2.4(2) 空间向量在立体几何中应用之夹角问题 （3知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第二册）

2.4 空间向量在立体几何中应用之夹角问题 课程标准 学习目标 （1）能够利用空间向量求解异面直线所成角、线面角与二面角。 （1）掌握利用空间向量求解异面直线所成角； （2）掌握利用空间向量求解线面角； （3）掌握利用空间向量求解二面角。 知识点01 直线与直线的夹角 已知为两异面直线，与分别是上的任意两点，所成的角为， 则 PS ① 向量所成角的范围是，而异面直线所成的角范围是； ② 与的关系相等或互补； 故，不要漏了“绝对值符号”. 【即学即练1】 （24-25高二上·辽宁·期末）在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱CD，AD的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量方法求解即可. 【详解】根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，    因为在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱CD，AD的中点， 可知，，，，，，，， 所以，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 知识点02 直线与平面所成的角 设直线方向向量，平面法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角的余角，即有. PS 当时，时，； 不管哪种情况，都有. 【即学即练2】 （24-25高二下·河北保定·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，，E是的中点，则直线AB与平面所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线AB的方向向量，计算两向量夹角余弦值即可得解. 【详解】由题意知CA，CB，两两垂直，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为， 因为，， 所以令，得， 因为，所以， 故直线AB与平面所成角的正弦值为．    故选：D. 知识点03 两个平面所成的角 空间向量求平面与平面的夹角 求法：设平面与平面的法向量分别， 再的夹角为，平面与平面的平面角为为或， 则. 【即学即练3】 （24-25高二上·四川·期中）在正方体中，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方体的棱长为1，利用向量法求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】两两垂直，故以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，取的中点为，连接， 则， ，， 则， 又因为，，，平面，故平面， 所以为平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 则，所以 为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面夹角的余弦值为． 故选：D． 【题型一：求空间直线所成的角】 例1．（24-25高二上·河北承德·期末）在平行四边形ABCD中，，，，E是BC的中点，沿BD将翻折至的位置，使得平面平面ABD，F为的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面面垂直的性质可得 ，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线角即可. 【详解】由题意知，，所以， 所以， 又平面平面，平面平面 ，平面， 所以平面，又平面，所以 ， 又，建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 所以， 得， 即直线与所成角的余弦值为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据面面垂直的性质得出 ，进而可用空间向量法求解线线角. 变式1-1．（24-25高三上·海南·阶段练习）如图，在长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量求得，即可得结果. 【详解】如图，以为轴，建立空间直角坐标系， 设，由，则， 所以. 因为为的中点，所以， 所以，所以， 即异面直线与所成角的大小为. 故选：D 变式1-2．（24-25高二上·陕西西安·期末）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解. 【详解】依题意，，， 设直线与直线的夹角为，则， 所以直线与直线夹角的正弦值. 故选：C 【方法技巧与总结】 已知为两异面直线，与分别是上的任意两点，所成的角为， 则 【题型二：已知线线角求其他量】 例2．（23-24高三上·全国·阶段练习）在由三棱柱截得的几何体中，平面 点分别是棱的中点.若直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题通过建立如图空间直角坐标系，分别求得直线与的方向向量，再利用向量的夹角公式，即可得解. 【详解】 以点为坐标原点， 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 设则， ， ， 所以直线与所成角的余弦值 解得 故选：A. 变式2-1．（22-23高二上·重庆渝北·阶段练习）在正方体中，棱长为2，是底面正方形的中心，点在上，是上靠近的三等分点，当直线与垂直的时候，的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标，设，，表示出，，依题意，即可得到方程，解得即可. 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则、，， 设，， 则，， 因为，所以，解得. 故选：A 变式2-2．（20-21高三上·浙江杭州·期中）已知四棱锥底面是边长为的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点(不含端点)，若线段上存在点(不含端点)，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先依题意建立空间直角坐标系，用未知量设点E，F，注意范围，利用异面直线与成角构建关系，解出范围即可. 【详解】由是以为斜边的等腰直角三角形，平面，取中点，建立如图空间直角坐标系， 依题意，设，，设，，故， 又，异面直线与成的角，故， 即，即，，故，又，故. 故选：B. 【方法技巧与总结】 已知线线角求其他量，还是根据求线线角的公式，引入参数求出线线角的余弦值，再根据题意得到参数的方程，进而再求其他量. 【题型三：求空间直线与平面所成的角】 例3．（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，，点D，E分别在棱，上，且，过点的平面平面，平面.    (1)求； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由图形的几何性质构建平行四边形，可得平面在图中标出，利用全等三角形与勾股定理，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得直线方向向量与平面法向量，利用线面角的向量公式，可得答案. 【详解】（1）在上取点M，使得，连接， 延长至点N，使得，连接，，则平面与平面重合. 理由如下： 因为，且，所以四边形是平行四边形，，同理可得， 因为平面，平面，所以 平面， 因为，平面，所以平面平面， 又平面过点，且平面平面， 所以平面与平面重合，则F为与的交点. 又易知≌，所以，即F为的中点， 所以 . （2）因为在直三棱柱中，，所以，，两两垂直.    分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，， 设平面的法向量为，则，， 即，令，得. 设直线BF与平面BDE所成的角为θ， 则 ==， 所以直线BF与平面BDE所成角的正弦值为. 变式3-1．（24-25高二下·安徽·开学考试）如图，圆锥的底面圆周上有，，三点，为底面圆的直径，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设直线和平面所成角为， 可得. 故选：B. 变式3-2．（贵州省六盘水市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，，，，，，M是线段BD上的动点. (1)求证：； (2)设直线PM与平面ABCD所成的角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）通过证明平面PAD可完成证明； （2）过A点做平面ABCD的垂线，建立以A原点的空间直角坐标系，设，由空间向量知识可得关于的表达式，即可得答案. 【详解】（1）因平面平面ABCD，，平面平面ABCD， 平面ABCD，则平面PAD，又平面PAD，则； （2）由（1）可得平面PAD，过A做AD的垂线，设垂线交PD为E， 连接AE，则AB，AD，AE两两垂直.如图建立以A为原点的空间直角坐标系， 由题目数据可得：. 设，其中，则， 又，，则. 由题可得平面ABCD的法向量可取， 则， 则当时，取最小值7，则. 即的最大值为. 【方法技巧与总结】 设直线方向向量，平面法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角的余角，即有. 【题型四：已知线面角求其他量】 例4．（19-20高二下·浙江温州·期末）中，，，将绕旋转得，当直线与平面所成角正弦值为时，P、A两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取PA的中点D，连接CD，因为CA=CP，则CD⊥PA，连接BD，过C作CE⊥BD，E为垂足，由题意得到∠CPE就是直线PC与平面PAB所成角，利用直线PC与平面PAB所成角的正弦值为，PC＝，求出CE，再求出CD，可得PD，即可得出结论． 【详解】取PA的中点D，连接CD，因为CA=CP，则CD⊥PA，连接BD，过C作CE⊥BD，E为垂足， 由已知得BC⊥CA， BC⊥CP， ，则BC⊥平面PAC， 得到BC⊥PA，，可得PA⊥平面BCD， 又平面PAC ∴平面BCD⊥平面PBA， 平面BCD平面PBA=BD，由两个平面互相垂直的性质可知：CE⊥平面PBA， ∴∠CPE就是直线PC与平面PAB所成角， ∵直线PC与平面PAB所成角的正弦值为，PC＝AC =， ∴CE＝，    设CD＝x，则BD＝， ， ∴x＝1，∵PC＝，∴PD＝，∴PA＝2PD＝2． 故选：B． 【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力和分析推理能力以及计算能力，属于中档题． 变式4-1．（23-24高二上·广西·期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出各点坐标，求得平面法向量，利用线面角公式计算化简求得答案. 【详解】由正三棱柱，且，根据坐标系可得：，，又是正三棱柱的底面内一动点，则，所以，又平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量，因为直线PA和底面ABC所成的角为， 所以，整理得，又z＝2，所以. 故选:A. 变式4-2．（2023·新疆喀什·模拟预测）如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】建立空间坐标系，设棱柱高为，求出平面的法向量，令，求出的值． 【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示， 设，则，，， 故，，， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 故， 又直线与平面所成角的正弦值为， ，解得． 故选：D 【方法技巧与总结】 已知线面角求其他量，还是根据求线面角的公式，引入参数求出线面角的正弦值，再根据题意得到参数的方程，进而再求其他量. 【题型五：求空间两个平面所成的角】 例5．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）如图，在三棱台中，平面，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作交于点，根据题意得到，再根据余弦定理得到，进而有平面，由此得证； （2）以为原点，、分别为轴、轴正向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面夹角的余弦. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 作交于点， 在等腰梯形中，，，所以 在中，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以，从而有， 又平面，所以平面， （2）以为原点，、分别为轴、轴正向，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， ，， 因为平面， 所以为平面的一个法向量． 设为平面的法向量， 则，即 取，，，则 依题意，， 所以平面与平面夹角的余弦值为 变式5-1．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面面垂直的性质定理，可得平面，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用向量法直接求解面面角的余弦值即可. 【详解】如图，连接， 因为为中点， 所以， 又平面底面，平面底面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由 ， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，得， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为. 故选：B 变式5-2．（24-25高二下·浙江·开学考试）如图，在四棱锥中，，，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，，即可证明四边形是平行四边形，从而得到，即可得证； （2）取中点，连接，，即可证明平面，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）取中点，连接，，由条件可知，是的中位线， 所以且，又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面； （2）取中点，连接，， 因为，， 所以，即， 所以为等腰直角三角形，则， 在直角梯形中，且，所以四边形为平行四边形， 又，所以为矩形，所以，，由，故， 又因为，，平面，，所以平面， 如图以为坐标原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 故，，，，， 设平面的一个法向量为，则，得 取， 设平面的一个法向量为，则得 取，设平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 【方法技巧与总结】 空间向量求平面与平面的夹角 求法：设平面与平面的法向量分别， 再的夹角为，平面与平面的平面角为为或， 则. 【题型六：已知面面角求其他量】 例6．（24-25高三上·河南周口·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，E为棱的中点，，，，. (1)证明：平面. (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知得为等腰直角三角形，即，结合及线面垂直的判定即可证结论； （2）构建合适空间直角坐标系，令，应用向量法求平面与平面夹角的余弦值，得到方程即可求参数k，进而求. 【详解】（1）由E为棱的中点，，则为等腰三角形， 所以，又，则， 所以，即， 又，都在面内，则平面； （2）由底面是矩形，则，又，，令， 可构建如下图示的空间直角坐标系，则， 所以， 若，分别为平面与平面的一个法向量， ，取，则， ，取，则， 所以，可得（负值舍），故. 变式6-1．（22-23高二上·江西吉安·期末）如图，在四棱锥中，已知：平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，利用空间向量的坐标运算表示面面夹角的余弦值，即可确定点位置，即可求解. 【详解】以为坐标原点，建系如图， 因为二面角的平面角大小为， 所以的轨迹是过点的一条直线， 又因为Q是四边形ABCD内部一点（包括边界）， 所以的轨迹是过点的一条线段， 设以的轨迹与轴的交点坐标为， 由题意可得, 所以, 因为平面，所以平面的一个法向量为, 设平面的法向量为， 所以令则 所以， 因为二面角的平面角大小为， 所以，解得， 所以当在线段BC上时，面积最大，最大值为， 所以面积的取值范围是， 故选:D. 变式6-2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知斜三棱柱中，，，线段的中点为，且，. (1)证明：平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若二面角的余弦值为，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或. 【分析】（1）先证，再由，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入线面夹角公式即可； （3）求得平面法向量，代入夹角公式即可. 【详解】（1）由，可得为等边三角形， 又为的中点， 所以，又, 所以，又， 为平面内的两条相交直线， 所以平面； （2）过在平面内作的垂线，由（1）如图建系： 设， 易得, 当时，, , 所以, 所以, 易知平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则 （3）由，，， 可得：, 又，， 设平面的法向量为，, 则，即 令，可得：， 所以， 设平面的法向量为，， 则即， 令，可得：， 所以， 设二面角的大小为，由图可知其为锐角， 所以， 即， 解得：或. 【方法技巧与总结】 已知面面角求其他量，还是根据求面面角的公式，引入参数求出面面角的余弦值，再根据题意得到参数的方程，进而再求其他量. 一、单选题 1．（24-25高二上·广东东莞·期中）若空间中三个点，则直线与直线夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出向量，利用向量夹角公式求解可得. 【详解】因为，所以， 记直线与直线的夹角为， 则. 故选：B 2．（24-25高二上·广东·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量法可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 3.（24-25高二上·山西晋城·阶段练习）已知圆柱的底面半径为，高为，如图，矩形是圆柱的轴截面，点是圆柱下底面圆上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明点为中点，建立空间直角坐标系，写出点坐标和线的方向向量坐标，由空间向量求出线线角的余弦值. 【详解】连接，∵为底面圆的直径，∴，∵，∴， ∴点为中点，即 如图： 在圆柱中可得，， ∴以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ∴，，，， ∴，， 设直线与的夹角为，则. 故选：A. 4.（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，已知与分别为和的中点， 与分别为线和上的动点（不包括端点），若 、则线段长度的取值范围为（    ） A．[ ) B．[ ] C．[) D．[] 【答案】A 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设出的坐标，根据已知条件求得参数之间的关系，并建立关于参数的函数关系式，求其值域即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设点坐标为，， 故，因为， 故可得，则，由可得， 又，故, 故当时，取得最小值；又当时，，但无法取到，则无法取到； 综上，线段DF长度的取值范围为. 故选：A 5.（24-25高二上·广东广州·期末）在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，用向量法即可求出底面边长，即可求解. 【详解】 如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设底面正方形边长为， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，可取， 所以， 因直线与平面所成角的余弦值为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得 故正四棱柱的体积为， 故选：B. 6.（23-24高一下·福建南平·期末）如图，正方体中，，当直线与平面所成的角最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用坐标法，利用线面角的向量求法，得到线面角正弦值的表达式，再利用三角函数的性质及二次函数的性质即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为. 则，，，，，. 所以，，，． 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 又，设直线与平面所成的角为，则 ， 从而当时，取到最大值，又，故时直线与平面所成的角最大． 故选：C 7.（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设出，，求出两平面的法向量，从而根据两平面的所成角得到方程，求出，求出BE的长的最大值. 【详解】依题意，，，两两互相垂直， 以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.      设，（，，且m，n不同时为0）， 则，，，所以，. 设平面AEF的一个法向量为， 则， 令，得，则， 显然为平面ABC的一个法向量. 因为平面与平面所成角的大小为， 所以， 即， 得， 所以，所以当时，m取得最大值，最大值为. 故选：B 8.（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面 ，是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，若点是中点，则四棱锥体积的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先根据两两垂直建立空间直角坐标系，然后得到各点的坐标，再应用二面角的空间向量解法得到参数的关系式，最后根据体积公式得到最值即可. 【详解】因为 平面且所以以为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为已知Q是四边形内部一点，所以设，其中且（即点Q在平面且内部），则， 因为平面平面，所以平面的法向量为， 又因为， 设平面的法向量为， 则，即，由题易得，令，则，所以， 因为二面角的平面角大小为， 所以，即， 解得①，因为点M是PC中点， 所以M到平面的距离为，所以要使得四棱锥体积的最大，则，即要取到最大值，由①知时，， 此时点不在四边形内部，矛盾， 故当时，体积取到最大值，此时点， 所以， 故选：B. 【点睛】方法点睛：碰到两两垂直的线段时，往往可以借助空间向量法来解决，需要在求解法向量的时候注意不求错即可. 二、多选题 9．（24-25高二上·河北廊坊·期末）如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在上，且，则下列命题正确的为（    ） A． B．当的长度最小时， C．平面 D．存在使得与平面的夹角为 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量逐项分析计算判断. 【详解】在边长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，由， 令，，， 则，， 对于A，，，不成立，A错误； 对于B，， 当且仅当时取等号，此时，B正确； 对于C，平面的法向量，，而平面，则平面，C正确； 对于D，平面的法向量，令直线与平面的夹角为， 由，得， 而，解得，此时， 因此存在使得与平面的夹角为，D正确. 故选：BCD 10.（24-25高二下·广西·开学考试）如图，在正方体中，点在平面内，设直线与直线所成的角分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．是与的等差中项 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．若，则 【答案】ABD 【分析】应用平行线计算得出异面直线所成角判断A，建系空间向量法计算向量垂直判断B，应用线面角公式计算C，应用点在平面内计算求参判断D. 【详解】 因为，所以直线与直线所成的角，A正确． 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 直线与直线所成的角， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系． 设，则， 则，得， 所以，则，所以是与的等差中项，B正确． ， 设平面的法向量为，得 取，设直线与平面所成的角为， 则，C错误． 由，得， 因为点在平面内，所以，解得，D正确． 故选：ABD. 11. （24-25高三上·福建泉州·期末）已知正方体的棱长为2，点是的中点，点满足，点在上，，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则平面 B．若，则 C．若，则二面角的正弦值为 D．若，则三棱锥的体积的最大值为 【答案】BCD 【分析】由空间向量法判断线面位置关系，求角，距离即可. 【详解】 如图建立空间直角系， 则, 则， 则， 选项A：若，，， 设平面的法向量为，则由，， 可知，令，得，故， 由，故A错误； 选项B：， ，，故B正确； 选项C：若，，设， ， 由得，得， 故，又， 设平面的法向量为， 则，令，得，故， 平面的法向量为， 设二面角的平面角为，则， 故，故C正确； 选项D：若，则，， 由得，得， 当时，， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 平面的法向量为， 点到平面的距离， ， 故D正确， 故选：BCD 三、填空题 12．（24-25高二上·河南焦作·期末）已知空间中的三点，，，则直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】根据题意求，利用空间向量求直线夹角. 【详解】因为，， 设直线与所成的角为， 则 ， 所以线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 13. （24-25高二上·安徽芜湖·期末）如图，已知矩形中，，，现将沿对角线折成二面角，使，则异面直线和所成角为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法计算即可. 【详解】取中点M，连接 ，，， 取中点H，，，. 分别以M为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则，，，， 则，， 故， 又因为两异面直线的夹角范围是， 故异面直线和所成角为. 故答案为：. 14.（24-25高二上·四川内江·期末）如图，在正方体中，M为线段BD的中点，N为线段上的一动点含端点，则直线MN与平面所成角的正弦值的最大值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，得到点坐标即向量坐标，设，求得点坐标，从而得到坐标.由空间向量求得平面的一个法向量，由空间向量的夹角求得直线MN与平面所成角的正弦值的表达式，再由函数的性质求得最大值. 【详解】设，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，，又， 所以， 则，，， 即， 所以， 设平面的一个法向量为， 又，， 则， 取， 设直线MN与平面所成角为，， 当时，N与上的重合，直线MN在平面内，不合题意， 当时， ， 令，则， 则，时，有最小值6， 所以当，即，即时 故答案为： 【点睛】方法点睛，在求线面角的的正弦值问题时，一般采用空间直角坐标系来完成，所以建系设线段长是本题的关键.关于动点问题，一般我们采用向量共线的方法设出动点坐标，然后借助空间向量的夹角求得线面角. 四、解答题 15．（24-25高三上·云南德宏·期末）如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，，平面平面ABC． (1)证明：； (2)点在线段上，且，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助等边三角形与等腰直角三角形的性质可得、，再利用线面垂直判定定理可得平面，最后利用线面垂直的性质定理即可得证； （2）借助面面垂直的性质定理可得平面，则可建立适当空间直角坐标系，再分别求出直线的方向向量与平面的法向量，借助空间向量夹角公式计算即可得解. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为为等腰直角三角形，且，所以， 因为、平面，， 所以平面，又因为平面，所以； （2）因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 则可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 则， 即直线与平面所成角的余弦值为． 16.（2025·河南信阳·二模）如图，在三棱台中，平面，平面平面，，的面积为，三棱锥的体积为． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）通过求证面，由线面垂直的性质定理即可求证； （2）建立空间直角坐标系，求出面与面的法向量，利用向量法即可求解． 【详解】（1）取的中点，连接， ∵， ∴，又平面平面， ∵平面平面，平面， ∴平面，又平面， ∴， ∵平面平面， ∴， 又平面，， ∴平面，又平面，则； （2）由题意及（1），面，且面，则， 由面面，则， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，解得， 则， 设是平面的一个法向量，则，， 所以，当时，， 设是平面的一个法向量，则，， 所以，当时，， ∴由图知，平面与平面夹角为锐角， ∴平面与平面的夹角为． 17. （24-25高三下·全国·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，．    (1)若平面平面，求与平面所成角的正弦值； (2)若平面与平面的夹角为，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）作出与平面所成角，解三角形求得所成角的正弦值. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得的长． 【详解】（1）如图，取AB的中点E，连接PE， 由，可得    又平面平面ABCD，平面平面，平面PAB， 所以平面 因为平面ABCD，所以， 所以为PC与平面ABCD所成的角. 因为， 又，所以 故PC与平面ABCD所成角的正弦值为 （2）取CD的中点F，连接EF，以E为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，    设，， 平面PBC的法向量为， 则， 由得 取，得 又平面ABCD的一个法向量为， 所以， 所以，所以 所以或， 所以或， 所以PC的长为或 18.（24-25高三下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由已知可得，则，从而得，则，再由已知线面垂直可得，然后利用线面垂直的判定定理得平面，从而得； （2）由已知得两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：因为，，， 所以在中，，在中，， 所以． 因为，所以，所以． 又平面，平面，所以． 又，，平面，所以平面． 又平面，所以． （2）不妨设，则，．由题意，知两两垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，， 所以，，，． 由（1），知平面，所以平面的一个法向量为． 又直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得， 所以． 设平面的法向量为，则， 即，令，得， 所以平面的一个法向量为， 所以 ， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 19. （24-25高二上·江西上饶·期末）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为 的直线的点方向式方程为； 过点，且法向量为的平面的点法向式方程为 ，将其整理为一般式方程为，其中． (1)已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，若，证明：； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点 ，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据给出的结论，得到直线的方向向量和平面的法向量，利用空间向量求直线与平面所成的角的余弦值. （2）求平面与交线的方向向量和平面的法向量，利用向量的方法，证明直线与平面平行. （3）分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求平面角的余弦值. 【详解】（1）由直线的点方向式方程为可知直线的一个方向向量坐标为 由平面的一般式方程为可知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以有， 所以，即直线与平面所成角的余弦值为． （2）由平面可知平面的一个法向量为， 由平面可知平面的一个法向量为， 设两平面交线的方向向量为，则， 令，则，可得， 由平面可知平面的一个法向量为， 因为，即，且，所以． （3）因平面经过三点，可得， 设侧面所在平面的法向量为 则，令，解得，可得， 由平面可知平面的一个法向量为， 设平面与平面的交线（即直线）的方向向量为， 则，令，则，，可得， 由平面可知平面的一个法向量为， 由，则，解得， 即， 故平面与平面夹角的余弦值为 ． 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解题中给出的结论，并能利用结论解决问题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 空间向量在立体几何中应用之夹角问题 课程标准 学习目标 （1）能够利用空间向量求解异面直线所成角、线面角与二面角。 （1）掌握利用空间向量求解异面直线所成角； （2）掌握利用空间向量求解线面角； （3）掌握利用空间向量求解二面角。 知识点01 直线与直线的夹角 已知为两异面直线，与分别是上的任意两点，所成的角为， 则 PS ① 向量所成角的范围是，而异面直线所成的角范围是； ② 与的关系相等或互补； 故，不要漏了“绝对值符号”. 【即学即练1】 （24-25高二上·辽宁·期末）在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱CD，AD的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 知识点02 直线与平面所成的角 设直线方向向量，平面法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角的余角，即有. PS 当时，时，； 不管哪种情况，都有. 【即学即练2】 （24-25高二下·河北保定·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，，E是的中点，则直线AB与平面所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 知识点03 两个平面所成的角 空间向量求平面与平面的夹角 求法：设平面与平面的法向量分别， 再的夹角为，平面与平面的平面角为为或， 则. 【即学即练3】 （24-25高二上·四川·期中）在正方体中，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【题型一：求空间直线所成的角】 例1．（24-25高二上·河北承德·期末）在平行四边形ABCD中，，，，E是BC的中点，沿BD将翻折至的位置，使得平面平面ABD，F为的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 变式1-1．（24-25高三上·海南·阶段练习）如图，在长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（24-25高二上·陕西西安·期末）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 已知为两异面直线，与分别是上的任意两点，所成的角为， 则 【题型二：已知线线角求其他量】 例2．（23-24高三上·全国·阶段练习）在由三棱柱截得的几何体中，平面 点分别是棱的中点.若直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（22-23高二上·重庆渝北·阶段练习）在正方体中，棱长为2，是底面正方形的中心，点在上，是上靠近的三等分点，当直线与垂直的时候，的长为（    ） A．1 B． C． D． 变式2-2．（20-21高三上·浙江杭州·期中）已知四棱锥底面是边长为的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点(不含端点)，若线段上存在点(不含端点)，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 已知线线角求其他量，还是根据求线线角的公式，引入参数求出线线角的余弦值，再根据题意得到参数的方程，进而再求其他量. 【题型三：求空间直线与平面所成的角】 例3．（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，，点D，E分别在棱，上，且，过点的平面平面，平面.    (1)求； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 变式3-1．（24-25高二下·安徽·开学考试）如图，圆锥的底面圆周上有，，三点，为底面圆的直径，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．（贵州省六盘水市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，，，，，，M是线段BD上的动点. (1)求证：； (2)设直线PM与平面ABCD所成的角为，求的最大值. 【方法技巧与总结】 设直线方向向量，平面法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角的余角，即有. 【题型四：已知线面角求其他量】 例4．（19-20高二下·浙江温州·期末）中，，，将绕旋转得，当直线与平面所成角正弦值为时，P、A两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（23-24高二上·广西·期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 变式4-2．（2023·新疆喀什·模拟预测）如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【方法技巧与总结】 已知线面角求其他量，还是根据求线面角的公式，引入参数求出线面角的正弦值，再根据题意得到参数的方程，进而再求其他量. 【题型五：求空间两个平面所成的角】 例5．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）如图，在三棱台中，平面，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 变式5-1．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．（24-25高二下·浙江·开学考试）如图，在四棱锥中，，，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【方法技巧与总结】 空间向量求平面与平面的夹角 求法：设平面与平面的法向量分别， 再的夹角为，平面与平面的平面角为为或， 则. 【题型六：已知面面角求其他量】 例6．（24-25高三上·河南周口·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，E为棱的中点，，，，. (1)证明：平面. (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求. 变式6-1．（22-23高二上·江西吉安·期末）如图，在四棱锥中，已知：平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知斜三棱柱中，，，线段的中点为，且，. (1)证明：平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若二面角的余弦值为，求实数的值. 【方法技巧与总结】 已知面面角求其他量，还是根据求面面角的公式，引入参数求出面面角的余弦值，再根据题意得到参数的方程，进而再求其他量. 一、单选题 1．（24-25高二上·广东东莞·期中）若空间中三个点，则直线与直线夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高二上·山西晋城·阶段练习）已知圆柱的底面半径为，高为，如图，矩形是圆柱的轴截面，点是圆柱下底面圆上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4.（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，已知与分别为和的中点， 与分别为线和上的动点（不包括端点），若 、则线段长度的取值范围为（    ） A．[ ) B．[ ] C．[) D．[] 5.（24-25高二上·广东广州·期末）在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ） A． B． C． D． 6.（23-24高一下·福建南平·期末）如图，正方体中，，当直线与平面所成的角最大时，（    ） A． B． C． D． 7.（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 8.（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面 ，是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，若点是中点，则四棱锥体积的最大值是（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 9．（24-25高二上·河北廊坊·期末）如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在上，且，则下列命题正确的为（    ） A． B．当的长度最小时， C．平面 D．存在使得与平面的夹角为 10.（24-25高二下·广西·开学考试）如图，在正方体中，点在平面内，设直线与直线所成的角分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．是与的等差中项 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．若，则 11. （24-25高三上·福建泉州·期末）已知正方体的棱长为2，点是的中点，点满足，点在上，，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则平面 B．若，则 C．若，则二面角的正弦值为 D．若，则三棱锥的体积的最大值为 三、填空题 12．（24-25高二上·河南焦作·期末）已知空间中的三点，，，则直线与所成角的余弦值为 ． 13. （24-25高二上·安徽芜湖·期末）如图，已知矩形中，，，现将沿对角线折成二面角，使，则异面直线和所成角为 . 14.（24-25高二上·四川内江·期末）如图，在正方体中，M为线段BD的中点，N为线段上的一动点含端点，则直线MN与平面所成角的正弦值的最大值为 . 四、解答题 15．（24-25高三上·云南德宏·期末）如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，，平面平面ABC． (1)证明：； (2)点在线段上，且，求直线与平面所成角的余弦值． 16.（2025·河南信阳·二模）如图，在三棱台中，平面，平面平面，，的面积为，三棱锥的体积为． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的大小． 17. （24-25高三下·全国·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，．    (1)若平面平面，求与平面所成角的正弦值； (2)若平面与平面的夹角为，求的长． 18.（24-25高三下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 19. （24-25高二上·江西上饶·期末）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为 的直线的点方向式方程为； 过点，且法向量为的平面的点法向式方程为 ，将其整理为一般式方程为，其中． (1)已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，若，证明：； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点 ，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$