精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

高一数学开学考 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数的值为（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，则或，求出的值，再检验即可. 【详解】因为，且， 所以，则或， 解得或或， 当或时，此时集合不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，满足，符合题意. 故选：A 2. 已知是实数， （1）是的充分条件；（2）是的必要条件； （3）是的充分条件；（4）是的必要条件． 上述四个命题中真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值判断（1）（2）（3）的正确性，根据不等式的性质可判断（4）的正确性. 【详解】对（1）：取，，则，但不成立，所以不是的充分条件，故（1）错误； 对（2）：取，，则，但不成立，故不是的必要条件，故（2）错误； 对（3）：当 时，不能推出，所以不是的充分条件，故（3）错误； 对（4）：由，可得，所以，所以是的必要条件，故（4）正确. 故选：B 3. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 1 2 3 4 5 136.136 15.552 10.88 则不一定包含的零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据零点存在定理可确定结果. 【详解】因为，，，且函数的图象是连续的， 所以函数在区间，，上均有零点. 而，所以函数在上未必有零点. 故选：A 4. 生物学家研发一种谷物新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代6粒种子，则种子数量首次超过100万粒的是（ ）参考数据： A. 第7代种子 B. 第8代种子 C. 第9代种子 D. 第10代种子 【答案】C 【解析】 【分析】设第代种子的数量为，根据题意列出不等式，对不等式化简代入数值即可得到结果. 【详解】设第代种子的数量为， 由题意得，得， 即. 因为， 故种子数量首次超过100万粒的是第9代种子. 故选：C. 5. 下列函数中符合在定义域上单调递增奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数定义域的特点先判处BD，再根据函数的奇偶性排除A. 【详解】因为函数的定义域为，，所以函数在其定义域不具有单调性，故B不合题意； 因为函数的定义域为，函数在其定义域不具有单调性，故C不合题意； 对A：，所以为偶函数，故A不合题意； 对C：对函数，由，得函数的定义域为， ，所以函数为奇函数， 因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，故D符合题意. 故选：C 6. 若定义域均为的函数，满足：，且，使得，则称与互为“亲近函数”已知与互为“亲近函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的单调性知是的唯一零点，根据“亲近函数”的定义可知在内存在零点，利用换元法，分离参数后结合对勾函数的性质，即可求解. 【详解】在上为增函数，且， 故是的唯一零点，要使和互为“亲近函数”， 则存在，使得，即在内存在零点， 所以方程有解， 令，则， 故，易知不是此方程的解 当时，有， 由对勾函数的性质可知，， 故的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：关键在于弄清“亲近函数”的定义，求得的唯一零点，从而可得在内存在零点，结合换元法求解即可. 7. 已知，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用辅助角公式可得，再利用二倍角的余弦公式结合诱导公式即可得答案 【详解】由，得，即， 则， 故 ． 故选：A. 8. 已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或1 C. 或2 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，从而可得的图象关于对称，即得，代入求解即可. 【详解】因为，① 分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以， 即，② 由①+②，得， 由①-②，得， 又因为有唯一零点， 即有唯一解， 因为为偶函数，图象关于轴对称， 所以图象关于轴对称， 的图象也关于轴对称， 所以的图象关于轴对称， 所以，即，解得或. 经检验，时，对任意恒成立，因为关于对称， 所以对任意恒成立，即时,有唯一零点，符合题意，同理符合题意． 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于分析得的图象关于轴对称，从而得到，由此得解. 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数且的图象必过定点 B. 方程解集为 C. D. 角终边上一点的坐标是，则 【答案】AC 【解析】 【分析】结合指数函数，对数函数定义检验选项，结合三角函数的定义检验选项CD即可. 【详解】因为，所以的图象必过定点，A正确； 由可得，B错误； ，C正确； 当时，，则，D错误. 故选：AC. 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若实数满足，则 D. 关于的方程的一个根比2大，另一个根比2小，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合不等式性质检验选项AB，结合函数单调性检验选项C；结合二次方程根的分布检验选项D. 【详解】对于A，当，不成立，故A不正确； 对于B，当，则，故B正确； 对于C，令， 函数在R上单调递增，所以在定义域上单调递增， 因为， 所以，即，得，故C正确； 对于D，令， 方程的一个根比2大，另一个根比2小， 等价于，可得，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数实数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 函数有5个互不相等的零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入求值判断A，画出函数图象，数形结合求出的范围判断B，结合函数的对称性及的范围求解判断C，根据将问题转化为函数的图象分别与交点个数之和，数形结合即可判断D. 【详解】函数，所以， 所以，故A正确； 由实数满足，知函数的图象与有三个不同的交点， 作出函数的图象，如图： 结合图象，可得，故选项B错误； 根据二次函数的对称性知，，又，所以， 所以，故C正确； ，由题意， 所以函数零点个数为三个方程的解的个数之和， 即函数的图象分别与，，交点个数之和， 由C可知，，，结合图象可知， 函数的图象与有一个交点，函数的图象与有三个交点， 函数的图象与有一个交点， 所以函数有5个互不相等的零点，故D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _____________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据分数指数幂和对数的运算性质，以及对数换底公式化简计算即得. 【详解】 . 故答案为：. 13. 已知函数在区间上单调递增，求参数a的取值范围________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性及二次函数对称轴与区间的关系可得a的取值范围. 【详解】当时，，对称轴为直线， ∵函数在区间上单调递增， ∴，解得， ∴参数a的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知定义域为的函数.若对任意恒成立，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数单调性可得在上单调递减，再将问题转化为对任意恒成立，化简得，对任意恒成立，即然后利用单调性求解即可. 【详解】因为， 又在上单调递增，且，在上单调递减， 所以在上单调递减，即在上单调递减； 又，所以为奇函数， 由得， 又在上单调递减； 所以，该不等式对于任意恒成立， 即，对任意恒成立， 所以只需，， 令，， 显然在上单调递增， 所以，即的取值范围为. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）确定集合，求得集合及其补集，根据交集运算即可求得答案； （2）根据“”是“”的充分不必要条件，可得，从而可得关于m的不等式，求得答案. 【小问1详解】 由，得，解得， 所以， 若，，， 所以． 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 所以，解得，所以实数的取值范围为． 16. （1）已知，求函数的定义域； （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定函数有意义，列出不等式，再解指数、对数不等式即得. （2）利用对数函数单调性解不等式即得. 【详解】（1）依题意，，解得，因此或， 所以原函数的定义域为； （2）函数在上为增函数， 则，解得， 所以原不等式的解集为． 17. 墙上有一壁画，最高点处离地面米，最低点处离地面米，距离墙米处设有防护栏，观察者从离地面高米的处观赏它. （1）当时，观察者离墙多远时，视角最大？ （2）若，视角的正切值恒为，观察者离墙的距离应在什么范围内？ 【答案】（1）当观察者离墙米处时，视角最大；（2）. 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线，垂足为，设观察者离墙米，则，求出和，利用两角差的正切公式可得出关于的表达式，利用对勾函数的性质可求得的最大值，进而得解； （2）求得，可得出，由可得出，结合可得出的取值范围，进而得解. 【详解】（1）当时，过作的垂线，垂足为，则，且， 设观察者离墙米，则，且，， 所以，， 因为函数在上单调递增， 所以当时，取最大值，此时视角最大； （2）由（1）得，， ， 即， 当时，，则，解得或. ，所以，. 因此，观察者离墙的距离应在至米范围内. 【点睛】本题考查的知识要点：解直角三角形的应用，不等式组的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题型． 18. 已知函数的最小正期为． （1）求的值域； （2）方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用二倍角余弦公式、诱导公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求出值域. （2）令，画出的图象，数形结合求在上有且只有一个解对应n的取值范围. 【小问1详解】 依题意，， 由函数的最小正周期为，得，解得，则， 而，所以的值域是. 【小问2详解】 令，当时，，函数在的图象如下， 由图知：在上有且只有一个解，则或， 解得或，所以实数的取值范围是或. 19. 已知函数 ． （1）若，判断并证明函数 的单调性； （2）若，函数在区间上的值域是，求的值． 【答案】（1）单调递增，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义计算的符号，从而判断出的单调性. （2）根据函数的单调性求出函数的值域，然后根据条件列方程求解即可 【小问1详解】 若，，的定义域为. 上单调递增，证明如下： 对且， ，所以，则， ，则在上单调递增. 【小问2详解】 ，从而，由知，所以. 当时，函数在上均单调递减. 若，则， 即，与矛盾，舍去； 则，且 相减得 ，，即. 【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调，则其值域和单调性有关，若在区间上递增，则值域为；若在区间上递减，则值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学开学考 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则实数的值为（ ）． A 2 B. 1 C. D. 2. 已知是实数， （1）是的充分条件；（2）是的必要条件； （3）是的充分条件；（4）是的必要条件． 上述四个命题中真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 1 2 3 4 5 136136 15.552 10.88 则不一定包含的零点的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 生物学家研发一种谷物新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代6粒种子，则种子数量首次超过100万粒的是（ ）参考数据： A. 第7代种子 B. 第8代种子 C. 第9代种子 D. 第10代种子 5. 下列函数中符合在定义域上单调递增的奇函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 若定义域均为的函数，满足：，且，使得，则称与互为“亲近函数”已知与互为“亲近函数”，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或1 C. 或2 D. 1或 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数且的图象必过定点 B. 方程的解集为 C. D. 角终边上一点的坐标是，则 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若实数满足，则 D. 关于的方程的一个根比2大，另一个根比2小，则实数的取值范围是 11. 已知函数实数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 函数有5个互不相等零点 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _____________. 13. 已知函数在区间上单调递增，求参数a的取值范围________. 14. 已知定义域为的函数.若对任意恒成立，则的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. （1）已知，求函数的定义域； （2）解不等式：． 17. 墙上有一壁画，最高点处离地面米，最低点处离地面米，距离墙米处设有防护栏，观察者从离地面高米的处观赏它. （1）当时，观察者离墙多远时，视角最大？ （2）若，视角的正切值恒为，观察者离墙的距离应在什么范围内？ 18. 已知函数的最小正期为． （1）求的值域； （2）方程在上有且只有一个解，求实数取值范围. 19. 已知函数 ． （1）若，判断并证明函数 的单调性； （2）若，函数在区间上的值域是，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $