19.1 矩形-2024-2025学年八年级下册数学同步单元练习（华东师大版）

同步单元练习——华东师大版 8下 19.1 矩形 一．选择题（共20小题） 1．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH的面积（　　） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大，再减小 2．已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝3，∠ACB＝30°，延长DC至点E，使得CE＝DC，连接OE交BC于点F，则CF的长度为（　　） A．1 B． C．2 D． 3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P为边AD上一点，过P分别作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足为点E，F，过A作AH⊥BD，垂足为点H，若知道△APE与△DPF的周长和，则一定能求出（　　） A．△BOC的周长 B．△ADH的周长 C．△ABC的周长 D．四边形APFH的周长 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（　　） A．10 B．4.8 C．6 D．5 5．有下列四个条件：①对角线互相平分的四边形；②对角线互相垂直的四边形；③对角线相等的平行四边形；④有一个角是直角的平行四边形，其中能作为矩形的判定条件的是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 6．如图，矩形ABCD，BD＝8，对角线AC，BD交于O，若∠AOB＝60°，则BC的长为（　　） A．4 B． C． D．16 7．如图，矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形，已知矩形的周长是36，则矩形一条对角线的长是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝120°，BD＝6．则AB的长为（　　） A． B．3 C．2 D． 9．如图，小娜将一张长为16cm，宽为12cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB＝3，CD＝4，则剪去的直角三角形的斜边长为（　　） A．5cm B．12cm C．13cm D．15cm 10．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长为（　　） A．4 B．8 C．4 D．4 11．如图，矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，则矩形ABCD的面积为（　　） A．16 B． C． D．3 12．在矩形ABCD中，AC、BD相交于O，OF⊥AB于F，若AC＝2AD，OF＝9cm，则BD的长为（　　） A．90cm B．36cm C．93cm D．183cm 13．矩形的一个内角的平分线分长边为4cm和6cm两部分，则其面积为（　　） A．24cm2 B．40cm2 C．60cm2 D．40cm2或60cm2 14．如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC，点E是折线ADC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 15．如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA，设它们的面积分别是S1，S2，S3，S4．给出以下结论：①S1+S4＝S2+S3；②S2+S4＝S1+S3；③若S3＝2S1，则S4＝2S2；④若S1＝S2，则P点在矩形的对角线上其中正确结论的序号是（　　） A．①④ B．②④ C．②③④ D．以上选项均不对 16．在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且∠AOD＝120°．若AB＝3，则BC的长为（　　） A． B．3 C．3 D．6 17．如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB，△PBC，△PDC，△PAD均为等腰三角形，则满足条件的点P有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 18．矩形ABCD的对角线交于点O，∠AOD＝120°，AO＝3，则BC的长度是（　　） A．3 B． C． D．6 19．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ADB＝30°，DC＝3，则AC等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 20．如图，矩形ABCD和矩形BDEF，点A在EF边上，设矩形ABCD和矩形BDEF的面积分别为S1，S2，则S1与S2的大小关系为（　　） A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．无法确定 二．填空题（共10小题） 21．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1　 　S2；（填“＞”或“＜”或“＝”） 22．工人师傅常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师傅此种检验方法依据的道理是　 　． 23．在研究平面图形的面积时，我们经常用到割补法．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现．《九章算术》已经能十分灵活地应用“出入相补”原理解决平面图形的面积问题．下面举例说明：在《九章算术》中，三角形被称为圭田．圭田术曰：“半广以乘正纵”，也就是说三角形的面积等于底的一半乘高．刘徽注为：“半广者，以盈补虚，为直田也”，说明三角形的面积是应用出入相补原理，由长方形面积导出的．如图中的三角形下盈上虚，以下补上． 如果图中阴影部分的面积为4，那么图中长方形的面积是　 　． 24．小明在探究“四边形的不稳定性”活动中，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，如图所示．扭动矩形框架，观察矩形ABCD的变化，下列判断： ①四边形ABCD由矩形变为平行四边形 ②A、C两点之间的距离不变； ③四边形ABCD的面积不变； ④四边形ABCD的周长不变 正确的是　 　（填序号） 25．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝120°，BD＝8，则AB的长为　 　． 26．如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件　 　，使平行四边形ABCD是矩形． 27．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为 　 　． 28．如图，在▱ABCD中，E为边BC上一点，以AE为边作矩形AEFG．若∠BAE＝40°，∠CEF＝15°，则∠D的大小为　 　度． 29．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，DE⊥AC于点E，则AE＝　 　． 30．在▱ABCD中，若添加一个条件：　 　，则四边形ABCD是矩形． 三．解答题（共10小题） 31．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G． （1）求证：DF∥AC； （2）连接DE、CF，若2AB＝BF，若G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形； （3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且BC＝80，求AB的长． 32．如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，延长BC至点E，使BC＝CE，连接DE．求证：DE＝AC． 33．已知：如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，且AE＝DE． 求证：点E是BC的中点． 34．如图，矩形ABCD．AE＝CD，DF⊥BE于F．求证：∠E＝∠ADF． 35．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E为AD上一点，EC交AF于点G． （1）求证：四边形ABCF是矩形； （2）若ED＝EC，求证：EA＝EG． 36．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．过点D作AB的平行线，过点B作AC的平行线，两平行线相交于点E，BC交DE于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形． 37．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接AC，若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求EC和AC的长． 38．在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB． 39．如图，矩形ABCD中，点E是CD延长线上一点，且DE＝DC，求证：∠E＝∠BAC． 40．已知：如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．求证：DC＝DF． 同步单元练习——华东师大版 8下 19.1 矩形 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B B B B B A B D B B 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B D C B C A C C C 一．选择题（共20小题） 1．【答案】C 【分析】设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，根据S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）＝（a﹣2c）x+bc，由E是AB的中点可得a﹣2c＝0，进而判断． 【解答】解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x， 连接EG， ∵四边形EFGH为平行四边形， ∴EF＝HG，EF∥HG， ∴∠FEG＝∠HGE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD， ∴∠BEG＝∠DGE， ∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH， ∴∠BEF＝∠HGD ∵EF＝HG，∠B＝∠D， ∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS）， 同理Rt△AEH≌Rt△CGF， ∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH） ＝ab﹣2[cx（a﹣c）（b﹣x）] ＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx） ＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx ＝（a﹣2c）x+bc， ∵E是AB的中点， ∴a＝2c， ∴a﹣2c＝0， ∴S平行四边形EFGH＝bcab， 方法二：连接EG， ∵四边形EFGH为平行四边形， ∴EF＝HG，EF∥HG， ∴∠FEG＝∠HGE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD， ∴∠BEG＝∠DGE， ∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH， ∴∠BEF＝∠HGD ∵EF＝HG，∠B＝∠D， ∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS）， ∴DG＝BECD＝AE， ∴四边形AEGD为平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴▱AEGD为矩形， 同理四边形EBCG为矩形， ∴S平行四边形EFGH＝S△EHG+S△EFGEG•DGEG•GC＝EG•DGEG•CDS矩形ABCD． 故选：C． 2．【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到AC＝BD，OD，OCAC，∠BCD＝90°，得到OD＝OC，求得OC＝CD＝CE＝AB＝3，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质得到OF＝CFBF，根据勾股定理得到BC3，于是得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OD，OCAC，∠BCD＝90°， ∴OD＝OC， ∵∠ACB＝30°， ∴∠OCD＝60°， ∴△CDO是等边三角形， ∴OC＝CD＝CE＝AB＝3， ∵∠OCE＝∠OCF+∠ECF＝120°， ∴∠COE＝∠E＝30°， ∵∠BOC＝180°﹣∠DOC＝120°， ∴∠BOF＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠ACB＝30°， ∴OFBF， ∵∠COF＝∠OCF， ∴OF＝CFBF， ∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°， ∴AC＝2AB＝6， ∴BC3， ∴CF， 故选：B． 3．【答案】B 【分析】过点P作PG⊥AH于G，连接PO，证出四边形PFHG为矩形，得出FH＝PG，证明△APE≌△PAG（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝PG，证明PE+PF＝AH，则可得出答案． 【解答】解：过点P作PG⊥AH于G，连接PO， ∵PF⊥BD，AH⊥BD， ∴四边形PFHG为矩形， ∴FH＝PG， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵∠BAH+∠HAD＝∠HAD+∠ADO＝90°， ∴∠BAH＝∠ADO， 同理∠BAH＝∠APG， ∴∠APG＝∠EAP， ∵AP＝PA，∠AEP＝∠AGP＝90°， ∴△APE≌△PAG（AAS）， ∴AE＝PG， ∴AE＝HF， 又∵S△APO+S△PDO＝S△AOD， ∴， ∴PE+PF＝AH， ∴△APE与△DPF的周长和＝AP+PE+AE+PD+PF+DF ＝AD+AH+PG+DF ＝AD+AH+HF+DF ＝AD+AH+HD ∴知道△APE与△DPF的周长和，一定能求出△ADH的周长． 故选：B． 4．【答案】B 【分析】连接OP，利用勾股定理列式求出BD，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA、OD，然后根据S△AOD＝S△AOP+S△DOP列方程求解即可． 【解答】解：如图，连接OP， ∵AB＝6，AD＝8， ∴BD10， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OD10＝5， ∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP， ∴6×85•PE5•PF， 解得PE+PF＝4.8． 故选：B． 5．【答案】B 【分析】根据平行四边形和矩形的判定逐项判断即可． 【解答】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本条件不合题意； ②对角线互相垂直的四边形不一定互相平分，不一定是平行四边形，故本条件不合题意； ③对角线相等的平行四边形是矩形，故本条件合题意； ④有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本条件合题意； 故选B． 6．【答案】B 【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定与性质，可以得到AB和AC的长，再根据勾股定理即可求得BC的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BD＝8， ∴AC＝BD＝8，∠ABC＝90°， ∴OA＝OB＝4， ∵∠AOB＝60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴AB＝OA＝4， ∴BC， 故选：B． 7．【答案】A 【分析】由矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形，可得长是宽的2倍，又由矩形的周长是36，即可求得矩形长与宽，然后由勾股定理求得答案． 【解答】解：如图，∵△ABE是等腰直角三角形， ∴∠BAE＝∠ABE＝45°， ∴∠DAE＝∠90°﹣45°＝45°， ∴Rt△ADE是等腰直角三角形， ∴AD＝DE， ∵点E是中点， ∴CD＝2AD， 又∵（AD+CD）×2＝36， ∴AD＝6，CD＝12， ∴对角线的长6， 故选：A． 8．【答案】B 【分析】根据矩形的对角线的性质可得△AOB为等边三角形，由等边三角形的性质即可求出AB的值． 【解答】解：∵ABCD是矩形， ∴OA＝OB， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB＝60°， ∴△AOB为等边三角形， ∵BD＝6， ∴AB＝OB＝3， 故选：B． 9．【答案】D 【分析】延长AB，DC交于H，运用勾股定理即可． 【解答】解：延长AB、DC交于H点， 由题意知：BH＝12﹣3＝9，CH＝16﹣4＝12， 在Rt△BCH中，由勾股定理得： BC． 故选：D． 10．【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质首先证明△AOB是等边三角形即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC，OD＝OB， ∴OA＝OB， ∵∠AOB＝60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴OA＝AB＝4， ∴AC＝2OA＝8， 故选：B． 11．【答案】B 【分析】根据矩形性质得出AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD，推出AO＝OB，得出△AOB是等边三角形，可求AC的长，由勾股定理求出BC的长，即可求出矩形ABCD的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD，∠ABC＝90°， ∴AO＝OB， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AC＝2AO＝8， ∴BC4， ∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝4×416， 故选：B． 12．【答案】B 【分析】本题主要根据矩形的性质以及直角三角形的性质进行做题． 【解答】解：已知AC＝2AD，根据直角三角形的性质可求出∠ACD＝ABD＝30°， 又因为OP＝9cm，故BO＝18cm， 所以BD＝2BO＝36cm． 故选：B． 13．【答案】D 【分析】利用角平分线得到∠ABE＝∠CBE，矩形对边平行得到∠AEB＝∠CBE．那么可得到∠ABE＝∠AEB，可得到AB＝AE．那么根据AE的不同情况得到矩形各边长，进而求得面积． 【解答】解：∵矩形ABCD中，BE是角平分线． ∴∠ABE＝∠EBC． ∵AD∥BC． ∴∠AEB＝∠EBC． ∴∠AEB＝∠ABE． ∴AB＝AE． 平分线把矩形的一边分成3cm和5cm． 当AE＝4cm时：则AB＝CD＝4cm，AD＝CB＝10cm，则矩形的面积是：40cm2； 当AE＝6cm时：AB＝CD＝6cm，AD＝CB＝10cm，则面积是：60cm2． 故选：D． 14．【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，分情况讨论：①BP为底边；②BP为等腰三角形一腰长． 【解答】解：①BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P； ②BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有2个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P； ③以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点． 故选：C． 15．【答案】B 【分析】根据矩形的对边相等可得AB＝CD，AD＝BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①②；根据三角形的面积公式即可判断③；根据已知进行变形，求出，即可判断④． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC， 设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4， ， ∵， ∴S2+S4＝S1+S3， 不能得出S1+S2＝S3+S4， 故①错误，②正确； 根据S3＝2S1，能得出h3＝2h1，不能推出h4＝2h2，即不能推出S4＝2S2，故③错误； ∵S1＝S2，S2+S4＝S1+S3， ∴S4＝S3， ∴， ∴P点一定在对角线上，故④正确． 故选：B． 16．【答案】C 【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质，可以得到AC的长，再根据勾股定理，即可得到BC的长，本题得以解决． 【解答】解：∵∠AOD＝120°，∠AOD+∠AOB＝180°， ∴∠AOB＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OC，∠ABC＝90°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝OC， ∵AB＝3， ∴AC＝6， ∴BC3， 故选：C． 17．【答案】A 【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部 在l上作点P，使PA＝AB，PD＝DC，同理，在l上作点P，使PC＝DC，AB＝PB；三是如图，在长方形外l上作点P，使AB＝BP，DC＝PC， 同理，在长方形外l上作点P，使AP＝AB，PD＝DC． 【解答】解：如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P， 如图，在l上作点P，使PA＝AB，同理，在l上作点P，使PC＝DC， 如图，在长方形外l上作点P，使AB＝BP，同理，在长方形外l上作点P，使PD＝DC， 综上所述，符合条件的点P有5个． 故选：A． 18．【答案】C 【分析】由矩形的性质可得AO＝BO，可证△AOB是等边三角形，可得AB，再用勾股定理求得BC． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD＝2OA＝6，AO＝CO，BO＝DO， ∴AO＝BO， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝AO＝3， ∵∠ABC＝90°， ∴BC， 故选：C． 19．【答案】C 【分析】由矩形的性质得出AC＝BD，OA＝OC，∠BAD＝90°，由直角三角形的性质得出AC＝BD＝2DC＝6即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC，∠BAD＝90°， ∵∠ADB＝30°， ∴AC＝BD＝2CD＝6， 故选：C． 20．【答案】C 【分析】由矩形、三角形面积公式得到S2＝2S△ABD，S1＝2S△ABD，推出S1＝S2． 【解答】解：∵四边形BDEF是矩形， ∴EF∥BD，BF⊥BD， ∴S△ABDBD•BF， ∵S2＝BD•BF， ∴S2＝2S△ABD， 显然S1＝2S△ABD， ∴S1＝S2． 故选：C． 二．填空题（共10小题） 21．【答案】见试题解答内容 【分析】根据矩形的性质，可知△ABD的面积等于△CDB的面积，△MBK的面积等于△QKB的面积，△PKD的面积等于△NDK的面积，再根据等量关系即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，四边形MBQK是矩形，四边形PKND是矩形， ∴△ABD的面积＝△CDB的面积，△MBK的面积＝△QKB的面积，△PKD的面积＝△NDK的面积， ∴△ABD的面积﹣△MBK的面积﹣△PKD的面积＝△CDB的面积﹣△QKB的面积＝△NDK的面积， ∴S1＝S2． 故答案为S1＝S2． 22．【答案】见试题解答内容 【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）得到矩形ABCD可得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 23．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意得到长方形的面积＝阴影部分的面积4倍． 【解答】解：如图，连接EF， 则S矩形ADFE＝S矩形EFCB＝2×阴影部分的面积＝8， ∴图中长方形的面积是＝16， 故答案为：16． 24．【答案】见试题解答内容 【分析】根据四边形的不稳定性和矩形的性质以及矩形和平行四边形之间的关系进行判断即可确定正确的答案． 【解答】解：①四边形ABCD由矩形变为平行四边形，正确； ②A、C两点之间的距离会发生变化，故原命题错误； ③四边形ABCD由矩形变为平行四边形后底边不变，高逐渐的减小，故原命题错误； ④四边形ABCD的周长不变，正确， 正确的有①④， 故答案为：①④． 25．【答案】见试题解答内容 【分析】根据矩形的对角线的性质可得△AOB为等边三角形，由等边三角形的性质即可求出AB的值． 【解答】解：∵ABCD是矩形， ∴OA＝OB． ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB＝60°． ∴△AOB为等边三角形． ∵BD＝8， ∴AB＝BO＝4． 故答案为4． 26．【答案】见试题解答内容 【分析】根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”填空． 【解答】解：添加条件：∠ABC＝90°或AD⊥AB（答案不唯一）． 理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义）． 故答案为：∠ABC＝90°． 27．【答案】见试题解答内容 【分析】因为矩形的对角线相等且互相平分，已知OA＝2，则AC＝2OA＝4，又BD＝AC，故可求． 【解答】解：∵ABCD是矩形 ∴OC＝OA，BD＝AC 又∵OA＝2， ∴AC＝OA+OC＝2OA＝4 ∴BD＝AC＝4 故答案为：4． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】想办法求出∠B，利用平行四边形的性质∠D＝∠B即可解决问题． 【解答】解：∵四边形AEFG是矩形， ∴∠AEF＝90°， ∵∠CEF＝15°， ∴∠AEB＝180°﹣90°﹣15°＝75°， ∵∠B＝180°﹣∠BAE﹣∠AEB＝180°﹣40°﹣75°＝65°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B＝65° 故答案为：65． 29．【答案】见试题解答内容 【分析】利用矩形的性质得到∠ADC＝90°，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，利用勾股定理计算出AC＝5，利用面积法计算出DE，然后利用勾股定理计算AE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADC＝90°，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4， 在Rt△ADC中，AC5， ∵DE•ACAD•CD， ∴DE， 在Rt△ADE中，AE． 故答案为． 30．【答案】见试题解答内容 【分析】简单的矩形判定定理的考查，已知平行四边形，再加一个角是直角即可． 【解答】解：由题意可得，∠A＝90°或∠A＝∠B或AC＝BD（答案不唯一）， 故答案为：∠A＝90°或∠A＝∠B或AC＝BD（答案不唯一）． 三．解答题（共10小题） 31．【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）16． 【分析】（1）连接BD，交AC于点O，证出OE是△BDF的中位线，得OE∥DF即可； （2）先证△DFG≌△CEG（AAS），得FG＝EG，则四边形CFDE是平行四边形，再证CD＝EF，即可得出结论； （3）设AB＝2a，则BF＝4a，BE＝EF＝CD＝2a，证△DEG是等腰直角三角形，得DEDGa，再证△ABE是等腰直角三角形，得AEAB＝2a，然后在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解得a＝8，即可求解． 【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO， ∵BE＝EF， ∴OE是△BDF的中位线， ∴OE∥DF， 即DF∥AC； （2）证明：如图所示： 由（1）得：DF∥AC， ∴∠DFG＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE， ∵G是CD的中点， ∴DG＝CG， 在△DFG和△CEG中， ， ∴△DFG≌△CEG（AAS）， ∴FG＝EG， ∴四边形CFDE是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵2AB＝BF， ∴2CD＝BF， 又∵EF＝BE， ∴CD＝EF， ∴平行四边形CFDE是矩形； （3）解：设AB＝2a，则BF＝4a，BE＝EF＝CD＝2a， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝80，AB∥CD， ∵四边形CFDE是正方形， ∴∠DEC＝90°，CD⊥EF，DG＝EGCD＝a， ∴∠AED＝90°，△DEG是等腰直角三角形， ∴DEDGa， ∵AB∥CD，CD⊥EF， ∴AB⊥BF， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AEAB＝2a， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2， 即802＝（a）2+（2）2， 解得：a＝8， ∴AB＝2a＝16． 32．【答案】见试题解答内容 【分析】①根据矩形对角线相等得：AC＝BD，②根据中垂线性质得：BD＝DE，③根据等量代换可得结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，∠BCD＝90°， ∵BC＝CE， ∴DC是BE的中垂线， ∴BD＝DE， ∴DE＝AC． 33．【答案】见试题解答内容 【分析】依据矩形的性质得到∠B＝∠C＝90°，然后依据HL证明Rt△ABE≌Rt△DCE，由全等三角形的性质可得到BE＝EC． 【解答】证明：∵四边形 ABCD是矩形， ∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°． 在Rt△ABE和Rt△DCE中， ∴Rt△ABE≌Rt△DCE． ∴BE＝CE． ∴点E是BC的中点． 34．【答案】见试题解答内容 【分析】由矩形的性质得出AB＝CD，∠BAD＝90°，得出∠ABE+∠1＝90°，再由已知条件得出AE＝AB，由等腰三角形的性质得出∠E＝∠ABE，证出∠ADF+∠2＝90°，由对顶角相等得出∠ABE＝∠ADF，即可得出结论． 【解答】证明：如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠BAD＝90°， ∴∠ABE+∠1＝90°， ∵AE＝CD， ∴AE＝AB， ∴∠E＝∠ABE， ∵DF⊥BE， ∴∠DFB＝90°， ∴∠ADF+∠2＝90°， ∵∠1＝∠2， ∴∠ABE＝∠ADF， ∴∠E＝∠ADF． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先证明四边形ABCF是平行四边形．再由∠B＝90°，即可得出四边形ABCF是矩形． （2）由等腰三角形的性质得出∠D＝∠ECD，证出∠EAG＝∠EGA，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB∥DC，FC＝AB， ∴四边形ABCF是平行四边形． ∵∠B＝90°， ∴四边形ABCF是矩形． （2）证明：由（1）可得，∠AFC＝90°， ∴∠DAF＝90°﹣∠D，∠CGF＝90°﹣∠ECD． ∵ED＝EC， ∴∠D＝∠ECD． ∴∠DAF＝∠CGF． ∵∠EGA＝∠CGF， ∴∠EAG＝∠EGA． ∴EA＝EG． 36．【答案】见试题解答内容 【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC＝90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形． 【解答】证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC， ∴AD＝DC，BD⊥CA． ∵AB∥DE，AD∥BE， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴AD＝BE，AD∥BE，AB＝DE， ∴DC＝BE，DC∥BE， ∴四边形BECD是平行四边形． ∵BD⊥CA， ∴∠BDC＝90°， ∴四边形BECD是矩形． 37．【答案】（1）证明见解析； （2）EC＝8，AC＝4． 【分析】（1）先证四边形AEFD是平行四边形，再由AE⊥BC，得∠AEF＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由射影定理求出EC＝8，再由勾股定理求出AC的长即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵CF＝BE∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴平行四边形AEFD是矩形； （2）解：如图，∵CF＝BE，CF＝2， ∴BE＝2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD＝90°， ∵AE⊥BC， ∴AE2＝BE•EC（射影定理）， ∴EC8， ∴AC4． 38．【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案； （2）根据平行线的性质，可得∠DFA＝∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF＝∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵CF＝AE， ∴BE＝DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠DFA＝∠FAB． 在Rt△BCF中，由勾股定理，得， ∴AD＝BC＝DF＝5， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴∠DAF＝∠FAB， 即AF平分∠DAB． 39．【答案】见试题解答内容 【分析】根据矩形的性质得出AD⊥EC，利用线段垂直平分线的性质得出AC＝AE，进而解答即可． 【解答】证明：∵矩形ABCD中， ∴∠ADC＝90°，AB∥CD， ∴AD⊥EC， ∵DE＝DC， ∴AC＝AE， ∴∠E＝∠ACD， ∵AB∥DC， ∴∠ACD＝∠BAC， ∴∠E＝∠BAC． 40．【答案】见试题解答内容 【分析】根据矩形的性质和DF⊥AE于F，可以得到∠DEC＝∠AED，∠DFE＝∠C＝90°，进而依据AAS可以证明△DFE≌△DCE．然后利用全等三角形的性质解决问题． 【解答】证明：连接DE， ∵AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE． ∵矩形ABCD， ∴AD∥BC，∠C＝90°． ∴∠ADE＝∠DEC， ∴∠DEC＝∠AED． 又∵DF⊥AE， ∴∠DFE＝∠C＝90°． ∵DE＝DE， ∴△DFE≌△DCE． ∴DF＝DC． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$