2.4(1) 空间向量在立体几何中应用之线面位置证明 （2知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第二册）

2.4 空间向量在立体几何中应用之线面位置证明 课程标准 学习目标 (1)能用向量语言描述直线和平面, 理解直线的方向向量与平面 的法向量。 (2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系。 (3)能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理。 （1）会求直线的直线方向向量与平面的法向量； （2）会利用空间向量证明线面平行； （3）会利用空间向量证明线面垂直。（难点) 知识点01 空间直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量 若是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. (2)平面的法向量 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，向量叫做平面的法向量. (3)平面的法向量的求法(待定系数法) ① 建立适当的坐标系； ② 设平面的法向量为； ③ 求出平面内两个不共线向量的坐标 ； ④ 根据法向量定义建立方程组 ⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. 【即学即练1】 （24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 空间线面位置关系的判定 (1)线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即 (2)线面平行 设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明， 只需证明，即 (3)面面平行 若平面的法向量为，平面的法向量为要证，只需证 ，即证 3 判定空间的垂直关系 (1)线线垂直: 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. (2)线面垂直 ①(法一)设直线的方向向量是平面的法向量是，则要证明，只需证明，即 ②(法二)设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为， 若 (3)面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证， 只需证，即证. 【即学即练2】 （24-25高二上·全国·课后作业）两平面的法向量分别为，若，则的值是（　　） A．－3 B．6 C．－6 D．－12 【题型一：求直线的方向向量】 例1．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 变式1-2．（24-25高二上·全国·课后作业）在棱长为1的正方体中，为平面的中心，为的中点.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线的一个方向向量（    ）    A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求直线的方向向量，只需要在直线上取两个点，则向量是直线的方向向量. 【题型二：求平面的法向量】 例2．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ）． A． B． C． D． 变式2-1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量坐标可以作为平面的一个法向量的是（   ） A． B． C． D． 变式2-2．（24-25高二上·福建泉州·期末）已知为平行四边形外的一点，且，则（   ） A． B．与同向的单位向量为 C． D．平面的一个法向量为 【方法技巧与总结】 平面的法向量的求法(待定系数法) ① 建立适当的坐标系； ② 设平面的法向量为； ③ 求出平面内两个不共线向量的坐标 ； ④ 根据法向量定义建立方程组 ⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. 【题型三：利用空间向量证明线面平行】 例3．1（24-25高二上·北京·期中）正方体中，、分别为、的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 例3．2（24-25高二上·山西太原·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（24-25高二下·浙江·开学考试）已知直线l的方向向量，平面的法向量，若直线l与平面平行，则实数x的值为（   ） A．7 B． C．2 D． 变式3-2．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在长方体中，分别是棱，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．（24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【方法技巧与总结】 1 线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即 2 线面平行 设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明， 只需证明，即 【题型四：利用空间向量证明面面平行】 例4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 变式4-1．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知，分别是平面，的法向量，且，则（   ） A． B． C． D． 变式4-2．（2024·宁夏银川·一模）如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱，的中点，过点作平面，使得∥平面，且平面与交于点，则（    ）    A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 若平面的法向量为，平面的法向量为要证，只需证 ，即证 【题型五：利用空间向量证明线面垂直】 例5（22-23高二上·福建泉州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，E是的中点， (1)求证：平面 ； (2)求证：平面； (3)侧棱上是否存在一点F，使得平面，若存在，则求的值；若不存在，请说明理由. 变式5-1．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 变式5-2．（24-25高三上·北京·阶段练习）在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点.点为正方体表面上的动点，满足.给出下列四个结论，不正确的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得平面 C．存在点，使得 D．存在点，使得 变式5-3．（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【方法技巧与总结】 1 线线垂直: 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. 2 线面垂直 ①(法一)设直线的方向向量是平面的法向量是，则要证明，只需证明，即 ②(法二)设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为， 若 【题型六：利用空间向量证明面面垂直】 例6．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 变式6-1．（24-25高二上·重庆·期末）已知，分别是平面，的法向量，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 变式6-2．（2024·山东菏泽·二模）如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 变式6-3．（2025·新疆·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 变式6-4．（24-25高二上·重庆·期中）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，，平面平面.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)线段是否存在一点，使得平面平面，如果存在找出点的位置，不存在请说明理由. 【方法技巧与总结】 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证， 只需证，即证. 一、单选题 1．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）直线的方向向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 2. （24-25高二上·湖南·期末）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高二上·北京·期中）已知不重合的平面与平面，若平面的法向量，，，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面、平面相交但不垂直 D．以上均有可能 4. （23-24高二上·安徽黄山·期中）《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，，，，若AG⊥平面EFC，则=（    ） A． B． C． D． 5. （2023·四川泸州·一模）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论一定正确的是（    ）    A．平面平面 B．平面平面 C．直线平面 D．直线平面 6.（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.（24-25高二上·北京·期末）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，平面交棱于点，则下列结论中正确的是（    ）   A．直线与直线异面 B．直线平面 C．平面平面 D．截面是直角梯形 8.（23-24高二上·福建泉州·期末）如图，在正四棱柱中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，则下列说法错误的是（    ）    A．当时，存在，使得平面 B．存在，使得平面 C．存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面 二、多选题 9．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．若 ，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 10. （2025·安徽合肥·一模）在正方体中，P是棱上的动点不含端点，下列说法中正确的有（    ） A．平面 B． C．四面体的体积为定值 D．存在点P，使得平面平面 11.（2025·广东肇庆·二模）如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，则平面 B．若，则点的轨迹长度为 C．若，则存在，使 D．若，则存在，使平面 三、填空题 12．（24-25高二上·海南·阶段练习）已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则 . 13. （24-25高三上·广东深圳·期末）已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，当与垂直时，点的运动轨迹长度为 . 14. （24-25高二上·贵州贵阳·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则正确结论的序号为    ①当时，平面；②当时，取得最小值，其值为； ③的最小值为；④当平面时， 四、解答题 15．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 16. （2024高三·全国·专题练习）如图，正方体中，，分别为，的中点． (1)用向量法证明：平面平面； (2)用向量法证明：平面． 17. （24-25高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，， (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18. （24-25高二上·辽宁·期中）空间向量的叉乘是三维欧几里得空间中定义的一种新运算，它可以用来描述空间向量之间的垂直关系.设空间向量，，则叉乘的运算公式为 (1)证明：. (2)设，，是平面内不共线的三个不同的点. ①证明：是平面的一个法向量. ②说明的几何意义（即说明的长度与方向的几何意义）. 19. （23-24高三上·广东·期末）如图，在棱长为的正方体中，点是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥. (1)若，求证：平面平面； (2)是否存在，使得直线平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 空间向量在立体几何中应用之线面位置证明 课程标准 学习目标 (1)能用向量语言描述直线和平面, 理解直线的方向向量与平面 的法向量。 (2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系。 (3)能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理。 （1）会求直线的直线方向向量与平面的法向量； （2）会利用空间向量证明线面平行； （3）会利用空间向量证明线面垂直。（难点) 知识点01 空间直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量 若是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. (2)平面的法向量 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，向量叫做平面的法向量. (3)平面的法向量的求法(待定系数法) ① 建立适当的坐标系； ② 设平面的法向量为； ③ 求出平面内两个不共线向量的坐标 ； ④ 根据法向量定义建立方程组 ⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. 【即学即练1】 （24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据法向量的性质可得，即可根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】解析：因为，，所以. 平面的法向量，则， 所以，即. 故选：A. 知识点02 空间线面位置关系的判定 (1)线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即 (2)线面平行 设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明， 只需证明，即 (3)面面平行 若平面的法向量为，平面的法向量为要证，只需证 ，即证 3 判定空间的垂直关系 (1)线线垂直: 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. (2)线面垂直 ①(法一)设直线的方向向量是平面的法向量是，则要证明，只需证明，即 ②(法二)设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为， 若 (3)面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证， 只需证，即证. 【即学即练2】 （24-25高二上·全国·课后作业）两平面的法向量分别为，若，则的值是（　　） A．－3 B．6 C．－6 D．－12 【答案】B 【分析】由，可得，则，从而可求得结果. 【详解】因为两平面的法向量分别为，且， 所以，所以. 故选：B 【题型一：求直线的方向向量】 例1．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对各个选项进行逐一验证可得答案. 【详解】对于A， ，则 ， 则此点在平面 内，故正确； 对于B， ，则 ， 则此点不在平面 内吗，故错误； 对于C， ，则 ， 则此点不在平面 内，故错误； 对于D， ，则 ， 则此点在不平面 内，故错误. 故选：A. 变式1-1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 变式1-2．（24-25高二上·全国·课后作业）在棱长为1的正方体中，为平面的中心，为的中点.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线的一个方向向量（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定的坐标，求得坐标，即可判断. 【详解】由题意得，则，所以为直线的一个方向向量. 故选：B 【方法技巧与总结】 求直线的方向向量，只需要在直线上取两个点，则向量是直线的方向向量. 【题型二：求平面的法向量】 例2．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设平面的法向量为，根据法向量的定义可得出，利用赋值法可得出平面的一个法向量的坐标. 【详解】设平面的法向量为，由题意可得，， 则，取，可得， 故选：B. 变式2-1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量坐标可以作为平面的一个法向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由法向量定义求出一个法向量，与它平行的向量即可． 【详解】设法向量为， 由已知， 则，取，则， 只有B选项中向量与平行，可表示为， 故选：B． 变式2-2．（24-25高二上·福建泉州·期末）已知为平行四边形外的一点，且，则（   ） A． B．与同向的单位向量为 C． D．平面的一个法向量为 【答案】C 【分析】A，由题可得，即可得判断选项正误；B，由可得与其同向的单位向量；C，由图可得向量；D，由，结合法向量定义可判断选项正误. 【详解】对于A，由题，又， 因为，所以与不平行，A错误； 对于B，因，则， 得与同向的单位向量为，故B错误； 对于C，由图可得，故C正确； 对于D，由，设， 则， 则，与不垂直，这与法向量定义不符，故D错误. 故选：C. 【方法技巧与总结】 平面的法向量的求法(待定系数法) ① 建立适当的坐标系； ② 设平面的法向量为； ③ 求出平面内两个不共线向量的坐标 ； ④ 根据法向量定义建立方程组 ⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. 【题型三：利用空间向量证明线面平行】 例3．1（24-25高二上·北京·期中）正方体中，、分别为、的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】B 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、、 、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，，且平面，则平面，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，，D错. 故选：B. 例3．2（24-25高二上·山西太原·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设点，结合条件直线则，由此确定点的轨迹，再求轨迹长度. 【详解】以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设点， 则. 设平面的法向量为，由， 取，可得， 所以为平面的一个法向量. 由题意可知， 平面，则， 令，可得，令，可得， 所以点的轨迹为线段，且交于点，交于点， 所以点的轨迹长度为. 故选：B. 变式3-1．（24-25高二下·浙江·开学考试）已知直线l的方向向量，平面的法向量，若直线l与平面平行，则实数x的值为（   ） A．7 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据直线与平面平行可得，利用空间向量的数量积运算可得结果. 【详解】∵直线l与平面平行，∴， ∴，解得. 故选：B. 变式3-2．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在长方体中，分别是棱，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案. 【详解】如图，分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系可得： ，，，，，， ，，， 设平面的一个法向量， 则由得， 可令，得，，即. 由于直线与平面平行，则， 得：，即：， 又，. 所以， 将代入上式整理得： ， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 变式3-3．（24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）取的中点，连接，由面面垂直的性质得到，再由中位线的性质得到，然后由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立如图所示坐标系，平面的法向量，利用解出即可； 【详解】（1）    取的中点，连接， 因为矩形ABCD，，， 所以， 由为CD中点，所以， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由为的中点，为四边形的中位线，， 所以，又平面，， 所以平面， 由平面，所以. （2）    作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系， 由（1）得为四边形的中位线，所以， 由得，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设点存在，，， 所以，所以， 由平面得， 所以，解得， 即，所以 所以存在点N，使得平面ADM，. 【方法技巧与总结】 1 线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即 2 线面平行 设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明， 只需证明，即 【题型四：利用空间向量证明面面平行】 例4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 变式4-1．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知，分别是平面，的法向量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线即可求解. 【详解】∵，∴ ∴，即 ∴，解得，∴，故C正确. 故选：C. 变式4-2．（2024·宁夏银川·一模）如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱，的中点，过点作平面，使得∥平面，且平面与交于点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建系，求平面的法向量，利用空间向量求点M的位置，进而可得结果. 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，    则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为∥平面，可知平面的法向量为， 设，可得， 可得，解得， 则，可得， 所以. 故选：C. 【方法技巧与总结】 若平面的法向量为，平面的法向量为要证，只需证 ，即证 【题型五：利用空间向量证明线面垂直】 例5（22-23高二上·福建泉州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，E是的中点， (1)求证：平面 ； (2)求证：平面； (3)侧棱上是否存在一点F，使得平面，若存在，则求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接交于点，证，即得平面； （2）由勾股定理证得，即可推得平面； （3）利用（2）结论建系，设，求出相关点和平面法向量坐标，由求出的值，即可判断求解. 【详解】（1） 如图，连接交于点，连接，由正方形可得： 因是的中点， 则， 又因平面，平面， 故平面. （2）因则, 故有,因平面，故平面. （3） 由题意和（2）的结论，如图，可以点为原点， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则 ，因E是的中点，则， 设，解得，则得,, 设平面的法向量为，则 故可取.由平面可得， 即，解得，即存在点时，满足平面， 此时，. 变式5-1．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据线面垂直，可知，根据向量平行的坐标表示即可求得答案. 【详解】当时，，所以，即，， 则，解得，． 故选：C． 变式5-2．（24-25高三上·北京·阶段练习）在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点.点为正方体表面上的动点，满足.给出下列四个结论，不正确的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得平面 C．存在点，使得 D．存在点，使得 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标验证垂直判断A，由，得到方程组，找到符合题意的点，即可判断B，找出平行直线再由坐标判断是否垂直可判断C，设点的坐标根据条件列出方程组，即可判断D. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，    则， 对于A，由正方体性质知当P在时，线段长度的最大值为， 此时，， 所以，即满足，即存在点，使得，故A正确； 对于B：设，则，，， 若平面，因为平面，所以，， 即，则，显然满足题意， 故存在点，使得平面，故B正确； 对于C，取正方形的中心M，连接，易知， 所以四边形为平行四边形，所以，故运动到处时，， 此时，，，即不满足， 综上不存在点，使得，故C错误； 对于D，设，则，，若存在点，使得， 由，，可得方程组， 化简可得，解得， 显然当时满足题意，即存在点，使得，故D正确； 故选：C 变式5-3．（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，可得，进而得到平面，再根据线面平行的性质求证即可； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可. 【详解】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 【方法技巧与总结】 1 线线垂直: 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. 2 线面垂直 ①(法一)设直线的方向向量是平面的法向量是，则要证明，只需证明，即 ②(法二)设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为， 若 【题型六：利用空间向量证明面面垂直】 例6．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，先通过线面垂直的判定定理说明向量为平面的一个法向量，再利用可得线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直可证得面面垂直. 【详解】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 变式6-1．（24-25高二上·重庆·期末）已知，分别是平面，的法向量，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据法向量定义得到，进而得到，得到方程，求出答案. 【详解】，故， 故，解得. 故选：A 变式6-2．（2024·山东菏泽·二模）如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，结合线面平行的判定定理，线面垂直，面面垂直的判定定理，逐项判定计算即可． 【详解】因为为正方体，设正方体边长为2， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 同理解得平面的法向量， ，故A不正确； ，故B不正确； ， ，所以， 又，所以平面，C正确； 平面的一个法向量为， ，故D不正确； 故选：C 变式6-3．（2025·新疆·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过平面可得出，再根据直线与平面垂直的判定即可证得平面，最后通过直线与平面垂直的性质定理可证得. （2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面垂直的空间向量公式即可求解. 【详解】（1）在菱形中，， 又平面，平面， ，又， 平面，平面， 平面，平面， . （2）设，交点为，则， 以为原点，以，，分别为轴，轴，建立如图直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，则， 取平面的法向量为， 则，取，则， ， ，. 即. 变式6-4．（24-25高二上·重庆·期中）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，，平面平面.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)线段是否存在一点，使得平面平面，如果存在找出点的位置，不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，答案见解析 【分析】（1）利用线面垂直的判定可得平面，然后利用线面垂直性质定理结合平行即可得证. （2）根据给定条件，结合余弦定理，利用等体积法求出点到平面的距离. （3）以为原点，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，平面的法向量为，平面的法向量为，求出两个平面的法向量，由即可求解. 【详解】（1）连接，由四边形为菱形，得，由，得， 又平面平面，平面平面，面ABC， 则平面，又平面，于是，而，则， 又，平面，因此平面，又平面， 所以    （2）点到平面的距离，即三棱锥的底面上的高， 由（1）知平面，则三棱锥的底面上的高为， 设点到平面的距离为d，由，得， 而，，则的面积， 由，，得，又，，则， 又，，由余弦定理得， 则，的面积， 则，即 ，所以点到平面的距离为. （3）    取的中点为，连接， 因为四边形是菱形，且， 所以，， 又因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， ，即， 如图，以为原点， 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 设，， 所以，可得， ， 设平面的法向量为， 则， 可得， ， 设平面的法向量为， 则， 可得， 使得平面平面， 则，解得， 故上存在一点，当时，平面平面. 【方法技巧与总结】 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证， 只需证，即证. 一、单选题 1．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）直线的方向向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题意可得，从而列出方程组求解即可. 【详解】由题意若，且直线的方向向量，平面的一个法向量， 则，，解得. 故选：C. 2. （24-25高二上·湖南·期末）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方直线向向量和平面法向量的定义及线面垂直的性质，可知，得，求出的值即可作出判断． 【详解】∵，∴，∴，解得，所以C正确. 故选：C. 3.（24-25高二上·北京·期中）已知不重合的平面与平面，若平面的法向量，，，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面、平面相交但不垂直 D．以上均有可能 【答案】C 【分析】求出平面的一个法向量，利用空间位置关系的向量证明可得结论. 【详解】设平面的一个法向量为， 所以，令，可得， 即可知 易知两法向量既不垂直也不平行，所以平面、平面相交但不垂直. 故选：C 4. （23-24高二上·安徽黄山·期中）《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，，，，若AG⊥平面EFC，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得结果. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，，，， 设平面的法向量， 则，令，解得，， ， ， 又平面， ，，解得. 故选：C. 5. （2023·四川泸州·一模）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论一定正确的是（    ）    A．平面平面 B．平面平面 C．直线平面 D．直线平面 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，令，则，，，，，， 设，， 则，，，，， 设平面的法向量为，则，取， 同理可求平面的一个法向量为， ①当与重合即时设平面的一个法向量为， 此时，所以平面平面， 又平面的一个法向量为，满足，所以平面平面， 又，所以，显然直线与平面不平行，故C错误； 而直线平面，故D错误； ②当与不重合即时设平面的一个法向量为， 则，取， 此时，即平面平面， 又，所以平面与平面不垂直，故B错误； 综上可得若为线段上的点，均可满足平面平面，故A正确； 故选：A    6.（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，设点的坐标，由线面垂直转化成向量垂直，列方程组，表示出，利用模长公式计算即可. 【详解】结合题意：以分别为建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，可得. 设， 则， 因为平面，所以, 即，解得， 所以，所以， 所以， 因为，结合复合函数单调性可得在单调递增. 故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用平面，找到，从而得到. 7.（24-25高二上·北京·期末）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，平面交棱于点，则下列结论中正确的是（    ）   A．直线与直线异面 B．直线平面 C．平面平面 D．截面是直角梯形 【答案】B 【分析】根据线面平行可判断是的中点，，即可建立空间直角坐标系，求解向量的坐标，即可根据向量的垂直求解BD，根据面面平行求解C. 【详解】取的中点，则是的中点，（理由如下：） 由于是的中点，则,故，因此在同一平面，故是的中点， 对于A，连接,则，故，故直线与直线共面，A错误， 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则, 故, 由于，， 故，，平面 故直线平面，B正确， 对于C，由于，平面，平面，故平面，又平面，平面，故平面，平面，故平面平面，但由于平面与平面相交，故平面与平面不可能平行，C错误， 由于， ,, 故不垂直，且不垂直，又，故四边形不是直角梯形， 故选：B 8.（23-24高二上·福建泉州·期末）如图，在正四棱柱中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，则下列说法错误的是（    ）    A．当时，存在，使得平面 B．存在，使得平面 C．存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面 【答案】A 【分析】对于ABD：建系，利用空间向量结合线、面位置关系分析判断，对于C：根据面面平行的判定定理分析判断. 【详解】以D为原点，分别为建立空间直角坐标系，如图：    设，则，则， 因为点分别是的中点， 所以， 对于选项B：设平面的一个法向量为， 因为， 可得，取，解得， 设， 因为，则，可得，即， 则， 若∥平面，则， 可得，且，解得， 即为的中点，故B正确； 对于选项A：由B可知：， 若平面，则， 则，当且仅当时成立，故A错误； 对于选项D：由B可知：，则， 因为，则 ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 若平面平面，则，故D正确； 对于选项C：  当与D重合时， 因为分别是的中点， 则，且平面，平面， 可得平面， 同理可得：平面， 且，平面， 所以此时平面平面，故C正确；    故选：A. 二、多选题 9．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．若 ，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量，以及线面的位置关系求得正确答案. 【详解】若 ，则，即有，即，即有3，故A正确，C错误； 若，则 ，即有，可得， 解得，则，故B错误，D正确. 故选：AD. 10. （2025·安徽合肥·一模）在正方体中，P是棱上的动点不含端点，下列说法中正确的有（    ） A．平面 B． C．四面体的体积为定值 D．存在点P，使得平面平面 【答案】AB 【分析】根据线面平行的判定定理可判断A；由线线垂直证线面垂直，再证线线垂直可判断B；根据直线与平面的位置关系可判断C；建系可判断D. 【详解】对于A，因为，平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以，故B正确； 对于C，因为平面，， 所以与平面相交，即点P到平面的距离h不是定值， 因为，为定值，所以四面体的体积不为定值，故C错误； 对于D，以A为坐标原点，分别以AB，AD，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则，，，，设， 则，，，， 设平面的法向量为， 由，取，则，，所以， 平面的法向量为， 由，取，则，，所以， 若存在点P，使得平面平面， 则， 因为，所以无解， 所以不存在点P，使得平面平面，故D错误. 故选：AB. 11.（2025·广东肇庆·二模）如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，则平面 B．若，则点的轨迹长度为 C．若，则存在，使 D．若，则存在，使平面 【答案】ABD 【分析】对于选项，统一变量，结合向量的线性运算关系判断动点的位置可得出结果；C选项可做反解验证，以垂直为条件运算；D选项为探究，可假设存在，以线面垂直为条件求解验证判别. 【详解】 对于A，若，则，则点在线段上，如上图. 因平面平面,且平面平面,平面平面, 故因平面，平面,故平面，同理可证平面， 因平面，平面,且,故有平面平面， 又因为平面，所以 平面，故A正确； 对于B，若，则（为的中点）如上图. 又因为，所以.故点的轨迹长度为，故B正确； 对于C，若，则，所以 ，所以点在线段上（如上图）.假设，则， 即，化简得， 该方程无解，所以不存在，故C错误； 对于D，如上图，设为的中点， 当时，则，即， 建立如图所示的空间直角坐标系. 则, . 所以. 假设平面，则 即解得.故D正确. 故选: . 三、填空题 12．（24-25高二上·海南·阶段练习）已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则 . 【答案】 【分析】根据题设得到，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为平面的一个法向量，平面的一个法向量，且， 所以，即，所以，得到， 故答案为：. 13. （24-25高三上·广东深圳·期末）已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，当与垂直时，点的运动轨迹长度为 . 【答案】 【分析】建系标点，设，根据垂直关系可得轨迹方程，进而可得轨迹长度. 【详解】以为坐标原点，分别为，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得， 因为，则， 整理可得，即点的轨迹方程为， 令，则；令，则； 可知点的轨迹即为点与两点之间的线段， 所以轨迹长度为. 故答案为：. 14. （24-25高二上·贵州贵阳·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则正确结论的序号为    ①当时，平面；②当时，取得最小值，其值为； ③的最小值为；④当平面时， 【答案】②③ 【分析】应用空间向量研究4个命题，对于①，可研究与平面的法向量是否垂直即可；对于②，研究函数的最值即可；对于③，可研究函数的最值即可；对于④，可求解与平面的法向量垂直条件即可. 【详解】如图，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.    则，，，，，， ，，， 设点，因为， 所以，即， 解之可得，所以. 当时，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，， 所以. 因为， 所以，所以与平面不平行.故①错误； 因为， 所以 ， 所以当时，取得最小值，且最小值为.故②正确； 因为 ， 所以当时，取得最小值，且最小值为.故③正确； 当平面时，点平面， 因为，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，所以. 因为， 点平面，所以，所以.故④错误. 故答案为：②③ 四、解答题 15．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长； （2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可. 【详解】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 16. （2024高三·全国·专题练习）如图，正方体中，，分别为，的中点． (1)用向量法证明：平面平面； (2)用向量法证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，表示各点坐标，求两个平面的法向量，利用法向量平行可证平面平行. （2）求直线的方向向量和平面的法向量，利用向量平行可得线面垂直. 【详解】（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，， 故，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则． 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以，即，故平面平面． （2）由，是线段，中点得，，， 所以， 由得，， 所以平面． 17. （24-25高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，， (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，，证明见解析. 【分析】（1）运用两次证明线线平行，得到线面平行，再用面面平行判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，求出方向向量和平面法向量计算证明即可. 【详解】（1）如图，连接,由于平面，平面,则. 且，，则. 又，则，故. 又,则,又,则四边形为平行四边形.则. 平面,平面,则平面(∗). 由于，，则.又，则, 则,则，则. 平面,平面,则平面(∗∗). 平面,结合 (∗)，(∗∗)，得到平面平面. （2）由前面证明知道，四边形为矩形，平面， 则两两垂直，可建立空间直角坐标系.则 , 设,则. 设平面法向量为，且. 则,则，则解得. 又,若平面，则. 则， 则，解得.此时. 故棱上存在一点，使得平面，. 18. （24-25高二上·辽宁·期中）空间向量的叉乘是三维欧几里得空间中定义的一种新运算，它可以用来描述空间向量之间的垂直关系.设空间向量，，则叉乘的运算公式为 (1)证明：. (2)设，，是平面内不共线的三个不同的点. ①证明：是平面的一个法向量. ②说明的几何意义（即说明的长度与方向的几何意义）. 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②答案见解析 【分析】（1）利用空间向量叉乘的坐标表示直接计算即可得证； （2）①利用空间向量数量积的坐标表示证得，，从而得证；②利用空间向量夹角与模的坐标表示证得，结合①中结论即可得解. 【详解】（1）因为， 所以 ， 所以. （2）①设，， 则， 所以， ， 所以，， 所以是平面的一个法向量； ②设，， 则， 所以 ， 而 ， ， 所以， 又， 所以 ， 所以的几何意义为等于以，为邻边所作的平行四边形的面积，且的方向与平面垂直. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 19. （23-24高三上·广东·期末）如图，在棱长为的正方体中，点是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥. (1)若，求证：平面平面； (2)是否存在，使得直线平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）当时，推导出二面角为直角，结合面面垂直的定义可证得结论成立； （2）假设存在，使得直线平面，以为原点，分别以、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，将的坐标用的表达式表示，设，可得出关于、的方程组，解之可得出结论. 【详解】（1）证明：若，则平面､平面为同一个平面. 连接、，则是中点，是中点， 所以平面与平面重合，平面与平面重合， 由正方体性质可知平面， 因为、平面，所以，，， 为二面角的平面角， 因为，，则，同理可得， 所以，所以，平面平面 （2）解：假设存在，使得直线平面， 以为原点，分别以、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，故、， 设平面的法向量为，则， 取，得是平面的一个法向量， 取的中点，的中点，连接、，则， 因为，则，同理可知，， 因为，，，则四边形为矩形，所以，， 于是是二面角的平面角， 是二面角的平面角， 是二面角的平面角.于是， 因为，，， 因为，则，所以， 因为，，，、平面， 所以，平面，且， 故，同理， 所以， 因为， ， 所以， 若直线平面，是平面的一个法向量，则， 即存在，使得，则， 因为，可得， 故方程组无解， 所以不存在，使得直线平面. 【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法： （1）面面垂直的定义； （2）面面垂直的判定定理. 在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$