2.4(3) 空间向量在立体几何中应用之距离问题（3知识点+5题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第二册）

2.4 空间向量在立体几何中应用之距离问题 课程标准 学习目标 （1）能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题, 并能描述解决这一类问题的程序, 体会向量方法在研究几何问题中的作用。 （1）掌握利用空间向量求点到直线的距离； （2）掌握利用空间向量求点到平面的距离； （3）掌握利用空间向量求两平行直线的距离； （4）掌握利用空间向量求两平行平面的距离. 知识点01 点到直线的距离 若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，， 则点到直线距离为 PS 公式推导 如图，. 【即学即练1】 （24-25高二上·海南·阶段练习）点是直线l上一点，是直线l的一个方向向量，则点到直线l的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式计算即可． 【详解】，是直线的一个单位方向向量， 点P到直线l的距离为. 故选：B. 知识点02 点到平面的距离 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为，则到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值，即. PS 公式推导 如图，. 【即学即练2】 （24-25高二上·陕西安康·期末）已知是平面的一个法向量，且，则点到平面的距离为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量求出点到平面的距离. 【详解】依题意，点到平面的距离. 故选：B 知识点03 两平行线间的距离 求直线，间的距离 在直线，上分别任取一点，确定直线的方向向量， 则直线，间的距离为。 知识点04两平行平面间的距离 求两平行平行之间的距离等于平面上任一点到平面的距离，也等于两平面之间任一条线段在平面的法向量上的投影长. 在平行平面上各取一点，确定平面的法向量，计算在法向量上的投影长，则该投影长即为两平行平面之间的距离. 【即学即练4】 （22-23高一·全国·课后作业）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则，令得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离． 故选：A 【题型一：求点到直线的距离】 例1．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为底面的中心，为的中点，且，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题先建立空间直角坐标系，接着求出和直线的单位方向向量，再由空间中的点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题可以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，则， 故点到直线的距离为. 故选：B. 变式1-1．（2025·四川·二模）已知空间中向量=（0，1，0），向量的单位向量为（），则点B到直线AC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点B到直线AC的距离为：即可求解. 【详解】设向量的单位向量为，则，， 点B到直线AC的距离为：， 故选：B. 变式1-2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解点线距即可. 【详解】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. 故选：B 变式1-3．（24-25高二上·吉林·期中）如图1，平面四边形中，，垂足为，如图2，将沿翻折至，使得平面平面，若点为线段上的动点，则点到直线距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到直线的距离，进而求出最小值. 【详解】因为平面平面，平面，平面平面，， 所以平面，平面，则，又，， 以点为坐标原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系，连接， 则，，设，， 所以，，设与的夹角为， ，则， 所以点到直线的距离为， 由，则，所以， 所以点到直线距离的最小值为. 故选：D.    【方法技巧与总结】 若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，， 则点到直线距离为 【题型二：求点到平面的距离】 例2．（24-25高二上·北京西城·期中）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点P到平面QGC的距离是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合向量法求解点到面的距离，即可得到结果. 【详解】 建立如图所示空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 所以点P到平面QGC的距离是. 故选：B 变式2-1．（24-25高二上·全国·课后作业）在三棱锥中，，，两两相互垂直，，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求得点到平面距离. 【详解】 依题意可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 则点到平面的距离， 故选：C. 变式2-2．（24-25高二上·四川广安·期中）在长方体中，，，点E是棱的中点，则点E到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以D为坐标原点， ，分别为x轴，y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图， 以D为坐标原点， ，分别为x轴，y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 则．从而. 设平面的法向量为，则，即，得， 令，则，所以点E到平面的距离为． 故选：C 变式2-3．（24-25高二下·山东菏泽·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量法来求平行线与平行平面间的距离即可. 【详解】 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，即 平面平面 平面 直线到平面的距离为点到平面的距离. 设平面的法向量为，则即 令，则 点到平面的距离为. 故选：D. 【方法技巧与总结】 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为，则到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值，即. 【题型三：求异面直线的距离】 例3．（24-25高二上·四川眉山·阶段练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设点为上一点， 则点到距离的最小值即为直线与之间的距离，利用空间中点到直线的距离公式结合二次函数的最值即可求解. 【详解】 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设点为上一点， 则点到距离的最小值即为直线与之间的距离， 已知正方体棱长为2，所以， 设，所以，， 设与共线的单位向量， 所以点到的距离 ， 令， 则当时，， 所以直线与之间的距离为. 故选：. 变式3-1．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和的公垂线的方向向量，求出，再由可求出. 【详解】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 则，， 设和的公垂线的方向向量， 则，即，令，则， ， . 故选：D. 变式3-2．（24-25高二上·广东佛山·期末）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是3，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，则MN的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，证明两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法求出最小值. 【详解】由正方形，得，而平面平面，平面， 得平面，又四边形是正方形，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，， 设与都垂直的向量，则，令，得， 所以的最小值为. 故选：B 【点睛】思路点睛：求两条异面直线上两点间距离最小值，可以利用空间向量求出两条异面直线的公共法向量，再求投影长即可. 【题型四：求两平行平面间的距离】 例4．（22-23高二下·安徽阜阳·阶段练习）在棱长为2的正方体中，下列说法不正确的是（    ） A．直线与平面所成的角为 B． C．三棱锥外接球的表面积为 D．平面与平面的距离为 【答案】A 【分析】根据线面角的定义即可判断A，建立空间直角坐标系，通过空间向量的坐标运算即可判断BD，由三棱锥外接球与正方体的外接球相同即可判断C. 【详解】 连接，与相交于点，因为平面，且平面， 所以，又因为，，所以平面， 即直线与平面所成的角为，且，故A错误； 连接，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则，解得，取，则 所以，则，所以平面， 且平面，则 ，故B正确； 因为三棱锥外接球就是正方体的外接球， 设其外接球的半径为，则，即， 所以，故C正确； 因为平面平面所以平面 同理平面 又平面, 所以平面平面， 由B选项可知，平面的法向量为，且， 则两平面间的距离，故D正确. 故选:A 变式4-1．（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解 【详解】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 变式4-2．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论错误的是（    ）    A． B．异面直线、所成的角为 C．几何体的体积为 D．平面与平面间的距离为 【答案】C 【分析】根据线线平行、异面直线所成角、几何体体积、面面距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于四边形是矩形，所以， 由于，平面，所以平面， 由于平面平面，所以平面. 由于平面，所以， 由于，所以平面，由于平面， 所以，同理可证得， 所以, 所以四边形是平行四边形，所以，，A选项正确. 由于，所以异面直线、所成的角为（或其补角）， 由于，所以三角形是等边三角形，所以， 即异面直线、所成的角为，B选项正确. 将几何体补形为正方体，如下图所示， 所以，C选项错误. 由上述分析可知，由于平面，平面， 所以平面.同理可证得平面， 由于，所以平面平面. 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，故可设， ，平面与平面间的距离，即到平面的距离， 所以距离为，D选项正确. 故选：C    【方法技巧与总结】 求两平行平行之间的距离等于平面上任一点到平面的距离，也等于两平面之间任一条线段在平面的法向量上的投影长. 在平行平面上各取一点，确定平面的法向量，计算在法向量上的投影长，则该投影长即为两平行平面之间的距离. 【题型五：距离问题综合运用】 例5．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）如图，在正方体中，E为棱的中点．动点P沿着棱从点D向点C移动，对于下列三个结论： ①存在点P，使得； ②的面积越来越小； ③四面体的体积不变． 其中，所有正确结论的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，根据两点间的距离公式、点到直线的距离公式，以及锥体体积计算公式等知识求得正确答案. 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体的边长为，则，设， 由得， ，所以存在点，使得，所以①正确. ， ， 所以到的距离为 ，的对称轴为， 而，所以随的增大而减小， 所以的面积随的增大而减小， 所以②正确. 对于③，，的面积为定值， 点到平面的距离，等于到平面的距离，此距离为定值， 所以四面体的体积不变.所以③正确. 综上所述，正确的有个. 故选：D 【点睛】空间中，要求三角形的面积，关键是求点到直线的距离，空间向量法求点到直线的距离公式比较复杂，需要记忆准确.空间中求三棱锥的体积，关键是求点到面的距离，本题中，到平面的距离为定值，另外，也可以利用向量法来求点面距. 变式5-1．（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段上一点，则面积的取值范围为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量法求出到的距离的范围后可求面积的范围. 【详解】    由直三棱柱可得平面，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系，， 设，其中，故， 而，， 故到直线的距离为， 因为，故，故， 故选：B. 变式5-2．（多选）（24-25高三下·浙江·开学考试）已知直棱柱的所有棱长均为，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，三棱锥的体积为 C．当时，三棱锥的外接球的表面积为 D．记点到直线的距离为，当时，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于选项A；证明平面，即可得到结论； 对于选项B：利用三棱锥的等体积转化法即可求得； 对于选项C：主要找准球心位置，再求出半径即可； 对于选项D：建立空间直角坐标系，转化为向量求解距离最小值问题. 【详解】对于选项A：因为， 所以点M在平面内，因为底面为菱形，所以, 又因为直棱柱，所以,又因为平面, 平面，所以平面，又平面， 所以，故A正确； 对于选项B：当时，则点M在直线上，由选项A知平面， 所以点到平面的距离为,在三角形中， 由余弦定理得 则，故B错误； 对于选项C： 当时，点M在体对角线交点处，故点M在与底面垂直 且到底面距离为1，因为,所以的外接圆半径 为，设外接球半径为，球心到平面的距离为h， 则, 即，两式联立得， 故外接球体积为，故C正确； 对于选项D： 当时，则三点共线，即点M在线段上，如图建立空间直角坐标系， 则,,则， 故,则, 又得 ，, 故，当且仅当时，，故D正确； 故选：ACD 【点睛】思路点睛：本题考查立体几何中的外接球问题则考虑球心位置，再利用勾股定理求出半径；求解最短距离问题的基本思路建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解. 变式5-3．（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是平面和平面内的动点，若点为棱的中点，则的最小值为 .    【答案】/ 【分析】先取，使，再结合对称性得出，最后应用空间向量法求点到平面距离即可得出最小值. 【详解】   以为坐标原点，以分别为轴建立直角坐标系， 在延长线上取，使，所以， 表示到平面的距离， 所以， 当平面，平面，此时取的最小值， 因为，所以， 设平面的法向量为，则， 所以，令，则， 所以. 故答案为：. 变式5-4．（24-25高二上·四川达州·期末）三棱锥中，，，面面，，以的边所在直线为旋转轴将旋转，则在旋转过程中，的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意找出点的位置，建立空间直角坐标系找出点到所在平面距离，将问题转化到平面上，求出点在平面上的射影到点距离的最大值和最小值，再根据勾股定理求出的最大值和最小值，得到答案. 【详解】取的中点，的中点，连 ；由等腰三角形的性质，，由已知平面与平面垂直，可得平面，进而可得出，，两两垂直，如图建立坐标系： 根据几何关系，可求出坐标：，，，，. 不妨记旋转过程中点所在的平面为，由题目已知，在旋转过程中，点在平面截以为圆心，为半径的球所得到的圆上. 记点在内的射影为，到平面的距离为垂线段的长度，记该距离为. 由，可用坐标法计算点到平面的距离为： ，由勾股定理， 由几何关系，，可知当最小时，最小；最大时，最大. 在平面上的几何关系如下图： 可得的最大值为，最小值为，的最大值为，最小值为. 故答案为： 【点睛】易错点睛：本题的难点和易错点在于找到点的范围，易犯错误为将点的范围扩大为以为圆心，半径为的整个球面. 一、单选题 1．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）已知平面的法向量，且点，，则点P到平面的距离为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用空间向量法求点面距离即可得解. 【详解】因为平面的法向量，且点，， 所以点到平面的距离为. 故选：B. 2.（24-25高二上·河南周口·阶段练习）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据点到线距离的向量求法和投影的定义计算即可. 【详解】取的中点，则，且， 以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 所以在上的投影的长度为， 故点到直线的距离为， 故选：C. 3.（24-25高二上·浙江湖州·阶段练习）四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先求出平面的法向量，再根据点到面的距离的向量公式求解即可. 【详解】设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以点P到平面的距离即该四棱锥的高为. 故选：A. 4.（24-25高二上·福建福州·期末）如图，在三棱锥中，平面，，点，分别为，的中应，，，则点到平面的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先建系再用向量法求点到面的距离即可. 【详解】易知两两垂直，则以为坐标原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系. 由题意，得 所以. 设为平面的法向量， 则，令，得， 又， 设点到平面的距离为，所以. 故选：B    5.（24-25高二上·山东滨州·期末）在直四棱柱中，底面是正方形，，，点在棱上，若直线到平面的距离为，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系后利用点到直线的距离空间向量求解后可得正确的选项. 【详解】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示， 则，设．    因为，平面，平面，故平面， 故直线到平面的距离为到平面的距离. ，， 设平面的法向量为，则由可得： ，取， 故到平面的距离，故，故， 故选：C. 6.（24-25高二上·北京·期末）如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为棱AB，BC的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B．平面 C．与MN成角为60° D．点B到平面的距离为 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AB；利用线线角的向量求法判断C；利用空间向量求出点到平面的距离判断D. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量为， 则，取，得， 对于A，，与不共线，则不垂直于平面，A错误； 对于B，，，与平面不平行，B错误； 对于C，，， 而，因此，与MN成角为，C正确； 对于D，，点B到平面的距离，D错误. 故选：C 7.（24-25高二上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离，进而利用向量法求异面直线与的距离，从而可得面积的最小值. 【详解】因为，点到直线的距离最小时面积取得最小值, 而点在线段上，直线与互为异面直线， 因此点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离. 下面用向量法求异面直线与的距离： 以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，,, ，，, 设异面直线与公垂线的方向向量为，则， 即，得， 令，则，即， 于是异面直线与的距离为， 又， 所以面积的最小值为. 故选：B 8.（23-24高二下·湖南衡阳·期中）在棱长为2的正方体中，下列说法正确的是（   ） A．平面与平面的距离为 B．三棱锥外接球的表面积为 C． D．直线BC与平面所成的角为 【答案】A 【分析】D选项，作出辅助线，由线面垂直得到⊥，故⊥平面，直线与平面所成的角为，且，故D错误；C选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到，所以⊥平面，⊥；B选项，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，从而求出外接球半径，得到外接球表面积；A选项，先证明出平面平面，利用点到平面距离向量公式得到答案. 【详解】D选项，如图1，连接，与相交于O点，    因为⊥平面，且平面，所以⊥， 又因为⊥，，平面， 所以⊥平面， 即直线与平面所成的角为， 且，故D错误； C选项，如图2，连接，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，    则， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，则， 则，所以⊥平面， 又因为平面，则⊥，故C错误； B选项，三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设其外接球的半径为R，则，即， 所以，故B错误； A选项，如图3，因为，平面，平面，    所以平面，同理平面， 又，平面，所以平面平面， 由B选项可知，平面的一个法向量为， 且， 则两平面间的距离，故A正确. 故选：A 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·开学考试）下列说法中，正确的有（    ） A．若平面的法向量，，则平面 B．若平面的法向量，，则点到平面的距离是 C．若平面，的法向量分别为，，则平面，夹角的余弦值为 D．已知，，，则是钝角 【答案】ABC 【分析】由且平面可判断A，由距离公式可判断B，由夹角公式可判断C，由向量夹角公式可判断D； 【详解】选项A，因为，所以，所以平面或平面．因为平面，所以平面．故A正确． 选项B，点到平面的距离，故B正确． 选项C，设平面，的夹角为，则，故C正确． 选项D，由题意得，，．因为，且与不平行，所以是锐角，故D错误． 故选：ABC． 10. （23-24高三上·山东德州·期末）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（    ） A．点到的距离为 B．面与面的距离为 C．直线与平面所成的角为 D．点到平面的距离为 【答案】AB 【分析】以为原点，所在的直线分别为正方向建立空间直角坐标系，利用点到直线的向量求法可判断A；求出平面、平面的一个法向量，可得平面平面，转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离向量求法可判断B；求出平面的一个法向量，利用线面角的向量求法可判断C；利用点到平面的距离的向量求法可判断D. 【详解】以为原点，所在的直线分别为正方向建立空间直角坐标系， 对于A，，， 所以点到的距离 ，故A正确； 对于B，， ，， 设分别为平面、平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， ，令，可得，所以， 所以，所以平面平面， 可得点到平面的距离即为所求，， 所以点到平面的距离为，故B正确； 对于C，，， 设为平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以， 因为，所以，故C错误； 对于D，因为平面的一个法向量为，， 所以点到平面的距离为， 故D错误. 故选：AB. 11.（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】空间向量法求两点间距离判断A，求点到直线距离判断B，应用点到平面距离判断C，求面面距离判断D选项. 【详解】以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知，， ， ． 设平面的法向量为， 所以则可得平面的一个法向量为． 点F到点E的距离，故A正确； 点F到直线的距离为，故B正确； 点F到平面的距离，故C正确； 由正方体的性质可知，平面平面， 平面到平面的距离即为点F到平面的距离．故D错误． 故选：ABC． 三、填空题 12．（23-24高二上·北京昌平·阶段练习）在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】以D为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，    则， 则， 设与异面直线和都垂直的向量为， 则，令，则， 又，故异面直线和间的距离是， 故答案为： 13. （24-25高二下·山东济宁·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】建系，求出在上的投影向量的长度，再利用勾股定理求解即可. 【详解】因为平面，平面，平面， 所以，，又, 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ，即，， 所以在上的投影向量的长度为， 故点到直线的距离为. 14. （23-24高二上·广东惠州·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，．则 ；该平行六面体的体积为 ． 【答案】 【分析】利用空间向量的数量积求向量模长可得第一空，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算点面距离求体积即可. 【详解】由题意易知， ； 如图所示，建立空间直角坐标系，则，设， 由题意可知， 不妨取，则， 易知是底面的一个法向量， 所以到底面的距离为. 四、解答题 15．（24-25高二上·内蒙古·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用点到直线距离公式进行求解； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的向量距离公式进行求解. 【详解】（1）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为，则，，， 可得，， ，，， 设点到的距离为， 则； （2）设平面的法向量为，，，， 则，. 设， ，令，解得，，所以， 又，，， 点到平面的距离为. 16. （24-25高二上·北京顺义·阶段练习）已知是正方体，点为的中点，点为的中点． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)求点到直线的距离． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到，求出垂直关系； （2）求出两平面的法向量，利用面面角的余弦夹角公式得到答案； （3）利用点到直线距离向量公式求出答案. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 故，故， 所以； （2）由图可知，平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 平面与平面夹角的余弦值为； （3），，， 点到直线的距离为 . 17. （24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面，，点为棱DF的中点. (1)求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值； (2)求点到平面ACP的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系利用空间向量即可求得两平面夹角的余弦值； （2）利用点到平面距离的向量求法计算可得结果. 【详解】（1）由直线平面平面ABCD，得， 由矩形ABCD，得， 以为原点，直线AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 可得 设平面BCF的一个法向量， 则，令，得， 设平面APC的一个法向量为，则， 令，得， 所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为. （2）由（1）知，平面APC的一个法向量， 而， 所以点到平面ACP的距离. 18. （24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，应用向量法可得，，再由线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）同（1）可证平面EFG，结合（1）结论及线面垂直的性质即可证； （3）向量法求点F到平面ABD的距离，结合（2）结论即可得结果. 【详解】（1）由题设，两两互相垂直， 以B为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，设，则. 所以，易得，， 所以，，所以，， 又，且都在平面内，故平面ABD. （2）由题意知，则， 所以，，则，， 所以，， 又且都在平面内，所以平面EFG， 结合（1）知，平面EGF平面ABD. （3）由（1）（2）知，，是平面ABD的法向量， 所以点F到平面ABD的距离为， 由（2）知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离， 所以两平面间的距离为. 19. （24-25高三下·湖南·阶段练习）如图1，在中，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为点在旋转过程中形成的圆的圆心，点为圆上任意一点. (1)求新的几何体的体积； (2)记与底面所成角为，求的取值范围； (3)当时，求点关于平面的对称点到平面的距离. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用割补法来求得新的几何体的体积. （2）作出与底面所成角，求得的表达式，进而求得的取值范围. （3）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得正确答案. 【详解】（1）连接， 在中，由题可得， 因为新的几何体是以为高的圆锥减去以为高的圆锥后剩余的部分， 所以新的几何体的体积. （2）如图，取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以 ， 因为平面，所以平面， 所以为与底面所成的角， 所以， 又因为，所以， 所以，所以. （3）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则， 所以， 易求得平面的法向量为， 若平面于点，设， 则， 则根据可求得， ， 由条件可求得平面的法向量为， 所以点到平面的距离为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 空间向量在立体几何中应用之距离问题 课程标准 学习目标 （1）能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题, 并能描述解决这一类问题的程序, 体会向量方法在研究几何问题中的作用。 （1）掌握利用空间向量求点到直线的距离； （2）掌握利用空间向量求点到平面的距离； （3）掌握利用空间向量求两平行直线的距离； （4）掌握利用空间向量求两平行平面的距离. 知识点01 点到直线的距离 若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，， 则点到直线距离为 PS 公式推导 如图，. 【即学即练1】 （24-25高二上·海南·阶段练习）点是直线l上一点，是直线l的一个方向向量，则点到直线l的距离是（    ） A． B． C．2 D． 知识点02 点到平面的距离 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为，则到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值，即. PS 公式推导 如图，. 【即学即练2】 （24-25高二上·陕西安康·期末）已知是平面的一个法向量，且，则点到平面的距离为（    ） A．2 B． C．4 D． 知识点03 两平行线间的距离 求直线，间的距离 在直线，上分别任取一点，确定直线的方向向量， 则直线，间的距离为。 知识点04两平行平面间的距离 求两平行平行之间的距离等于平面上任一点到平面的距离，也等于两平面之间任一条线段在平面的法向量上的投影长. 在平行平面上各取一点，确定平面的法向量，计算在法向量上的投影长，则该投影长即为两平行平面之间的距离. 【即学即练4】 （22-23高一·全国·课后作业）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【题型一：求点到直线的距离】 例1．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为底面的中心，为的中点，且，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（2025·四川·二模）已知空间中向量=（0，1，0），向量的单位向量为（），则点B到直线AC的距离为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（    ）    A．1 B． C． D． 变式1-3．（24-25高二上·吉林·期中）如图1，平面四边形中，，垂足为，如图2，将沿翻折至，使得平面平面，若点为线段上的动点，则点到直线距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，， 则点到直线距离为 【题型二：求点到平面的距离】 例2．（24-25高二上·北京西城·期中）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点P到平面QGC的距离是（    ） A． B． C． D．1 变式2-1．（24-25高二上·全国·课后作业）在三棱锥中，，，两两相互垂直，，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（24-25高二上·四川广安·期中）在长方体中，，，点E是棱的中点，则点E到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 变式2-3．（24-25高二下·山东菏泽·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为，则到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值，即. 【题型三：求异面直线的距离】 例3．（24-25高二上·四川眉山·阶段练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 变式3-1．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 变式3-2．（24-25高二上·广东佛山·期末）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是3，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，则MN的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型四：求两平行平面间的距离】 例4．（22-23高二下·安徽阜阳·阶段练习）在棱长为2的正方体中，下列说法不正确的是（    ） A．直线与平面所成的角为 B． C．三棱锥外接球的表面积为 D．平面与平面的距离为 变式4-1．（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论错误的是（    ）    A． B．异面直线、所成的角为 C．几何体的体积为 D．平面与平面间的距离为 【方法技巧与总结】 求两平行平行之间的距离等于平面上任一点到平面的距离，也等于两平面之间任一条线段在平面的法向量上的投影长. 在平行平面上各取一点，确定平面的法向量，计算在法向量上的投影长，则该投影长即为两平行平面之间的距离. 【题型五：距离问题综合运用】 例5．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）如图，在正方体中，E为棱的中点．动点P沿着棱从点D向点C移动，对于下列三个结论： ①存在点P，使得；②的面积越来越小；③四面体的体积不变． 其中，所有正确结论的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 变式5-1．（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段上一点，则面积的取值范围为（   ）    A． B． C． D． 变式5-2．（多选）（24-25高三下·浙江·开学考试）已知直棱柱的所有棱长均为，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，三棱锥的体积为 C．当时，三棱锥的外接球的表面积为 D．记点到直线的距离为，当时，则的最小值为 变式5-3．（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是平面和平面内的动点，若点为棱的中点，则的最小值为 .    变式5-4．（24-25高二上·四川达州·期末）三棱锥中，，，面面，，以的边所在直线为旋转轴将旋转，则在旋转过程中，的取值范围是 . 一、单选题 1．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）已知平面的法向量，且点，，则点P到平面的距离为（    ） A． B． C．2 D．4 2.（24-25高二上·河南周口·阶段练习）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高二上·浙江湖州·阶段练习）四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.（24-25高二上·福建福州·期末）如图，在三棱锥中，平面，，点，分别为，的中应，，，则点到平面的距离是（    ）    A． B． C． D． 5.（24-25高二上·山东滨州·期末）在直四棱柱中，底面是正方形，，，点在棱上，若直线到平面的距离为，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 6.（24-25高二上·北京·期末）如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为棱AB，BC的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B．平面 C．与MN成角为60° D．点B到平面的距离为 7.（24-25高二上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 8.（23-24高二下·湖南衡阳·期中）在棱长为2的正方体中，下列说法正确的是（   ） A．平面与平面的距离为 B．三棱锥外接球的表面积为 C． D．直线BC与平面所成的角为 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·开学考试）下列说法中，正确的有（    ） A．若平面的法向量，，则平面 B．若平面的法向量，，则点到平面的距离是 C．若平面，的法向量分别为，，则平面，夹角的余弦值为 D．已知，，，则是钝角 10. （23-24高三上·山东德州·期末）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（    ） A．点到的距离为 B．面与面的距离为 C．直线与平面所成的角为 D．点到平面的距离为 11.（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 三、填空题 12．（23-24高二上·北京昌平·阶段练习）在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是 13. （24-25高二下·山东济宁·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，则点到直线的距离为 . 14. （23-24高二上·广东惠州·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，．则 ；该平行六面体的体积为 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·内蒙古·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 16. （24-25高二上·北京顺义·阶段练习）已知是正方体，点为的中点，点为的中点． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． (3)求点到直线的距离． 17. （24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面，，点为棱DF的中点. (1)求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值； (2)求点到平面ACP的距离. 18. （24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 19. （24-25高三下·湖南·阶段练习）如图1，在中，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为点在旋转过程中形成的圆的圆心，点为圆上任意一点. (1)求新的几何体的体积； (2)记与底面所成角为，求的取值范围； (3)当时，求点关于平面的对称点到平面的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$