黄金卷06（江西专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（江西专用） 黄金卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1 2 3 4 5 6 C B D A C C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7． 8．． 9． 10． 11．2. 12．（0，0），（0，1），（0， ），（0，﹣3）． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（1）解： ； (3分) （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴． (3分) 14．解：原式 (4分) 当，2时分式无意义，∴ 将代入原式，得原式 (6分) 15．（1）解：在上找一点D，连接，如图， (3分) 则是直径， ∴， ∵， ∴， ∴即为所求； （2）解：延长分别交于、，根据垂径定理得到，连接相交于点， 根据圆周角定理得到，，则点为的内角平分线的交点，所以点为的内心； (6分) 16．（1）解：把A（1，4）代入y= 得k=1×4=4， 所以反比例函数的解析式为y= ； (2分) 把A（1，4）代入y=﹣x+b得﹣1+b=4，解得b=5， 所以直线解析式为y=﹣x+5 (4分) （2）解：当y=0时，﹣x+5=0，解得x=5，则B（5，0）， 所以△AOB的面积= ×5×4=10. (6分) 17．（1）解：共有4种情况，其中黑桃有2张，从中随机抽取一张牌是黑桃的概率为； (2分) （2）解： (4分) 所有可能出现的结果有，，，，，，，，，，，，由表格(或树状图)可以看出，抽取的两张牌可能出现的结果有12种．它们出现的可能性相等，而两张牌牌面数字之和大于7的结果有4种． ∴抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率为． (6分) 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．（1）解：补全频数分布直方图如图： ； (1分) 79.5；89；54 (4分) （2）解：七年级学生成绩好． 理由：七年级学生成绩平均数、中位数、众数均高于八年级学生成绩，所以七年级学生成绩好． (6分) （3）解：， 答：估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数为名． (8分) 19．（1）解：作交于点，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； (4分) （2）解：作交于点， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵视线垂直宣传栏板， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：小明的眼睛离地面的距离约． (8分) 20．（1）解：∵，恰好落到双曲线上， ∴，解得． ∴， 将代入，得到． ∴反比例函数解析式为； (2分) （2）解：由（1）可知，， 由得到， 根据图象可知，的解集为或， 故由的解集为或； (4分) （3）解：四边形是正方形． 理由：由点的横坐标为， 可得点， 线段沿平移到线段位置，可得，， 所以四边形是平行四边形． 过点，分别作轴的垂线，（即轴，轴）过点作轴的平行线． ， ． ，， 由坐标可知， ∴， ∴，， ∴四边形是菱形． ， ． ． 四边形是正方形． (8分) 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．（1）证明：如图1，连接OB． ∵AB切⊙O于B，OA⊥AC， ∴∠OBA＝∠OAC＝90°， ∴∠OBP+∠ABP＝90°，∠ACP+∠APC＝90°， ∵OP＝OB， ∴∠OBP＝∠OPB， ∵∠OPB＝∠APC， ∴∠ACP＝∠ABC， ∴AB＝AC； (3分) （2）解：如图2，延长AP交⊙O于D，连接BD， 设圆半径为r，则OP＝OB＝r，PA＝5﹣r， 则AB2＝OA2﹣OB2＝52﹣r2， AC2＝PC2﹣PA2＝（2 ）2﹣（5﹣r）2， ∴52﹣r2＝（2 ）2﹣（5﹣r）2， 解得：r＝3， (5分) ∴AB＝AC＝4， ∵PD是直径， ∴∠PBD＝90°＝∠PAC， 又∵∠DPB＝∠CPA， ∴△DPB∽△CPA， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， 解得：PB＝ ． ∴⊙O的半径为3，线段PB的长为 ． (9分) 22．（1）解：由题意得∶ ， 在中，， ； (2分) （2）解：当点E在上方时， 如图，过点D作于点H， ∵， ， ， ∵，， ， ∵点C、E、D在同一条直线上，且， ， ∵， ， ∴， ∵， ∴； 当点E在下方时， ∵， ∴， ∴， 过点D作于点M， ∵， ∴， 综上所述，点到直线为或； (7分) （3）解：如图，取的中点O，连接，则． ∴点G在以O为圆心，为半径的圆上，如图，过点过O作于H，当G在的反向延长线上时，最大，即点G到直线的距离的最大，在中，，∴即点G到直线的距离的最大值为． (9分) 六、解答题（本大题共12分） 23．（1）解： 抛物线的顶点M的坐标为（1，-a-2）． ∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点 ∴顶点M在x轴上 ∴-a-2=0， ∴a=-2 ； (3分) （2）∵y=2x-a与x、y轴分别交于A、B两点 ∴A（，0），B（0，） 设直线与二次函数的图象的对称轴x=1交于点C，则C（1，2-a），CM=(2-a)-（-a-2）=4 ∴S=； (6分) （3）①根据题意得，抛物线的顶点N与抛物线的顶点M关于P（t，-2）成中心对称， ∴顶点N坐标为（2t-1，a-2） ∵点N恰好落在直线上 ∴a-2=2(2t-1)-a ∴a=2t ； (9分) ②∵旋转前抛物线对称轴为直线x=1 ∴当a＞0抛物线开口向上时，当－2≤x≤1时，抛物线的y的值随x的值增大而减小 ∴旋转后抛物线开口向下，且顶点N（2t-1，a-2） ∵要满足在-2≤x＜1的范围内y随x增大而减小，即抛物线下降 ∴对称轴直线x=2t-1需在x=-2左侧 ∴2t-1≤-2 解得： ∴当时抛物线的y的值随x的值增大而减小. (12分) 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（江西专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．有理数的相反数是（　　） A． B． C．2024 D． 2．如图所示，将一个正方体切去一个角，则所得几何体的左视图为（　　） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（　　） A．a3•a2＝a6 B．2a（3a﹣1）＝6a2﹣1 C．（3a2）2＝6a4 D．2a+3a＝5a 4．阅读以下作图步骤： ①在和上分别截取，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 5．如图，中，，，，在上取一点（不与、点重合），连接，当的长度为整数值时，符合条件的值共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的），的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法错误的是（　　） A．呼气酒精浓度K越大，的阻值越小 B．当K＝0时，的阻值为100 C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当时，该驾驶员为醉驾状态 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．分解因式：　 　． 8．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　 　． 9．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为　 　． 10．如图，为等边的边的中点，点是上的一个动点，连接，将沿翻折，得到，连接，若，则的度数为　 　． 11．如图，四边形ABCD为正方形，E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为F，延长EF交线段DC于点P，若AB=6，则DP的长为　 　. 12．如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使△MNP为等腰直角三角形，请写出符合条件的点P的坐标　 　． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（1）计算：； （2）如图，已知四边形为平行四边形，E，F为对角线上的两点，且，连接，，求证：． 14． 先化简再从1，2，3中选取一个适当的数作为x的值代入求值． 15．如图，已知，，均在上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图①中，若，作一个的角； （2）在图②中，若，分别是边的中点，作的内心． 16．如图，已知反比例函数y= 的图象与直线y=﹣x+b都经过点A（1，4），且该直线与x轴的交点为B. （1）求反比例函数和直线的解析式； （2）求△AOB的面积. 17．魔术师刘谦在今年央视春晚中表演的纸牌魔术让我们感受到魔术的神奇，他创造的“奇迹”给我们带来了很多快乐．很多对此感兴趣的学者很快就解开了扑克牌魔术背后的数学秘密．下面请你尝试用数学知识解答下面的问题：把一副普通扑克牌中的4张：黑桃2，红心3，梅花4，黑桃5，洗匀后正面朝下放在桌面上． （1）从中随机抽取一张牌是黑桃的概率是多少? （2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张．请用树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．年月日是第九个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“极目楚天，共襄星汉”．为迎接中国航天日，某校举行了七、八年级航天知识竞赛，校务处在七、八年级中各随机抽取了名学生的竞赛成绩（满分分．单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：．，．，．，．．E．）． 【收集、整理数据】 七年级学生竞赛成绩分别为： ． 八年级学生竞赛成绩在组和组的分别为：． 绘制了不完整的统计图． 【分析数据】 两组样本数据的平均数、中位数和众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 【问题解决】 请根据上述信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，上述表中 ▲ ， ▲ ，八年级学生成绩组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为 ▲ 度； （2）根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生成绩好，还是八年级学生成绩好？写出一条理由； （3）如果该校七年级有名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数． 19．图1是一个活动宣传栏，图2是活动宣传栏侧面的抽象示意图，其中点，，，在同一直线上，支杆可绕点活动，是可伸缩横杆．已知，，． （1）求活动宣传栏板与地面的夹角的度数； （2）如图3，小明站在活动宣传栏板前的点处看宣传栏时（点，，在同一直线上），若视线垂直宣传栏板于点，此时测得，求小明的眼睛离地面的距离．（参考数据：，，，，，，结果精确到0.1） 20． 如图，的各顶点都在反比例函数的图象上，其中，， （1）求反比例函数的解析式； （2）若直线的解析式为，求的解集； （3）若反比例函数图象上的点的横坐标为，将线段平移到线段，（点与点重合）请判断四边形的形状． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA＝5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． （1）求证：AB＝AC； （2）若PC＝2 ，求⊙O的半径及线段PB的长． 22．【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个直角三角板按照如图1所示的方式摆放．其中，，． 【问题探究】小昕同学将三角板绕点B按顺时针方向旋转． （1）如图2，当点E落在边上时，延长交于点F，求的长； （2）若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线的距离； （3）如图4，连接，为的中点，则在三角板旋转过程中，点G到直线的距离的最大值是　 　． 六、解答题（本大题共12分） 23． 已知二次函数的图象( 记为抛物线) 顶点为M，直线：y=2x-a与x轴，y轴分别交于点A，B. （1）若抛物线与x轴只有一个公共点，求a的值； （2）当a＞0时，设△ABM的面积为S，求S与a的函数关系式； （3）将二次函数的图象绕点P（t，-2）旋转180°得到二次函数的图象记为抛物线，顶点为N． ①若点N恰好落在直线上，求a 与t 满足的关系； ②当－2≤x≤1时，旋转前后的两个二次函数y的值都会随x的值得增大而减小，求t 的取值范围. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（江西专用） 黄金卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．有理数的相反数是（　　） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【解析】解：的相反数是2024， 故答案为：C． 2．如图所示，将一个正方体切去一个角，则所得几何体的左视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：从左边看是一个正方形，正方形的右上角是一个三角形， 故答案为：B． 3．下列运算正确的是（　　） A．a3•a2＝a6 B．2a（3a﹣1）＝6a2﹣1 C．（3a2）2＝6a4 D．2a+3a＝5a 【答案】D 【解析】A、，故此选项不符合题意； B、2a（3a-1）=6a2-2a，故此选项不符合题意； C、（3a2）2=9a4，故此选项不符合题意； D、2a+3a=5a，符合题意． 故答案为：D． 4．阅读以下作图步骤： ①在和上分别截取，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【解析】解：由作图可得：CM=DM. ∵CM=DM，OC=OD，OM=OM， ∴△OCM≌△ODM（SSS）， ∴∠1=∠2. 故答案为：A. 5．如图，中，，，，在上取一点（不与、点重合），连接，当的长度为整数值时，符合条件的值共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】解：如图，过作于， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 而， ∴的整数值为，，，， 故答案为：C 6．呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的），的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法错误的是（　　） A．呼气酒精浓度K越大，的阻值越小 B．当K＝0时，的阻值为100 C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当时，该驾驶员为醉驾状态 【答案】C 【解析】解：根据函数图象可得， A.随的增大而减小，则呼气酒精浓度K越大，的阻值越小，不符合题意； B. 当K＝0时，的阻值为100，不符合题意； C. 当K＝10时，则，该驾驶员为酒驾状态，符合题意； D. 当时，，则，该驾驶员为醉驾状态，不符合题意； 故答案为：C. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．分解因式：　 　． 【答案】 【解析】解：由题意得 故答案为： 8．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　 　． 【答案】 【解析】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是， 故答案为：． 9．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为　 　． 【答案】 【解析】解：设这批椽的数量为x株，由题意得， 故答案为： 10．如图，为等边的边的中点，点是上的一个动点，连接，将沿翻折，得到，连接，若，则的度数为　 　． 【答案】 【解析】解：∵为等边的边的中点， ∴， 将沿翻折，得到， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 11．如图，四边形ABCD为正方形，E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为F，延长EF交线段DC于点P，若AB=6，则DP的长为　 　. 【答案】2 【解析】解：连接AP，如下： ∵四边形ABCD为正方形， ∴ ∵E是BC的中点， ∴ ∵将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为F，延长EF交线段DC于点P， ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 设则 在中， 即 解得： ∴DP的长为2， 故答案为：2. 12．如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使△MNP为等腰直角三角形，请写出符合条件的点P的坐标　 　． 【答案】（0，0），（0，1），（0， ），（0，﹣3） 【解析】解：当M运动到（﹣1，1）时，ON=1，MN=1， ∵MN⊥x轴，所以由ON=MN可知，（0，0）和（0，1）就是符合条件的两个P点； 又∵当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN， 设点M（x，2x+3），则有﹣x=﹣（2x+3）， 解得x=﹣3，所以点P坐标为（0，﹣3）． 如若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，设点M（x，2x+3）， 则有﹣x=﹣ （2x+3），化简得﹣2x=﹣2x﹣3， 这方程无解，所以这时不存在符合条件的P点； 又∵当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°， 设点M′（x，2x+3），则OP=ON′，而OP= M′N′， ∴有﹣x= （2x+3）， 解得x=﹣ ，这时点P的坐标为（0， ）． 综上，符合条件的点P坐标是（0，0），（0， ），（0，﹣3），（0，1）． 故答案为：（0，0），（0，1），（0， ），（0，﹣3）． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（1）计算：； （2）如图，已知四边形为平行四边形，E，F为对角线上的两点，且，连接，，求证：． 【答案】（1）解： ；． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴． 14． 先化简再从1，2，3中选取一个适当的数作为x的值代入求值． 【答案】解：原式 当，2时分式无意义，∴ 将代入原式，得原式 15．如图，已知，，均在上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图①中，若，作一个的角； （2）在图②中，若，分别是边的中点，作的内心． 【答案】（1）解：在上找一点D，连接，如图， 则是直径， ∴， ∵， ∴， ∴即为所求； （2）解：延长分别交于、，根据垂径定理得到，连接相交于点， 根据圆周角定理得到，，则点为的内角平分线的交点，所以点为的内心； 16．如图，已知反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+b都经过点A（1，4），且该直线与x轴的交点为B. （1）求反比例函数和直线的解析式； （2）求△AOB的面积. 【答案】（1）解：把A（1，4）代入y= 得k=1×4=4， 所以反比例函数的解析式为y= ； 把A（1，4）代入y=﹣x+b得﹣1+b=4，解得b=5， 所以直线解析式为y=﹣x+5 （2）解：当y=0时，﹣x+5=0，解得x=5，则B（5，0）， 所以△AOB的面积= ×5×4=10. 17．魔术师刘谦在今年央视春晚中表演的纸牌魔术让我们感受到魔术的神奇，他创造的“奇迹”给我们带来了很多快乐．很多对此感兴趣的学者很快就解开了扑克牌魔术背后的数学秘密．下面请你尝试用数学知识解答下面的问题：把一副普通扑克牌中的4张：黑桃2，红心3，梅花4，黑桃5，洗匀后正面朝下放在桌面上． （1）从中随机抽取一张牌是黑桃的概率是多少? （2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张．请用树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率． 【答案】（1）解：共有4种情况，其中黑桃有2张，从中随机抽取一张牌是黑桃的概率为； （2）解： 所有可能出现的结果有，，，，，，，，，，，，由表格(或树状图)可以看出，抽取的两张牌可能出现的结果有12种．它们出现的可能性相等，而两张牌牌面数字之和大于7的结果有4种． ∴抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．年月日是第九个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“极目楚天，共襄星汉”．为迎接中国航天日，某校举行了七、八年级航天知识竞赛，校务处在七、八年级中各随机抽取了名学生的竞赛成绩（满分分．单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：．，．，．，．．E．）． 【收集、整理数据】 七年级学生竞赛成绩分别为： ． 八年级学生竞赛成绩在组和组的分别为：． 绘制了不完整的统计图． 【分析数据】 两组样本数据的平均数、中位数和众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 【问题解决】 请根据上述信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，上述表中 ▲ ， ▲ ，八年级学生成绩组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为 ▲ 度； （2）根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生成绩好，还是八年级学生成绩好？写出一条理由； （3）如果该校七年级有名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数． 【答案】（1）解：补全频数分布直方图如图： ； 79.5；89；54 （2）解：七年级学生成绩好． 理由：七年级学生成绩平均数、中位数、众数均高于八年级学生成绩，所以七年级学生成绩好． （3）解：， 答：估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数为名． 【解析】（1）解：七年级抽取的名学生的竞赛成绩在组的人数为：名， 八年级在组的学生有名， ∵八年级学生竞赛成绩在组和组的分别为：， ∴第名和第名学生的竞赛成绩为， ∴， ∵七年级中抽取的名学生的竞赛成绩中分的最多， ∴， ∵八年级学生成绩在组的学生数为名， ∴八年级学生成绩组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为， 故答案为：，，； 19．图1是一个活动宣传栏，图2是活动宣传栏侧面的抽象示意图，其中点，，，在同一直线上，支杆可绕点活动，是可伸缩横杆．已知，，． （1）求活动宣传栏板与地面的夹角的度数； （2）如图3，小明站在活动宣传栏板前的点处看宣传栏时（点，，在同一直线上），若视线垂直宣传栏板于点，此时测得，求小明的眼睛离地面的距离．（参考数据：，，，，，，结果精确到0.1） 【答案】（1）解：作交于点，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：作交于点， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵视线垂直宣传栏板， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：小明的眼睛离地面的距离约． 20． 如图，的各顶点都在反比例函数的图象上，其中，， （1）求反比例函数的解析式； （2）若直线的解析式为，求的解集； （3）若反比例函数图象上的点的横坐标为，将线段平移到线段，（点与点重合）请判断四边形的形状． 【答案】（1）解：∵，恰好落到双曲线上， ∴，解得． ∴， 将代入，得到． ∴反比例函数解析式为； （2）解：由（1）可知，， 由得到， 根据图象可知，的解集为或， 故由的解集为或； （3）解：四边形是正方形． 理由：由点的横坐标为， 可得点， 线段沿平移到线段位置，可得，， 所以四边形是平行四边形． 过点，分别作轴的垂线，（即轴，轴）过点作轴的平行线． ， ． ，， 由坐标可知， ∴， ∴，， ∴四边形是菱形． ， ． ． 四边形是正方形． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA＝5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． （1）求证：AB＝AC； （2）若PC＝2 ，求⊙O的半径及线段PB的长． 【答案】（1）证明：如图1，连接OB． ∵AB切⊙O于B，OA⊥AC， ∴∠OBA＝∠OAC＝90°， ∴∠OBP+∠ABP＝90°，∠ACP+∠APC＝90°， ∵OP＝OB， ∴∠OBP＝∠OPB， ∵∠OPB＝∠APC， ∴∠ACP＝∠ABC， ∴AB＝AC； （2）解：如图2，延长AP交⊙O于D，连接BD， 设圆半径为r，则OP＝OB＝r，PA＝5﹣r， 则AB2＝OA2﹣OB2＝52﹣r2， AC2＝PC2﹣PA2＝（2 ）2﹣（5﹣r）2， ∴52﹣r2＝（2 ）2﹣（5﹣r）2， 解得：r＝3， ∴AB＝AC＝4， ∵PD是直径， ∴∠PBD＝90°＝∠PAC， 又∵∠DPB＝∠CPA， ∴△DPB∽△CPA， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， 解得：PB＝ ． ∴⊙O的半径为3，线段PB的长为 ． 22．【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个直角三角板按照如图1所示的方式摆放．其中，，． 【问题探究】小昕同学将三角板绕点B按顺时针方向旋转． （1）如图2，当点E落在边上时，延长交于点F，求的长； （2）若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线的距离； （3）如图4，连接，为的中点，则在三角板旋转过程中，点G到直线的距离的最大值是　 　． 【答案】（1）解：由题意得∶ ， 在中，， ； （2）解：当点E在上方时， 如图，过点D作于点H， ∵， ， ， ∵，， ， ∵点C、E、D在同一条直线上，且， ， ∵， ， ∴， ∵， ∴； 当点E在下方时， ∵， ∴， ∴， 过点D作于点M， ∵， ∴， 综上所述，点到直线为或； （3）解：如图，取的中点O，连接，则． ∴点G在以O为圆心，为半径的圆上，如图，过点过O作于H，当G在的反向延长线上时，最大，即点G到直线的距离的最大，在中，，∴即点G到直线的距离的最大值为． 六、解答题（本大题共12分） 23． 已知二次函数的图象( 记为抛物线) 顶点为M，直线：y=2x-a与x轴，y轴分别交于点A，B. （1）若抛物线与x轴只有一个公共点，求a的值； （2）当a＞0时，设△ABM的面积为S，求S与a的函数关系式； （3）将二次函数的图象绕点P（t，-2）旋转180°得到二次函数的图象记为抛物线，顶点为N． ①若点N恰好落在直线上，求a 与t 满足的关系； ②当－2≤x≤1时，旋转前后的两个二次函数y的值都会随x的值得增大而减小，求t 的取值范围. 【答案】（1）解： 抛物线的顶点M的坐标为（1，-a-2）． ∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点 ∴顶点M在x轴上 ∴-a-2=0， ∴a=-2 ； （2）∵y=2x-a与x、y轴分别交于A、B两点 ∴A（，0），B（0，） 设直线与二次函数的图象的对称轴x=1交于点C，则C（1，2-a），CM=(2-a)-（-a-2）=4 ∴S=； （3）①根据题意得，抛物线的顶点N与抛物线的顶点M关于P（t，-2）成中心对称， ∴顶点N坐标为（2t-1，a-2） ∵点N恰好落在直线上 ∴a-2=2(2t-1)-a ∴a=2t ； ②∵旋转前抛物线对称轴为直线x=1 ∴当a＞0抛物线开口向上时，当－2≤x≤1时，抛物线的y的值随x的值增大而减小 ∴旋转后抛物线开口向下，且顶点N（2t-1，a-2） ∵要满足在-2≤x＜1的范围内y随x增大而减小，即抛物线下降 ∴对称轴直线x=2t-1需在x=-2左侧 ∴2t-1≤-2 解得： ∴当时抛物线的y的值随x的值增大而减小. 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$