 解：以为边在其上方作等边三角形，再作其外接圆，作的直径，再在的上方分别作，延长交于点F，连接，则， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴将经过得到， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴将经过得到， 此时 ∴四边形是正方形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，新定义问题，圆周角定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$