热点05 解直角三角形及其应用（10大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（四川专用）

热点05 解直角三角形及其应用 中考数学中解直角三角形及其应用部分主要考向分为四类： 一、正弦、余弦、正切计算（每年1~3道，3~12分） 二、特殊角的三角函数值（每年1~2道，8~13分） 三、解直角三角形及其应用（每年1~3道，3~12分） 四、三视图（每年1道，3分） 在数学中考中，解直角三角形及其应用是大部分市的必考内容，难度中等，主要分为基础计算、实际应用以及综合题型三大类，常结合勾股定理、全等或相似三角形进行考查，在选择填空题中常与特殊角的三角函数值、勾股定理结合进行简单计算，在解答题中以实际问题为背景，需构建直角三角形模型，分步求解。今年命题趋势可能方向：①生活化情境（如桥梁高度测量、山坡坡度计算、航海航行问题等）；②常与其他题型进行结合或引入动态（动点、折叠等）问题增加难度；③部分题型可能融入物理（如光线投影）或地理（如经纬度等）知识。 考向一：正弦、余弦、正切计算 【题型1 求角的正弦值】 基础概念与定义 ①在直角三角形中，正弦值=（），关键是通过构造或识别直角三角形确定边长关系； ②特殊角的三角函数值：，，，需熟记，若题目涉及互余（如） 可用 计算。 常见解题方法 ①构造直角三角形 作垂线法：当题目无现成直角三角形时，通过作高线(如矩形对角线、梯形高构造直角三角形； 坐标系法：将几何图形置于坐标系中，通过坐标计算边长及正弦值； ②利用几何模型与性质 弦图模型：通过正方形的弦图构造全等三角形，快速找到边角关系； 相似三角形：通过相似比或平行线分线段成比例定理，间接求边长； ③方程思想：当角度未知时，可设未知数，利用三角函数关系或勾股定理建立方程； ④特殊角转化：若题目隐含30°、45°、60°等角度，可直接代入特殊角的正弦值。 1．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，△BCF，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川泸州·中考真题）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川乐山·中考真题）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则（    ）      A． B． C． D． 4．（2023·四川宜宾·中考真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　）    A． B． C． D． 5．（2023·四川自贡·中考真题）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（    ）    A． B． C． D． 6．（2023·四川内江·中考真题）在△ABC中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为 ． 【题型2 求角的余弦值】 基本概念与定义 ①在直角三角形中，余弦值=（）。关键步骤：识别所求角所在的直角三角形，标注已知边长，若未知则通过勾股定理或相似三角形等进行求解； ②特殊角的三角函数值：，，。 综合题中的技巧 ①等角替换与辅助线：若所求角不易直接计算，可通过平行线、对称性等构造等角，转移到易求的三角形中； ②方程思想：设未知边长或角，通过勾股定理、相似三角形或余弦定理建立方程求解； ③数形结合与分类讨论：当题目未明确图形形状时，需考虑锐角/钝角两种情况，通过余弦值的正负判断。 1．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，把△ADE沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川攀枝花·中考真题）△ABC中，、、的对边分别为、、．已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川达州·三模）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，；若正方形与的边长之比为，则等于（      ） A． B． C． D． 4．（2024·四川乐山·二模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川达州·一模）如图，四边形为矩形纸片，，，现把矩形纸片折叠，使得点C落在边上的点处（不与A，B重合），点D落在处，此时，交边于点E，设折痕为．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 【题型3 求角的正切值】 基本方法：构造直角三角形 ①直接利用直角边比：若题目中已有直角三角形，直接根据定义计算：正切值=（）。特殊角的正弦值：，，。 ②通过作垂线构建直角：当角不在直角三角形中，需作垂线构建直角三角形； 易错点与注意事项 ①多解情况验证：动态问题中可能存在多解，需结合几何条件筛选合理答案； ②复杂图形的拆解：在组合图形(如正方形、矩形)中，利用对角线、对称性等性质简化计算。 1．（2024·四川达州·中考真题）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 2．（2024·四川南充·三模）如图，是由16个形状、大小相同的菱形组成的网格，各菱形的顶点均为格点，点，，都在格点上，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川达州·二模）如图，在正方形中，是边的中点，是边上的点，且，连接，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在菱形中，，，点P是边上一个动点，在延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 6．（2024·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 ．    7．（2023·四川成都·中考真题）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则 ．    8．（2024·四川成都·三模）如图，在中，，D为边上的中点，将沿翻折至，连接，若，则 ． 考向二：特殊角的三角函数值 【题型4 特殊角的三角函数值综合运算】 ①特殊角的三角函数值如下表所示： ②特殊记忆方法：数形结合 30°-60°-90°三角形三边比例：1：； 45°-45°-90°三角形三边比例：1：； ③解题步骤与技巧 （1）化简优化：将特殊角的三角函数值直接代入； （2）混合运算顺序：先乘除、后加减、括号优先、注意符号； 常见陷阱：负号处理、零指数幂和负整数指数幂的处理 （3）结合实数运算：涉及绝对值、二次根式、幂运算时分布处理。 1．（2024·四川广元·中考真题）计算：． 2．（2024·四川凉山·中考真题）计算：． 3．（2024·四川遂宁·中考真题）计算：． 4．（2023·四川绵阳·中考真题）计算：； 5．（2023·四川内江·中考真题）计算： 6．（2023·四川眉山·中考真题）计算： 考向三：解直角三角形及其应用 【题型5 解直角三角形相关计算】 基础性质与公式应用 ①直角三角形基本性质： 30°角性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半； 斜边中线定理：斜边中线等于斜边的一半，可将直角三角形转化为等腰三角形； 勾股定理与逆定理：已知两边求第三边时用勾股定理;判断三角形是否为直角三角形时用逆定理； ②特殊角的三角函数速算：熟记 30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，快速计算边角关系； 辅助线构造与解题策略 ①垂线构造法：在解决仰角、俯角、坡度等问题时，通过作垂线将实际问题转化为直角三角形模型。例如，测量建筑物高度时，构造包含仰角的直角三角； 口诀:“一垂定音”，即通过垂线确定直角三角形的关键边角关系； ②方程思想与设元技巧：当题目未给出具体数值时，设未知数，利用勾股定理、三角函数或面积法 建立方程。 ③分类讨论思想 动点问题中，若未明确直角顶点的位置，需分三种情况讨论:顶点在已知点；②顶点在动点可能的轨迹上。 1．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于之长为半径作弧，两弧相交于点，射线交边于点．若，，则的长为 ． 2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，矩形的对角线与交于点，于点，延长与交于点．若，，则点到的距离为 ． 3．（2023·四川雅安·中考真题）如图．四边形中，，，，交于点，，，则AB的长为 ． 4．（2024·四川广元·一模）如图，在中，， ，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好上（点E，F不与点C重合）， 半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ． 【题型6 仰角俯角问题】 核心概念与基础模型 ①仰角与俯角定义 仰角：视线在水平线上方形成的角； 俯角：视线在水平线下方形成的角； 关键点：两者均以水平线为基准，需在图中标出相关角。 ②基础模型 单仰角/俯角模型：通过作垂线构造直角三角形，利用已知角与边的关系求解末知量(如测楼高问题)； 双仰角/俯角模型：需结合两次测量角度或位置变化，通过方程思想建立边角关系(如两次俯角测海底深度)； 解题步骤与技巧 ①审题画图，标出已知量：明确题目中的仰角、俯角位置，绘制示意图，标注已知角和边长； ②构造直角三角形 辅助线法：通过作垂线将非直角三角形转化为直角三角形(如从观测点向目标作高) ③选择合适方法列方程 勾股定理：已知两边求第三边(如已知两直角边求斜边)。 三角函数关系：利用sin、cos、tan建立边角方程(如tan仰角=对边/邻边) 方程思想：当涉及多个未知量时，设未知数并通过不同角度的三角函数关联立方程。 1．（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（     ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 2．（2024·四川德阳·中考真题）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（    ）米 A．20 B．15 C．12 D． 3．（2024·四川凉山·中考真题）为建设全域旅游西昌，加快旅游产业发展．年月日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上点处，测得塔顶的仰角为，眼睛距离地面，向塔前行，到达点处，测得塔顶的仰角为，求塔高．（参考数据：，结果精确到）    4．（2024·四川达州·中考真题）“三汇彩婷会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动、起源于汉代、融数学，力学，锻造，绑扎，运载于一体，如图1，在一次展演活动中，某数学综合与实践小组将彩婷抽象成如图2的示意图，是彩婷的中轴、甲同学站在处．借助测角仪观察，发现中轴上的点的仰角是，他与彩婷中轴的距离米．乙同学在观测点处借助无人机技术进行测量，测得平行于水平线，中轴上的点的仰角，点、之间的距离是米，已知彩婷的中轴米，甲同学的眼睛到地面的距离米，请根据以上数据，求中轴上的长度．（结果精确到米，参考数据，）    5．（2023·四川资阳·中考真题）如图，在某机场的地面雷达观测站，观测到空中点处的一架飞机的仰角为，飞机沿水平线方向飞行到达点处，此时观测到飞机的仰角为，飞机继续沿与水平线成角的方向爬升到点处，此时观测到飞机的仰角为．已知千米．（在同一竖直平面内） (1)求两点之间的距离； (2)若飞机的飞行速度保持12千米/分钟，求飞机从点飞行到点所用的时间是多少分钟？（，结果精确到0.01） 6．（2025·四川泸州·一模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图是政府给贫困户新建房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，，） (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高（结果精确到）． 【题型7 方位角问题】 理解方位角的基本定义 ①方位角表示方法：通常以正北/正南为基准，描述目标点的方向。例如 北偏东30°：以正北为起点，向东旋转30° 南偏西45°：以正南为起点，向西旋转45°。 ②图形转化技巧：在图中标注方位角时，需注意若涉及多个方位角，优先确定观测点位置，利用平行线性质转换角度，避免方向混淆； 1．（2023·四川眉山·中考真题）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 海里．    2．（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．    (1)求B，C两处的距离； (2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，） 3．（2024·四川泸州·中考真题）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）． 4．（2024·四川宜宾·中考真题）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上；在B处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上，测得米．求长江口的宽度的值（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，） 5．（2024·四川眉山·二模）我国一艘巡航船在南海海域处巡逻，岛上的海军发现点在点的正西方向，岛上的海军发现点在点的南偏东的方向上，已知点在点的北偏西方向上，且、两地相距120海里，如图所示． (1)求此时点到岛的距离； (2)上的处有一只渔船发出求救信号，希望处的巡航船沿方向在个小时赶到处进行救援，若巡航船以每小时海里／小时的速度能提前到达吗？已知在岛测得点在的南偏东的方向上．（不计水流速度，结果保留根号） 6．（2024·四川泸州·二模）如图，学校在点处，位于学校的南偏西方向，位于学校北偏东方向，在的北偏东方向处．如果将九年级学生分成两组分别参观学习，两组学生同时从学校出发，第一组学生乘坐客车前往地，速度是；第二组学生乘坐公交车前往地，速度是．请问：哪组学生先到达目的地？并通过计算说明理由．（参考数据：，，） 【题型8 坡度坡比问题】 解直角三角形中坡度坡比问题是四川中考中常见题型，常出现在数学试卷的解答题中，分值10~12分，想要拿下此类题型需要掌握以下解题技巧和步骤： ①坡度(坡比)与坡角的关系 坡角α：坡面与水平面的夹角，范围0°<α<90° 坡度i：铅直高度h与水平宽度l的比，即，常见变形公式：h=l·tanα； ②解题技巧和步骤 ⒜审题与图形建模：标注已知条件(坡度、坡长、角度等)，将实际问题转化为直角三角形模型； 关键操作：通过作垂线构造直角三角形，将非直角图形分割为多个直角三角形或矩形。如堤坝横截面为梯形时，需分解为矩形+直角三角形。 ⒝选择三角函数关系式：优先使用已知边与未知边的比例关系； 复杂问题处理:若涉及多段坡度(如山路分段不同坡度)，需分别设未知数，通过公共边或角建立方程 。 1．（2024·四川眉山·中考真题）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为 米． 2．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 3．（2024·四川广安·中考真题）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位；参考数据：，，，）    4．（2023·四川泸州·中考真题）如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）．    5．（2024·四川成都·二模）“科技改变生活”，小王同学是一个摄影爱好者，入手了一个无人机用于航拍．在一次航拍时，小王在B处测得无人机A的仰角为，登上斜坡的C处测得无人机A的仰角为．若斜坡的坡比为，C处的铅垂高度为1.5米（点M，B，N在同一水平线上），求此时无人机的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 6．（2024·四川成都·一模）如图，某处有一座塔，塔的正前方有一平台，平台的高米，斜坡的坡度：，点，，，在同一条水平直线上某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，求塔高．(精确到米)(参考数据：，，，，，)    【题型9 解直角三角形其他问题】 在解直角三角形的实际应用中除了常考的仰角俯角问题、坡比坡度问题、方位角问题等还有跨学科考查类问题，如给物理、地理等学科进行结合考查。 ①灵活选择解题方法 公式法：优先使用三角函数(sin/cos/tan)计算边角关系，特殊角(30°45°、60°)的三角函数值需熟记； 辅助线法：若图中无现成直角三角形，需作垂线构造，例如将75°角分解为30°+45°的组合角； 方程法：设未知数，结合勾股定理或三角函数关系列方程，注意单位统一； ②跨学科问题的处理策略 物理结合：如测量机械臂工作范围时，需将力学问题转化为直角三角形的边角关系； 地理应用：圭表测日影长度(冬至/夏至太阳高度角)需结合地球公转知识； 工程实：桥梁坡度设计、无人机测距等场景中，需综合运用三角函数和实际参数。 1．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． (1)若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； (2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 2．（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； (2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由． 3．（2024·四川成都·中考真题）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，）      4．（2024·四川遂宁·中考真题）小明的书桌上有一个型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离．（结果保留1位小数）（） 5．（2023·四川成都·中考真题）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）      6．（2023·四川达州·中考真题）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到；参考数据：，，，，，）    考向四：三视图 【题型10 判断图形的三视图】 立体图形的三视图是四川中考大部分市必考题型，难度容易，属于中考送分题，常位于选择题前三道，常见误区与纠正 ①方向混淆：左视图必须从左侧观察，不可误认为“右视图”。 ②线条遗漏：漏画隐藏部分的虚线(如孔洞、内凹结构)。误将曲面投影画为曲线(如圆柱俯视图应为圆而非椭圆)； ③比例错误：俯视图与左视图的宽度需严格相等，可通过测量或辅助线校准。 1．（2024·四川广元·一模）由4个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，这个几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，由3个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·中考真题）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川绵阳·中考真题）下列几何体中三个视图完全相同的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·四川广元·中考真题）一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（    ）    A．  B．  C．   D．   6．（2023·四川眉山·中考真题）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（    ）    A．6 B．9 C．10 D．14 （建议用时：40分钟） 1．（2023·四川德阳·中考真题）已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 2．（2023·四川南充·中考真题）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 3．（2024·四川资阳·二模）的值等于（ ） A． B． C． D． 4．（2024·四川泸州·二模）如图，的斜边在轴上，且，直角顶点在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标和线段在旋转过程中扫过的面积分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（2024·四川德阳·二模）如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川资阳·中考真题）在△ABC中，，．若△ABC是锐角三角形，则边长的取值范围是 ． 7．（2023·四川巴中·中考真题）如图，已知正方形和正方形，点G在上，与交于点H，，正方形的边长为8，则的长为 ．    8．（2023·四川广安·中考真题）如图，△ABC内接于，圆的半径为7，，则弦的长度为 ．    9．（2024·四川广元·一模）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛80海里的点A处，它沿着点A的南偏东方向航行．（结果保留根号） (1)渔船航行多远与小岛B的距离最近？ (2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？ 10．（2024·四川成都·二模）泰姬陵是世界知名的古建筑，被列为“世界文化遗产”．如图所示，为了估测泰姬陵的高度，在泰姬陵的正东方向选取高为参照物，在它们之间的地面上选取点E（B，E，D三点共线），在点E处测得A处、C处的仰角分别是和，在A处测得C处的仰角为，求泰姬陵的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，）． 11．（2024·四川成都·一模）成都东部新区丹景台景区核心区位于龙泉山城市森林公园南段示范区，包括丹景台、丹景阁、丹景里及丹景亭四处特色建筑．其中，丹景阁坐落于海拔737米的丹景山高处，作为景区核心区的制高点，具有高屋建瓴的视野优势，在这里登高望远，可眺望东进热土，俯瞰城市美景（如图1）．某校开展综合实践活动，测量丹景阁主体高度的长（如图2），使用无人机在点C处测得建筑物顶端A的仰角为，然后控制无人机竖直上升13米后达到D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为，其中B，C在同一水平线上，求丹景阁主体高度的长．（结果精确到1米：参考数据：） 12．（2024·四川巴中·一模）图1是巴中市巴城地标建筑回风亭，它始建于1926年，占地面积210平方米，它不仅是红色巴中独具特色的标志性建筑之一，还是四川省第七批省级文物保护单位，具有重要的研究价值．九年级的浩文同学也十分喜爱回风亭，在学习了相关数学知识后，他与同学进行了“测量回风亭高度”的综合实践活动．如图2所示，浩文和同学在斜坡底处测得该亭的亭顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡走行了13米，在坡顶处又测得该亭的亭顶的仰角为．求： (1)坡顶到地的距离； (2)回风亭的高度．（参考数据：，，） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点05 解直角三角形及其应用 中考数学中解直角三角形及其应用部分主要考向分为四类： 一、正弦、余弦、正切计算（每年1~3道，3~12分） 二、特殊角的三角函数值（每年1~2道，8~13分） 三、解直角三角形及其应用（每年1~3道，3~12分） 四、三视图（每年1道，3分） 在数学中考中，解直角三角形及其应用是大部分市的必考内容，难度中等，主要分为基础计算、实际应用以及综合题型三大类，常结合勾股定理、全等或相似三角形进行考查，在选择填空题中常与特殊角的三角函数值、勾股定理结合进行简单计算，在解答题中以实际问题为背景，需构建直角三角形模型，分步求解。今年命题趋势可能方向：①生活化情境（如桥梁高度测量、山坡坡度计算、航海航行问题等）；②常与其他题型进行结合或引入动态（动点、折叠等）问题增加难度；③部分题型可能融入物理（如光线投影）或地理（如经纬度等）知识。 考向一：正弦、余弦、正切计算 【题型1 求角的正弦值】 基础概念与定义 ①在直角三角形中，正弦值=（），关键是通过构造或识别直角三角形确定边长关系； ②特殊角的三角函数值：，，，需熟记，若题目涉及互余（如） 可用 计算。 常见解题方法 ①构造直角三角形 作垂线法：当题目无现成直角三角形时，通过作高线(如矩形对角线、梯形高构造直角三角形； 坐标系法：将几何图形置于坐标系中，通过坐标计算边长及正弦值； ②利用几何模型与性质 弦图模型：通过正方形的弦图构造全等三角形，快速找到边角关系； 相似三角形：通过相似比或平行线分线段成比例定理，间接求边长； ③方程思想：当角度未知时，可设未知数，利用三角函数关系或勾股定理建立方程； ④特殊角转化：若题目隐含30°、45°、60°等角度，可直接代入特殊角的正弦值。 1．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，△BCF，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（2024·四川泸州·中考真题）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设宽为， ∵宽与长的比是， ∴长为：， 由折叠的性质可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 变形得：， ，， ∴， 故选A． 3．（2023·四川乐山·中考真题）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形面积是1， ∴大正方形的边长，小正方形的边长，    ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去） ∴． 故选A． 4．（2023·四川宜宾·中考真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，根据题意，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，，    得， ∴点M，N，O三点共线， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选B． 5．（2023·四川自贡·中考真题）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，以为边向上作等边，过点作轴于点，则， 则的横坐标为，纵坐标为， ∴， 取点，则是的中位线， ∴， ∵， ∴点在半径为的上运动， ∵是的中位线， ∴， ∴，当与相切时，最大，则正弦值最大， 在中，， 过点作轴，过点作于点，过点作于点， 则 ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 设，, 则 ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴的最大值为， 故选：A． 6．（2023·四川内江·中考真题）在△ABC中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2 求角的余弦值】 基本概念与定义 ①在直角三角形中，余弦值=（）。关键步骤：识别所求角所在的直角三角形，标注已知边长，若未知则通过勾股定理或相似三角形等进行求解； ②特殊角的三角函数值：，，。 综合题中的技巧 ①等角替换与辅助线：若所求角不易直接计算，可通过平行线、对称性等构造等角，转移到易求的三角形中； ②方程思想：设未知边长或角，通过勾股定理、相似三角形或余弦定理建立方程求解； ③数形结合与分类讨论：当题目未明确图形形状时，需考虑锐角/钝角两种情况，通过余弦值的正负判断。 1．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，把△ADE沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形是矩形， ，， 把沿折叠，点恰好落在边上的点处， ，， ， ， 在中， ， 由勾股定理，得， ， ， ， ， 故选：A． 2．（2023·四川攀枝花·中考真题）△ABC中，、、的对边分别为、、．已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴； 故选C． 3．（2024·四川达州·三模）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，；若正方形与的边长之比为，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点D作交的延长线于点N， 由题意可得，两个正方形之间是4个全等的三角形， 设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x， 即，， 由题意得，，解得或（舍去）， 在中，，则， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．（2024·四川乐山·二模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由已知作图方法可得，是线段的垂直平分线， 连接，如图， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 故选：A． 5．（2024·四川达州·一模）如图，四边形为矩形纸片，，，现把矩形纸片折叠，使得点C落在边上的点处（不与A，B重合），点D落在处，此时，交边于点E，设折痕为．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， 四边形是矩形，，， ， 由折叠得，， ， ， ，， ，且， ， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ，， ∴， 故选：A． 6．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵折叠， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：． 【题型3 求角的正切值】 基本方法：构造直角三角形 ①直接利用直角边比：若题目中已有直角三角形，直接根据定义计算：正切值=（）。特殊角的正弦值：，，。 ②通过作垂线构建直角：当角不在直角三角形中，需作垂线构建直角三角形； 易错点与注意事项 ①多解情况验证：动态问题中可能存在多解，需结合几何条件筛选合理答案； ②复杂图形的拆解：在组合图形(如正方形、矩形)中，利用对角线、对称性等性质简化计算。 1．（2024·四川达州·中考真题）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【详解】解：如图所示，延长交格点于点，连接，分别在格点上， 依题意，， ∴ ∴ 又， ∴ ∴ 故选：B． 2．（2024·四川南充·三模）如图，是由16个形状、大小相同的菱形组成的网格，各菱形的顶点均为格点，点，，都在格点上，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图得，，， ， 是等边三角形， ，， 设菱形的边长为1， 则， 过点作于点， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ，， ， ，， ， ， 故选：B． 3．（2024·四川达州·二模）如图，在正方形中，是边的中点，是边上的点，且，连接，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接， 设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是边的中点，， ∴，，， ∴，，， ∴ ∴ ∴， 故选： 4．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在菱形中，，，点P是边上一个动点，在延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点C作交于点H，连接， ∵，四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵点P和点Q关于点C对称， ∴，即垂直平分， ∵交于点M． ∴ ∴点M在上运动， 当点P与点B重合时，点M位于点， 此时，∵，四边形是菱形，， ∴， ∴． 故点M的运动路径长为． 故选：B． 5．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， 在中，，解得， ∵平分， ∴， ∴，解得， 当时，线段长度的最小， ∵平分， ∴． 故选∶C． 6．（2024·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 ．    【答案】/ 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处， ∴，， ∴在中，， ∴， 设，则 ∵在中， ， ∴，解得， ∴， ∴． 故答案为： 7．（2023·四川成都·中考真题）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则 ．    【答案】 【详解】解：如图所示，过点作于，    ∵平分交于点， ∴, ∴ ∴ ∵折叠， ∴， ∴, 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵，，则， ∴ ∴，， ∵ 设，，则，则， ∵ ∴ 在中， 在中， ∴ 即 解得： ∴， 则 ∴ 故答案为：． 8．（2024·四川成都·三模）如图，在中，，D为边上的中点，将沿翻折至，连接，若，则 ． 【答案】/ 【详解】解： D为边上的中点， ， 由折叠知，， ， ， 如图，作于点F， ，， ，， 设，则，， ， 又， ， 又， ， ， ， ， 设，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 考向二：特殊角的三角函数值 【题型4 特殊角的三角函数值综合运算】 ①特殊角的三角函数值如下表所示： ②特殊记忆方法：数形结合 30°-60°-90°三角形三边比例：1：； 45°-45°-90°三角形三边比例：1：； ③解题步骤与技巧 （1）化简优化：将特殊角的三角函数值直接代入； （2）混合运算顺序：先乘除、后加减、括号优先、注意符号； 常见陷阱：负号处理、零指数幂和负整数指数幂的处理 （3）结合实数运算：涉及绝对值、二次根式、幂运算时分布处理。 1．（2024·四川广元·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 2．（2024·四川凉山·中考真题）计算：． 【答案】2 【详解】解： ． 3．（2024·四川遂宁·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 4．（2023·四川绵阳·中考真题）计算：； 【答案】（1）2；（2） 【详解】解： ， 当时，原式． 5．（2023·四川内江·中考真题）计算： 【答案】4 【详解】解： ． 6．（2023·四川眉山·中考真题）计算： 【答案】6 【详解】解：原式 ． 考向三：解直角三角形及其应用 【题型5 解直角三角形相关计算】 基础性质与公式应用 ①直角三角形基本性质： 30°角性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半； 斜边中线定理：斜边中线等于斜边的一半，可将直角三角形转化为等腰三角形； 勾股定理与逆定理：已知两边求第三边时用勾股定理;判断三角形是否为直角三角形时用逆定理； ②特殊角的三角函数速算：熟记 30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，快速计算边角关系； 辅助线构造与解题策略 ①垂线构造法：在解决仰角、俯角、坡度等问题时，通过作垂线将实际问题转化为直角三角形模型。例如，测量建筑物高度时，构造包含仰角的直角三角； 口诀:“一垂定音”，即通过垂线确定直角三角形的关键边角关系； ②方程思想与设元技巧：当题目未给出具体数值时，设未知数，利用勾股定理、三角函数或面积法 建立方程。 ③分类讨论思想 动点问题中，若未明确直角顶点的位置，需分三种情况讨论:顶点在已知点；②顶点在动点可能的轨迹上。 1．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于之长为半径作弧，两弧相交于点，射线交边于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：过点作于， 平分，， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，矩形的对角线与交于点，于点，延长与交于点．若，，则点到的距离为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点F作，垂足为H， 四边形为矩形， ，， ，， ， ，即， 解得：， ，即， 解得：， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 3．（2023·四川雅安·中考真题）如图．四边形中，，，，交于点，，，则AB的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图：连接、交于点， 又∵，， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． ∴， 过点作，交于点， ∴， ， ， ∴， ∴． ∴在中，． 故答案为：. 4．（2024·四川广元·一模）如图，在中，， ，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好上（点E，F不与点C重合）， 半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【详解】解：连接，作于，于， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，即， ∵在中，， ，D是的中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 【题型6 仰角俯角问题】 核心概念与基础模型 ①仰角与俯角定义 仰角：视线在水平线上方形成的角； 俯角：视线在水平线下方形成的角； 关键点：两者均以水平线为基准，需在图中标出相关角。 ②基础模型 单仰角/俯角模型：通过作垂线构造直角三角形，利用已知角与边的关系求解末知量(如测楼高问题)； 双仰角/俯角模型：需结合两次测量角度或位置变化，通过方程思想建立边角关系(如两次俯角测海底深度)； 解题步骤与技巧 ①审题画图，标出已知量：明确题目中的仰角、俯角位置，绘制示意图，标注已知角和边长； ②构造直角三角形 辅助线法：通过作垂线将非直角三角形转化为直角三角形(如从观测点向目标作高) ③选择合适方法列方程 勾股定理：已知两边求第三边(如已知两直角边求斜边)。 三角函数关系：利用sin、cos、tan建立边角方程(如tan仰角=对边/邻边) 方程思想：当涉及多个未知量时，设未知数并通过不同角度的三角函数关联立方程。 1．（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（     ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 【答案】A 【详解】解：设米， 在中，， ，即， 整理得：米， 在中，， ，即， 整理得：米， ∵米， ∴，即， 解得：， 侧这栋楼的高度为米． 故选：A． 2．（2024·四川德阳·中考真题）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（    ）米 A．20 B．15 C．12 D． 【答案】B 【详解】解：如图，过作于， 依题意， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，而， ∴， ∵， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴， 故选B 3．（2024·四川凉山·中考真题）为建设全域旅游西昌，加快旅游产业发展．年月日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上点处，测得塔顶的仰角为，眼睛距离地面，向塔前行，到达点处，测得塔顶的仰角为，求塔高．（参考数据：，结果精确到）    【答案】． 【详解】解：由题意可得，，，，， 设， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：塔高为． 4．（2024·四川达州·中考真题）“三汇彩婷会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动、起源于汉代、融数学，力学，锻造，绑扎，运载于一体，如图1，在一次展演活动中，某数学综合与实践小组将彩婷抽象成如图2的示意图，是彩婷的中轴、甲同学站在处．借助测角仪观察，发现中轴上的点的仰角是，他与彩婷中轴的距离米．乙同学在观测点处借助无人机技术进行测量，测得平行于水平线，中轴上的点的仰角，点、之间的距离是米，已知彩婷的中轴米，甲同学的眼睛到地面的距离米，请根据以上数据，求中轴上的长度．（结果精确到米，参考数据，）    【答案】中轴上的长度为米 【详解】解：如图，过点作于点，    依题意，四边形是矩形， ∴， ∴ 米 答：中轴上的长度为米． 5．（2023·四川资阳·中考真题）如图，在某机场的地面雷达观测站，观测到空中点处的一架飞机的仰角为，飞机沿水平线方向飞行到达点处，此时观测到飞机的仰角为，飞机继续沿与水平线成角的方向爬升到点处，此时观测到飞机的仰角为．已知千米．（在同一竖直平面内） (1)求两点之间的距离； (2)若飞机的飞行速度保持12千米/分钟，求飞机从点飞行到点所用的时间是多少分钟？（，结果精确到0.01） 【答案】(1)6千米(2)1.06分钟 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 由题意得：，，， ∴，， 在中，千米， ∴（千米）， 在中，（千米）， ∴两点之间的距离为千米； （2）解：过点作，垂足为， 由题意得：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，千米， ∴（千米）， 在中，（千米）， ∴飞机从点飞行到点所用的时间（分钟）， ∴飞机从点飞行到点所用的时间约为1.06分钟． 6．（2025·四川泸州·一模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图是政府给贫困户新建房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，，） (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高（结果精确到）． 【答案】(1)屋顶到横梁的距离AG约为； (2)房屋的高约为． 【详解】（1）解：∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，， ∴，，， 在中，，， ∵， ∴； 答：屋顶到横梁的距离约为； （2）解：过作于，由题意，得：， 设，在中，， ∵， ∴ 在中，，， ∵， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴， 答：房屋的高约为． 【题型7 方位角问题】 理解方位角的基本定义 ①方位角表示方法：通常以正北/正南为基准，描述目标点的方向。例如 北偏东30°：以正北为起点，向东旋转30° 南偏西45°：以正南为起点，向西旋转45°。 ②图形转化技巧：在图中标注方位角时，需注意若涉及多个方位角，优先确定观测点位置，利用平行线性质转换角度，避免方向混淆； 1．（2023·四川眉山·中考真题）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 海里．    【答案】/ 【详解】解：如图，过点作交于点，    由题意可知,， 设为x， ，， 根据，可得方程， 解得， 渔船与灯塔C的最短距离是海里， 故答案为：． 2．（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．    (1)求B，C两处的距离； (2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，） 【答案】(1)B，C两处的距离为16海里 (2)渔政船的航行时间为小时 【详解】（1）解：过点A作于点E， ∵灯塔B在灯塔A的南偏东方向，C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴B，C两处的距离为16海里．    （2）解：过点D作于点F， 设海里， ∵， ∴， 由（1）可知，海里， ∴海里， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴海里，海里， 根据勾股定理可得：（海里）， ∴渔政船的航行时间为（小时）， 答：渔政船的航行时间为小时．    3．（2024·四川泸州·中考真题）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）． 【答案】C，D间的距离为． 【详解】解：作于点， 由题意得，，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中，， 在中，，， 在中，， 答：C，D间的距离为． 4．（2024·四川宜宾·中考真题）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上；在B处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上，测得米．求长江口的宽度的值（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，） 【答案】长江口的宽度为米. 【详解】解：如图，过作于，过作于，过作于，而， ∴四边形，都是矩形， ∴，，，， ∵由题意可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴，即， ，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴长江口的宽度为米. 5．（2024·四川眉山·二模）我国一艘巡航船在南海海域处巡逻，岛上的海军发现点在点的正西方向，岛上的海军发现点在点的南偏东的方向上，已知点在点的北偏西方向上，且、两地相距120海里，如图所示． (1)求此时点到岛的距离； (2)上的处有一只渔船发出求救信号，希望处的巡航船沿方向在个小时赶到处进行救援，若巡航船以每小时海里／小时的速度能提前到达吗？已知在岛测得点在的南偏东的方向上．（不计水流速度，结果保留根号） 【答案】(1)点到岛的距离为海里(2)能 【详解】（1）解：过点作，则：， 由题意，得：，， 在中，， 在中，， ∴点到岛的距离为海里； （2）过点作，设，则：， 由题意，得：，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴巡航船以每小时海里／小时的速度能提前到达． 6．（2024·四川泸州·二模）如图，学校在点处，位于学校的南偏西方向，位于学校北偏东方向，在的北偏东方向处．如果将九年级学生分成两组分别参观学习，两组学生同时从学校出发，第一组学生乘坐客车前往地，速度是；第二组学生乘坐公交车前往地，速度是．请问：哪组学生先到达目的地？并通过计算说明理由．（参考数据：，，） 【答案】第二组学生先到达目的地，理由见解析 【详解】解：过点作交于点，过点的东西方向线交于点， 由题可知，，， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，，， ，， ， 解得：， ，， ， ， 第一组学生用时为：， 第二组学生用时为：， ， 第二组学生先到达目的地． 【题型8 坡度坡比问题】 解直角三角形中坡度坡比问题是四川中考中常见题型，常出现在数学试卷的解答题中，分值10~12分，想要拿下此类题型需要掌握以下解题技巧和步骤： ①坡度(坡比)与坡角的关系 坡角α：坡面与水平面的夹角，范围0°<α<90° 坡度i：铅直高度h与水平宽度l的比，即，常见变形公式：h=l·tanα； ②解题技巧和步骤 ⒜审题与图形建模：标注已知条件(坡度、坡长、角度等)，将实际问题转化为直角三角形模型； 关键操作：通过作垂线构造直角三角形，将非直角图形分割为多个直角三角形或矩形。如堤坝横截面为梯形时，需分解为矩形+直角三角形。 ⒝选择三角函数关系式：优先使用已知边与未知边的比例关系； 复杂问题处理:若涉及多段坡度(如山路分段不同坡度)，需分别设未知数，通过公共边或角建立方程 。 1．（2024·四川眉山·中考真题）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为 米． 【答案】/ 【详解】解：如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点， 则， 在中，， 设米，米， ， ， 米，米， ， （米）， （米）， 答：大树的高度为米． 故答案为：． 2．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)； (2)电线塔的高度． 【详解】（1）解：∵斜坡的坡度， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作于点，则四边形是矩形，，， 设， 在中，， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 答：电线塔的高度． 3．（2024·四川广安·中考真题）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位；参考数据：，，，）    【答案】32m 【详解】解：过点作于点，作于点    由题意得：， 在中， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， 在中. ， 答：该风力发电机塔杆的高度为. 4．（2023·四川泸州·中考真题）如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）．    【答案】古树的高度为 【详解】解：延长，交于点G，过点B作于点F，如图所示：    则， ∵斜面的坡度为， ∴设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， 即， ∵为水平方向，为竖直方向， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴． 答：古树的高度为． 5．（2024·四川成都·二模）“科技改变生活”，小王同学是一个摄影爱好者，入手了一个无人机用于航拍．在一次航拍时，小王在B处测得无人机A的仰角为，登上斜坡的C处测得无人机A的仰角为．若斜坡的坡比为，C处的铅垂高度为1.5米（点M，B，N在同一水平线上），求此时无人机的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】12.8米 【详解】解：过点C作，垂足为E， 由题意得：米，， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∴（米）， 设米， ∴米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴米， ∵， ∴, 解得：， ∴（米）， ∴此时无人机的高度约为12.8米． 6．（2024·四川成都·一模）如图，某处有一座塔，塔的正前方有一平台，平台的高米，斜坡的坡度：，点，，，在同一条水平直线上某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，求塔高．(精确到米)(参考数据：，，，，，)    【答案】塔高约为米 【详解】解：过点作，垂足为，    由题意得：米，，， 斜坡的坡度：，米， ， 米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， 米， 塔高约为米． 【题型9 解直角三角形其他问题】 在解直角三角形的实际应用中除了常考的仰角俯角问题、坡比坡度问题、方位角问题等还有跨学科考查类问题，如给物理、地理等学科进行结合考查。 ①灵活选择解题方法 公式法：优先使用三角函数(sin/cos/tan)计算边角关系，特殊角(30°45°、60°)的三角函数值需熟记； 辅助线法：若图中无现成直角三角形，需作垂线构造，例如将75°角分解为30°+45°的组合角； 方程法：设未知数，结合勾股定理或三角函数关系列方程，注意单位统一； ②跨学科问题的处理策略 物理结合：如测量机械臂工作范围时，需将力学问题转化为直角三角形的边角关系； 地理应用：圭表测日影长度(冬至/夏至太阳高度角)需结合地球公转知识； 工程实：桥梁坡度设计、无人机测距等场景中，需综合运用三角函数和实际参数。 1．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． (1)若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； (2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）∵， ∴如图， 设，则，由勾股定理得，， ∴， 又∵， ∴， ∴折射率为：． （2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形，点O是中点， ∴，， 又∵， ∴， 在中，设，， 由勾股定理得，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴截面的面积为：． 2．（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； (2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)秋千绳索的长度为尺(2)能， 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点B． 设秋千绳索的长度为x尺． 由题可知，，，， ∴． 在中，由勾股定理得： ∴． 解得． 答：秋千绳索的长度为尺． （2）能． 由题可知，，． 在中，， 同理，． ∵， ∴． ∴． 3．（2024·四川成都·中考真题）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，）      【答案】9.2尺 【详解】解：∵，杆子垂直于地面，长8尺． ∴，即， ∵， ∴，即， ∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数． ∴春分和秋分时日影长度为． 答：春分和秋分时日影长度9.2尺． 4．（2024·四川遂宁·中考真题）小明的书桌上有一个型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离．（结果保留1位小数）（） 【答案】此时台灯最高点到桌面的距离为 【详解】解：由已知，， 在图1中， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ 在中， 在图2中，过点作于点， ∴ ∵灯柱高， 点到桌面的距离为 答：此时台灯最高点到桌面的距离为． 5．（2023·四川成都·中考真题）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）      【答案】米 【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，    依题意， ，（米） 在中，（米），（米），则（米） ∵（米） ∴（米） ∵， ∴（米） ∴（米）． 6．（2023·四川达州·中考真题）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到；参考数据：，，，，，）    【答案】座板距地面的最大高度为． 【详解】如图所示，过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，    由题意可得，四边形和四边形是矩形， ∴，， ∵秋千链子的长度为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴座板距地面的最大高度为． 考向四：三视图 【题型10 判断图形的三视图】 立体图形的三视图是四川中考大部分市必考题型，难度容易，属于中考送分题，常位于选择题前三道，常见误区与纠正 ①方向混淆：左视图必须从左侧观察，不可误认为“右视图”。 ②线条遗漏：漏画隐藏部分的虚线(如孔洞、内凹结构)。误将曲面投影画为曲线(如圆柱俯视图应为圆而非椭圆)； ③比例错误：俯视图与左视图的宽度需严格相等，可通过测量或辅助线校准。 1．（2024·四川广元·一模）由4个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，这个几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：该几何体从前往后看，其主视图是 故选：B． 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，由3个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：从上面可看，是一行两个相邻的正方形． 故选：B． 3．（2024·四川成都·中考真题）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：该几何体的主视图为， 故选：A． 4．（2023·四川绵阳·中考真题）下列几何体中三个视图完全相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，故不符合题意； B．圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故不符合题意； C．圆柱的三视图既有圆又有长方形，故不符合题意； D．球的三视图都是圆，故符合题意； 故选：D． 5．（2024·四川广元·中考真题）一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（    ）    A．  B．  C．   D．   【答案】C 【详解】解：从上面看，如图所示：    故选：C． 6．（2023·四川眉山·中考真题）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为（    ）    A．6 B．9 C．10 D．14 【答案】B 【详解】解：根据俯视图可得搭成该立体图形的小正方体第三层最少为6个， 根据左视图第二层有2个，可得搭成该立体图形的小正方体第二层最少为2个， 根据左视图第三层有1个，可得搭成该立体图形的小正方体第三层最少为1个， 故搭成该立体图形的小正方体最少为个， 故选：B． （建议用时：40分钟） 1．（2023·四川德阳·中考真题）已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：如图，A为正多边形的中心，为正多边形的边，，为正多边形的半径，为正多边形的边心距，    ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，而， ∴△ABC为等边三角形， ∴， ∴多边形的边数为：， 故选B 2．（2023·四川南充·中考真题）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处， ，米. ， 米. 故选： B . 3．（2024·四川资阳·二模）的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴ 故选：B． 4．（2024·四川泸州·二模）如图，的斜边在轴上，且，直角顶点在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标和线段在旋转过程中扫过的面积分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】解：如图，在中， ∵，， ∴，． ∵将绕原点O顺时针旋转后得到， 即旋转角， 又， 点落在轴上，点在第四象限， ， ∴， ∴点的坐标是． 线段在旋转过程中扫过的面积是． 故选：A． 5．（2024·四川德阳·二模）如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可知， 解得． ∵， ∴， ∴． 故选：A． 6．（2024·四川资阳·中考真题）在△ABC中，，．若△ABC是锐角三角形，则边长的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作的高，， 是锐角三角形， ，在的内部， ，， 在中，，， ， ， 又， ， 故答案为：． 7．（2023·四川巴中·中考真题）如图，已知正方形和正方形，点G在上，与交于点H，，正方形的边长为8，则的长为 ．    【答案】10 【详解】解：正方形和正方形， ，， ， ， ，， 在中，， ，， ， ， 在中，， 在中，， 故答案为：10． 8．（2023·四川广安·中考真题）如图，△ABC内接于，圆的半径为7，，则弦的长度为 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，过点作于点，    ， ， ， ，， ∵圆的半径为7， ， ， ， 故答案为：． 9．（2024·四川广元·一模）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向，距离小岛80海里的点A处，它沿着点A的南偏东方向航行．（结果保留根号） (1)渔船航行多远与小岛B的距离最近？ (2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？ 【答案】(1)渔船航行海里与小岛的距离最近． (2)救援队从处出发沿着点的南偏东方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里 【详解】（1）解：过点作于点，如图所示． 由题意，知． 在中，，海里， ∴海里． 答：渔船航行海里与小岛的距离最近． （2）解：由（1）得海里， ∵海里， ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，，海里， ∴海里． 答：救援队从处出发沿着点的南偏东方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里． 10．（2024·四川成都·二模）泰姬陵是世界知名的古建筑，被列为“世界文化遗产”．如图所示，为了估测泰姬陵的高度，在泰姬陵的正东方向选取高为参照物，在它们之间的地面上选取点E（B，E，D三点共线），在点E处测得A处、C处的仰角分别是和，在A处测得C处的仰角为，求泰姬陵的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，）． 【答案】泰姬陵的高度约为 【详解】解：过点A作，垂足为F． 设的长为，则． 在中，，， ∴． ∴． 由题意知：，，， ∴四边形是矩形． ∴，． 在中，，即， ∴． 在中，，即， ∴． ∵， ∴． 整理得，， ∴ 答：泰姬陵的高度约为． 11．（2024·四川成都·一模）成都东部新区丹景台景区核心区位于龙泉山城市森林公园南段示范区，包括丹景台、丹景阁、丹景里及丹景亭四处特色建筑．其中，丹景阁坐落于海拔737米的丹景山高处，作为景区核心区的制高点，具有高屋建瓴的视野优势，在这里登高望远，可眺望东进热土，俯瞰城市美景（如图1）．某校开展综合实践活动，测量丹景阁主体高度的长（如图2），使用无人机在点C处测得建筑物顶端A的仰角为，然后控制无人机竖直上升13米后达到D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为，其中B，C在同一水平线上，求丹景阁主体高度的长．（结果精确到1米：参考数据：） 【答案】39米 【详解】解：如图：过点D作，垂足为E， 由题意得：米， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵， ∴，解得：， ∴米， ∴丹景阁主体高度AB的长约为39米． 12．（2024·四川巴中·一模）图1是巴中市巴城地标建筑回风亭，它始建于1926年，占地面积210平方米，它不仅是红色巴中独具特色的标志性建筑之一，还是四川省第七批省级文物保护单位，具有重要的研究价值．九年级的浩文同学也十分喜爱回风亭，在学习了相关数学知识后，他与同学进行了“测量回风亭高度”的综合实践活动．如图2所示，浩文和同学在斜坡底处测得该亭的亭顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡走行了13米，在坡顶处又测得该亭的亭顶的仰角为．求： (1)坡顶到地的距离； (2)回风亭的高度．（参考数据：，，） 【答案】(1)5米 (2)约为米 【详解】（1）解：过点作，垂足为点，如图所示： 斜坡的坡度为， ， 设，则，由勾股定理得， ，解得， ， 答：坡顶到地面的距离为5米； （2）解：延长交于点， ，， ， 四边形是矩形，，， ， ， 由（1）知， 设，则， ， 在中，，，则由勾股定理可得， 坡顶处又测得该亭的亭顶的仰角为， 在中，，即， ， 解得：或， ， ， 答：古塔的高度约为米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$