小专题集训二 相似三角形的常见模型-【夺冠百分百】2024-2025学年九年级下册数学新导学课时练（人教版）河北专版

C新导学课时练 数学·九年级（下）·RJ 小专题集训二 相似三角形的常见模型 类型一“A”型及反“A”型 类型三旋转型与“母子”型 1.(“A”型)如图，已知在 5.(旋转型)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，那 □ABCD中，EF∥AD, 么△ABD与△ACE相似吗？为什么？ DE EB-2:3.EF= 6,那么BC的长为 2.(反“A”型)如图，在△ABC中，AD,BE分别 是BC,AC边上的高，连接DE. 求证：△DCE∽△ACB. 类型二“X”型及反“X”型 6.(“母子”型)如图，已知AB=AC,BC=BD 3.(反“X”型)如图，在△ABC 求证：CB=CD·CA. 中，AE交BC于点D,∠C ∠E,AD=4,BC=8,BD: DC=5:3,则DE的长等 于() A智 B 15 CH n 4.(“X”型)如图，△ABC是等边三角形，CE 是外角平分线，点D在AC上，连接BD并 延长与CE交于点E.求证：△ABD Cn△CED. 032 第二十七章相似 新导学课时练 类型四一线三等角型 9.(新概念题)从三角形（不是等腰三角形）一 7.(邯郸期中)如图，在等边△ABC中，点D, 个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交 E分别在边BC,AC上，∠ADE=60°，若 点之间的线段把这个三角形分割成两个小 BD 3 AD=4,CE-2,则DE的长度为( 三角形，如果分得的两个小三角形中一个为 ) 等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们 把这条线段叫做这个三角形的完美分割线. (1)如图1，在△ABC中，CD为角平分线， ∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC 的完美分割线， A.1 C.2 (2)如图2，在△ABC中，AC=2,BC=√2， 8.如图，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°， CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是 AB=AC=2,点D在BC上运动（不能到达 以CD为底边的等腰三角形.求完美分割线 点B,C),过点D作∠ADE=45°，DE交 CD的长， AC于点E. (1)求证：△ABD△DCE, (2)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长. 图 图2 33●2.∠AFD=∠C. ∴.CD=PD+PC=10,∴.AB=10. ∴△ADF∽△DEC. 9.D10.(1)1(2)7 (2)解：AE⊥BC,AD∥BC, 11,解：甲加工的方法符合要求. .∠DAE=∠AEB=90. 设图1加工的桌面长为xm. .在R△DAE中， ,FD∥BC,∴.∠AFD=∠C,∠ADF=∠B, DE=ADFAE=(33)+3=6. .Rt△AFDC∽Rt△ACB, AF AD :.AF AC=FD BC. 由(I),知△ADFn△DEC,得DC=DE· 即(4-)：4=x:3,解得r=号 7 ∴AF= DC·AD4×33 =25. DE 6 设题图2加工桌面长为ym,过点C作CM⊥ AB,垂足是M,与GF相交于点N,如图. 27.2.2相似三角形的性质 .GF//DE. 【知识梳理·自主学习】 ∴.△CGF∽△CAB, (1)相似比(2)相似比(3)相似比的平方 ..CN CM=GF:AB, 【知识要点·多维突破】 :.(CM-y):CM=y AB. 1.C2.C3.1.84.B5.B 6.解：(1)，四边形ABCD是平行四边形， :S△AE= 2AC·BC= AB ∴.AB∥CD,AB=CD,∴.△AEF∽△CDF ·CM, AE:EB=1:2,AE:AB=1:3. .AE:CD=1:3,.△AEF与△CDF的周长比 CM=AC·BC 4×3 12 AB √3+4 5 为1：3. (2)△AEFC△CDF,.S△Ar:S△r=1:9. 故此可旅得y一品 S△r=6cm,.S△r=6X9=54(cm2). x>y,故x>y,.甲的加工方法符合要求 易错点具题5m 小专题集训二相似三角形的 常见模型 【阶梯训练·知能检测】 1.10 1.D2.C3.C4.B5.B6.27.14 2.证明：，在△ABC中，AD,BE分别是BC,AC边 8.(1)证明：，在矩形ABCD中，AB=CD,BC=AD =8,∠B=∠C=∠D=90°， 上的高， 由折叠知，∠APO=∠B=90°， ∴.∠ADC=∠BEC=90. .∠APD+∠OPC=90. :∠C是公共角， :∠APD+∠PAD=90°，∴.∠PAD=∠OPC, ∴.△CDAC△CEB. ∴.△OCPn△PDA. 胎 (2)解：设OC=x,则OP=OB=8-x, 由(1)知，△OCP∽△PDA, 册器 %)=(8)= :∠C是公共角， .△DCEc∽△ACB. 3.B ∴.PC=4,PD=2x. 4.证明：：△ABC是等边三角形， OC+PC=OP, ∴.∠BAC=∠ACB=60°，∠ACF=120 ∴x2+4=(8-x),解得x=3,.PD=6, :CE是外角平分线， .∠ACE=60°. 36 .∠BAC=∠ACE. ③如图，当AE=DE时， ∠ADB=∠CDE, ∠DAE=∠ADE=45°， ∴.△ABDC∽△CED. ∴.AD⊥BC,DE⊥AC,且 5.解：△ABD与△ACE相似，理由如下： AD=DC. ∠1=∠2， ∴.∠1+∠DAC=∠DAC+∠2， 六AE=CE=2AC=1. 即∠BAC=∠DAE. 综上，可得AE=4-2v2或1. 又，∠3=∠4， 9.(1)证明：：∠A=40°，∠B=60°，.∠ACB=80. ∴.△ABCn△ADE. ∴△ABC不是等腰三角形. 铝怨得把把 ,CD平分∠ACB, 1 又∠1=∠2， 六∠ACD=∠BCD=2∠ACB=4O. ∴.△ABD∽△ACE. ∴.∠ACD=∠A=40°..△ACD为等腰三角形. 6.证明：，AB=AC,∴.∠ABC=∠C. :∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC, BC=BD,.∠BDC=∠C, ∴△BCD∽△BAC. ∴.∠ABC=∠BDC. .CD为△ABC的完美分割线. '∠C=∠C,∴.△ABC∽△BDC. (2)解：由题意，得AC=AD=2,设BD=x,则AB 器费 =x+2. ∴CB=CD·CA. △CD△BAC折设中是g看 种x+22 7.D ∴.x(x+2)=2. 8.(1)证明：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB 解得x1=√3一1，x2=一√3-1（不合题意，舍去）. =AC, .∠B=∠C=45 .BD=√5-1. :∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠ADE “△BCDn△BAC是--g, +∠EDC, .∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD. :cD=5-1x2=2w3-1)=后-2. 又：∠ADE=45°. 2 .45+∠EDC=45°+∠BAD, 小专题集训三相似三角形 .∠EDC=∠BAD, 的判定与性质 ∴.△ABDC△DCE. L.证明：BC∥DE,.∠ACB=∠CDE (2)解：，∠BAC=90°，AB=AC=2, CD=2BC.ED=2AC. .BC=√AB+AC=2√2. ..BC CD=AC ED=1:2. 分三种情况讨论： .△ABCc△ECD ①当AD=AE时，∠DAE=90°，此时点D与点B 2.(1)证明：四边形ABCD为菱形， 重合，不合题意： ∴.∠ACD=∠BCA. ②当AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为 ,∠ACD=∠ABE,.∠BCA=∠ABE. 1,此时△ABD≌△DCE,则CD=AB=2,EC ∠BAC=∠EAB,.△ABCC∽△AEB BD=BC-CD=2V2-2,AE=AC-EC=2- AB AC (2)解：△ABC∽△AEB,. (2√2-2)=4-2√2： AE AB' AE-18AC-88-8Ag-1. 37