19.3 正方形-2024-2025学年八年级下册数学同步单元练习（华东师大版）

同步单元练习——华东师大版 8下 19.3 正方形 一．选择题（共20小题） 1．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G．给出下面四个结论：①AB2+BF2＜2AP2；②BF+DE＞EF；③PB﹣PD＜2BF；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．③ 2．如图，在给定的正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则∠DFE+∠EPC的度数的变化情况是（　　） A．一直减小 B．一直减小后增大 C．一直不变 D．先增大后减小 3．如图，正方形ABCD中，点E、H、G、F分别为AB、BC、CD、AD边上的点，点K、M、N为对角线BD上的点，四边形EKNF和四边形MHCG均为正方形，它们的面积分别表示为S1和S2，给出下面三个结论：①S1＝S2；②DF＝2AF；③S正方形ABCDS1+2S2．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，面积为1的是（　　） A．②③ B．①③ C．①②③ D．④ 5．如图，△ABC 三边的中点分别是D，E，F，则下列说法正确的是（　　） ①四边形ADEF一定是平行四边形； ②若∠A＝90°，则四边形ADEF是矩形； ③若AE⊥BC，则四边形ADEF是菱形； ④若AE平分∠BAC，则四边形ADEF是正方形． A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 6．在正方形ABCD中，点P在边BC上运动，连接AP，过点P作PQ⊥AP，PQ＝AP，连接AQ，CQ．以下结论正确的是（　　） A．点P与点B重合时，线段CQ的长取得最大值 B．点P与边BC的中点重合时，线段CQ的长取得最大值 C．点P与点C重合时，线段CQ的长取得最大值 D．点P运动的过程中，线段CQ的长不发生变化 7．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，DF⊥AE，与AB交于点F，则DF的长为（　　） A． B． C．2 D．3 8．有两个正方形A、B，将A，B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为12与38，则正方形B的面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 9．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边（　　） A．AB上 B．BC上 C．CD上 D．DA上 10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（　　） A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4 11．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为S1＝18，S2＝12，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（　　） A．6 B．16 C． D． 12．若四边形ABCD是甲，则四边形ABCD一定是乙，甲、乙两空可以填（　　） A．平行四边形，矩形 B．矩形，菱形 C．菱形，正方形 D．正方形，平行四边形 13．把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 14．如图，正方形ABCD的面积为4，菱形AECF的面积为2，则EF的长是（　　） A．1 B． C．2 D．2 15．如图，正方形ABCD的边长AB＝6，则其外接圆⊙O的半径为（　　） A．3 B．3 C．6 D．6 16．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则a3+b4的值为（　　） A．35 B．43 C．89 D．97 17．下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是（　　） A．长度为2的线段 B．边长为2的等边三角形 C．斜边为2的直角三角形 D．面积为4的菱形 18．如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE＝AD，则∠ACE的度数为（　　） A．22.5° B．27.5° C．30° D．35° 19．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 20．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　） A．AB＝CD B．BC＝CD C．∠D＝90° D．AC＝BD 二．填空题（共10小题） 21．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠CAB的平分线交BD于点E，交BC于点F．若OE＝1，则CF＝　 　． 22．如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是　 　． 23．如图所示，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则EF的长是　 　． 24．在初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由：　 　的矩形是正方形． 25．如图，直线l的解析式为y＝x+1，点A1（1，0），过A1作x轴的垂线与直线l交于点P1．在线段A1P1右侧，以A1P1为边长作正方形，与x轴交于A2．过A2作x轴的垂线与直线l交于点P2．在线段A2P2右侧，以A2P2长为边长作正方形，与x轴交于A3．按照此法做下去，则P3的坐标为　 　，Pn的坐标为　 　． 26．已知正方形ABCD的对角线AC的长为3，则正方形ABCD的边长为 　 　． 27．图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为　 　． 28．如图，延长正方形ABCD的边AB到E，使BE＝AC，则∠E＝　 　度． 29．如图，正方形ABCD，E是AD上一点，AE，CF⊥BE于F，则BF的长为　 　． 30．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 　 　． 三．解答题（共10小题） 31．如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F． （1）求证：DE﹣BF＝EF； （2）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）； （3）若AB＝2a，点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并通过计算来验证你的结论． 32．如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在边BC、DC上，BE＝DF，∠EAF＝60°． （1）若AE＝2，求EC的长； （2）若点G在DC上，且∠AGC＝120°，求证：AG＝EG+FG． 33．已知正方形ABCD的边长AB＝k（k是正整数），正△PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE＝1．将△PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、…连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置． （1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动．图2是k＝1时，△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图．请你探索：若k＝1，则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n＝　 　时，顶点P第一次回到原来的起始位置； （2）若k＝2，则n＝　 　时，顶点P第一次回到原来的起始位置；若k＝3，则n＝　 　时，顶点P第一次回到原来的起始位置； （3）请你猜测：使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）． 34．已知ABCD是正方形，M是CD的中点，点E在CM上，∠BAE＝2∠DAM，求证：AE＝AB+CE． 35．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点F在BC延长线上，且CF＝AC，AF与DC交于点E．求： （1）CF的长度； （2）∠AEC的度数． 36．已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF． （1）当DG＝2时，求△FCG的面积； （2）设DG＝x，用含x的代数式表示△FCG的面积； （3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由． 37．已知：如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，DE交BG延长线于点H． 求证：（1）BG＝DE；（2）BH⊥DE． 38．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF． （1）当AB＝2时，求GC的长； （2）求证：AE＝EF． 39．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长． 40．如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG，FH，交点为O． （1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论； （2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1cm，则图3中阴影部分的面积为 　 　cm2． 同步单元练习——华东师大版 8下 19.3 正方形 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A C A B C A B A B D 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D D B B B D A A B 一．选择题（共20小题） 1．【答案】C 【分析】①取AF的中点K，连接PK，BK，利用直角三角形性质可得BK＝AK＝KF＝PK，即A，B，F，P四点共圆，再运用勾股定理即可判断结论①； ②将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，可证得△FAH≌△FAE（SAS），即可判断结论②； ③连接PC，过点P作PQ⊥CF于Q，过点P作PW⊥CD于W，则四边形PQCW是矩形，可证得△PBA≌△PBC（SAS），再结合等腰直角三角形性质即可判断结论③； ④延长CB至H，使BH＝DE，连接AH，取AF的中点K，连接BK，PK，可证得△ABH≌△ADE（SAS），△FAH≌△FAE（SAS），进而可证得△APG∽△AFE，再利用相似三角形性质、等腰直角三角形性质即可判断结论④． 【解答】解：①如图1，取AF的中点K，连接PK，BK， ∵AP⊥PF，四边形ABCD是正方形， ∴∠ABF＝∠APF＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°， ∵AK＝KF， ∴BK＝AK＝KF＝PK， ∴A，B，F，P四点共圆， ∴∠PAF＝∠PBF＝45°， ∴∠PAF＝∠PFA＝45°， ∴AP＝FP， 在Rt△APF中，AP2+FP2＝AF2， ∴2AP2＝AF2， 在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2， ∴AB2+BF2＝2AP2；故①不正确； ②将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，如图2， ∵∠ADE＝∠ABH＝90°，∠ABC＝90°， ∴∠ABC+∠ABH＝180°， ∴C，B，H共线， ∵∠EAF＝45°， ∴∠HAF＝∠FAB+∠BAH＝∠FAB+∠DAE＝45°， ∴∠FAE＝∠FAH， 在△FAH和△FAE中， ， ∴△FAH≌△FAE（SAS）， ∴FH＝EF， ∵FH＝BF+BH＝BF+DE， ∴BF+DE＝EF；故②不正确； ③连接PC，过点P作PQ⊥CF于Q，过点P作PW⊥CD于W，则四边形PQCW是矩形，如图3， 在△PBA和△PCB中， ， ∴△PBA≌△PBC（SAS）， ∴PA＝PC， ∵PF＝PA， ∴PF＝PC， ∵PQ⊥CF， ∴FQ＝QC， ∵PBBQ，PDPWCQFQ， ∴PB﹣PD（BQ﹣FQ）BF＜2BF，故③正确； ④延长CB至H，使BH＝DE，连接AH，取AF的中点K，连接BK，PK，如图4， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ADE＝∠ABC＝∠BAD＝∠ABH＝90°， 又∵BH＝DE， ∴△ABH≌△ADE（SAS）， ∴∠DAE＝∠BAH，AH＝AE， ∵PF⊥AP， ∴∠APF＝90°， ∵K是AF的中点， ∴KA＝KB＝KF＝KP， ∴A，B，F，P四点共圆， ∴∠AFB＝∠APG， 由②得△FAH≌△FAE（SAS）， ∴∠AFB＝∠AFE， ∴∠APG＝∠AFE， ∵∠PAG＝∠FAE， ∴△APG∽△AFE， ∴， ∵△APF是等腰直角三角形， ∴， ∴FEPG， 在△EFC中，FC+EC＞FE， ∴FC+ECPG，故④正确； 故选：C． 2．【答案】A 【分析】根据题意∠DFE+∠EPC＝∠DPC，作PH⊥BC交BC的延长线于H，证明CP是∠DCH的角平分线即可解决问题． 【解答】解：作PH⊥BC交BC的延长线于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝BC， ∠DAF＝∠ABE＝∠DCB＝∠DCH＝90°， ∵DF⊥AE， ∴∠BAE+∠DAE＝90°，∠ADF+∠DAE＝90°， ∴∠BAE＝∠ADF， ∴△ADF≌△BAE（ASA）， ∴DF＝AE， ∵四边形DFEP是平行四边形， ∴DF＝PE，∠DFE＝∠DPE， ∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠PEH＝90°， ∴∠BAE＝∠PEH， ∵∠ABE＝∠H＝90°，AE＝EP． ∴△ABE≌△EHP（AAS）， ∴PH＝BE，AB＝EH＝BC， ∴BE＝CH＝PH， ∴∠PCH＝45°， ∵∠DCH＝90°， ∴∠DCP＝∠PCH， ∴CP是∠DCH的角平分线， ∴点P的运动轨迹是∠DCH的角平分线， ∵∠DFE+∠EPC＝∠DPE+∠EPC＝∠DPC， 观察图象可得，∠DPC一直减小， 故选：A． 3．【答案】C 【分析】①由正方形性质得：∠ABD＝∠CBD＝45°，∠BHM＝∠CHM＝90°，∠BKE＝∠NKE＝90°，推出△BEK和△BMH都是等腰直角三角形，即BH＝CH＝MHBC，BK＝EK＝KN，同理可得DN＝KN，推出EKBDBC，则S1BC2，S2BC2，即可判断结论①错误；再由DFFN，EFAF，FN＝EF，即可判断结论②正确；由S1BC2S正方形ABCD，S2BC2S正方形ABCD，即可判断结论③正确． 【解答】解：如图，①∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°， ∵四边形EKNF和四边形MHCG均为正方形， ∴∠BHM＝∠CHM＝90°，∠BKE＝∠NKE＝90°， ∴△BEK和△BMH都是等腰直角三角形， ∴BH＝CH＝MHBC，BK＝EK＝KN， 同理可得DN＝KN， ∴EKBDBC， ∴S1＝EK2＝（BC）2BC2，S2＝MH2＝（BC）2BC2， ∴S1≠S2；故结论①错误． ②∵△AEF和△DFN都是等腰直角三角形， ∴DFFN，EFAF， ∵四边形EKNF是正方形， ∴FN＝EF， ∴DF＝2AF；故结论②正确． ③由①知：S1BC2S正方形ABCD，S2BC2S正方形ABCD， ∴S1+2S2S正方形ABCD+2S正方形ABCDS正方形ABCDS正方形ABCD＝S正方形ABCD； 故结论③正确． 故选：C． 4．【答案】A 【分析】分别求出四个阴影三角形的面积，即可得出答案． 【解答】解：①阴影三角形1×1； ②阴影三角形2×1＝1； ③阴影三角形1×2＝1； ④阴影三角形2×2＝2； 则四个阴影三角形中，面积为1的是②③； 故选：A． 5．【答案】B 【分析】①由三角形的中位线定理可以判定结论正确； ②∠BAC＝90°，则根据①的结论可得四边形AEDF是矩形； ③利用斜边上的中线等于斜边的一半可得出DE＝EF，从而得出四边形AEDF是菱形； ④利用AE平分∠BAC可以判定四边形ADEF是菱形而非正方形，可得④的结论错误． 【解答】解：①∵E是BC的中点，D是AB的中点， ∴DE∥AC， ∵E是BC的中点，F是AC的中点， ∴EF∥AB． ∴四边形ADEF是平行四边形． ∴①正确； ②若∠BAC＝90°，如图， 由①知：四边形ADEF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°， ∴四边形ADEF是矩形， ∴②正确； ③如图， 若AE⊥BC， ∵E是BC的中点， ∴AE是BC的垂直平分线， ∴AB＝AC． ∵AE⊥BC，D是AB的中点， ∴DEAB． 同理：EFAC， ∴DE＝EF． 由①知：四边形ADEF是平行四边形， ∴四边形ADEF是菱形． ∴③正确； ④如图， 由①知：AD∥EF， ∴∠EAD＝∠AEF． 若AE平分∠BAC， 则∠EAD＝∠FAE， ∴∠FAE＝∠AEF， ∴AF＝FE， ∵四边形ADEF是平行四边形， ∴四边形AEDF是菱形． ∴④不正确； 综上可得，正确的结论有：①②③， 故选：B． 6．【答案】C 【分析】如图，在BA上截取线段BT，使得BT＝BP，连接PT．证明△PAT≌△QPC（SAS），推出CQ＝PT，∠ATP＝∠PCQ，再证明∠DCQ＝∠PCQ﹣∠BCD＝45°，推出点Q在射线CQ上运动（∠DCQ＝45°）可得结论． 【解答】解：如图，在BA上截取线段BT，使得BT＝BP，连接PT． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°， ∵PQ⊥PA， ∴∠APQ＝90°， ∴∠APB+∠CPQ＝90°，∠APB+∠PAT＝90°， ∴∠PAT＝∠CPQ， ∵AB＝BC，BT＝BP， ∴AT＝PC， ∵PA＝PQ， ∴△PAT≌△QPC（SAS）， ∴CQ＝PT，∠ATP＝∠PCQ， ∵∠BTP＝∠BPT＝45°， ∴∠ATP＝∠PCQ＝135°， ∴∠DCQ＝∠PCQ﹣∠BCD＝45°， ∴点Q在射线CQ上运动（∠DCQ＝45°）， ∴当点P与点C重合时，CQ的值最大． 故选：C． 7．【答案】A 【分析】由正方形的性质得出∠DAF＝∠B＝90°，AB＝AD＝2，由E是BC的中点，得出BE＝1，由勾股定理得出AE，证明△ADF≌△BAE（ASA），即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAF＝∠B＝90°，BC＝AB＝AD＝2， ∴∠BAE+∠2＝90°， ∵AB＝2，E是BC的中点， ∴BE＝1， ∴AE， ∵AD∥BC， ∴∠1＝∠2， ∵DF⊥AE， ∴∠1+∠ADF＝90°， ∴∠ADF＝∠BAE， 在△ADF和△BAE中，， ∴△ADF≌△BAE（ASA）， ∴DF＝AE； 故选：A． 8．【答案】B 【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，用代数式表示图甲、图乙中阴影部分的面积，整体代入即可得出b2，即正方形B的面积． 【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 由题意得，a（a+b）﹣a2﹣b2＝12，（a+b）2﹣a2﹣b2＝38， 即ab﹣b2＝12，ab＝19， ∴b2＝19﹣12＝7， 即正方形B的面积为7， 故选：B． 9．【答案】A 【分析】因为乙的速度是甲的速度的4倍，所以第1次相遇，甲走了正方形周长的；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的，从第2次相遇起，5次一个循环，从而不难求得它们第2000次相遇位置． 【解答】解：根据题意分析可得：乙的速度是甲的速度的4倍，故第1次相遇，甲走了正方形周长的；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的，从第2次相遇起，5次一个循环． 因此可得：从第2次相遇起，每次相遇的位置依次是：DC，点C，CB，BA，AD；依次循环． （2000﹣1）÷5＝399…4或2000＝1+5×399+4， 故它们第2000次相遇位置与第四次相同，在边AB上． 故选：A． 10．【答案】B 【分析】过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，延长DG至F，使GF＝BE，先证四边形ABCG是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），再设DE＝x，在Rt△AED中利用勾股定理可求出ED的长． 【解答】解：如图，过C作CG⊥AD于G，并延长DG至F，使GF＝BE， ∵∠A＝∠B＝∠CGA＝90°，AB＝BC， ∴四边形ABCG为正方形， ∴AG＝BC＝4，∠BCG＝90°，BC＝CG， ∵AD＝3， ∴DG＝4﹣3＝1， ∵BC＝CG，∠B＝∠CGF，BE＝FG， ∴△EBC≌△FGC（SAS）， ∴CE＝CF，∠ECB＝∠FCG， ∵∠DCE＝45°， ∴∠BCE+∠DCG＝∠DCG+∠FCG＝45°， ∴∠DCE＝∠DCF， ∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC， ∴△ECD≌△FCD（SAS）， ∴ED＝DF， 设ED＝x，则EB＝FG＝x﹣1， ∴AE＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x， Rt△AED中，AE2+AD2＝DE2， ∴（5﹣x）2+32＝x2， 解得：x＝3.4， ∴DE＝3.4． 故选：B． 11．【答案】D 【分析】先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【解答】解：∵三个小正方形的面积分别为18、12、2， ∴三个小正方形的边长分别为、、． 由题图知：大正方形的边长为：． ∴ ． 故选：D． 12．【答案】D 【分析】根据正方形、菱形、矩形和平行四边形的性质判断即可． 【解答】解：A、若四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD不一定是矩形，说法错误，不符合题意； B、若四边形ABCD是矩形，则四边形ABCD不一定是菱形，说法错误，不符合题意； C、若四边形ABCD是菱形，则四边形ABCD不一定是正方形，说法错误，不符合题意； D、若四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD一定是平行四边形，说法正确，符合题意； 故选：D． 13．【答案】D 【分析】如图，易证△ABC∽△FEC，可设BC＝x，只需求出BC即可． 【解答】解：如图，设BC＝x，则CE＝1﹣x， ∵两个正方形， ∴AB∥EF， ∴△ABC∽△FEC， ∴，即， 解得x， ∴阴影部分面积为：S△ABC1， 故选：D． 14．【答案】B 【分析】连接AC，由正方形ABCD的面积可求解AC的长，再根据菱形AECF的面积即可求解EF的长． 【解答】解：连接AC， ∵正方形ABCD的面积为4， ∴AC2＝4， 解得AC， ∵菱形AECF的面积为2， ∴AC•EF＝2， 即EF＝2， 解得EF， 故选：B． 15．【答案】B 【分析】连接BD．由题意，△ABD是等腰直角三角形，故可得出结论． 【解答】解：如图，连接BD． 由题意，△ABD是等腰直角三角形， ∵AB＝AD＝6，∠ABD＝45°，∠BAD＝90°， ∴BDAB＝6， ∴OBBD＝3． 故选：B． 16．【答案】B 【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解． 【解答】解：由条件可得：， 解之得：． 所以a3+b4＝27+16＝43． 故选：B． 17．【答案】D 【分析】先计算出正方形的对角线长，即可逐项进行判定求解． 【解答】解：∵正方形的边长为2， ∴对角线长为， ∴长度为2的线段能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故A不符合题意； 边长为2的等边三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故B不符合题意； 斜边为2的直角三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故C不符合题意； 而面积为4的菱形对角线最长可以为8，故不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故D符合题意， 故选：D． 18．【答案】A 【分析】由正方形的性质得到BC＝AD，∠DBC＝45°，证出BE＝BC，根据三角形的内角和定理求出∠BEC＝∠BCE＝67.5°，∠ACE＝90°﹣∠BEC即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝AD，∠DBC＝45°， ∵BE＝AD， ∴BE＝BC， ∴∠BEC＝∠BCE＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°， ∵AC⊥BD， ∴∠COE＝90°， ∴∠ACE＝90°﹣∠BEC＝90°﹣67.5°＝22.5°． 故选：A． 19．【答案】A 【分析】①连接BE，易知四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG； ②由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG； ③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE； ④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为2，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为2． 【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB＝∠EGB＝90°． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EFBG为矩形． ∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°． 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）． ∴BE＝DE． ∴DE＝FG． ∴①正确； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H， ∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE＝∠ADE． 由①知：OB＝OF， ∴∠OFB＝∠ABE． ∴∠OFB＝∠ADE． ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADE+∠AHD＝90°． ∴∠OFB+∠AHD＝90°． 即：∠FMH＝90°， ∴DE⊥FG． ∴②正确； ③由②知：∠OFB＝∠ADE． 即：∠BFG＝∠ADE． ∴③正确； ④∵点E为AC上一动点， ∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小． ∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°， ∴AC． ∴DEAC＝2． 由①知：FG＝DE， ∴FG的最小值为2， ∴④错误． 综上所述，正确的结论为：①②③． 故选：A． 20．【答案】B 【分析】先判断四边形ABCD是矩形，由正方形的判定可直接判断B正确． 【解答】解：∵四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠D＝90°，AC＝BD， 故A，C，D不符合题意， 当AB＝AD时，即一组邻边相等时，矩形ABCD为正方形， 故B符合题意， 故选：B． 二．填空题（共10小题） 21．【答案】见试题解答内容 【分析】先作EG⊥AB，得△EBG是等腰直角三角形，再利用角平分线的性质计算即可． 【解答】解：作EG⊥AB于G， 根据角平分线的性质可得，EG＝OE＝1，又BD平分∠ABC， 则∠ABE＝45° ∴△EBG是等腰直角三角形， 可得BE， 则OB＝1， 可得BC＝2 又∠AFB＝90°﹣∠FAB，∠FEB＝∠OEA＝90°﹣∠FAC， ∴∠AFB＝∠FEB ∴BF＝BE 则CF＝BC﹣BF＝22． 22．【答案】见试题解答内容 【分析】根据勾股定理列式求出AB的长度，然后利用正方形的面积减去三角形的面积，列式进行计算即可得解． 【解答】解：∵AE⊥BE， ∴△ABE是直角三角形， ∵AE＝3，BE＝4， ∴AB5， ∴阴影部分的面积＝S正方形ABCD﹣S△ABE＝523×4＝25﹣6＝19． 故答案为：19． 23．【答案】见试题解答内容 【分析】根据正方形的性质得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根据等角的余角相等得到∠EAB＝∠FBC，则可根据“ASA”判断△ABE≌△BCF，所以BE＝CF＝2，进而求出EF的长． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∵AE⊥BE，CF⊥BF， ∴∠AEB＝∠BFC＝90°， ∴∠EAB+∠ABE＝90°，∠ABE+∠FBC＝90°， ∴∠EAB＝∠FBC， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA） ∴BE＝CF＝2，AE＝BF＝1， ∴EF＝BE+BF＝3， 故答案为3． 24．【答案】有一组邻边相等． 【分析】由折叠得AE＝AF，∠AFE＝∠B＝90°，而∠BAF＝90°，所以四边形ABEF是矩形，因为有一组邻边相等的矩形是正方形，且AF＝AB，所以四边形ABEF是正方形，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，由折叠得AE＝AF，∠AFE＝∠B＝90°， ∵∠BAF＝90°， ∴四边形ABEF是矩形， ∵有一组邻边相等的矩形是正方形，且AF＝AB， ∴四边形ABEF是正方形， 故答案为：有一组邻边相等． 25．【答案】见试题解答内容 【分析】把A3的横坐标代入直线y＝x+1，即可求出P3的纵坐标，因为A3和P3的横坐标相同，所以P3的坐标可求；由P1，P2，P3的坐标找到问题的一般规律即可求出Pn的坐标． 【解答】解：∵点A1（1，0）， ∴OA1＝1， ∵P1在直线为y＝x+1上， ∴P1的坐标（1，2）， ∵OA2＝3，P2在直线为y＝x+1上， ∴P2的坐标（3，4）， 同理P3的坐标为（7，8） …以此类推Pn的坐标为（2n﹣1，2n）， 故答案为：（7，8）；（2n﹣1，2n）． 26．【答案】3． 【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理可得AB长度． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∵AC2＝AB2+BC2， ∴18＝2AB2， ∴AB＝3， 故答案为3． 27．【答案】9． 【分析】分别表示出S1，S2，即可求解． 【解答】解：设图1中的直角三角形另一条直角边长为b， ∴S1＝32+b2＝9+b2，S2＝b2， ∴S1﹣S2＝9， 故答案为9． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】连接BD，根据等边对等角及正方形的性质即可求得∠E的度数． 【解答】解：连接BD，则BD＝AC ∵BE＝AC ∴BE＝BD ∴∠E（180°﹣90°﹣45）°＝22.5° 29．【答案】见试题解答内容 【分析】根据正方形的性质得到AB＝BC＝AD，∠A＝∠ABC＝90°，根据勾股定理得到BE，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝BC＝AD，∠A＝∠ABC＝90°， ∵AE， ∴AB＝BC＝AD＝3， ∴BE， ∵CF⊥BE， ∴∠CFB＝90°， ∴∠ABE+∠CBF＝∠CBF+∠BCF＝90°， ∴∠ABE＝∠BCF， ∴△ABE∽△FCB， ∴， ∴， ∴BF， 故答案为：． 30．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意和图形，可以先设图1中分成的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，然后根据图2和图3可以列出相应的方程组，从而可以求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得图1中菱形的面积． 【解答】解：设图1中分成的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b， ，得， ∴图1中菱形的面积为：4＝48， 故答案为48． 三．解答题（共10小题） 31．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得DA＝AB，再根据同角的余角相等求出∠BAF＝∠ADE，然后利用“角角边”证明△ABF和△DAE全等，再根据全等三角形对应边相等可得BF＝AE，AF＝DE，然后根据图形列式整理即可得证； （2）根据题意作出图形，然后根据（1）的结论可得BF＝AE，AF＝DE，然后结合图形写出结论即可； （3）根据中点定义求出BG，再利用勾股定理列式求出AG的长，然后利用△ABG的面积列式求出BF的长，再根据勾股定理列式求出FG的长，然后求出AF、AE、BF的长，再表示出EF的长，从而得解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG， ∴DA＝AB，∠BAF+∠DAE＝∠DAE+∠ADE＝90°， ∴∠BAF＝∠ADE， 在△ABF和△DAE中，， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴BF＝AE，AF＝DE， ∴DE﹣BF＝AF﹣AE＝EF； （2）解：如图②，DE+BF＝EF； （3）解：EF＝2FG．理由如下： ∵AB＝2a，点G为BC边中点， ∴BG＝a， 根据勾股定理得，AGa， 又∵AB⊥BC，BF⊥AG， ∴S△ABGa•BF•2a•a， ∴BFa， 根据勾股定理得，FGa， ∴AF＝AG﹣FGaaa， ∵AE＝BFa， ∴EF＝AG﹣AE﹣FGaaaa， ∴EF＝2FG． 32．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）连接EF，根据正方形的性质求出AB＝AD，∠B＝∠D，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，从而得到△AEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF，再判断出△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的直角边与斜边的关系求解即可； （2）方法一：根据邻补角的定义求出∠AGF＝60°，然后判断出点A、E、G、F四点共圆，从而得到∠AGE＝∠AFE＝60°，再求出∠CGE＝60°，延长GE交AB的延长线于H，根据两直线平行，内错角相等可得∠H＝∠CGE＝60°，再求出∠GAF＝∠HAE，然后利用“角角边”证明△AFG和△AEH全等，根据全等三角形对应边相等可得AG＝AH，FG＝EH，从而得证； 方法二：在AG上截取GH＝FG，可得△FGH是等边三角形，根据等边三角形的性质可得FH＝FG，∠FHG＝60°，再求出∠AFH＝∠EFG，然后利用“边角边”证明△AFH和△EFG全等，根据全等三角形对应边相等AH＝GE，然后证明即可． 【解答】（1）解：如图，连接EF， 在正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D， 在△ABE和△ADF中，， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE＝AF， ∵∠EAF＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴EF＝AE＝2， ∵BE＝DF，BC＝CD， ∴BC﹣BE＝CD﹣DF， 即CE＝CF， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴ECEF2； （2）方法一：证明：∵∠AGC＝120°， ∴∠AGF＝180°﹣∠AGC＝180°﹣120°＝60°， 又∵△AEF是等边三角形，（已证） ∴∠AEF＝60°， ∴点A、E、G、F四点共圆， ∴∠AGE＝∠AFE＝60°， ∴∠CGE＝∠AGC﹣∠AGE＝120°﹣60°＝60°， 如图（2）①延长GE交AB的延长线于H， ∵AB∥CD， ∴∠H＝∠CGE＝60°， ∴∠H＝∠AGF， 又∵∠GAF+∠EAG＝∠EAF＝60°， ∠HAE+∠EAG＝∠GAB＝60°， ∴∠GAF＝∠HAE， 在△AFG和△AEH中，， ∴△AFG≌△AEH（AAS）， ∴AG＝AH，FG＝EH， ∵∠AGE＝60°， ∴△AGH是等边三角形， ∵AH＝GH＝EG+EH＝EG+FG， 即AG＝EG+FG． 方法二：如图（2）②在AG上截取GH＝FG， ∵∠AGC＝120°， ∴∠AGF＝60°， ∴△FGH是等边三角形， ∴FH＝FG，∠FHG＝60°， ∵△AEF是等边三角形， ∴∠AFE＝60°， ∴∠AFE＝∠GFH＝60°， ∴∠AFE﹣∠EFH＝∠GFH﹣∠EFH， 即∠AFH＝∠EFG， 在△AFH和△EFG中，， ∴△AFH≌△EFG（SAS）， ∴AH＝GE， ∴AG＝AH+GH＝EG+FG， 即AG＝EG+FG． 33．【答案】见试题解答内容 【分析】正△PAE的顶点P在正方形内按图1中所示的方式连续地翻转，顶点P第一次回到原来的起始位置，实际上正方形周长和与三角形的周长和相等，正方形的周长＝4k，三角形的周长＝3，即找4k，3的最小公倍数，由此求出k＝1，2，3时n的值；故当k是3的倍数时，n＝4k；当k不是3的倍数时，n＝12k． 【解答】解：正△PAE的顶点P在正方形内按图1中所示的方式连续地翻转，顶点P第一次回到原来的起始位置，实际上正方形周长和与三角形的周长和相等，正方形的周长＝4k，三角形的周长＝3，即找4k，3的最小公倍数； （1）当k＝1时，4k，3的最小公倍数是12，故n＝12； （2）当k＝2时，4k，3的最小公倍数是24，故n＝24；当k＝3时，4k，3的最小公倍数是12，故n＝12； （3）当k是3的倍数时n＝4k，当k不是3的倍数时n＝12k． 34．【答案】见试题解答内容 【分析】首先取BC的中点F，连接AF，过点F作FH⊥AE于H，连接EF，由四边形ABCD是正方形，M是CD的中点，易证得△ABF≌△ADM，又由∠BAE＝2∠DAM，即可得AF是∠BAE的角平分线，易得AH＝AB，BF＝HF，又可证得Rt△CFE≌Rt△HFE，即可得EH＝CE，继而可证得AE＝AB+CE． 【解答】证明：取BC的中点F，连接AF，过点F作FH⊥AE于H，连接EF． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠A＝∠D＝∠C＝90°， ∵M是CD的中点， ∴BF＝DM， 在△ABF和△ADM中， ， ∴△ABF≌△ADM（SAS）， ∴∠BAF＝∠DAM， ∵∠BAE＝2∠DAM， ∴∠BAF＝∠HAF， ∵∠AHF＝∠B＝90°， ∴∠AFB＝∠AFH，BF＝FH， ∴AB＝AH， ∴FH＝FC， ∵∠FHE＝∠C＝90°， 在Rt△CFE和Rt△HFE中， ， ∴Rt△CFE≌Rt△HFE（HL）， ∴EH＝CE， ∴AE＝AH+HE＝AB+CE． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据勾股定理求出AC，即可求出答案； （2）求出∠ACB＝45°，求出∠F＝22.5°，根据三角形的外角性质得出∠AEC＝∠F+∠DCF，代入求出即可． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝1，∠B＝90°， 由勾股定理得：AC， ∵CF＝AC， ∴CF． （2）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝∠D＝90°， ∴∠ACB∠DCB90°＝45°，∠DCF＝90°， ∵AC＝CF， ∴∠F＝∠CAF， ∵∠F+∠CAF＝∠ACB＝45°， ∴∠F45°＝22.5°， ∴∠AEC＝∠F+∠DCF＝22.5°+90°＝112.5°． 答：∠AEC的度数是112.5°． 36．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）要求△FCG的面积，可以转化到面积易求的三角形中，通过证明△DGH≌△CFG得出． （2）欲求△FCG的面积，由已知得CG的长易求，只需求出GC边的高，通过证明△AHE≌△MFG可得； （3）若S△FCG＝1，由S△FCG＝6﹣x，得x＝5，此时，在△DGH中，HG．相应地，在△AHE中，AE，即点E已经不在边AB上．故不可能有S△FCG＝1． 【解答】解：（1）∵正方形ABCD中，AH＝2， ∴DH＝4， ∵DG＝2， ∴HG＝2，即菱形EFGH的边长为2． 在△AHE和△DGH中， ∵∠A＝∠D＝90°，AH＝DG＝2，EH＝HG＝2， ∴△AHE≌△DGH（HL）， ∴∠AHE＝∠DGH， ∵∠DGH+∠DHG＝90°， ∴∠DHG+∠AHE＝90°， ∴∠GHE＝90°，即菱形EFGH是正方形， 同理可以证明△DGH≌△CFG， ∴∠FCG＝90°，即点F在BC边上，同时可得CF＝2， 从而S△FCG4×2＝4．（2分） （2）作FM⊥DC，M为垂足，连接GE， ∵AB∥CD， ∴∠AEG＝∠MGE， ∵HE∥GF， ∴∠HEG＝∠FGE， ∴∠AEH＝∠MGF． 在△AHE和△MFG中， ∴△AHE≌△MFG（AAS）， ∴FM＝HA＝2， 即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2． 因此S△FCG2×（6﹣x）＝6﹣x．（6分） （3）若S△FCG＝1，由（2）知S△FCG＝6﹣x，得x＝5， ∴在△DGH中，HG， ∴在△AHE中，AE，即点E已经不在边AB上． ∴不可能有S△FCG＝1．（9分） 另法：∵点G在边DC上， ∴菱形的边长至少为DH＝4， 当菱形的边长为4时： ∵点E在AB边上且满足AE＝2，此时，当点E逐渐向右运动至点B时，HE的长（即菱形的边长）将逐渐变大， ∴最大值为HE＝2． 此时，DG＝2，故0≤x≤2． ∵函数S△FCG＝6﹣x的值随着x的增大而减小， ∴当x＝2时，S△FCG取得最小值为6﹣2． 又∵6﹣21， ∴△FCG的面积不可能等于1．（9分） 37．【答案】见试题解答内容 【分析】根据正方形的性质求得△BCG≌△CDE，从而不难得到结论． 【解答】证明：（1）∵在△BCG与△DCE中， ， ∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG＝DE； （2）由（1）证得的△BCG≌△DCE， ∴∠GBC＝∠GDH， ∵∠BGC＝∠DGH，∠BGC+∠GBC＝90°， ∴∠GDH+∠DGH＝90°， ∴BH⊥DE． 38．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先利用等角的余角相等得到∠3＝∠1，则可证明Rt△CEG∽Rt△BAE，然后利用相似比可计算出CG的长； （2）取AB的中点H，连接EH，如图，先利用△BEH为等腰直角三角形得到∠1＝45°，则∠AHE＝135°，再利用CF为正方形的外角平分线得到∠ECF＝135°，则可证明△AEH≌△EFC，然后利用全等三角形的性质得AE＝EF． 【解答】（1）解：∵点E为正方形ABCD边BC的中点， ∴BE＝CEBCAB＝1， ∵∠AEF＝90°， ∴∠AEB+∠2＝90°， ∵∠3+∠AEB＝90°， ∴∠3＝∠1， ∴Rt△CEG∽Rt△BAE， ∴，即， ∴CG； （2）证明：取AB的中点H，连接EH，如图， ∴BH＝BE， ∴△BEH为等腰直角三角形， ∴∠1＝45°， ∴∠AHE＝135°， ∵CF为正方形的外角平分线， ∴∠DCF＝45°， ∴∠ECF＝135°， 在△AEH和△EFC中 ， ∴△AEH≌△EFC， ∴AE＝EF． 39．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由题意得MB＝NB，∠ABN＝15°，所以∠EBN＝45°，容易证出△AMB≌△ENB； （2）①根据“两点之间线段最短”，可得，当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小； ②根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长（如图）； （3）作辅助线，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，由题意求出∠EBF＝30°，设正方形的边长为x，在Rt△EFC中，根据勾股定理求得正方形的边长为． 【解答】（1）证明：∵△ABE是等边三角形， ∴BA＝BE，∠ABE＝60°． ∵∠MBN＝60°， ∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN． 即∠MBA＝∠NBE． 又∵MB＝NB， ∴△AMB≌△ENB（SAS）． （2）解：①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AM+BM+CM的值最小， 理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN， ∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形． ∴BM＝MN． ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM． 根据“两点之间线段最短”可知，若E、N、M、C在同一条直线上时，EN+MN+CM取得最小值，最小值为EC． 在△ABM和△CBM中， ， ∴△ABM≌△CBM（SAS）， ∴∠BAM＝∠BCM， ∴∠BCM＝∠BEN， ∵EB＝CB， ∴若连接EC，则∠BEC＝∠BCE， ∵∠BCM＝∠BCE，∠BEN＝∠BEC， ∴M、N可以同时在直线EC上． ∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长． （3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝90°﹣60°＝30°． 设正方形的边长为x，则BFx，EF． 在Rt△EFC中， ∵EF2+FC2＝EC2， ∴（）2+（x+x）2． 解得x1，x2（舍去负值）． ∴正方形的边长为． 40．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，可得出四边形GHEF是菱形，再根据全等三角形角之间的关系，又可得出菱形的一个角是直角，那么就可得出四边形GHEF是正方形． （2）根据已知条件，可以知道重新拼成的四边形是正方形（因为正方形GHEF的对角线翻到了外边，做了新拼成的正方形的边长），利用勾股定理求出GF和GO、FO的长，所的面积是10减去4个四边形GOFC的面积就是阴影部分的面积． 【解答】解：（1）四边形EFGH是正方形． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA， ∵HA＝EB＝FC＝GD， ∴AE＝BF＝CG＝DH， ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG， ∴EF＝FG＝GH＝HE， ∴四边形EFGH是菱形， ∵△DHG≌△AEH， ∴∠DHG＝∠AEH， ∵∠AEH+∠AHE＝90°， ∴∠DHG+∠AHE＝90°， ∴∠GHE＝90°， ∴四边形EFGH是正方形． （2）∵HA＝EB＝FC＝GD＝1，AB＝BC＝CD＝AD＝3， ∴GF＝EF＝EH＝GH（cm）， ∵由（1）知，四边形EFGH是正方形， ∴GO＝OF，∠GOF＝90°， 由勾股定理得：GO＝OF（cm）， ∵S四边形FCGO1×2（cm2， ∴S阴影S四边形FCGO×4＝10﹣9＝1（cm2）， 故答案为：1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$