7.1.2 两条直线垂直-【夺冠百分百】2024-2025学年新教材七年级下册数学新导学课时练（人教版2024）河北专版

参 考答案 11.解：(1)∠AOE和∠COE 第七章 相交线与平行线 (2)周为∠BOD=50°，所以∠AOD=180°-∠BOD=130 7.1相交线 1 周为OE平分∠BOD,所以∠BOE=∠EOD=2∠BOD=25. 7.1.1两条直线相交 图为∠EOF=55°，所以∠DOF=∠EOF一∠EOD=30°， 【知识梳理·自主学习】 所以∠AOF=∠AOD一∠FOD=100 1反向延长线2.反向延长线3.相等 周为OG年分∠AOF,所以∠F0G=2∠AOF=50,所 【知识要点·多维突破】 以∠DOG=∠GOF+∠DOF=80°. 1.D2.C (3)①当OM平分∠DOG时，如图1， 3.解：(1)∠COE 周为∠DOG=80°， (2)因为∠AOC=80° 所以∠AOD=180°-∠AOC=100° 所以∠DOM=∠DOF+∠FOM= 因为OE平分∠AOD, 号∠0G,P:30+∠F0M=40 所以∠DOE=∠AOE=之∠AOD=50, 所以∠FOM=10°， 所以∠B0E=180°-∠A0E=180-50°=130° 所以t=10°÷10°=1： ②当OG平分∠DOM时，如图2， 4.B5.A D 则∠GOM=∠DOG=80°， 6解：(1)∠AOC的对顶角是∠BOD,∠BOC的对顶角 所以∠FOM=∠MOG+∠FOG=80°+ 是∠AOD. 50°=130°， (2)因为∠COE=90°，∠COF=34, 所以t=130°÷10°=13： 所以∠E0F=∠C0E-∠C0F=90°-34°=56. ③当OD平分∠GOM时，如图3， 又因为OF平分∠AOE,所以∠AOF=∠EOF=56, 则∠DOM=∠DOG=80°，所以∠FOM 所以∠AOC=∠AOF-∠C0F=56°-34°=22°， ∠DOF+∠DOM=110, 所以∠BOD=∠AOC=22. 所以点M旋转的角度为360°-∠FOM 【阶梯训练·知能检测】 250°，所以t=250°÷10°=25. 1.C2.C3.C4.C5.∠BOC∠AOD∠COE53 综上，t的值为1戏13或25. 6.787.40或80 7.1.2两条直线垂直 8.解：(1)因为∠0C=110°，所以∠E0D=180°-∠E0C=70. 周为OB年分∠EOD,所以∠B0D=2∠EOD=35 【知识梳理·自主学习】 1.直角2.垂线垂足3.一4.所有垂线段垂线段最 (2)因为OB平分∠EOD 短5.垂线段的长度 所以∠BOD=∠BOE=Z∠DOE, 1 【知识要点·多维突破】 1.D2.60°3.90°90°⊥ 图为∠BOE:∠EOC=1:3, 4.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 所以∠EOC=3∠BOE=3∠BOD. 5.解：(1)如图. M 周为∠EOC+∠DOE=180°， (2)直线CM不能经过点P.因为在同一平 所以3∠BOD+2∠BOD=180°，解得∠BOD=36, 面内，过一点P有且只有一条贞线PA与 C B 所以∠AOC=∠BOD=36 直线AB垂直 9.B 6.B7.65 10.解：(1)因为∠BOC=75°，所以∠AOD=∠BOC=75°， 8.解：按方案一铺设管道更节省材料.理由：因为CE⊥AB, 因为∠AOM:∠MOD=2:3, DF⊥AB,所以根据“磨线段最短”，可如CE<CP,DF 片以∠AOM=号∠AOD=30 DP,所以CE十DF<CP十DP,所以沿CE,DF铺设管道 更节省材料 (2)OB平分∠CON. 【阶梯训练·知能检测】 理由：由(1)，知∠AOM=30°， 1.C2.D3.B4.B5.20°6.(1)65°(2)1.5 所以∠BOM=180°-∠AOM=180°-30°=150°. 7.65°11525° 因为ON年分∠BOM,所以∠BON-2∠BOM-75. 8.解：(1)如图.(2)如图 (3)PE<PO<FO,其依据是“垂线 因为∠BOC=75°，所以∠BOC=∠BON, 段最短” 所以OB平分∠CON. 9.解：(1)因为∠FOD=21°， 147 所以∠AOE=2∠FOD=42°， 【知识要点·多维突破】 所以∠B0E=180°-∠AOE=180°-42°=138° 1.C2.(1)平行(2)相交(3)重合 因为OC平分∠BOE, 3.解：如图所示. 所以∠B0C=号∠B0E=号X138=69, 所以∠AOD=∠BOC=69, (2)OE⊥OF,理由如下： 设∠DOF=x,∠COE=y,则∠AOE=2x,∠BOE=2y. 因为∠AOE+∠BOE=180°，所以2x+2y=180° 4.D5.C 所以x十y=90°，即∠DOF+∠COE=90°， 6.A【变式】相交过直线外一点有且只有一条直线与已知 所以∠EOF=90°，所以OE⊥OF, 直线平行 10.135°或45 T.解：直线EF如图.EFCD.理由如下： 11.解：这两种方案中，沿PO修路更经济些， 周为AB∥CD,EF∥AB, 因为根据“磨线段最短”可加，点P到OA 所以EF∥CD(如果两条直线都与第三 的所有线段中，PO最短.但PO不是最佳 条直线平行，那么这两条直线也互相平行)， 方案，如图，过点P作PN⊥OB于点N, 【阶梯训练·知能检测】 根据“垂线段最短”可知，点P到OB的所 L.D2.D3.C4.C5.B 有线段中，PN最短，所以PN<PO< 6.AB CD AB CD PM,图此沿PN修路最经济，为最佳方案。 7.(1)∥⊥⊥∥(2)不是同一平面 7.1.3两条直线被第三条直线所截 8.解：(1)，(2)如图 【知识梳理·自主学习】 1.同侧同一侧2.两侧之间3.同一旁之间 【知识要点·多维突破】 1.B2.A3.∠B和∠D∠2∠3 D 4.解：(1)∠1与∠4是直线a,b被直线c所藏而形成的同位角. (3)PM∥QN.理由如下： (2)∠1与∠3是直线c,b被直线a所戴而形成的内辑角， 因为PM∥AB,CD∥AB, ∠3与∠4是直线a,c被直线b所裁而形成的同旁内角. 所以PM∥CD(平行于同一条直线的两直线互相平行). 【阶梯训练·知能检测】 图为QNCD, 1.B2.B3.C4.∠4∠3∠BAD和∠BCD 所以PM∥QN(平行于同一条直线的两直线互相平行) 5.(1)∠ACD(2)∠ACD和∠ACB(3)∠ACD,∠ACB 9.C 和∠EFD 10.解：(1)CDMN,GH∥PN.(2)作图略. 6.解：(1)∠A和∠ACG是直线AC裁直线CG,AB形成的内 11.解：(1)AB∥CD,EFCD,GH∥CD. 错角. (2)BGCF.理由如下： (2)∠ACF和∠CED是直线AC截直线FB,ED形成的内 因为四边形ABGH是长方形，所以BG∥AH 错角。 周为DE∥AH,所以DE∥BG. (3)∠AED和∠ACB是直战AC裁直线DE,FB形成的同 因为四边形CDEF是长方形，所以DECF,所以BGCF 位角。 7.2.2平行线的判定 (4)∠B和∠BCG是直线FB戴直线CG,AB形成的同旁 内角。 【知识梳理·自主学习】 7.12 1.相等平行相等平行2.相等平行相等平行 8.解：(1)如图（答案不唯一）. 3.互补平行互补平行4.平行 【知识要点·多维突破】 1.同位角相等，两直线平行 2.AB∥CD,EF∥CG 3.解：AB与CD平行.理由如下： (2)图为∠1=2∠2，∠2=2∠3， 因为GH⊥CD,∠2=30°，所以∠GHC=90°，所以∠3=90° 所以设∠3=x,则∠2=2x,∠1=4x, 30°=60°，所以∠4=∠3=60（对项角相等）. 故∠1+∠3=4x十x=180°，解得x=36°，故∠3=36°. 因为∠1=60°，所以∠1=∠4，所以AB∥CD(同位角相等， 7.2平行线及其判定 两直线平行). 4.C5.∠C∠CBA 7.2.1平行线的概念 6.解：因为CF⊥DF,所以∠CFD=90°，所以∠1+∠2=90. 【知识梳理·自主学习】 因为∠1和∠D互余，所以∠1+∠D=90°，所以∠2=∠D, 1.不相交2.a仍3.相交平行 所以ABCD. 4.一5.互相平行b∥e 7.D8.∠B∠D 148C新导学课时练 数学·七年级（下）·RJ 7.1.2 两条直线垂直 知识梳理·自主学习 解：因为CD⊥EF, 所以∠1= (垂直的定义)， 1.垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有 所以∠2=∠1= 一个角是 时，我们说这两条直线 所以AB EF(垂直的定义). 互相垂直. 名师点睛 2.垂线：垂直是相交的一种特殊情形，两条直 利用垂直定义求角的度数，首先根据垂 线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直 直得到直角，进而根据互余、互补以及对顶 线的 ,它们的交点叫作 角相等进行角度的计算」 3.在同一平面内，过一点有且只有 条 知识点二 垂线的画法及性质 直线与已知直线垂直. 4.如图，已知OM⊥a,ON⊥a,所 4.连接直线外一点与直线上各点的 以OM与ON重合的理由是 线段中， 最短.简单说 成： 5.如图，P是直线AB外一点，直线PA⊥AB, 5.直线外一点到这条直线的 垂足为A,C为直线AB上的一个点 ,叫作点到直线的距离 (1)过点C作CM⊥AB, B 知识要点·多维突破 (2)直线CM能不能经过点P?为什么？ 知识点一 垂直的定义 1.(2024保定涿州期末)如图，OA⊥OB, C ∠AOC=120°，则∠BOC的度数是() A.150° B.120 C.60° D.30 第1题图 第2题图 2.如图，直线a,b,c相交于一点，a⊥b,若 ∠1=2∠2，则∠3的度数是 名师点睛 用三角尺画垂线的步骤： 3.如图，若CD⊥EF,∠1=∠2，则AB⊥EF, 一“落”：把三角尺的一条直角边落在已知直 请说明理由（补全解题过程） 线上 E 二“移”：沿直线移动三角尺，使其另一条直 角边经过已知点。 三“画”：沿此直角边画直线。 604 第七章相交线与平行线 新导学课时练 知识点三垂线段的性质 阶梯训练·知能检测签 6.(2024保定阜平期末)如图，要在河堤两岸 搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段 【基础过关】 PN,理由是 ( 1.(2023邢台期中)依据图中所标的数据，可 A.两点确定一条直线 以判定该同学的跳远成绩是 () B.垂线段最短 7 m C.两点之间线段最短 M 6.9m D.平面内过一点有且只有一条直线与已知 6.2m 直线垂直 A.7 m B.6.9m 7.如图，AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为A, C.6.2m D.2 m D,AB=6cm,AD=5cm,则点B到直线 2.(2024石家庄长安区期末)过直线m外的一 AC的距离是 cm,点A到直线BC 点Q作m的垂线，下列图中借助直角三角 的距离是 cm. 尺操作正确的是 () B 8.如图，AB是一条河流，要铺设管道将河水 引到C,D两个用水点，现有两种铺设管道 的方案。 方案一：分别过点C,D作AB的垂线，垂足 3.(2024保定定州期末)如图，直线AB,CD相 为E,F,沿CE,DF铺设管道； 交于点O,E0⊥CD,垂足为O.若∠1=54°， 方案二：连接CD交AB于点P,沿PC,PD铺 则∠2的度数为 () 设管道.这两种铺设管道的方案哪一种更节省 C 材料？为什么？ D A.26 B.36 C.449 D.549 4.(2023沧州模拟)如图，河道的一侧有甲、乙 两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲、 乙两村，下列四种方案中最节省材料的是 名师点晴 根据垂线段的性质解决实际问题，需要 从实际问题中建立垂线段模型，把实际问题 转化为数学问题 5 C新导学课时练 数学·七年级（下）·RJ 5.(2024廊坊安次区期末)如图，直线BC,DE相 9.(2024那台南宫期中)如图，直线AB,CD相 交于点O,AO⊥BC,OM平分∠BOD,如果 交于点O,OC平分∠BOE,∠AOE= ∠AOE=50°，那么∠BOM的度数是 2∠FOD (1)若∠FOD=21°，求∠AOD的度数， (2)猜想OE与OF之间的位置关系，并说明 理由 M D 6.如图，AB,CD交于点O,OE⊥CD于点O, 连接CE, (1)若∠AOC=25°，则∠BOE= (2)OC=2 cm,OE=1.5 cm,CE=2.5 cm, 则点E到直线CD的距离是 cm. 【素养闯关】 10.(2024库坊霸州期中) 【动手操作】如图，O 第6题图 第7题图 为直线AB上一点，过 7.如图，AB与CD交于点O,OE⊥CD,OF⊥ 点O作射线OC,使 AB,∠BOD=25°，则∠AOE= ∠DOF= ∠BOC=135°.将直角三角板MON绕点 ,∠AOC= O旋转一周，当直线OM与直线OC互相 8.(教材P6练习T2变式)如图，直线AB,CD 垂直时，∠AOM的度数是 相交于点O,P是CD上一点. 11.(实际应用题)如图，AOB为一条在O处拐 (1)过点P画AB的垂线段PE. 弯的公路，村庄P在公路的一侧，村里准 (2)过点P画CD的垂线，与AB相交于 备修一条从村庄P通向这条公路的道路， 点F 现有两种设计方案：一是沿PM修路，二是 (3)说明线段PE,PO,FO三者的大小关 沿PO修路(PO⊥OA),如不考虑其他因 系，其依据是什么？ 素，这两种方案哪个更经济些？它是不是 最佳方案？如果不是，请你帮助设计出最 佳方案，并简要说明理由. 06