小专题集训二 平行线中的“拐点”问题-【夺冠百分百】2024-2025学年新教材七年级下册数学新导学课时练（人教版2024）河北专版

第七章相交线与平行线 新导学课时练了 小专题集训二 平行线中的“拐点”问题 解题指导 4.已知AB∥CD,E为AB,CD之外任意 求解这类问题一般是过拐点作平行线， 一点 从而得到三条直线都平行，再利用平行线的 (1)如图1，探究∠BED与∠B,∠D的数量 性质求解。 关系，并说明理由。 类型一一个拐点在平行线的内部 (2)如图2，探究∠CDE与∠B,∠E的数量 1.(2024承德兴隆期中)如图，一条公路修到 关系，并说明理由. 湖边时需绕道，第一次拐角∠B=120°，第二 次拐角∠C=140°，为了保持公路AB与DE 平行，则第三次拐角∠D的度数应为( 图1 图2 A.130°B.140° C.150° D.160 2.(2023石家庄赵县期中)观察思考：如图是 我们经常用到的小刀，刀片的外形是一个直 角梯形，刀片上、下是平行的，转动刀片时会 形成∠1和∠2. 解决问题：你知道∠1十∠2的度数是多少 吗？请写出理由 类型三多个拐点在平行线的内部 5.(2024济南章丘期末)如图是一款长臂折叠 LED护眼灯示意图，EF与桌面MN垂直， 类型二一个拐点在平行线的外部 当发光的灯管AB恰好与面MN平行时， 3.某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画， ∠DEF=120°，∠BCD=110°，则∠CDE的 如图，已知∠BAC=130°，AB∥DE,∠D=70°， 度数为 () 则∠ACD A✉B //1N E D D E F M N B A.90 B.110 A.10° B.20° C.30° D.60° C.80° D.100 23 C新导学课时练 数学·七年级（下）·RJ 6.如图，已知A1B∥A.C,则∠A1+∠A2十 类型四多个拐点在平行线的外部 ∠A3= ,则∠A1+∠A2+…+ 8.如图，AB∥CD,BF,DF ∠A.等于 (用含n的式子表示). 分别平分∠ABE和 B ∠CDE,BF∥DE,∠F与C ∠ABE互补，则∠F的度数为 A3.. 9.(2024石家庄期末)已知直线AB∥CD,P An 为平面内一点，连接PA,PD 7.(2023廊坊安次区期末)几何模型在解题中 (1)如图1，已知∠A=50°，∠D=150°，求 有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型” ∠APD的度数. (1)导入：如图1，已知AB∥CD∥EF,如果 (2)如图2，判断∠PAB,∠CDP,∠APD ∠A=26°，∠C=34°，那么∠AEC= 之间的数量关系为 (2)发现：如图2，已知AB∥CD,请判断 (3)如图3，在(2)的条件下，AP⊥PD,DN ∠AEC与∠A,∠C之间的数量关系，并说 明理由 平分∠PDC,若∠PAN+2∠PAB=90, (3)运用：()如图3，已知AB∥CD,∠AEC= 求∠AND的度数 88°，点M,N分别在AB,CD上，MN∥AE,如 果∠C=28°，那么∠MND= (i)如图4，已知AB∥CD,点M,N分别在 CD AB,CD上，ME,NE分别平分∠AMF和 图 图2 ∠CNF.如果∠E=116°，那么∠F= 图1 图2 M B 6024因为∠AEF十∠1=180°，所以∠2=∠1，所以DG∥AB,所 当∠ECB+∠CBD=180°时， 以∠CGD=∠CAB. 可得CE∥AB(同旁内角互补，两直线平行). 5.解：(1)APDG,理由如下： 所以∠ECB=90°. 因为∠ABF=∠1，∠1=∠2， 所以CE⊥BC(垂直定义). 所以∠ABF=∠2，所以AP∥DG 6.A【变式】C7.C8.105 (2)由(1)知AP∥DG, 9.A10.A11.C12.C13.84 所以∠ABF=∠BFG 小专题集训二平行线中的“拐点”问题 因为∠ABF的平分线BE交直线DG于点E,∠BFG的平 1.D 分线FC交直线AP于点C, 2.解：∠1十∠2=90°.理由如下： 所以∠EBF-名∠ABF,∠CFB=名∠BPG, 如图所示，过M作MN∥a, 所以∠EBF=∠CFB,所以BE∥CF 因为aB,所以MN%, (3)∠BED=143. 所以∠1=∠AMN,∠2= 6解：(1)如图1，过点E作EF∥CD, ∠BMN,所以∠1+∠2=∠AMB=90. 所以∠DEF=∠D 3.B 周为AB∥DC,EF∥CD,所以EF∥AB, 4.解：(1)∠B=∠BED十∠D.理由如下： 所以∠AEF=∠A, 如图1，过点E作EF∥AB 所以∠AEF+∠DEF=∠A+∠D=30°+45°=75°， 又图为AB∥CD,所以EF∥ABCD, 所以∠AED=75 所以∠BEF=∠B,∠D=∠DEF. 图为∠BEF=∠BED+∠DEF, 所以∠B=∠BED+∠D. A C 图1 图2 (2)如图2，猜想：∠A+∠AED+∠D=360°，理由如下： 过点E作EM∥AB,所以∠A+∠AEM=180 图1 图2 国为AB∥CD,EM∥AB,所以CD∥EM, (2)∠CDE=∠B十∠BED.理由如下： 所以∠DEM十∠D=180°， 如图2，过点E作EF∥AB. 所以∠A+∠AEM+∠DEM+∠D=360°， 又因为AB∥CD,所以EF∥AB∥CD: 所以∠A+∠AED+∠D=360, 所以∠B+∠BEF=180°，∠CDE十∠DEF=180° 7,解：(1)①平行于同一条直线的两条直线互相平行 又因为∠DEF=∠BEF-∠BED, ②两直线平行，同旁内角互补 所以∠CDE+∠BEF一∠BED=∠B十∠BEF, (2)因为PQ∥CD,所以∠C=∠CPQ 即∠CDE=∠B+∠BED. 因为∠B=125°，∠C=25°， 5.D6.360°(n-1)·180 所以∠BPC=∠BPQ+∠QPC=180°-∠B+∠C= 7.解：(1)因为ABCD∥EF, 180°-125°+25°=80° 所以∠A=∠AEF,∠C=∠CEF. (3)∠BPQ=85°. 所以∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠A十∠C-26+34°=60， 河北特色题型—利用 故答案为60. 平行线的性质求角的度数 (2)∠AEC=∠A十∠C,理由如下：如图， 1.C2.(1)80°(2)40°(3)40°或60 过点E作EF∥AB, 3.解：(1)因为BC平分∠ABD,所以∠1=∠2 因为AB∥CD,所以AB∥CD∥EF,所以 因为∠1=∠3，所以∠2=∠3，所以AB∥CD ∠A=∠AEF,∠C=∠CEF. (2)图为AD⊥BD,所以∠ADB=90 所以∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠A十∠C. 周为∠CDA=36°， (3)(I)周为AB∥CD, 所以∠CDB=∠CDA+∠ADB=36°+90°=126 由(2)的结论可得∠AEC=∠A十∠C. 周为AB∥CD,所以∠ABD+∠CDB=180°， 图为∠AEC=88,∠C=28°，所以∠A=60° 所以∠ABD=180°-126°=54°. 图为MN∥AE,所以∠BMN=∠A=60°. 因为BC平分∠ABD,∠1=∠3. 图为AB/CD,所以∠MND=180°-∠BMN=120 所以∠3=∠1=号∠ABD=27 故答案为120. (I)周为AB∥CD, 4.C 由(2)的结论可得∠E=∠AME+∠CNE,∠F=∠BMF+ 5.解：因为分别过A,B两点的指正北方向是平行的， ∠FND. 所以∠1=∠A=67°（两直战平行，同位角相等）， 因为ME,NE分别平分∠AMF和∠CNF, 所以∠CBD=23°+67°=90 150 所以∠AME-∠AMF,∠CNE=∠CNF. 7.3定义、命题、定理 【知识梳理·自主学习】 所以号∠AMF+号∠CNF=∠E=16 1.清渐、明确 2.正确真错误假正确真错误假 所以∠AMF+∠CNF=232° 3.题设结论正确错误 周为∠AMF+∠BMF+∠CNF+∠FND=360°， 4.推理 所以∠BMF+∠FND=128°. 5.推理推理过程 所以∠F=∠BMF+∠FND=128° 6.例子（反例） 故答案为128. 【知识要点·多维突破】 8.36 1.B2.②③3.C4.D 9.解：(1)如图1，过点P作EFAB, 5.解：(1)是命题，如果两直线平行，那么内错角相等，是真 A -B 命题. (2)不是命题，它是一个作图步骤，没有对事情作出判断. CD (3)不是命题，因为它是一个问句，不能对一件事情作出 图1 判断， 因为∠A=50°，所以∠APE=∠A=50 6.BD内错角相等，两直线平行∠2两直线平行，内错角 因为AB∥CD,所以EF∥CD 相等∠2DEBC两直线平行，同位角相等 所以∠CDP十∠EPD=180° 7.证明：因为AD∥BC(已知)， 因为∠D=150°，所以∠EPD=180°-150°=30， 所以∠ACB=∠DAC(两直线平行，内错角相等) 所以∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80. 因为∠ACB=∠D(已知)，所以∠D=∠DAC(等量代换). (2)如图2，过点P作EF∥AB,则AB//EF //CD, 因为AD平分∠EAC(已知)，所以∠DAC=∠EAD(角平分 E. 线的定义)， 所以∠EAD一∠D(等量代换)，所以AB∥DC(内错角相等，两 直线平行). C D 图2 【阶梯训练·知能检测】 1.D2.C3.A4.D 所以∠CDP=∠DPF,∠FPA十∠PAB=180° 因为∠FPA=∠DPF-∠APD, 5.如果两个角是锐角，那么它们互余假命题 所以∠DPF-∠APD+∠PAB=180° 6.(1)∠1=∠3(2)b-c(3)<0(4)BC=EF 所以∠CDP+∠PAB-∠APD=180° 7.ADBE两直线平行，内错角相等∠CAD∠CFE 故答素为∠CDP十∠PAB-∠APD=180 ∠BAE∠CAD∠BAE等量代换同位角相等，两直 线平行 (3)如图3，设PD交AN于点O, 8.C 国为AP⊥PD,所以∠APD=90 因为∠PAN+号∠PAB=90 9.解：(1)垂直的定义角平分线的定义等量代换 (2)还有两种选捧方式： 所以∠PAN+号∠PAB=∠APD, 图3 条件是①③，结论是②或者条件是②③，结论是①。 进择条件是①③，结论是②，证明如下： 因为∠POA+∠PAN=90°， 因为OA⊥OB(已知)， 所以∠POA=名∠PAB. 所以∠AOB=90°（垂直的定义）. 因为∠DOE=45(已知)， 因为∠POA=∠NOD, 片A∠OD=7∠PAB. 所以∠DOE=∠A0B, 因为DN平分∠PDC, 因为OD年分∠A0C(已知)，所以∠D0C=∠A0C(角 所以∠0DN=号∠PDC, 平分线的定义)， 所以∠AND=180°-∠NOD-∠ODN= 所以∠DOE-∠D0C-}∠AOB-号∠A0C- 180-(ZPAB+∠PDC. 日(ZA0B-乙A0C学t代装. 由(2)得∠CDP+∠PAB-∠APD=180°， 即∠COE=名∠BOC,所以OE平分∠BOC(角平分线的 所以∠CDP+∠PAB=180°+∠APD, 定义). 所以∠AND=180-∠PAB+∠PDC)= 选择条件是②③，结论是①，证明如下： 180-7180+∠APD)=180°-2180+90)=45 因为OA⊥OB(已知)，所以∠AOB=90°（垂直的定义）. 国为∠D0E=45(已知)，所以∠D0E=2∠A0B. 151