7.3 定义、命题、定理-【夺冠百分百】2024-2025学年新教材七年级下册数学新导学课时练（人教版2024）河北专版

第七章相交线与平行线 新导学课时练 7.3 定义、命题、定理 A 知识梳理·自主学习 把数和字母连接而成的式子叫作代数式： ③有公共端点的两条射线组成的图形叫作 1.定义：对一些数学对象进行 的描 角：①两点之间，线段最短 述，这样的描述称为数学对象的定义， 名师点将 2.命题：可以判断为 (或 )或 1.定义应该尽可能具体，避免模糊或含糊不 (或 )的陈述语句，叫作命 清的表达。 题.被判断为 (或 )的命题 2.不同定义之间有独立性，避免混淆和重叠 叫作真命题，被判断为 (或 知识点二。命题及分类 的命题叫作假命题， 3.(2024沧州南皮期末)下列命题中，是真命 3.数学中的命题常可以写成“如果…那 题的是 () 么…”的形式，这时“如果”后接的部分是 A.相等的角是对顶角 ,“那么”后接的部分是 B.同位角相等 由题设和结论组成的命题，如果题设成立， C.等角的余角相等 那么结论一定成立，这样的命题就是 D.如果x2=y2,那么x=y 的；如果题设成立，不能保证结论 4.(2023石家庄裕华区期中)下列命题中，假 一定成立，这样的命题就是 的 命题是 () 4.定理：一些命题，它们的正确性是经过 A.平行于同一条直线的两条直线平行 证实的，这样的真命题叫作定理 B.两条直线相交形成的四个角中有一个角 5.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需 是90°，则这两条直线互相垂直 要经过 才能作出判断，这个 C.过直线外一点有且只有一条直线与这条 叫作证明。 直线平行 6.判断一个命题是错误的，只要举出一个 D.如果a⊥b,a⊥c,那么b⊥c 它符合命题的题设，但不满足结论就可 5.下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如 以了 果…那么…”的形式，并判断命题的 ● B 知识要点·多维突破 真假。 知识点一定义 (1)两直线平行，内错角相等. 1.下列属于定义的是 (2)作线段AB=CD A.两点确定一条直线 (3)邻补角的角平分线互相垂直吗？ B.几个单项式的和叫作多项式 C.同角或等角的补角相等 D.内错角相等，两直线平行 2.下列句子是定义的是 (填序号)》 ①同位角相等，两直线平行：②用运算符号 25 C新导学课时练 数学·七年级（下）·RJ 名师点睛 1.命题必须是一个完整的句子，而且必须作 阶梯训练·知能检测签 出肯定或否定的判断， 【基础过关】 2.命题常见的关键词有“是”“不是”“相等” 1.下列语句属于定义的是 “不相等”“如果…那么…”等 A.对顶角相等 知识点三证明 B.如果两个数相等，那么它们的绝对值也相等 6.(2024邢台期中)推理填空： C.两直线平行，同旁内角互补 已知：如图，∠EAB=∠ABD,∠1=∠E, D.含有未知数的等式叫作方程 求证：∠ADE=∠C. 2.(2024廊坊三河期末)下列命题：①经过直 线外一点，有且只有一条直线与这条直线平 行：②在同一平面内，过一点有且只有一条 直线与已知直线垂直：③直线外一点到这条 A D 直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距 证明：，∠EAB=∠ABD(已知)， 离：①如果直线a∥b,b⊥c,那么a∥c.其中 ∴.AE∥ 是真命题的有 ∠E= A.1个 B.2个 ,∠1=∠E(已知)， C.3个 D.4个 ∴.∠1= (等量代换). ∥ 3.(2024秦皇岛青龙模拟)能说明命题“若a2= (内错角相等，两直线平行). .∠ADE=∠C( ). b2,则a=b”是假命题的一个反例可以是 7.如图，AD平分∠EAC,AD∥BC,∠ACB= () ∠D.求证：ABDC. A.a=1,b=-1 B.a=1,b=2 C.4=-1,b=-1 D.a=-1,b=-2 4.如图，下列推理过程错误的是 D 名师点晴 A.因为∠A+∠ADC=180°，所以AB∥CD 证明命题的步骤： B.因为AB∥CD,所以∠ABC+∠C=180 1.审题：找出命题的“题设”和“结论” C.因为∠1=∠2，所以AD∥BC 2.译题：用符号语言把“题设”和“结论”写成 D.因为AD∥BC,所以∠3=∠4 已知和求证，并画出图形. 5.把命题“两个锐角互余”改写成“如果…那 3.证明：从题设出发，进行推理论证，每步推 么…”的形式 理都要有依据. 它是一个 (填“真命题”或“假命题”) 926 第七章相交线与平行线 新导学课时练 6.填出下列推理的结论： 9.如图，OA⊥OB,过点O在∠AOB的内部作 (1)若∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， 射线OC,给出以下信息：①OD平分 则 ∠AOC:②OE平分∠COB:③∠DOE= (2)如果a=b,那么a一c= 45°.请在上述3条信息中选择其中两条作 (3)如果a>0,b<0,那么ab 为条件，剩余的一条信息作为结论组成一个 (4)如果AB=BC,AB=EF,那么 真命题。 7.(2024保定莲池区期末)如图，四边形AB- (1)嘉嘉选取的条件是①②，结论是③，其证 CD,点E在BC延长线上，连接AE交CD 明过程如下，给下面的证明过程填写依据. 于点F,∠BAC=∠DAE=∠E,∠ACB= 证明：因为OA⊥OB(已知)， ∠CFE,试说明AB∥CD.请根据条件进行 所以∠AOB=90°( 推理，得出结论，并在括号内注明理由。 因为OD平分∠AOC,OE平分∠COB(已知)， 所以∠DOC=2 ∠AOC,∠COE= 2∠COB( 解：因为∠DAE=∠E(已知)， 所以∠DOC+∠COE= 所以 2∠AOC+ (内错角相等，两直线 平行)， 所以∠ACB=∠CAD( <c0B= 1 (∠AOC+∠COB)(), 因为∠ACB=∠CFE(已知)， 所以∠DOE=2∠AOB=45° 所以 (等量代换). (2)除了嘉嘉选择的以外，还有哪几种选择 因为∠BAC=∠DAE(已知)， 方式？并针对其中一个选择方式进行证明。 所以∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF, 即 所以∠CFE= 所以ABCD( 【素养闯关】 8.(2024石家庄来城区期末)下列命题： ①两条直线被第三条直线所截，同位角相 等：②过一点有且只有一条直线与已知直线 平行：③若∠1=40°，∠2的两边与∠1的两 边分别平行，则∠2=40°或140°：④在同一 平面内，若b⊥c,a⊥c,则b∥a.其中假命题 的个数是 A.3B.1 C.2 D.0 27所以∠AME-∠AMF,∠CNE=∠CNF. 7.3定义、命题、定理 【知识梳理·自主学习】 所以号∠AMF+号∠CNF=∠E=16 1.清渐、明确 2.正确真错误假正确真错误假 所以∠AMF+∠CNF=232° 3.题设结论正确错误 周为∠AMF+∠BMF+∠CNF+∠FND=360°， 4.推理 所以∠BMF+∠FND=128°. 5.推理推理过程 所以∠F=∠BMF+∠FND=128° 6.例子（反例） 故答案为128. 【知识要点·多维突破】 8.36 1.B2.②③3.C4.D 9.解：(1)如图1，过点P作EFAB, 5.解：(1)是命题，如果两直线平行，那么内错角相等，是真 A -B 命题. (2)不是命题，它是一个作图步骤，没有对事情作出判断. CD (3)不是命题，因为它是一个问句，不能对一件事情作出 图1 判断， 因为∠A=50°，所以∠APE=∠A=50 6.BD内错角相等，两直线平行∠2两直线平行，内错角 因为AB∥CD,所以EF∥CD 相等∠2DEBC两直线平行，同位角相等 所以∠CDP十∠EPD=180° 7.证明：因为AD∥BC(已知)， 因为∠D=150°，所以∠EPD=180°-150°=30， 所以∠ACB=∠DAC(两直线平行，内错角相等) 所以∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80. 因为∠ACB=∠D(已知)，所以∠D=∠DAC(等量代换). (2)如图2，过点P作EF∥AB,则AB//EF //CD, 因为AD平分∠EAC(已知)，所以∠DAC=∠EAD(角平分 E. 线的定义)， 所以∠EAD一∠D(等量代换)，所以AB∥DC(内错角相等，两 直线平行). C D 图2 【阶梯训练·知能检测】 1.D2.C3.A4.D 所以∠CDP=∠DPF,∠FPA十∠PAB=180° 因为∠FPA=∠DPF-∠APD, 5.如果两个角是锐角，那么它们互余假命题 所以∠DPF-∠APD+∠PAB=180° 6.(1)∠1=∠3(2)b-c(3)<0(4)BC=EF 所以∠CDP+∠PAB-∠APD=180° 7.ADBE两直线平行，内错角相等∠CAD∠CFE 故答素为∠CDP十∠PAB-∠APD=180 ∠BAE∠CAD∠BAE等量代换同位角相等，两直 线平行 (3)如图3，设PD交AN于点O, 8.C 国为AP⊥PD,所以∠APD=90 因为∠PAN+号∠PAB=90 9.解：(1)垂直的定义角平分线的定义等量代换 (2)还有两种选捧方式： 所以∠PAN+号∠PAB=∠APD, 图3 条件是①③，结论是②或者条件是②③，结论是①。 进择条件是①③，结论是②，证明如下： 因为∠POA+∠PAN=90°， 因为OA⊥OB(已知)， 所以∠POA=名∠PAB. 所以∠AOB=90°（垂直的定义）. 因为∠DOE=45(已知)， 因为∠POA=∠NOD, 片A∠OD=7∠PAB. 所以∠DOE=∠A0B, 因为DN平分∠PDC, 因为OD年分∠A0C(已知)，所以∠D0C=∠A0C(角 所以∠0DN=号∠PDC, 平分线的定义)， 所以∠AND=180°-∠NOD-∠ODN= 所以∠DOE-∠D0C-}∠AOB-号∠A0C- 180-(ZPAB+∠PDC. 日(ZA0B-乙A0C学t代装. 由(2)得∠CDP+∠PAB-∠APD=180°， 即∠COE=名∠BOC,所以OE平分∠BOC(角平分线的 所以∠CDP+∠PAB=180°+∠APD, 定义). 所以∠AND=180-∠PAB+∠PDC)= 选择条件是②③，结论是①，证明如下： 180-7180+∠APD)=180°-2180+90)=45 因为OA⊥OB(已知)，所以∠AOB=90°（垂直的定义）. 国为∠D0E=45(已知)，所以∠D0E=2∠A0B. 151 因为OE平分∠COB(已知)，所以∠COE= ∠C0B(角 1 第七章回顾与提升 【典题精练·考点突破】 平分线的定义)， 1.A 所以∠DOE-∠COE=2∠AOB- ∠COB= 2 2.解：(1)∠AOC=45° (2)OD⊥AB.理由如下： 是（∠A0B-∠0B)(等量代换） 图为OE平分∠BOD,所以∠BOD=2∠BOE. 固为∠BOE=45°，所以∠BOD=90°，所以OD⊥AB. 1 即∠DOC=2∠AOC,所以OD平分∠AOC(角平分线的 3.B4.120 定义). 5.(1)证明：因为∠1十∠2=180°，∠1+∠DCB=180, 所以∠2=∠DCB,所以ABCD. 7.4平移 (2)解：∠EDC=25°， 【知识梳理·自主学习】 6.(1)证明：图为∠AGE=∠DGC,∠AEG=∠AGE, 1.方向距离任何 ∠DCG=∠DGC,所以∠AEG=∠DCG,所以AB∥CD. 2.(1)形状和大小 (2)解：因为∠AGE=∠DGC,∠AGE十∠AHF=180°， (2)平行（或在同一条直线上）且相等 所以∠DGC+∠AHF=180°，所以BF∥EC, 所以∠BFC+∠C=180°. 【知识要点·多维突破】 图为∠BFC-30°=2∠C,所以∠BFC=2∠C+30°， 1.B2.羽，圭（答案不唯一） 所以2∠C+30°+∠C=180°，解得∠C=50°， 3.解：相等的线段有AB=A'B',BC=B'C,AC=A'C; 所以∠BFC=130° AA'=BB'=CC:相等的角有∠BAC=∠B'A'C,∠ABC= 因为AB∥CD,所以∠B十∠BFC=180°， ∠A'B'C,∠ACB=∠A'C'B' 所以∠B=50° 4.C5.540【变式】5 7.D8.B 6.4170°55 【易错专练·纠错补偿】 7.解：如图三角形A'BC即为所求 1.D2.A3.D4.D 第八章实数 8.1平方根 【阶梯训练·知能检测】 第1课时平方根 1.A2.C3.C4.B5.(50-5x)6.12 【知识梳理·自主学习】 【变式】27 1.平方x22.平方根平方3.两相反数0没有 7.解：连接AA',分别作BB',CC,DD 4.士√a正、负根号a被开方数√石 与AA'平行且相等，即可得到B,C,D 【知识要点·多维突破】 的对应点，顺次连接，如图，四边形 1.C2.C【变式D A'B'CD'即为所求. 3.±4 14 8.(1)解：AA'=BB,AA'∥BB 4.解：10士·2)士3 ,(3)士0.6.(4)±11.(5)±10. (2)证明：由平移的性质，可得AA'∥BB',AB∥A'B',所以 5.B6.0 ∠AM'B+∠BAA'=180°，∠ABB'+∠BAA'=180°，所以 ∠AA'B'=∠ABB'. 7.解：1x=土只 (2)x=±√0.0I=±0.1. 9.C 【阶梯训练·知能检测】 10.解：(1)∠B'EC=2∠A'. 1.A2.D3D4B5.19②)-g 6.±2 理由：周为AD平分∠BAC, 7.-4498.士4 所以∠BAC=2∠BAD. 9.解：(1)因为x一1的平方根为士2,3x十y一1的平方根为 由平移性质，得∠BAD=∠A',AB∥A'B', 士4， 所以∠B'EC=∠BAC=2∠BAD=2∠A. 所以x一1=4,3x+y一1=16，解得x=5,y=2. (2)AD'平分∠B'A'C.理由： (2)3x十5y=15十10=25,25的平方根为士5. 由平移性质，得∠B'A'D'=∠BAD,ABA'B, 10.解：(1)设6的美好数为a, 所以∠BAC-∠B'A'C 根据题意，得6十a=1,解得a=一5， 因为∠BAC=2∠BAD,所以∠BAD=∠BAC 故6的美好数是一5. (2)根据题意，得x2一3=1，解得x=士2. 所以∠BAD'=号∠BAC,所以AD'平分∠BAC 当22时证与-6的本均数为2号-2 152