2.4.4 向量与距离-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（湘教版）

2.4.4　向量与距离 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.能用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题. 2.通过空间中距离问题的求解,体会向量法在研究几何问题中的作用. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.点到直线的距离 (1)定义 如图,直线l的方向向量为v,点P为直线l外一点,过点P作直线l的垂线交l于点D,则||即为点P到直线l的距离. (2)公式d=||= =. 2.点到平面的距离 (1)定义 平面外一点P到平面α的距离d等于点P到平面α的垂线段PB的长度. (2)公式 如图,在平面α内任取一点A,作向量,设n是平面α的法向量,则在法向量n上的投影长||=即为点P到平面α的距离d. 3.两平行平面间的距离 (1)定义 两平行平面α,β之间的距离等于平面α上任一点A到平面β的距离,也等于两平面之间任一条线段AB在平面α的法向量n上的投影长. (2)公式 如图 ,A,B分别是平行平面α,β上的任意一点,设n是平面α,β的一个法向量,则平面α,β之间的距离d=. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)用向量法求点线距,是将点线距转化为已知点与直线上一点构成的向量在与直线垂直的向量方向上的投影向量的模. (　　) (2)用向量法求点面距,是将点面距转化为已知点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的模. (　　) (3)两异面直线间的距离可以转化成线面距,进而可转化成点面距. (　　) (4)两平行直线间的距离可以转化成点线距. (　　) (5)线面距、面面距可以转化成点面距. (　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√ 2.已知a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,A(1,0,0)为α内的一点,则点D(1,1,2)到平面α的距离为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　依题意,=(0,1,2),又a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,所以点D(1,1,2)到平面α的距离d===. 3.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),P(1,-1,0),那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　因为点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),所以=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,0),设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,得y=1,z=,则n=,所以d==,故选C. 题型(一)　点到直线的距离 [例1]　如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离. 解:以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A1(4,0,1),C1(0,3,1),B(0,0,0). 直线A1C1的方向向量=(-4,3,0),=(0,3,1),所以点B到直线A1C1的距离d ===. |思|维|建|模| 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的单位方向向量u. (3)计算所求点P与直线上某一点所构成的向量a. (4)利用公式PQ=计算点到直线的距离. 　　[针对训练] 1.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=1,BC=2,AA'=3,点M是AD的中点,求点M到直线B'D'的距离. 解:连接D'M,建立如图所示的空间直角坐标系,M(1,0,0),D'(0,0,3),B'(2,1,3),=(-1,0,3), =(2,1,0), 所以点M到直线B'D'的距离为 ==. 题型(二)　点到平面的距离 [例2]　如图,P,O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心,AB=AA1=2. (1)求平面PBC的法向量; (2)求点O到平面PBC的距离. 解: (1)因为P,O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心,连接OA,OB,OC,OP,所以OA,OB,OP两两互相垂直,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,因为AB=AA1=2,所以OA=OC=OB=2,OP=AA1=2, 所以B(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),所以=(0,2,-2),=(-2,0,-2). 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z), 则⇒ 取z=1,则x=-1,y=1,所以m=(-1,1,1),所以平面PBC的一个法向量为(-1,1,1). (2)由(1)知平面PBC的一个法向量为(-1,1,1),又=(0,2,0), 所以点O到平面PBC的距离 d===, 所以点O到平面PBC的距离为. |思|维|建|模| 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离. 　　[针对训练] 2.如图,将边长为 的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,求点D到平面ABC的距离. 解:设O是BD的中点,连接OA,OC, 由于折叠前四边形ABCD是正方形,边长为, 所以OA=OB=OC=OD=1. 依题意,平面ABD⊥平面BCD且交线为BD, OA⊂平面ABD,OA⊥BD, 所以OA⊥平面BCD, 由于OC⊂平面BCD,所以OA⊥OC, 则OA,OC, OD两两相互垂直,以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,1,0), B(0,-1,0),A(0,0,1),C(1,0,0),=(0,2,0),=(0,1,1),=(1,1,0),设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), 则故可设n=(1,-1,1), 所以点D到平面ABC的距离为==. 题型(三)　线面距与面面距 [例3]　如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M,N,R分别是OA,BC,AD的中点.求: (1)直线MN与平面OCD的距离; (2)平面MNR与平面OCD的距离. 解:(1)因为OA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形, 以点A为坐标原点,AB,AD,AO所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(2,2,0),D(0,2,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(2,1,0),R(0,1,0), 因为M,R分别为OA,AD的中点,则MR∥OD, 因为MR⊄平面OCD,OD⊂平面OCD,所以MR∥平面OCD,因为AD∥BC且AD=BC,R,N分别为AD,BC的中点,则CN∥RD且CN=RD, 所以四边形CDRN为平行四边形,所以RN∥CD, 因为RN⊄平面OCD,CD⊂平面OCD,所以RN∥平面OCD,因为MR∩RN=R,MR,RN⊂平面MNR,所以平面MNR∥平面OCD, 因为MN⊂平面MNR,所以MN∥平面OCD, 设平面OCD的一个法向量为n=(x,y,z),=(2,0,0),=(0,-2,2),则 取y=1,可得n=(0,1,1),=(0,1,0),所以直线MN与平面OCD的距离为d1===. (2)因为平面MNR∥平面OCD,所以平面MNR与平面OCD的距离为d2===. |思|维|建|模| 　　用向量法研究空间距离问题的一般步骤 (1)确定法向量;(2)选择参考向量;(3)利用公式求解. 　　[针对训练] 3.如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD且∠ADC=90°,AD=1,CD=,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,求直线A1B1与平面ABE的距离. 解: ∵A1B1∥AB,A1B1⊄平面ABE,AB⊂平面ABE,∴A1B1∥平面ABE,∴A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离.如图,以D为坐标原点, 分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A1(1,0,2),A(1,0,0),E(0,,1),C(0,,0).过点C作AB的垂线交AB于点F,易得BF=,∴B(1,2,0),∴=(0,2,0),=(-1,-,1). 设平面ABE的法向量为n=(x,y,z), 则即 ∴y=0,x=z,不妨取n=(1,0,1). ∵=(0,0,2),∴点A1到平面ABE的距离d===. ∵直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离, ∴直线A1B1与平面ABE的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $