精品解析：湖北省黄冈市蕲春县第一高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

2025春蕲春一中高二年级三月月考 数学试卷 一、单选题 1. 某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书.从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（ ） A. 13种 B. 42种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】7本不同的历史书任取1本历史书有7种取法； 6本不同的地理书任取1本地理书有6种取法， 从这些书中任取1本历史书和1本地理书， 根据分步乘法原理得到不同的取法有7×6=42种. 故选：B. 2. 在数列中，，（，），则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】列出数列的前几项，即可得到是以为周期的周期数列，根据周期性计算可得. 【详解】因为，（，）， 所以，，，， 所以是以为周期的周期数列，则. 故选：A 3. 数字0，1，1，2可以组成不同的三位数共有（ ） A. 24个 B. 12 C. 9个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】分百位上为1和百位上为2两种情况列举即可. 【详解】当百位上为1时，组成的三位数有101，102，110，112，120，121，共6个数， 当百位上为2时，组成的三位数有201，210，211，共3个数， 所以组成不同的三位数有9个. 故选：C 4. 设O为坐标原点，长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，若点P满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，设，，，根据向量的坐标运算进行求解即可． 【详解】解：因为点分别在x轴、y轴上滑动， 设，，，因为， 所以，整理得， 因为，， 所以，因为， 所以，解得， 又，所以， 整理得，则点的轨迹方程为 故选：A. 5. 函数（自然对数的底数）的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从函数的变化趋势排除错误的选项．一是从时，的变化趋势排除两个选项，再由导数确定时，的变化率的变化趋势排除一个，从而得正确选项． 【详解】时，，从而，排除AB， ，时，，因此时，的图象的变化率越来越大，即切线的倾斜角越来越大，因此排除C， 故选：D． 6. 已知数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用得出，再应用累乘法得出通项公式，代入即可求值. 【详解】由题得，即， 所以， 将上面个式子两端分别相乘， 可得， 即， 所以． 故选：B. 7. 已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的性质可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得结果. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、，如图所示，    又因为，所以， 所以四边形为矩形，设，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形， 所以，即，解得， 所以，， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据双曲线定义及直角三角形建立方程组求出，，再由直角三角形建立方程是解题的关键. 8. 已知实数 满足，则 的值为（    ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数和，即可求导，得函数的最值，进而根据，得，求解. 【详解】 由题意可得， 设，则， 故，即， 令，则， 当时，，在单调递增； 当，，在单调递减. 所以，， 令，则， 当，，在单调递减； 当，，在单调递增. 故，. 由题意可知若，则，故，， 此时且，解得，故. 故选：A. 【点睛】 方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题. 二、多选题 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，所以在上单调递增，故B错误； 当时，，所以在上单调递减，故A正确； 所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确. 故选：AD. 10. 已知数列的通项公式为则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】计算即可判断AB选项，计算出即可判断CD选项. 【详解】因为以， ，所以A错误，B正确； ，故C正确； 因为，所以，所以，故D错误． 故选：BC. 11. 已知为坐标原点，抛物线的方程为，过点且斜率为的直线交于两点，点在第四象限，设直线的斜率分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若为正三角形，则 B. 若为正三角形，则 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，B，根据题意，先求出的坐标，代入方程解得， 对于C，D，设，，则，．直曲联立得到，．计算判定即可. 【详解】因为为正三角形，所以点在的中垂线上，所以点的坐标，所以，解得，A正确，B错误． 设，，且，则，．联立方程组消去得，所以，．故，，C正确，D错误. 故选：AC. 三、填空题 12. 用这六个数字，可以排成没有重复数字的三位偶数的个数为______（用数字作答） 【答案】60 【解析】 【分析】直接由排列数即可求解. 【详解】最后一位数是偶数有：“2”，“4”，“6”，共3种选择， 然后从剩下的五个数中选两个数进行排列， 故所求为. 故答案为：60. 13. 若，，且函数在处有极值，则的最小值等于____． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用极值点求出的关系并验证，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】函数，求导得， 由函数在处有极值，得，解得， 此时，由，得， 当时，，当时，，函数在处取得极值， 因此，， 当且仅当时取等号， 所以的最小值等于. 故答案为： 14. 在数学中连加符号是“”，这个符号就是连续求和的意思，把满足“”这个符号下面条件的所有项都加起来，例如：．类似的在数学中连乘符号是“”，这个符号就是连续求积的意思，把满足“”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如：．已知数列满足：，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由条件等式两边取倒数后得到的代数式，再根据本题定义，分别求出和即可得到答案. 【详解】，∴，∴ ∴， ∴，，，， ∴， ，， 【点睛】方法点睛，本题重点在于将条件等式进行化简，通过所求代数式的形式，知道了化简方向，一般遇到多项求和就需要用到裂项相消，多项求乘积需要比例得形式. 四、解答题 15. 设 （1）求函数的单调递减区间； （2）若方程有3个不同的实根， 求a的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再解导函数小于0的不等式即得. （2）求出函数的极小、极大值，再利用三次函数的图象与性质求出a的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 由，得， 所以函数的单调递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知，当时，或，因此函数在上单调递增， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 显然当时，直线与函数图象有3个公共点， 所以方程有3个不同的实根，a的取值范围是. 16. 记为数列的前n项和，已知 （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由的关系求的通项公式； （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求 【小问1详解】 当时，， 当时，满足上式，所以. 【小问2详解】 由题知， 所以，， 两式相减得 所以 17. 已知椭圆：（）经过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率以及经过的点即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理可得点，进而根据向量垂直满足的坐标关系求解. 【小问1详解】 由题意可得所以， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 由题意可得直线斜率存在，故设直线的方程为，， ， 所以，所以， 故，, 所以， 所以， 所以，解得， 故直线的方程为. 18. 已知函数且. （1）计算，； （2）求通项公式； （3）设为数列的前n项和，求； 【答案】（1）；5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意直接代入运算即可得，； （2）分类讨论n的奇偶性，结合题中递推公式运算求解即可； （3）根据（2）可得若n为奇数，则，分类讨论n的奇偶性，利用并项求和法分析求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 所以；. 【小问2详解】 因为， 当n为奇数，则； 当n为偶数，则； 所以. 【小问3详解】 由（2）可知， 若n为奇数，则，可得： 当n为偶数时，； 故当n为奇数时； 所以. 19. 已知. （1）求的单调区间； （2）函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增. （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据导函数的正负来确定函数的单调区间； （2）求出直线的斜率，再求出，从而得到的等式，再进行换元和求导，即可解出答案. 【小问1详解】 由题可得 因为，所以， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 综上，上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由题意得，斜率 ， , 由得， ，即，即 令，不妨设，则， 记 所以，所以在上是增函数，所以， 所以方程无解，则满足条件两点不存在. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025春蕲春一中高二年级三月月考 数学试卷 一、单选题 1. 某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书.从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（ ） A. 13种 B. 42种 C. 种 D. 种 2. 在数列中，，（，），则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 数字0，1，1，2可以组成不同的三位数共有（ ） A. 24个 B. 12 C. 9个 D. 6个 4. 设O为坐标原点，长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，若点P满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 函数（自然对数的底数）的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 6 已知数列中，，则（ ） A B. C. D. 7. 已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（   ） A. B. C. D. 8. 已知实数 满足，则 的值为（    ） A. B. C. D. 3 二、多选题 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 10. 已知数列的通项公式为则（ ） A B. C. D. 11. 已知为坐标原点，抛物线的方程为，过点且斜率为的直线交于两点，点在第四象限，设直线的斜率分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若为正三角形，则 B. 若为正三角形，则 C. D. 三、填空题 12. 用这六个数字，可以排成没有重复数字的三位偶数的个数为______（用数字作答） 13. 若，，且函数在处有极值，则的最小值等于____． 14. 在数学中连加符号是“”，这个符号就是连续求和的意思，把满足“”这个符号下面条件的所有项都加起来，例如：．类似的在数学中连乘符号是“”，这个符号就是连续求积的意思，把满足“”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如：．已知数列满足：，则__________． 四、解答题 15 设 （1）求函数的单调递减区间； （2）若方程有3个不同的实根， 求a的取值范围． 16. 记为数列的前n项和，已知 （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和 17. 已知椭圆：（）经过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程. 18. 已知函数且. （1）计算，； （2）求通项公式； （3）设为数列的前n项和，求； 19 已知. （1）求的单调区间； （2）函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$