第八章 实数（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（人教版2024，江西专用）

第8章 实数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共6小题，每题3分，共18分。 1．在﹣3，0，2，这组数中，最小的数是（　　） A． B．﹣3 C．0 D．2 2． 的立方根与 的平方根之和是（　　）． A．6或 B．0或 C．6或 D．0或6 3．设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：① a是无理数；② a可以用数轴上的一个点来表示；③ 3<a<4；④ a是18的算术平方根。其中，所有正确说法的序号是( ) A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 4．如图，在数轴上表示实数的点可能是点（　　） A．P B．Q C．M D．N 5．秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（　　） A．0＜＜ B．＜＜1 C．＜＜ D．＞1 6．对于实数a，b，c，d，规定一种运算 =ad﹣bc，如 =1×（﹣2）﹣0×2=﹣2，那么当 =6时，x的值为（　　） A． B．± C． D．± 二、填空题：共6小题，每题3分，共18分。 7．一个数的平方等于2，这个数是　 　． 8．比较大小：－4 　 　－ （填“>”或“<”）． 9．中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．若一个正数的平方根分别是2a－1和－a+2，则这个正数是　 　． 10．设x、y是实数,且 ，则 =　 　 11．n为正整数，且n＜ ＜n＋1，则n的值为　 　. 12．下表记录了一些数的平方： x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 下列结论：①＝16.9；②26896的平方根是±164；③20－的整数部分为4：④一定有3个整数的算术平方根在16.1~16.2.其中正确的有　 　（填序号即可）. 三、解答题：共5小题，每题6分，共30分。 13．计算题（1）计算： （2）求x的值： 14．将下列实数填入相应的括号内：0，，，，π，-5，，2+π，0.686 886 888 6……(两个6之间依次多一个8)． 整数：{ } 正无理数：{ } 负无理数：{ } 有理数：{ } 15．已知一个正数的两个平方根分别为a和2a－9. （1）求a的值，并求这个正数； （2）求17－9a2的立方根． 16．同学们学过数轴知道数轴上点与实数一一对应，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是P． （1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算P的值； （2）若原点为O且，求P的值． 17．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是 ，其中 表示车速（单位：km/h）， 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m）， 表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得 m， ，该路段限速60km/h，该汽车超速了吗？请说明理由（已知： ） 四、解答题：共3小题，每题8分，共24分。 18．阅读与思考 阅读下面的文字，并完成相应的任务. 大家知道是无理数，而无理无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以减去它的整数部分就可以得到小数部分，于是我们需要先对这个数进行估值.因为，即，所以的整数部分为2，小教部分为. 任务：已知a是的整数部分，b是的小数部分. （1）求a，b的值. （2）求的算术平方根. 19． 跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①∵，，又∵， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数46656，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是　 　位数；②它的立方根的个位数字是　 　； ③46656的立方根是　 　； （2）求195112的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 20．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3． （1）仿照以上方法计算：=　 　；=　 　． （2）若，写出满足题意的x的整数值　 　． （3）如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1． 对100连续求根整数，多少次之后结果为1，请写出你的求解过程． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是　 　． 五、解答题：共2小题，每题9分，共18分。 21．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示） （1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，则﹣2表示的点与　 　表示的点重合； （2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数　 　表示的点重合； ② 表示的点与数　 　表示的点重合； ③若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是　 　、点B表示的数是　 　 （3）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值. 22．本学期我们学习了无理数，数系则从有理数扩充到了实数．在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立． 阅读材料：当时，是非负数的算术平方根，也是一个实数，这类实数可以进行如下乘法运算：．如：．但任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，如：． 根据以上材料，解决下列问题：实数与满足． （1）写出与的取值范围； （2）若为有理数8，求此时的值； （3）已知是有理数，且满足等式：，求和的值． 六、解答题：共1小题，每题12分，共12分。 23．教材上有这样一个合作学习活动：如图1，依次连结2×2方格四条边的中点A，B，C，D，得到一个阴影正方形．设每一小方格的边长为1，得到阴影正方形面积为2． （1）【基础尝试】 发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是　 　，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法； （2）【画图探究】 如图2，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于M，N两点，则点M表示的数为　 　； （3）【问题解决】 如图3，3×3网格是由9个边长为1的小方格组成． ①画出面积是5的正方形，使它的顶点在网络的格点上； ②请借鉴（2）中的方法在数轴上找到表示实数的准确位置．(保留作图痕迹并标出必要线段长) / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 实数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共6小题，每题3分，共18分。 1．在﹣3，0，2，这组数中，最小的数是（　　） A． B．﹣3 C．0 D．2 【答案】B 【解析】解：∵9>7， ∴3>， ∴-3<， ∴-3<<0<2， 故答案为：B． 2． 的立方根与 的平方根之和是（　　）． A．6或 B．0或 C．6或 D．0或6 【答案】B 【解析】解：∵ ， ， ， 根据题意得：-3+3=0或-3-3=-6， 则-27的立方根与 的平方根之和为为0或-6． 故答案为：B． 3．设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：① a是无理数；② a可以用数轴上的一个点来表示；③ 3<a<4；④ a是18的算术平方根。其中，所有正确说法的序号是( ) A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【解析】先利用勾股定理求出a=3 ，再根据无理数的定义判断①；根据实数与数轴的关系判断②；利用估算无理数大小的方法判断③；利用算术平方根的定义判断④． ∵边长为3的正方形的对角线长为a， ∴a=． ①a=3是无理数，说法正确； ②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确； ③∵16＜18＜25，4＜＜5，即4＜a＜5，说法错误； ④a是18的算术平方根，说法正确． 所以说法正确的有①②④． 故选C． 4．如图，在数轴上表示实数的点可能是点（　　） A．P B．Q C．M D．N 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴点可能表示． 故答案为：B． 5．秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（　　） A．0＜＜ B．＜＜1 C．＜＜ D．＞1 【答案】B 【解析】解：4＜5＜9， ∴2＜＜3， ∴1＜1＜2， ∴＜＜1， 故答案为：B． 6．对于实数a，b，c，d，规定一种运算 =ad﹣bc，如 =1×（﹣2）﹣0×2=﹣2，那么当 =6时，x的值为（　　） A． B．± C． D．± 【答案】D 【解析】解：∵ =ad﹣bc， ∴ =2x2+x2=3x2=6， ∴x2=2， 解得x=± ． 故答案为：D． 二、填空题：共6小题，每题3分，共18分。 7．一个数的平方等于2，这个数是　 　． 【答案】 【解析】解：∵， ∴这个数是. 故答案为：． 8．比较大小：－4 　 　－ （填“>”或“<”）． 【答案】< 【解析】 ∴34 ∴-4-3 故答案为：< 9．中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．若一个正数的平方根分别是2a－1和－a+2，则这个正数是　 　． 【答案】9 【解析】解：由题意得： 2a－1=-（－a+2 ）， ∴2a-1=a-2， ∴a=-1， ∴这个数是：（2a-1）2=（-3）2=9. 故答案为：9. 10．设x、y是实数,且 ，则 =　 　 【答案】 【解析】∵ ∴x-17=0,y+5=0, 解得x=17，y=-5, 把x=17，y=-5,代入 = ， 故答案为：2 . 11．n为正整数，且n＜ ＜n＋1，则n的值为　 　. 【答案】4 【解析】 ， ， ， . 故答案为：4. 12．下表记录了一些数的平方： x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 下列结论：①＝16.9；②26896的平方根是±164；③20－的整数部分为4：④一定有3个整数的算术平方根在16.1~16.2.其中正确的有　 　（填序号即可）. 【答案】①②④ 【解析】解：∵16.92＝285.61， ∴＝16.9，①正确； ∵16.42＝268.96， ∴1642＝26896， ∴26896的平方根是±164，②正确； ∵256＜260＜289， ∴16＜＜17， ∴−17＜＜−16， ∴3＜20−＜4， ∴20−的整数部分是3，③错误； ∵16.12＝259.21，16.22＝262.44， ∴，，的值在16.1～16.2，④正确； 故答案为：①②④. 三、解答题：共5小题，每题6分，共30分。 13．计算题（1）计算： （2）求x的值： 【答案】（1）解： = =2 （2）解： x-2=-3 x= -1 14．将下列实数填入相应的括号内：0，，，，π，-5，，2+π，0.686 886 888 6……(两个6之间依次多一个8)． 整数：{ } 正无理数：{ } 负无理数：{ } 有理数：{ } 【答案】解：， 整数：{0，，-5……} 正无理数：{π，2 +π，0.686 886 888 6……(两个6之间依次多一个8)，……} 负无理数：{ ，……)． 有理数：(0，，，-5，，……) 15．已知一个正数的两个平方根分别为a和2a－9. （1）求a的值，并求这个正数； （2）求17－9a2的立方根． 【答案】（1）解：由平方根的性质，得a＋2a－9＝0，解得a＝3，32＝9. ∴这个正数为9. （2）解：当a＝3时，17－9a2＝－64. ∵－64的立方根是－4， ∴17－9a2的立方根为－4. 16．同学们学过数轴知道数轴上点与实数一一对应，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是P． （1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算P的值； （2）若原点为O且，求P的值． 【答案】（1）解：点A表示-，点C表示，点P的值为 （2）解：点P的值为或 【解析】（1）∵点B为原点，，， ∴点A表示的数为，点C表示的数为， ∴P=++0=， 故答案为：点A表示-，点C表示，点P的值为； （2）①当点O在点C右边时， 点A对应的数为：0---=-， 点B对应的数为：0--=-， 点C对应的数为：0-=-， ∴P=---=-； ②当点O在点C的左边时， 点A对应的数为：， 点B对应的数为：， 点C对应的数为：， ∴P=++=， 综上，p的值为或 ， 故答案为：或. 17．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是 ，其中 表示车速（单位：km/h）， 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m）， 表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得 m， ，该路段限速60km/h，该汽车超速了吗？请说明理由（已知： ） 【答案】解：超速，理由为： 由题意， = = ≈32×1.4×1.7=76.16 km/h， ∵76.16＞60， ∴该汽车超速了． 四、解答题：共3小题，每题8分，共24分。 18．阅读与思考 阅读下面的文字，并完成相应的任务. 大家知道是无理数，而无理无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以减去它的整数部分就可以得到小数部分，于是我们需要先对这个数进行估值.因为，即，所以的整数部分为2，小教部分为. 任务：已知a是的整数部分，b是的小数部分. （1）求a，b的值. （2）求的算术平方根. 【答案】（1）解：因为，所以， 所以， 所以， （2）解：由（1）得，， 所以， 所以的算术平方根是 19． 跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①∵，，又∵， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数46656，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是　 　位数；②它的立方根的个位数字是　 　； ③46656的立方根是　 　； （2）求195112的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【答案】（1）两；6；36 （2）解：，又， ， 能确定195112的立方根是个两位数 的个位数是2，又， 能确定195112的立方根的个位数是8． 如果划去195112后面的三位112得到数195， 而，则，可得， 由此能确定195112的立方根的十位数是5， 因此195112的立方根是58． 【解析】解：（1）①，， 又， ， 能确定46656的立方根是个两位数． ②的个位数是6， 又， 能确定46656的立方根的个位数是6． ③如果划去46656后面的三位656得到数46， 而，则，可得， 由此能确定46656的立方根的十位数是3 因此46656的立方根是36． 故答案为：①两，②6，③36； 20．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3． （1）仿照以上方法计算：=　 　；=　 　． （2）若，写出满足题意的x的整数值　 　． （3）如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1． 对100连续求根整数，多少次之后结果为1，请写出你的求解过程． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是　 　． 【答案】（1）2；5 （2）1，2，3 （3）解：第一次：，第二次：，第三次：， ∴第3次之后结果为1； （4）255 【解析】（1）解：∵，，， ∴， ∴，， 故答案为：2，5； （2）解：∵，，， ∴或或， 故答案为：1，2，3； （3）解：由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ∵，， ∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ∵，， ∴进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255， ∴只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255． 故答案为：255. 五、解答题：共2小题，每题9分，共18分。 21．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示） （1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，则﹣2表示的点与　 　表示的点重合； （2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数　 　表示的点重合； ② 表示的点与数　 　表示的点重合； ③若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是　 　、点B表示的数是　 　 （3）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值. 【答案】（1）2 （2）-3；2﹣ ；-3.5；5.5 （3）解：①A往左移4个单位：（a﹣4）+a＝0.解得：a＝2. ②A往右移4个单位：（a+4）+a＝0，解得：a＝﹣2. 答：a的值为2或﹣2. 【解析】解：（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，折叠点对应的数为 ＝0， 设﹣2表示的点所对应点表示的数为x，于是有 ＝0，解得x＝2， 故答案为：2； （ 2 ）折叠纸面，使表示的点﹣1与3重合，折叠点对应的数为 ＝1， ①设5表示的点所对应点表示的数为y，于是有 ＝1，解得y＝﹣3， ②设 表示的点所对应点表示的数为z，于是有 ＝1，解得z＝2﹣ ， ③设点A所表示的数为a，点B表示的数为b，由题意得： ＝1且b﹣a＝9，解得：a＝﹣3.5，b＝5，5， 故答案为：﹣3，2﹣ ，﹣3.5，5.5； 22．本学期我们学习了无理数，数系则从有理数扩充到了实数．在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立． 阅读材料：当时，是非负数的算术平方根，也是一个实数，这类实数可以进行如下乘法运算：．如：．但任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，如：． 根据以上材料，解决下列问题：实数与满足． （1）写出与的取值范围； （2）若为有理数8，求此时的值； （3）已知是有理数，且满足等式：，求和的值． 【答案】（1）解：由于， 则； （2）解：， ； ∵，即， ∴， 即； （3）解：，则， 整理得：， ∴， 即． 【解析】【分析】（1）参照题干中的定义列出不等式，再求出a、b的取值范围即可； （2）先求出b的值，再结合，求出a的值即可； （3）先求出，再利用题干中的定义及计算方法求出即可． （1）解：由于， 则； （2）解：， ； ∵，即， ∴， 即； （3）解：， 则， 整理得：， ∴， 即． 六、解答题：共1小题，每题12分，共12分。 23．教材上有这样一个合作学习活动：如图1，依次连结2×2方格四条边的中点A，B，C，D，得到一个阴影正方形．设每一小方格的边长为1，得到阴影正方形面积为2． （1）【基础尝试】 发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是　 　，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法； （2）【画图探究】 如图2，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于M，N两点，则点M表示的数为　 　； （3）【问题解决】 如图3，3×3网格是由9个边长为1的小方格组成． ①画出面积是5的正方形，使它的顶点在网络的格点上； ②请借鉴（2）中的方法在数轴上找到表示实数的准确位置．(保留作图痕迹并标出必要线段长) 【答案】（1） （2） （3）解：①∵正方形的面积为5 ∴其边长为， ∴所求正方形如下图： ② 如图点C就是的位置． 理由如下：∵小长方形对角线为： 以数字-1所在的点为圆心，长方形的对角线为半径画弧，与数轴交于C， ∴点C表示的数就是. 【解析】解：（1）∵面积为2的正方形的边长就是小方格的对角线长， ∴小方格对角线长为大正方形的面积的算术平方根，即 故答案为：； （2）∵图2中小正方形的对角线长为， ∴原点与点M之间的距离为： ∴点M表示的数为： 故答案为：； 【分析】（1）根据"小方格的对角线长为大正方形的面积的算术平方根"，据此即可求解； （2）根据图2中小正方形的对角线长为，得到原点与点M之间的距离，进而可求出点M所表示的数； （3）①根据正方形的面积为5，得到其边长为，据此即可画出正方形； ②以数字-1所在的点为圆心，长方形的对角线为半径画弧，与数轴交于C，在数轴上表示出的点即可. / 学科网（北京）股份有限公司 $$