2025年九年级数学中考解答题复习 解答题之图形的平移、对称及旋转

中考数学第一轮复习 解答题练习 解答题之图形的平移、对称及旋转 解答题： 1．如图，四边形ABCD是边长为16的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B′处，点A的对应点为点A′，且B′C＝3，求AM的长． 2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣5，2）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标； （2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2，并写出点B2的坐标； （3）在（2）的条件下，求点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长（结果保留π）． 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝α°，AB＝AC，点D为平面上一点，连接AD，将AD绕着点A逆时针旋转α°得到线段AE，连接DE，取DE的中点F，取BC的中点G，连接DC，取DC的中点M，连接FM． （1）依题意补全图形； （2）猜想∠GFM的度数（用含α的式子表示），并证明． 4．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，点A的对应点为点G． （1）求证：△DEG≌△DFC； （2）若∠CDF＝20°，求∠AEF的度数． 5．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB和点P在网格图中的位置如图所示． （1）画出将线段AB先向左平移4个单位，再向下平移3个单位后得到的线段A′B′； （2）画出将线段AB绕点P旋转180°得到的线段A″B″，其中点A对应点A″； （3）若点P的坐标是（1，2），则点B″的坐标为 　 　． 6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（3，4），C（4，2）． （1）在图中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）通过平移，使C1移动到原点O的位置，画出平移后的△A2B2C2． （3）在△ABC中有一点P（m，n），则经过以上两次变换后点P的对应点P2的坐标为 　 　． 7．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上． （1）以点A为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1，画出△AB1C1． （2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2． 8．【实践操作】 操作一：如图①，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片ABCD展开，得到折痕PQ． 操作二：如图②，将正方形纸片ABCD的左上角沿AP折叠，得到点B的对应点为B′，AB′交PQ于点E． 操作三：如图③，将正方形纸片ABCD的右上角沿PB′折叠再展开，折痕PB′交CD于点M． 图①图②图③ 【问题解决】 （1）求证B′M＝DM． （2）tan∠EAQ＝　 　• 【拓展应用】 （3）在图③中延长AB′交CD于点N，则　 　． 9．【问题初探】 （1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E在线段BC上，BD⊥AE，垂足为点D，连接CD，∠ADC＝60°，求证：； 丽丽和东东两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①如图2，丽丽从条件出发，发现∠DAC＝∠ABD，利用条件AB＝AC，结合“边角边”定理在AD边上截取AF＝BD，构造了一对全等三角形，将求证的问题转化为CD与DF的数量关系． ②如图3，东东受到丽丽的启发，也利用“边角边”定理，在BD的延长线上取点F，使BF＝AD，连接AF，得到了△ADC≌△BFA，发现∠AFD＝60°，利用边角之间的关系证明了问题． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程，也可以用不同于上面两位同学的方法进行解答． 【迁移应用】 （2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E在线段BC上，过点B作BD⊥AB，交AE的延长线于点D，线段AD绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，当点F恰好在CB的延长线时，求证：． 【能力提升】 （3）在（2）的条件下，若AB＝4，请直接写出△BDE的面积． 10．轴对称变换是几何证明中重要的图形变换之一，即寻找对称轴，将对称轴的一侧图形进行翻折，来构造满足条件的几何辅助线． 【例题】如图1，OC是∠AOB的平分线，且∠OAC+∠CBO＝180°，试猜想AC与BC的数量关系，并说明理由； 分析：将△AOC沿直线OC翻折，得到△COE，通过相关定理即可得到结论．请猜想AC与BC的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 如图3，A、D为线段BC同侧两点，∠BAC＝∠BDC＝60°，2∠ACB+∠ACD＝180°，若AB＝10，AC＝6，求CD的长． 11．综合与实践 问题情境： 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在△ABC所在的平面内运动．探究图形间存在的关系． 特例探究： （1）如图1，当点D在边AB上运动，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE，发现BE⊥AB，请说明理由； 拓展探究； （2）如图2，点E和F分别为AC和AB的中点，点D在△ABC外部时，将线段ED绕点E逆时针旋转90°得到EH，连接EF，DF和CH，判断DF与CH的数量关系，并证明； 求异探究： （3）如图3，当点D在AC的延长线上时，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转90°得到线段BE，连接AE．若CD＝3，AE，直接写出BD的长． 12．在Rt△ABC中，∠A＝90°，E，F，D分别是AC，AB，BC上的点，BF＝FD，DE＝EC． （1）求∠FDE的度数（图1）； （2）若点G为BC的中点（图2），其它条件不变，请探究FG与EG是否垂直； （3）将（1）中△DEC绕点D逆时针旋转一定的角度得到△DE′C′，如图3所示，G为线段BC′的中点，FG⊥GE′吗？请说明理由． 13．如图，在△OAB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，将△OAB绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到△A'OB'，连接A′A，A′B． （1）当α＝30°时，求A'B的长度； （2）当A'A＝A'B时，求α的度数． 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝50°．将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得△DBE，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求∠ADE的度数． 15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点O，△ABC的顶点A，B，C均在格点（网格线的交点）上．（1）把△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1； （2）在图中画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2． 16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标A（1，0），B（4，1），C（2，4）． （1）将△ABC向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）将△A1B1C1绕原点逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标； （3）△A1B1C1在旋转到△A2B2C2过程中，求B1走过的路径的长度． 17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，小正方形的顶点为格点，△ABC与△EFG的顶点都在格点上． （1）作△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称． （2）已知△ABC与△EFG关于点P成中心对称，请在图中画出点P的位置，并写出该点的坐标． 18．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F． （1）证明：△ADF≌△AB′E； （2）若AD＝12，DC＝18，求△AEF的面积． 19．在△ABC中，∠ABC＜90°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，其中点A的对应点为点D，连接CE，CE∥AB． （1）如图1，试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系，并给出证明； （2）如图2，若点D在边BC上，DC＝2，AC，求AB的长． 20．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，请按要求画图． （1）在图①中以线段AB为边画一个△ABC，使其是轴对称图形； （2）在图②中的线段AB上找到一点D，使AD＝3DB； （3）在图③中画一个以点A为对角线交点，且面积为6的平行四边形EFGH． 21．如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）． （1）将△AOB向下平移4个单位得到△A′B′C′，请在图中作出△A′B′C′，则点B的对应点B′坐标为　 　； （2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1，请在图中作出△A1OB1； （3）求△A1OB1的面积． 22．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣1）． （1）若△ABO与△A1B1O关于y轴的对称，则A1、B1的坐标分别是 　 　； （2）请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． ①在图1中，找一格点P，使得∠APO＝45°； ②在图2中，作出△ABO的高AQ． 23．如图，在等边△ABC中，点D是平面内一点． （1）如图1，若点D在BC的延长线上，且∠ADB＝45°，CD＝1，求AB的长； （2）如图2，若点D在AC的垂直平分线上，DE∥AB交BC于点E，点F是CD的中点，连接EF，AF，AE，猜想AE与EF之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若点D在BC的延长线，连接AD，点M是AD的中点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AP，连接CP，点Q是CP的中点，连接MQ，AB＝4，直接写出MQ的最小值． 24．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将线段AC绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤60°）得到线段AD．点D关于直线BC的对称点为E，连接AE，DE． （1）如图1，当α＝60°时，用等式表示线段AE与BD的数量关系，并证明； （2）连接BD，依题意补全图2，若AE＝BD，求α的大小． 25．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1 （1）画出旋转后的图形； （2）求线段OA在旋转过程中所扫过的图形面积． 26．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）． （1）将△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）作出与△ABC与关于原点成中心对称的△A2B2O； （3）△A2B2O通过旋转可以得到△A1B1C1，则旋转中心P的坐标为 　 　． 27．综合与实践 【特殊感知】（1）如图1，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，求证：BC＝2OC． 【变式探究】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，在AC的右侧作等边△ACD，取BD的中点P，连接CP． ①求证：CP是AD的垂直平分线； ②若BC＝2，求CP的长． 【拓展提高】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，D为BC上的任意一点，将AD绕点A逆时针旋转得到线段AE，旋转角为2α．取BE的中点P，连接CP，猜想BD与CP的数量关系，并给予证明． 28．【问题情境】在数学活动课上，奋飞组的同学在延时课上用两张矩形纸片进行探究活动．小组同学准备了两张矩形纸片ABCD和EBGF，其中AB＝8，BC＝6，将它们按如图1所示的方式放置，点E，G分别落在AB，BC边上时，点E，G恰好为边AB，BC的中点．． 然后将矩形纸片EBFG绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为α，连接AE与CG． 【观察发现】（1）如图2所示，当α＝90°时，小组成员发现AE与CG存在的数量关系为 　 　；位置关系为 　 　； 【探索猜想】 （2）如图3所示，当90°＜α＜180°时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）在矩形EBFG的旋转过程中，连接AG，CE，得AG2+CE2为定值，请直接写出此定值． 29．如图①，在直角三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8． 【数学活动】 将三角形纸片ABC进行以下操作：①折叠三角形纸片ABC，使点C与点A重合，得到折痕DE，然后展开铺平；②将△DEC绕点D顺时针方向旋转得到△DFG，点E，C的对应点分别是点F，G，直线GF与边AC交于点M（点M不与点A重合），与边AB交于点N． 【数学思考】 （1）折痕DE的长为 　 　； （2）在△DEC绕点D旋转的过程中，试判断MF与ME的数量关系，并证明你的结论； 【数学探究】 （3）如图②，在△DEC绕点D旋转的过程中，当直线GF经过点B时，求AM的长； 【问题延伸】 （4）在△DEC绕点D旋转的过程中，连接AF，则AF的取值范围是 　 　． 30．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点． （1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　； （2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝2，AB＝4，直接写出△PMN面积的最大值． 31．综合与探究 在正方形ABCD中，AB＝4，点E是AB边上的动点，连接CE． （1）【探索发现】如图1，过点D作DF⊥CE，求证：△CFD∽△EBC； （2）【类比探究】如图2，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF，当△CFD是等腰三角形时，求此时AE的长度与△CFD的面积； （3）【拓展延伸】如图3，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF，将△CFD沿CE翻折得到△CFG，FG交BC于点H，请直接写出线段CH的最小值． 32．如图1，已知直线MN∥GH，且MN和GH之间的距离为1，小明同学制作了两个直角三角形硬纸板ACB和DEF，其中∠ACB＝90°，∠DFE＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝1．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： （1）如图1，点A在MN上，边BC在GH上，边DE在直线AB上． ①将直角三角形DEF沿射线BA的方向平移，当点F在MN上时，如图2，求∠AFE的度数； ②将直角三角形DEF从图2的位置继续沿射线BA的方向平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，求∠FAN度数； （2）将直角三角形ABC如图3放置，若点A在直线MN上，点C在MN和GH之间（不含MN，GH上），边BC和AB与直线GH分别交于D，K．在△ABC绕着点A旋转的过程中，设∠MAK＝n°，∠CDK＝（4m﹣2n﹣10）°，则m的取值范围为　 　． 33．在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H． （1）如图1，求证：△DEP∽△CPH； （2）如图2，当P为CD的中点，AB＝2，AD＝3时，求GH的长； （3）如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由． 34．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点E是BC上一点，将△ABE沿着AE对叠，点B恰好落在AC上，对应点为点D，连接DE． （1）求BE的长； （2）点G是AC上一点，BG与AE交于点F． （ⅰ）如图2，当BG⊥AC时，求tan∠BFE的值； （ⅱ）如图3，当点F是AE的中点时，求的值． 35．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝nBC，P为AB上的一点（不与端点重合），过点P作PM⊥AB交AC于点M，得到△APM． （1）【问题发现】如图1，当n＝1时，P为AB的中点时，CM与BP的数量关系为　 　； （2）【类比探究】如图2，当n＝2时，△APM绕点A顺时针旋转，连接CM，BP，则在旋转过程中CM与BP之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知AB＝4，AP＝2，当△APM绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段BM的长． 36．数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角△ABC和△ADE摆在一起，其中直角顶点A重合，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°． （1）用数学的眼光观察． 如图1，连接BD，CE，判断BD与CE的数量关系，并说明理由； （2）用数学的思维思考． 如图2，连接BE，CD，若F是BE中点，判断AF与CD的数量关系，并说明理由； （3）用数学的语言表达． 如图3，延长CA至点F，满足AF＝AC，然后连接DF，BE，当，AD＝1，△ADE绕A点旋转得到D，E，F三点共线时，求线段EF的长． 37．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：△ABC和△DEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，点D为BC中点，将△DEF绕点D旋转，连接AE、CF． 观察猜想： （1）如图1，在△DEF旋转过程中，AE与CF的位置关系为 　 　； 探究发现： （2）如图2，当点E、F在△ABC内且C、E、F三点共线时，试探究线段CE、AE与DE之间的数量关系，并说明理由； 解决问题： （3）若△ABC中，，在△DEF旋转过程中，当且C、E、F三点共线时，直接写出DE的长． 38．如图①，在正方形ABCD中，AB＝4，在AD上取一点E，使得，以AE为边作正方形AEFG，连接BE，CF． 问题发现： （1）的值是 　 　；直线BE，CF所夹锐角的度数是 　 　； 拓展探究： （2）如图②，正方形AEFG绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图②证明；若不成立，请说明理由； 解决问题： （3）在旋转过程中，当点E到直线AB的距离为时，请直接写出CF的长． 39．已知，E、F分别为▱ABCD的边BC、AD上的动点，将▱ABCD沿直线EF折叠，使点C落在边AB上的点C′处，点D的对应点为D′． （1）如图，当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形EC′D′F为平行四边形； （2）若AB＝BC，∠B＝60°，EC′⊥AB，求的值； （3）若AB＝5，BC＝6，▱ABCD的面积为24，求CE的取值范围． 40．已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜360°），连接BD，AE． （1）问题发现：如图1所示，若△ABC和△CDE均为等边三角形，则线段BD与线段AE的数量关系是 　 　； （2）类比探究：如图2所示，若∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，其他条件不变，请写出线段BD与线段AE的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：如图3所示，若∠BAC＝∠DEC＝90°，AB＝AC，CE＝DE，BC＝2CD＝2，当点B，D，E三点共线时，请直接写出BD的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 64页） 解析答案 解答题 1．如图，四边形 ABCD是边长为 16的正方形纸片，将其沿 MN折叠，使点 B落在 CD边上的点 B′处， 点 A的对应点为点 A′，且 B′C＝3，求 AM的长． 【解答】解：设 AM＝x， 连接 MB，MB′，如图所示： ∵四边形 ABCD是正方形， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝16， ∵B'C＝3， ∴DB′＝13， 在 Rt△ABM中，AB2+AM2＝BM2， 在 Rt△MDB′中，MD2+DB'2＝B'M2， 由折叠的性质得：MB＝MB′， ∴AB2+AM2＝BM2＝B′M2＝MD2+DB′2， 即 162+x2＝（16﹣x）2+132， 解得：� = 16932 ， 即�� = 16932 ． 【点评】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和 正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三 第 2页（共 64页） 个顶点坐标分别为 A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣5，2）． （1）画出△ABC关于 y轴对称的△A1B1C1，并写出点 B1的坐标； （2）画出△ABC绕点 A逆时针旋转 90°后得到的△AB2C2，并写出点 B2的坐标； （3）在（2）的条件下，求点 B旋转到点 B2的过程中所经过的路径长（结果保留π）． 【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，B1的坐标为（2，3）； （2）△AB2C2如图所示，B2的坐标为（﹣3，0）； （3）∵AB= 12 + 22 = 5，∠BAB2＝90°， ∴点 B旋转到点 B2的过程中所经过的路径长为： 90�⋅ 5 180 = 5 2 �． 【点评】本题考查了利用轴对称变换和旋转变换作图，弧长公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对 应点的位置是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝α°，AB＝AC，点 D为平面上一点，连接 AD，将 AD绕着点 A逆时针旋 转α°得到线段 AE，连接 DE，取 DE的中点 F，取 BC的中点 G，连接 DC，取 DC的中点 M，连接 FM． （1）依题意补全图形； （2）猜想∠GFM的度数（用含α的式子表示），并证明． 第 3页（共 64页） 有 【解答】解：（1）补全图形如图 1： （2）∠��� = 12�， 证明：连接 AF、BD、AG、GM、CE， 过 M作 MH⊥FG于点 H， 在△ADE中，∠DAE＝α°，AD＝AE，F为 DE中点， ∴∠��� = 90°，∠��� = 12�， 在△ABC中，∠BAC＝α°，AB＝AC，G为 BC中点， ∴∠��� = 90°，∠��� = 12�， ∴△ABG∽△ADF， ∴ �� �� = �� �� ， ∵∠1＝∠2， ∴△ABD∽△AGF， ∴ �� �� = �� �� ， ∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α°， ∴∠1＝∠3， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE， ∵点 F为 BE中点，M为 DC中点， ∴�� = 12��， 第 4页（共 64页） ∵点 G为 BC中点，M为 DC中点， ∴�� = 12��， ∵BD＝CE， ∴FM＝GM， ∵MH⊥FG， ∴∠4＝90°， ∴�� = 12��， ∵�� = 12��， ∴�� = 12��， ∴ �� �� = �� �� = �� �� ， ∴cos∠GFM＝cos∠BAG， ∴∠��� = ∠��� = 12�． 【点评】本题考查了相似三角形判定与性质、全等三角形判定与性质、三角形中位线定理及三角函数的 应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形以及全等三角形的判定定理． 4．如图，将矩形纸片 ABCD折叠，使点 B与点 D重合，折痕为 EF，点 A的对应点为点 G． （1）求证：△DEG≌△DFC； （2）若∠CDF＝20°，求∠AEF的度数． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD为矩形， ∴AB＝CD，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDC＝90°， ∵四边形 AEFB沿 EF折叠得到四边形 GEFD， ∴AB＝GD，∠A＝∠G＝90°，∠B＝∠GDF＝90°， ∴GD＝CD，∠GDF﹣∠EDF＝∠EDC﹣∠EDF， 即∠GDE＝∠CDF， 在△GDE和△CDF中， 第 5页（共 64页） ∠� = ∠� �� = �� ∠��� = ∠��� ， ∴△GDE≌△CDF（ASA）； （2）解：∵∠CDF＝20°，∠ADC＝90°， ∴∠EDF＝90°﹣20°＝70°， ∵△GDE≌△CDF， ∴DE＝DF， ∴∠��� = ∠��� = 12 × (180° − 70°) = 55°， ∴∠AEF＝180°﹣55°＝125°． 【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，根 据翻折变换的性质将问题转化求解是解题的关键． 5．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，线段 AB和点 P在网格图中的位置如图所示． （1）画出将线段 AB先向左平移 4个单位，再向下平移 3个单位后得到的线段 A′B′； （2）画出将线段 AB绕点 P旋转 180°得到的线段 A″B″，其中点 A对应点 A″； （3）若点 P的坐标是（1，2），则点 B″的坐标为 （﹣2，3） ． 【解答】解：（1）如图：线段 A′B′即为所求； （2）如图：线段 A″B″即为所求； （3）点 P的坐标是（1，2），建立坐标系如图， 第 6页（共 64页） 由图可知：B″（﹣2，3）； 故答案为：（﹣2，3）． 【点评】本题考查图形变换—平移与旋转，掌握坐标与图形的变换是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为 A（1，1），B（3，4），C（4，2）． （1）在图中画出△ABC关于 x轴对称的△A1B1C1； （2）通过平移，使 C1移动到原点 O的位置，画出平移后的△A2B2C2． （3）在△ABC中有一点 P（m，n），则经过以上两次变换后点 P的对应点 P2的坐标为 （m﹣4，﹣ n+2） ． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求； （3）点 P（m，n）经过第一次变换后的点 P1的坐标为（m，﹣n），经过第二次变换后的对应点 P2的 坐标为（m﹣4，﹣n+2）． 故答案为：（m﹣4，﹣n+2）． 【点评】本题考查了利用平移变换和轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位 第 7页（共 64页） 置，然后顺次连接． 7．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为 1，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上． （1）以点 A为旋转中心，将△ABC绕点 A顺时针旋转 90°得到△AB1C1，画出△AB1C1． （2）画出△ABC关于原点 O成中心对称的△A2B2C2． 【解答】解：（1）如图，△AB1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质． 8．【实践操作】 操作一：如图①，将正方形纸片 ABCD对折，使点 A与点 D重合，点 B与点 C重合，再将正方形纸片 ABCD展开，得到折痕 PQ． 操作二：如图②，将正方形纸片 ABCD的左上角沿 AP折叠，得到点 B的对应点为 B′，AB′交 PQ 于点 E． 操作三：如图③，将正方形纸片 ABCD的右上角沿 PB′折叠再展开，折痕 PB′交 CD于点 M． 图①图②图③ 【问题解决】 第 8页（共 64页） （1）求证 B′M＝DM． （2）tan∠EAQ＝ 3 4 • 【拓展应用】 （3）在图③中延长 AB′交 CD于点 N，则 �� �� = 5 12 ． 【解答】解：（1）如图，连接 AM， 根据翻折和正方形性质得：AD＝AB＝AB′，∠D＝∠B＝∠AB′M＝90°， ∴根据勾股定理，�′� = ��′2 − ��′2，�� = ��2 − ��2． ∴B′M＝DM； （2）延长 AB′交 DC于点 N， 设 DM＝B′M＝x，设正方形的边长为 2a， 则 PM＝PB′+B′M＝PB+B′M＝a+x，CM＝2a﹣x，PC＝a， 在 Rt△MCP中，PM2＝PC2+CM2， 即（a+x）2＝a2+（2a﹣x）2． 化简得� = 23 �． 同理，依题意 PC＝PB′，∠C＝∠PB′N， ∴根据勾股定理，�� = ��2 − ��2�′� = ��2 − ��′2， ∴CN＝B′N， 设 CN＝B′N＝y， 则�� = 2� − � − � = 2� − 23� − � = 4 3� − �， 在 Rt△EB′C中，MN2＝B′M2+B′N2， 第 9页（共 64页） 即( 43� − �) 2 = ( 23 �) 2 + �2， 化简得� = 12�． ∴�� = ��+�� = � + ( 43 � − �) = 2 3 � + 4 3� − 1 2 � = 3 2�， 在 Rt△ADN中，���∠��� = ���� = 3 2� 2� = 3 4． （3）根据（2）可知，�� = 43 � − � = 4 3 � − 1 2� = 5 6 �． ∴ �� �� = 5 6� 2� = 5 12 ． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握翻折 的性质是解题的关键． 9．【问题初探】 （1）如图 1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点 E在线段 BC上，BD⊥AE，垂足为点 D，连接 CD，∠ADC＝60°，求证：�� − �� = 12��； 丽丽和东东两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． ①如图 2，丽丽从条件出发，发现∠DAC＝∠ABD，利用条件 AB＝AC，结合“边角边”定理在 AD边 上截取 AF＝BD，构造了一对全等三角形，将求证的问题转化为 CD与 DF的数量关系． ②如图 3，东东受到丽丽的启发，也利用“边角边”定理，在 BD的延长线上取点 F，使 BF＝AD，连 接 AF，得到了△ADC≌△BFA，发现∠AFD＝60°，利用边角之间的关系证明了问题． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程，也可以用不同于上面两位同学的方法进行解答． 【迁移应用】 （2）如图 4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 E在线段 BC上，过点 B作 BD⊥AB，交 AE 的延长线于点 D，线段 AD绕点 D逆时针旋转 90°得到线段 DF，当点 F恰好在 CB的延长线时，求证： �� = 2��． 【能力提升】 （3）在（2）的条件下，若 AB＝4，请直接写出△BDE的面积． 第 10页（共 64页） 【解答】（1）选丽丽、证明：由题意知，∠DAC+∠ABD＝90°＝∠ABD+∠BAD， ∴∠DAC＝∠ABD， 又∵∠AFC＝90°＝∠BDA，AC＝AB， ∴△AFC≌△BDA（AAS）， ∴AF＝BD， ∵∠ADC＝60°， ∴���60° = ����，即�� = 1 2��， ∴�� − �� = �� − �� = �� = 12��， ∴�� − �� = 12��； 选东东、证明：如图 3，延长 BD到 F，使 BF＝AD，连接 AF， 由题意知，∠DAC+∠ABD＝90°＝∠ABD+∠BAD， ∴∠DAC＝∠ABD， 又∵AD＝BF，AC＝AB， ∴△DAC≌△FBA（SAS）， ∴∠AFD＝∠ADC＝60°，AF＝CD， ∴���60° = ����，即�� = 1 2��， ∴�� − �� = �� − �� = �� = 12�� = 1 2��， ∴�� − �� = 12��； （2）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝45°， 第 11页（共 64页） 如图 4，作 FG⊥DB的延长线于 G， 由旋转的性质可知，DF＝AD，∠ADF＝90°， ∵∠GDF+∠ADB＝90°＝∠BAD+∠ADB， ∴∠GDF＝∠BAD， 又∵DF＝AD，∠DGF＝90°＝∠ABD， ∴△DGF≌△ABD（AAS）， ∴FG＝BD， ∵∠G＝90°＝∠ABG， ∴FG∥AB， ∴∠GFB＝∠ABC＝45°， ∴�� = �����45° = 2�� = 2��， ∴�� = 2��； （3）解：由（2）知△DGF≌△ABD（AAS）， ∴DG＝AB＝4， ∵ �� �� = ���45°， ∴�� = �� = �� = 12�� = 2， ∵∠ABD+∠BAC＝180°， ∴AC∥BD， ∴∠C＝∠DBE，∠CAE＝∠BDE， ∴△CAE∽△BDE， ∴ �△��� �△��� = ( �� �� )2 = ( 4 2 )2 = 4， 解得 S△CAE＝4S△BDE， 由题意知，�△��� = 1 2 × �� × �� = 8，�△��� = 1 2 × �� × �� = 4， 第 12页（共 64页） ∵S△ABE+S△BDE①，S△ABE+S△CAE②， ∴②﹣①得，S△CAE﹣S△BDE＝4，即 4S△BDE﹣S△BDE＝4， 解得，�△��� = 4 3， ∴△BDE的面积为 4 3 ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，余弦，正切，平行线的判定与性质，相似 三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，旋转的性质，余 弦，正切，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 10．轴对称变换是几何证明中重要的图形变换之一，即寻找对称轴，将对称轴的一侧图形进行翻折，来构 造满足条件的几何辅助线． 【例题】如图 1，OC是∠AOB的平分线，且∠OAC+∠CBO＝180°，试猜想 AC与 BC的数量关系， 并说明理由； 分析：将△AOC沿直线 OC翻折，得到△COE，通过相关定理即可得到结论．请猜想 AC与 BC的数量 关系，并说明理由； 【拓展应用】 如图 3，A、D为线段 BC同侧两点，∠BAC＝∠BDC＝60°，2∠ACB+∠ACD＝180°，若 AB＝10，AC ＝6，求 CD的长． 【解答】解：【例题】AC＝BC， 理由：将△AOC沿直线 OC翻折，得到△COE， ∴△AOC≌△EOC， ∴AC＝EC，∠OAC＝∠OEC， ∵∠BEC+∠OEC＝180° ∴∠BEC+∠OAC＝180°， ∵∠OAC+∠CBO＝180°， ∴∠BEC＝∠CBO， ∴EC＝BC， 第 13页（共 64页） ∴AC＝BC； 【拓展应用】如图 3，延长 AC至 F，使 AF＝AB，连接 BF， ∵2∠ACB+∠ACD＝180°， ∴∠ACB＝90°− 12∠ACD， ∴∠BCF＝180°﹣∠ACB＝90°+ 12∠ACD， ∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+ 12∠ACD， ∴∠BCD＝∠BCF， ∵∠BAC＝60°，BA＝BF， ∴△ABF是等边三角形， ∴∠F＝60°， ∵∠A＝∠D＝60°， ∴∠D＝∠F， ∵BC＝BC， ∴△BCD≌△BCF（AAS）， ∴CD＝CF， ∵AF＝AC+CF＝AC+CD， ∴AB＝AC+CD， ∵AB＝10，AC＝6， ∴CD＝AB﹣AC＝4． 【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判 定，等边三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 11．综合与实践 问题情境： 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点 D在△ABC所在的平面内运动．探究图形间存在的关系． 第 14页（共 64页） 特例探究： （1）如图 1，当点 D在边 AB上运动，连接 CD，将线段 CD绕点 C逆时针旋转 90°得到 CE，连接 BE， DE，发现 BE⊥AB，请说明理由； 拓展探究； （2）如图 2，点 E和 F分别为 AC和 AB的中点，点 D在△ABC外部时，将线段 ED绕点 E逆时针旋 转 90°得到 EH，连接 EF，DF和 CH，判断 DF与 CH的数量关系，并证明； 求异探究： （3）如图 3，当点 D在 AC的延长线上时，连接 BD，将线段 BD绕点 B逆时针旋转 90°得到线段 BE， 连接 AE．若 CD＝3，AE= 3 3 − 3，直接写出 BD的长． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC＝45°， ∵将线段 CD绕点 C逆时针旋转 90°得到 CE， ∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CBE＝∠A＝45°， ∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°， ∴BE⊥AB； （2）如图所示，连接 AD，CF， ∵将线段 ED绕点 E逆时针旋转 90°得到 EH， ∴ED＝EH，∠DEH＝90°， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， 第 15页（共 64页） ∴∠A＝∠ABC＝45°， ∵点 E和 F分别为 AC和 AB的中点， ∴�� ∥ ��，�� = 12�� = 1 2�� = ��，则∠AEF＝90°， ∴∠AED＝∠FEH， ∴△DAE≌△HFE（SAS）， ∴∠EAD＝∠EFH，AD＝FH， ∵CF⊥AB，∠ACB＝90°，CA＝CB， ∴�� = 12�� = ��， 又∵EF⊥AC， ∴∠EFC＝45°， ∴∠EFC＝∠EAF＝45°， ∴∠EAD﹣∠EAF＝∠EFH﹣∠EFC，即∠FAD＝∠CFH， 在△ADF，△FHC中， �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△ADF≌△FHC（SAS）， ∴DF＝CH； （3）如图所示，过点 B作 FB⊥AB，交 AD的延长线于点 F， ∵△ACB是等腰直角三角形， ∴∠CAB＝45°， ∵FB⊥AB， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴BA＝BF， ∵将线段 BD绕点 B逆时针旋转 90°得到线段 BE， 第 16页（共 64页） ∴DB＝EB，∠DBE＝90°， ∴∠FBD＝90°﹣∠ABD＝∠ABE， ∴△ABE≌△FBD（SAS）， ∴�� = �� = 3 3 − 3， ∵∠ACB＝90°，BA＝FB， ∴�� = �� = �� = �� + �� = 3 3， 在 Rt△CBD中，�� = ��2 + ��2 = 32 + (3 3)2 = 6． 12．在 Rt△ABC中，∠A＝90°，E，F，D分别是 AC，AB，BC上的点，BF＝FD，DE＝EC． （1）求∠FDE的度数（图 1）； （2）若点 G为 BC的中点（图 2），其它条件不变，请探究 FG与 EG是否垂直； （3）将（1）中△DEC绕点 D逆时针旋转一定的角度得到△DE′C′，如图 3所示，G为线段 BC′的 中点，FG⊥GE′吗？请说明理由． 【解答】解：（1）∠FDE＝90°． 理由：∵FD＝BF，ED＝EC， ∴∠FDB＝∠B，∠EDC＝∠C， ∵∠A＝90°， ∴∠B+∠C＝90° ∴∠FDB+∠EDC＝90° ∴∠FDE＝180°﹣90°＝90° （2）FG⊥EG． 延长 FG至 H，使 GH＝FG．连接 EF，EH，CH． ∵BG＝CG，∠BGF＝∠CGH，GH＝GF， ∴△BGF≌△CGH（SAS）， ∴CH＝BF＝DF，∠B＝∠HCG， ∴CH∥BF， ∴∠HCE＝90°＝∠FDE． 第 17页（共 64页） 在△FDE和△HCE中，FD＝CH，∠FDE＝∠HCE，ED＝EC， ∴△FDE≌△HCE（SAS）， ∴EF＝EH， 又∵GH＝FG， ∴FG⊥EG． （3）FG⊥GE′． 延长 C′E′交 AB于点 M，延长 FG至 N，使 FG＝GN．连接 C′N，E′F，E′N． ∵∠DE′C′+∠BFD＝∠DEC+∠BFD＝180°， ∠DE′C′+∠DE′M＝180°， ∴∠BFD＝∠DE′M， 由三角形内角和可得，∠AME′＝∠FDE′， ∵BG＝C′G，GF＝GN，∠BGF＝∠C′GN， ∴△BFG≌△C′NG（SAS）， ∴C′N＝BF，∠FBG＝∠NC′G， ∴C′N∥BF， ∴∠AME′＝∠E′C′N， ∴∠FDE′＝∠E′C′N， 在△FDE′和△NC′E′中，FD＝NC′，∠FDE′＝∠NC′E′，E′D＝E′C′， ∴△FDE′≌△NC′E′（SAS）， ∴E′F＝E′N， 又∵G N＝F G， ∴FG⊥E′G． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定与性质，正确作出 第 18页（共 64页） 辅助线是解答本题的关键． 13．如图，在△OAB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，将△OAB绕点 O逆时针旋转角α（0°＜α＜90°） 得到△A'OB'，连接 A′A，A′B． （1）当α＝30°时，求 A'B的长度； （2）当 A'A＝A'B时，求α的度数． 【解答】解：（1）∵将△OAB绕点 O逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到△A'OB'， ∴A'O＝AO，∠AOA'＝30°， ∴∠A'OB＝60°， ∴△A'OB是等边三角形， ∴A'B＝BO＝2； （2）在△A'OB和△AOA'中， �� = �� �′� = �′� ��′ = �′� ， ∴△A'OB≌△AOA'（SSS）， ∴∠BOA'＝∠AOA'＝45°， ∴α＝45°． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝50°．将△ABC绕点 B按逆时针方向旋转得△DBE，使点 C落在 AB边上，点 A的对应点为点 D，连接 AD，求∠ADE的度数． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ABC＝50°， ∴∠CAB＝40°． ∵△ABC绕点 B顺时针旋转得到△DBE，点 E恰好在 AB上， 第 19页（共 64页） ∴BA＝BD，∠ABC＝∠DBA＝50°， ∴∠BAD＝∠ADB= 12（180°﹣50°）＝65°， ∵∠BED＝∠ACB＝90°， ∴∠ADE＝∠ADB﹣∠DAB＝25°． 【点评】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，解题的关键是会确定旋转角． 15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，点 O，△ABC的顶点 A，B，C均在格点（网格 线的交点）上．（1）把△ABC先向右平移 5 个单位长度，再向下平移 3个单位长度得到△A1B1C1，在 图中画出△A1B1C1； （2）在图中画出△ABC关于点 O的中心对称图形△A2B2C2． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． 【点评】本题主要考查了平移作图和作关于原点的对称图形，解题的关键是作出点 A、B、C的对应顶点． 16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标 A（1，0），B（4，1），C（2，4）． （1）将△ABC向左平移 5个单位长度，再向上平移 1个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）将△A1B1C1绕原点逆时针旋转 90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并直接写出点 C2的坐标； （3）△A1B1C1在旋转到△A2B2C2过程中，求 B1走过的路径的长度． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； 第 20页（共 64页） （2）如图，△A2B2C2即为所求，C2（﹣5，﹣3）． （3）△A1B1C1在旋转到△A2B2C2过程中，B1经过的路径为一个 1 4 的圆弧周长， 即 B1走过的路径的长度= 1 4 × 2� × ��1 = 1 4 × 2� ⋅ 1 2 + 22 = �2 ⋅ 5 = 5 2 �． 【点评】本题考查了作图﹣平移变换，旋转变换，弧长公式，熟记平移变换的性质，旋转变换的性质， 弧长公式是解题的关键． 17．如图，在边长为 1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，小正方形的顶点为格点，△ABC与△EFG 的顶点都在格点上． （1）作△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于原点 O成中心对称． （2）已知△ABC与△EFG关于点 P成中心对称，请在图中画出点 P的位置，并写出该点的坐标． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）连接 AE，BF，CG，相交于点 P， 则△ABC与△EFG关于点 P成中心对称， 即点 P为所求． 由图可知，点 P的坐标为（﹣3，﹣1）． 第 21页（共 64页） 【点评】本题考查中心对称，熟练掌握中心对称的性质是解答本题的关键． 18．如图，将长方形纸片 ABCD折叠，使点 C与点 A重合，折痕 EF分别与 AB、DC交于点 E和点 F． （1）证明：△ADF≌△AB′E； （2）若 AD＝12，DC＝18，求△AEF的面积． 【解答】解：（1）∵四边形 ABCD是矩形， ∴∠D＝∠C＝∠B′＝90°，AD＝CB＝AB′， ∵∠DAF+∠EAF＝90°，∠B′AE+∠EAF＝90°， ∴∠DAF＝∠B′AE， 在△ADF和△AB′E中， ∠� = ∠�′ �� = ��′ ∠��� = ∠�′�� ， ∴△ADF≌△AB′E（ASA）． （2）由折叠性质得 FA＝FC， 设 FA＝FC＝x，则 DF＝DC﹣FC＝18﹣x， 在 Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2， ∴122+（18﹣x）2＝x2． 解得 x＝13． ∵△ADF≌△AB′E（已证）， ∴AE＝AF＝13， ∴S△AEF= 1 2AE•AD= 1 2 ×12×13＝78． 【点评】本题属于折叠问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形面积的计算公 式的运用，解决问题的关键是：设要求的线段长为 x，然后根据折叠和轴对称的性质用含 x的代数式表 示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 19．在△ABC中，∠ABC＜90°，将△ABC在平面内绕点 B顺时针旋转（旋转角不超过 180°），得到△ DBE，其中点 A的对应点为点 D，连接 CE，CE∥AB． 第 22页（共 64页） （1）如图 1，试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系，并给出证明； （2）如图 2，若点 D在边 BC上，DC＝2，AC= 19，求 AB的长． 【解答】解：（1）∠ABC＝∠BEC，理由如下： ∵△ABC在平面内绕点 B顺时针旋转（旋转角不超过 180°），得到△DBE， ∴BE＝BC， ∴∠BCE＝∠BEC， ∵CE∥AB， ∴∠ABC＝∠BCE， ∴∠ABC＝∠BEC； （2）如图 2，过点 D作 DF⊥CE于点 F， ∵△ABC在平面内绕点 B顺时针旋转（旋转角不超过 180°），得到△DBE， ∴AC＝DE= 19，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，AB＝BD， ∴∠BEC＝∠BCE， ∵CE∥AB， ∴∠BCE＝∠ABC， ∴∠DBE＝∠BEC＝∠BCE， ∴△BCE是等边三角形， ∴BC＝BE＝EC，∠DCE＝60°，且 DF⊥CE， ∴∠CDF＝30°， 第 23页（共 64页） ∴CF= 12CD＝1，DF= 3CF= 3， 在 Rt△DEF中，EF= ��2 − ��2 = 19 − 3 =4， ∴CE＝EF+CF＝5＝BC， ∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3＝AB， ∴AB的长为 3． 【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，勾股定理，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键． 20．如图，在 6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A、B均在格点上，请按要求画图． （1）在图①中以线段 AB为边画一个△ABC，使其是轴对称图形； （2）在图②中的线段 AB上找到一点 D，使 AD＝3DB； （3）在图③中画一个以点 A为对角线交点，且面积为 6的平行四边形 EFGH． 【解答】解：（1）如图①，△ABC即为所求（答案不唯一）． （2）如图②，取格点 M，N，使 AM：BN＝3：1，且 AM∥BN，连接 MN，交 AB于点 D， 则△ADM∽△BDN， 则 AD：BD＝AM：BN＝3：1， 即 AD＝3BD， 则点 D即为所求． （3）如图③，平行四边形 EFGH即为所求（答案不唯一）． 【点评】本题考查轴对称图形、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解题的关键是理 解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．如图，在边长为 1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点 O为原点， 点 A、B的坐标分别是 A（3，2）、B（1，3）． （1）将△AOB向下平移 4个单位得到△A′B′C′，请在图中作出△A′B′C′，则点 B的对应点 B′ 第 24页（共 64页） 坐标为 （1，﹣1） ； （2）将△AOB绕点 O逆时针旋转 90°后得到△A1OB1，请在图中作出△A1OB1； （3）求△A1OB1的面积． 【解答】解：（1）如图所示，所作△A′B′C′即为所求，点 B′（1，﹣1）， 故答案为：（1，﹣1）； （2）如图所示，所作△A1OB1即为所求； （3）△A1OB1的面积= 3 × 3 − 1 2 × 1 × 2 − 1 2 × 2 × 3 − 1 2 × 1 × 3 = 3.5． 【点评】本题查了作图—平移变换、旋转变换，利用网格求三角形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运 用是解此题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣1）． （1）若△ABO与△A1B1O关于 y轴的对称，则 A1、B1的坐标分别是 （3，2），（4，﹣1） ； （2）请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． ①在图 1中，找一格点 P，使得∠APO＝45°； ②在图 2中，作出△ABO的高 AQ． 第 25页（共 64页） 【解答】解：（1）如图，△A1B1O即为所求，则 A1、B1的坐标分别（3，2），（4，﹣1）； （2）①如图 1在，点 P即为所求（答案不唯一，（2，2），（0，﹣1）也满足条件）； ②如图 2中，线段 AQ即为所求． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合 的思想解决问题，属于中考常考题型 23．如图，在等边△ABC中，点 D是平面内一点． （1）如图 1，若点 D在 BC的延长线上，且∠ADB＝45°，CD＝1，求 AB的长； （2）如图 2，若点 D在 AC的垂直平分线上，DE∥AB交 BC于点 E，点 F是 CD的中点，连接 EF， AF，AE，猜想 AE与 EF之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图 3，若点 D在 BC的延长线，连接 AD，点 M是 AD的中点，将 AD绕点 A逆时针旋转 60° 得到 AP，连接 CP，点 Q是 CP的中点，连接 MQ，AB＝4，直接写出 MQ的最小值． 【解答】解：（1）过点 A作 AE⊥CD于点 E，如图所示： 则∠AED＝∠AEB＝90°， ∵∠ADB＝45°， ∴△ADE为等腰直角三角形， ∴AE＝DE， ∵△ABC为等边三角形，AE⊥CD， ∴∠��� = 12∠��� = 30°，�� = �� = 1 2��， 第 26页（共 64页） 设 AB＝AC＝x，则�� = 12�� = 1 2 �， 根据勾股定理得：�� = ��2 − ��2 = 32 �， ∴�� = �� + �� = 12 � + 1 = 3 2 �， 解得：� = 3 + 1， ∴�� = 3 + 1； （2）AE＝2EF；理由如下： 延长 EF，截取 FG＝EF，连接 AG，CG，如图所示： ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∵点 D在 AC的垂直平分线上， ∴AD＝CD， ∵AB＝BC，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵DE∥AB， ∴∠ABD＝∠BDE， ∴∠CBD＝∠BDE， ∴BE＝DE， ∵点 F是 CD的中点， ∴CF＝DF， ∵∠DFG＝∠CFG，EF＝GF， ∴△DFE≌△CFG（SAS）， ∴DE＝CG， ∴CG＝BE，∠CGF＝∠DEF， ∴CG∥DE， 第 27页（共 64页） ∵DE∥AB， ∴CG∥AB， ∴∠ACG＝∠BAC＝60°， ∴∠ABE＝∠ACG， ∵AB＝AC，BE＝CG， ∴△ABE≌△ACG（SAS）， ∴AG＝AE，∠BAE＝∠CAG， ∴∠EAG＝∠CAG+∠EAC＝∠BAE+∠EAC＝60°， ∴△AEG为等边三角形， ∴AE＝EG， ∵EG＝EF+FG＝2EF， ∴AE＝2EF； （3）连接 CM并延长，取 MN＝CM，连接 AN并延长，过点 P作 PG∥AC，交 AN于点 G，连接 PN， 取 AC的中点 H，连接 HM并延长，交 CP于点 F，过点 C作 CE⊥HM于点 E，如图所示： ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∵将 AD绕点 A逆时针旋转 60°得到 AP， ∴AP＝AD，∠PAD＝60°， ∴∠BAC＝∠PAD， ∴∠BAC+∠CAD＝∠PAD+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAP， ∴△ABD≌△ACP（SAS）， ∴BD＝CP，∠ACP＝∠B＝60°， ∴∠PCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠PCD＝∠B， ∴CP∥AB， ∵M为 AD的中点， 第 28页（共 64页） ∴AM＝DM， ∵CM＝MN，∠CMD＝∠NMA， ∴△AMN≌△DMC（SAS）， ∴AN＝DC，∠NAM＝∠CDM， ∴AN∥BD， ∴∠NAC＝∠ACB＝60°， ∵CP∥AB， ∴四边形 ABCL为平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形 ABCL为菱形， ∴AL＝CL，∠ALC＝∠B＝60°， ∵PG∥AC， ∴∠GPL＝∠ACP＝60°，∠PLG＝∠ALC＝60°， ∴△PLG为等边三角形， ∴PG＝LG＝PL，∠PGA＝60°， ∴AL+LG＝PL+LC， ∴AG＝PC， ∴AG＝BD， ∴AL+LG＝BC+CD， ∴PG＝LG＝CD， ∵CD＝AN， ∴PG＝AN， ∴AN+NG＝BC+CD， ∴NG＝BC＝AC， ∵∠PGA＝∠NAC＝60°， ∴△ACN≌△GNP（SAS）， ∴PN＝NC， ∵M为 CN中点，Q为 CP中点， ∴�� = 12��， 第 29页（共 64页） ∵CM= 12CN， ∴CM＝MQ， ∵H为 AC中点，M为 CN中点， ∴HM∥CD， ∴点 M一定在过点 H平行于 CD的直线上， ∵垂线段最短， ∴当 M在点 E处时，CM最小，即 MQ最小， ∵H为 AC中点， ∴�� = 12�� = 1 2�� = 2， ∵HM∥CD， ∴∠FHC＝∠ACB＝60°，∠HFC＝∠FCD＝60°， ∴△HCF为等边三角形， ∴HF＝HC＝2， ∵CE⊥HF， ∴HE= 12HF＝1， ∴�� = ��2 − ��2 = 3， ∴MQ的最小值为 3． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾 股定理，中位线性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性 质，数形结合，作出辅助线． 24．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将线段 AC绕点 A顺时针旋转α（0°＜α≤60°）得到 线段 AD．点 D关于直线 BC的对称点为 E，连接 AE，DE． （1）如图 1，当α＝60°时，用等式表示线段 AE与 BD的数量关系，并证明； （2）连接 BD，依题意补全图 2，若 AE＝BD，求α的大小． 【解答】解：（1）线段 AE与 BD的数量关系：AE= 3BD； 第 30页（共 64页） 证明：连接 BE，如图 1， ∵点 D、E关于直线 BC对称， ∴直线 BC是 DE的垂直平分线， ∴BD＝BE， ∴∠DBC＝∠EBC＝30°， ∴∠DBE＝60°， ∴△DBE是等边三角形， ∴BD＝BE＝DE，∠BDE＝∠BED＝60°， ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC， ∵AD＝AC， ∴AB＝2AD， ∴BD＝AD， ∴DE＝AD， ∴∠DAE＝∠DEA＝30°， ∴∠BEA＝90°， ∴在 Rt△ABE中， �� �� = ���∠��� = ���60° = 3， ∴AE= 3��， ∴AE= 3��； （2）依题意补全图 2，如图， 延长 AC至 F，使 CF＝AC，连接 BF、BE、EF、CD、CE， ∵∠ACB＝90°，