7.3 组合（分层作业，12大题型）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）

7.3 组合 题型一 组合意义理解 1.一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是（ ） A. B. C. D. 2.将3张相同的消费券分给9个人，每人至多分到1张，则不同的分法共有（ ） A.60种 B.72种 C.84种 D.90种 题型二 排列（数）与组合（数）的区别 1.下列问题不是组合问题的是（ ） A.从甲、乙、丙、丁四位老师中选取两位去参加学习交流会，有多少种选法？ B.平面上有2016个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C.集合{a1，a2，a3，…，an}含有三个元素的子集有多少个？ D.从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 2.判断下列问题是组合问题还是排列问题： （1）某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？ （2）把5本不同的书分给5个学生，每人一本； （3）从7本不同的书中取出5本给某个学生. 题型三 组合数的计算 1.（ ） A.10 B.15 C.20 D.40 2.可表示为（ ） A. B. C. D. 题型四 利用组合数公式证明 1.证明：. 2.求证：. 题型五 组合数方程和不等式 1.若，则（ ） A.5 B.20 C.60 D.120 2.若，则的取值集合是（ ） A. B. C. D. 题型六 组合数的性质及应用 1.（ ） A.55 B.120 C.165 D.220 2.已知，则（ ） A.11 B.10 C.9 D.8 题型七 实际问题中的组合计数问题 1.甲，乙两名大学生计划今年寒假分别从黄果树风景名胜区、龙宫景区、天龙屯堡景区、安顺古城四个不同的景区中随机选两个景区前往旅游打卡，则这两人恰好有一个景区相同的选法共有（ ） A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 2.某博物馆需要从3名男生和5名女生中选取4名志愿者，则志愿者中至少有2名男生的不同选法的种数（ ） A.35 B.40 C.60 D.70 题型八 代数中的组合计数问题 1.从2，3，5，7，11这5个素数中，随机选取两个不同的数，其积为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 2.在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有（ ）个 A.44 B.45 C.54 D.55 题型九 几何组合计数问题 1.有8个点在同一平面内，其中任意三点不共线，从中任选三点为顶点，可以作__________个三角形.（ ） A.28 B.42 C.56 D.112 2.从五棱锥的6个顶点中随机选取4个，则这4个顶点在同一个平面内的概率是（ ） A. B. C. D. 题型十 分组分配问题 1.现有6名同学到3家不同的养老院参加“关爱孤寡老人”爱心志愿活动，若每家养老院安排2名同学，且每名同学只前往一家养老院，则共有安排方法（ ） A.30种 B.60种 C.90种 D.120种 2.某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（ ） A.45种 B.90种 C.180种 D.270种 题型十一 的整数解的个数 1.方程的非负整数解个数为（ ）. A.220 B.120 C.84 D.24 2.学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（ ）种分配方案. A. B. C. D. 题型十二 其他组合计数模型 1.在空间直角坐标系中，已知点，若，，，且，则满足条件的点共有（ ） A.15个 B.20个 C.35个 D.56个 2.用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（ ） A.8个 B.12个 C.18个 D.24个 1.设是集合的子集，只含有2个元素，且不含相邻的整数，则这种子集的个数为（ ） A.11 B.12 C.10 D.13 2.若，则的值为（ ） A.2 B.8 C.2或8 D.2或4 3.编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，若任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有（ ） A.10种 B.12种 C.15种 D.18种 4.上古时代神话传说中，伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出了“八卦”，而龙马身上的图案就叫作“河图”（如图1），河图把一到十这十个数字分成五组，其口诀为：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中，现从这十个数中随机抽取六个数，则能成为三组的概率是（ ） A. B. C. D. 5.已知实数，将这7个数适当排列成一列数，满足，则满足要求的排列的个数为（ ） A.58 B.71 C.85 D.96 6.设有编号，，，，的五个球和编号，，，，的五个盒子，现将个球放入个盒子内，要求每个盒子放个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？ 7.安排6名教师到甲､乙､丙三个场馆做志愿者. （1）有14个相同的口罩全部发给这6名教师，每名教师至少发两个口罩，共有多少种不同的发放方法？ （2）六名教师站一排照相，求不相邻，且在的左边（可以不相邻）的概率？ 8.某餐饮公司给学校学生配餐，现准备了种不同的荤菜和种不同的素菜. （1）当时，若每份学生餐有荤素，共有多少种不同的配餐供学生选择？ （2）若每位学生可以任选荤素，要保证至少有种以上的不同选择，求的最小值. 9.北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙.为了某次航天任务，准备从8名预备队员中（其中男4人，女4人）中选择4人作为航天员参加该次任务. （1）若参加此次航天任务的航天员要求有男性也有女性，共有多少种选法？（结果用数字作答） （2）若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3组合 题型一 组合意义理解 1.一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】依题意由组合数公式计算可得. 【详解】根据题意，一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球，共个球， 从中取个球，则有种取法. 故选：D. 2.将3张相同的消费券分给9个人，每人至多分到1张，则不同的分法共有（ ） A.60种 B.72种 C.84种 D.90种 【答案】C 【分析】依题意可得9人中有3人各得1张消费券，利用组合数公式计算可得. 【详解】依题意可得9人中有3人各得1张消费券，则不同的分法共有种. 故选：C 题型二 排列（数）与组合（数）的区别 1.下列问题不是组合问题的是（ ） A.从甲、乙、丙、丁四位老师中选取两位去参加学习交流会，有多少种选法？ B.平面上有2016个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C.集合{a1，a2，a3，…，an}含有三个元素的子集有多少个？ D.从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 【答案】D 【分析】 发现选项A、B、C中都与顺序无关，利用组合问题的定义处理即可. 【详解】 易知组合问题与顺序无关，排列问题与顺序有关， 在D选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱， 乙参加独舞”与“乙参加独唱，甲参加独舞”是两个不同的选法，与顺序有关， 因此是排列问题，不是组合问题，故D正确. 故选：D 2.判断下列问题是组合问题还是排列问题： （1）某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？ （2）把5本不同的书分给5个学生，每人一本； （3）从7本不同的书中取出5本给某个学生. 【答案】（1）排列问题 （2）排列问题 （3）组合问题 【分析】（1）（2）（3）根据有顺序还是无顺序，即可求解. 【详解】（1）因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题. （2）由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题. （3）从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题. 题型三 组合数的计算 1.（ ） A.10 B.15 C.20 D.40 【答案】C 【分析】由组合数公式计算求解即可. 【详解】， 故选：C 2.可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用排列数和组合数的定义计算即可. 【详解】. 故选：D. 题型四 利用组合数公式证明 1.证明：. 【答案】证明见解析 【分析】根据组合数公式分析证明. 【详解】由题意可得： ， 所以. 2.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用组合数公式两边分别计算即得. 【详解】， ， 所以. 题型五 组合数方程和不等式 1.若，则（ ） A.5 B.20 C.60 D.120 【答案】D 【分析】根据组合数的性质求出，再根据排列数公式计算可得. 【详解】因为，所以或， 解得（舍去）或， 所以. 故选：D 2.若，则的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据组合数的运算公式及性质化简不等式求其解集即可. 【详解】因为， 所以，即解得. 因为，所以. 所以的取值集合为. 故选：A. 题型六 组合数的性质及应用 1.（ ） A.55 B.120 C.165 D.220 【答案】C 【分析】利用组合数的性质计算得解. 【详解】 . 故选：C 2.已知，则（ ） A.11 B.10 C.9 D.8 【答案】B 【分析】根据组合数的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以，所以，解得. 故选：B 题型七 实际问题中的组合计数问题 1.甲，乙两名大学生计划今年寒假分别从黄果树风景名胜区、龙宫景区、天龙屯堡景区、安顺古城四个不同的景区中随机选两个景区前往旅游打卡，则这两人恰好有一个景区相同的选法共有（ ） A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 【答案】C 【分析】利用组合数和计数原理，用间接法求解即得. 【详解】由题意得甲选择两个景区的选法有种， 乙选择两个景区的选法有种，故总选法有种， 两人选择景区完全相同的选法有种， 两人选择景区完全不相同的选法有种， 故两人恰好有一个景区相同的选法共有种，故C正确. 故选：C. 2.某博物馆需要从3名男生和5名女生中选取4名志愿者，则志愿者中至少有2名男生的不同选法的种数（ ） A.35 B.40 C.60 D.70 【答案】A 【分析】由题意可知：男生人数为2或3，结合组合数运算求解. 【详解】由题意可知：男生人数为2或3， 若有2名男生，则不同选法的种数为； 若有3名男生，则不同选法的种数为； 所以不同选法的种数. 故选：A. 题型八 代数中的组合计数问题 1.从2，3，5，7，11这5个素数中，随机选取两个不同的数，其积为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由题意，求出基本事件的总数和满足积为偶数的基本事件个数，利用古典概率即可求解. 【详解】从2，3，5，7，11这5个素数中，随机选取两个不同的数，共有种选法， 其积为偶数，即两个数中有一个为2，共有4种选法， 所以概率为. 故选：A. 2.在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有（ ）个 A.44 B.45 C.54 D.55 【答案】B 【分析】分别讨论个位上的数字是0和个位上的数字不是0两种情况，即可求出结果. 【详解】对于一个两位数，个位上的数字能取的值分别为：0~9之间的任意一个数字， 十位上的数字能取的值为：1~9之间的任意一个数字， 为使个位上的数字小于十位上的数字， 当个位上的数字是0时，十位上的数字可以取1~9之间的任意一个数字，共9种情况； 当个位上的数字不是0时，只需从1~9之间任取两个数字， 较大的数字当做十位上的数字即可，此时共有. 故满足题意的两位数共有个. 故选：B 题型九 几何组合计数问题 1.有8个点在同一平面内，其中任意三点不共线，从中任选三点为顶点，可以作__________个三角形.（ ） A.28 B.42 C.56 D.112 【答案】C 【分析】因选定三点为顶点的三角形只有一个，故是组合问题，列式求解即得. 【详解】因8个点中，任意三点不共线，且选定三点为顶点的三角形只有一个， 故这样的三角形有个. 故选：C. 2.从五棱锥的6个顶点中随机选取4个，则这4个顶点在同一个平面内的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】计算出所有可能情况及符合要求的情况即可得. 【详解】从五棱锥的6个顶点中随机选取4个的不同选取方法有种， 其中选取的4个顶点在同一个平面内的不同选取方法有种， 则所求概率. 故选：C. 题型十 分组分配问题 1.现有6名同学到3家不同的养老院参加“关爱孤寡老人”爱心志愿活动，若每家养老院安排2名同学，且每名同学只前往一家养老院，则共有安排方法（ ） A.30种 B.60种 C.90种 D.120种 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理即可求得结果. 【详解】设3家养老院的编号依次为1、2、3，首先安排1号养老院，有（种）， 再安排2号养老院，有（种），最后安排3号养老院，有（种）， 根据分步乘法计数原理，因此共有安排方法（种）. 故选：C 2.某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（ ） A.45种 B.90种 C.180种 D.270种 【答案】B 【分析】根据平均分组分配问题即可求解. 【详解】先将6名同学平均分成3组，有种分法， 再将3名老师分成3组，有种分法， 所以共有种分法. 故选：B 题型十一 的整数解的个数 1.方程的非负整数解个数为（ ）. A.220 B.120 C.84 D.24 【答案】A 【分析】将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解. 【详解】依题意，可知为非负整数， 因为， 所以， 从而将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，每部分至少一个球， 一共有12个间隔，利用4个隔板插入即可，故共有种. 故选：A 2.学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（ ）种分配方案. A. B. C. D. 【答案】C 【分析】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球，结合隔板法可得结果. 【详解】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球， 由隔板法可知，不同的分配方案种数为. 故选：C. 题型十二 其他组合计数模型 1.在空间直角坐标系中，已知点，若，，，且，则满足条件的点共有（ ） A.15个 B.20个 C.35个 D.56个 【答案】D 【分析】根据讨论是否相等，结合组合数运算求解. 【详解】若，则满足条件的点共有个； 若中只有2个相等，可知或，则满足条件的点共有个； 若互不相等，则满足条件的点共有个； 综上所述：满足条件的点共有个. 故选：D. 2.用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（ ） A.8个 B.12个 C.18个 D.24个 【答案】C 【分析】分首位为2、1计算出每种情况的结果数，再相加即可. 【详解】当首位为2时，这样的五位数有个； 当首位为1时，这样的五位数有个. 综上，这样的五位数共有个. 故选：C. 1.设是集合的子集，只含有2个元素，且不含相邻的整数，则这种子集的个数为（ ） A.11 B.12 C.10 D.13 【答案】C 【分析】用排除法求解. 【详解】含有2个元素的子集个数为，其中两个数相邻的有5个， 所以所求子集个数为. 故选：C. 2.若，则的值为（ ） A.2 B.8 C.2或8 D.2或4 【答案】A 【分析】利用组合数的性质求出的值. 【详解】由组合数的性质可得，解得， 又，所以或， 解得（舍去）或. 故选：A. 3.编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，若任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有（ ） A.10种 B.12种 C.15种 D.18种 【答案】A 【分析】在四盏熄灭的灯中，使用插空法即可求解； 【详解】四盏熄灭的灯产生的5个空中放入3盛亮灯，即不同的开灯方案有（种） 故选：A 4.上古时代神话传说中，伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出了“八卦”，而龙马身上的图案就叫作“河图”（如图1），河图把一到十这十个数字分成五组，其口诀为：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中，现从这十个数中随机抽取六个数，则能成为三组的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据古典概型结合组合数运算求解. 【详解】从一到十这十个数中随机抽取六个数，基本事件总数， 能成为三组的基本事件个数， 则能成为三组的概率. 故选：C. 5.已知实数，将这7个数适当排列成一列数，满足，则满足要求的排列的个数为（ ） A.58 B.71 C.85 D.96 【答案】B 【分析】根据题意，都比大，所以可能取或，分，和三类进行讨论. 【详解】根据题意，都比大，所以可能取或， 当时，有种选法，剩余数字中最大， 有种选法，最后剩下一个就是，共有种， 当时，，有种选法，剩余数字中最大， 而，有种选法，共有种， 当时，，，有种选法， 剩余数字，只有1种，共有种， 则满足要求的排列的个数为种. 故选：B 6.设有编号，，，，的五个球和编号，，，，的五个盒子，现将个球放入个盒子内，要求每个盒子放个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？ 【答案】20 【分析】首先任取两个球对号放入盒子，应用枚举法将余下三个球放在与球的编号不同的盒子中，即可得结果. 【详解】从5个球中取出2个与盒子对号有种，还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法： 假设1，2号球分别放入1，2号盒子（球的编号与盒子的编号相同）， 则剩下3，4，5号球，3，4，5号盒，球的编号与盒子的编号不能相同. 若3号球装4号盒时，则4，5号球有只有1种装法； 同理3号球装5号盒时，4，5号球有也只有1种装法， 由分步计数原理有（种）不同的放法. 7.安排6名教师到甲､乙､丙三个场馆做志愿者. （1）有14个相同的口罩全部发给这6名教师，每名教师至少发两个口罩，共有多少种不同的发放方法？ （2）六名教师站一排照相，求不相邻，且在的左边（可以不相邻）的概率？ 【答案】（1） （2） 【分析】（1）分两步完成，第一步，每人先发一个口罩，第二步，将剩余的8个口罩发给6人，每人一个，利用相同元素隔板法即可解决问题； （2）利用排列知识，求出当不相邻，且在的左边时的排法数及六名教师站一排时的排法数，再利用古典概率公式即可求出结果. 【详解】（1）因口罩全部相同，且每名教师至少发两个口罩， 分两步完成：第一步，每人先发一个口罩，只有1种发法， 第二步，将剩余的8个口罩发给6人，每人一个，共有种不同的发放方法，所以共有种不同的发放方法. （2）当不相邻，且在的左边时，有种排法， 又六名教师站一排时，有种排法， 记“不相邻，且在的左边（可以不相邻）”为事件， 所以. 8.某餐饮公司给学校学生配餐，现准备了种不同的荤菜和种不同的素菜. （1）当时，若每份学生餐有荤素，共有多少种不同的配餐供学生选择？ （2）若每位学生可以任选荤素，要保证至少有种以上的不同选择，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可求出不同的选择方法种数； （2）利用组合计数原理可得出每位学生的不同选择方法种数，结合题意可得出关于的不等式，由此可求得正整数的最小值. 【详解】（1）当时，学校共有种不同的荤菜和种不同的素菜， 若每份学生餐有荤素，由分步乘法计数原理可知， 不同的选择方法为（种）. （2）从种不同的荤菜和种不同的素菜中，任取荤素，不同的选择方法为（种）. 由题意，得，整理可得， 因为，所以，所以的最小值为. 9.北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙.为了某次航天任务，准备从8名预备队员中（其中男4人，女4人）中选择4人作为航天员参加该次任务. （1）若参加此次航天任务的航天员要求有男性也有女性，共有多少种选法？（结果用数字作答） （2）若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 【答案】（1）68； （2）2520. 【分析】（1）航天员要求有男性也有女性，先根据人数分类，再结合组合数公式用分步计数原理求解； （2）先选4名航天员，然后分为2，1，1的三组，然后分配到A，B，C实验室即可. 【详解】（1）由题意，分成3种情况讨论： 有1名女性，3名男性，共有种选法， 有2名女性，2名男性，共有种选法， 有3名女性，1名男性，共有种选法， 所以共有16+36+16=68种选法， 即参加此次航天任务有男性也有女性的选法，共有68种选法； （2）由题意，先选4名航天员，然后分为2，1，1的三组，然后分配到A，B，C实验室， 共有种方法.所以每个实验室至少一名航天员，共有2520种选派方式. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$