（同步讲练篇）第三单元 （长方体和正方体的体积、体积容积单位及进率·6大考点+2拓展考点）-2024-2025学年度五年级数学下册同步高效学习讲练手册（人教版）

2025学年五年级数学下册同步高效学习讲练手册 ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 温馨提示：在资料整理过程中，因为个人知识结构与认知视角所限，融入了部分主观见解，可能致使资料出现一些错漏之处，因此造成的困扰也敬请谅解！ 2024-2025学年度五年级数学下册同步讲练篇 第三单元 长方体和正方体 （长方体和正方体的体积、体积容积单位及进率） 【考点1】长方体体积的概念 3 【考点2】长方体体积的计算 4 【考点3】正方体体积的概念与计算 5 【考点4】体积单位的换算 6 【考点5】长方体和正方体体积在实际问题中的应用 7 【考点6】长方体和正方体切割或拼接后的体积变化 8 【拓展考点1】不规则物体体积的计算（排水法） 10 【拓展考点2】长方体和正方体体积的综合应用（涉及多种形状组合或复杂情境） 11 【考点1】长方体体积的概念 【思路点拨】长方体所占空间的大小就是长方体的体积。可以通过用若干个相同的小正方体摆成长方体，观察小正方体的数量与长方体体积的关系，来理解长方体体积的概念。例如，用 12 个棱长为 1 厘米的小正方体摆成不同形状的长方体，无论怎么摆，小正方体的总数不变，长方体的体积也不变，都是 12 立方厘米。 ： 如下图所示，小球的体积是( )立方厘米，大球的体积是( )立方厘米。 1．比较图中物体的体积，在（    ）中填“＞”或“＜”。 (1)图1中，两杯水的体积比较：甲( )乙。 (2)图2中，两块石头的体积比较：甲( )乙。 (3)图3中，两个立体图形的体积比较：甲( )乙。 2．物体都占据一定的空间，物体大的占据的空间( )，物体小的占据的空间( )，物体占据空间的大小叫做物体的( )。 3．下图是由棱长1cm的小正方体拼成的立体图形，从上面和前面看到的形状相同。这个几何体的体积是( )cm3，表面积是( )cm2。 【考点2】长方体体积的计算 【思路点拨】长方体的体积 = 长 × 宽 × 高，用字母表示为V = a×b×h（V表示体积，a表示长，b表示宽，h表示高）。在计算时，要注意长、宽、高的单位需统一。 ： 计算下面长方体的表面积和体积。（单位：分米） 1．计算下面长方体的表面积和体积。（单位：dm） 2．如图所示是一个长方体的展开图，求这个长方体的表面积和体积。 3．计算下面长方体的体积。 【考点3】正方体体积的概念与计算 【思路点拨】正方体所占空间的大小就是正方体的体积。正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高都相等时，就变成了正方体。正方体的体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长，用字母表示为V = a³（a表示正方体的棱长）。 ： 计算下面正方体的表面积和体积。（单位：厘米） 1．计算如图图形的表面积和体积。 2．求下图中正方体的表面积和体积。（单位：厘米） 3．求下面图形的表面积和体积。（单位：分米） 【考点4】体积单位的换算 【思路点拨】常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。1立方米 = 1000立方分米，1立方分米 = 1000立方厘米。在进行单位换算时，大单位换算成小单位要乘以进率，小单位换算成大单位要除以进率。 ： 8立方米＝( )立方分米      2800立方厘米＝( )立方分米 1．15秒＝( )分    3.85m3＝( )dm3 2．560dm3＝( )m3                                     2吨500千克＝( )吨 3．0.6立方米＝( )立方分米     2小时15分＝( )小时 【考点5】长方体和正方体体积在实际问题中的应用 【思路点拨】在实际生活中，很多问题会用到长方体和正方体的体积知识，如计算物体的容积、材料的用量、物体的重量等。在解决这类问题时，要根据题目中的条件，准确选择合适的体积公式进行计算，同时注意单位的换算和实际情况的分析。 ： 家具厂订购1000根方木，每根方木横截面的面积是2.4平方分米，长是30分米。这些方木一共是多少立方米？ 1．老师想带一个长55厘米、宽20厘米、体积88立方分米的行李箱，乘坐某公司航班。老师所带的行李箱尺寸超出规定了吗？请列式计算说明理由。 2．一个长50厘米、宽30厘米、高40厘米的鱼缸中盛有37.5升水，放入几条金鱼后，水面上升了1厘米。这几条金鱼的体积是多少立方分米？ 3．青岛港是中国北方第一大港，也是东北亚国际航运枢纽中心，每天都有成千上万个集装箱在港口装卸。某个装满货物的集装箱为长方体形状，长10米，宽8米，高4米。如果每立方分米货物重0.3千克，这一箱货物有多少吨？ 【考点6】长方体和正方体切割或拼接后的体积变化 【思路点拨】把长方体或正方体切割时，体积不变，但切割后增加了新的面；将几个长方体或正方体拼接时，体积同样不变，但拼接处的面会重合。在解决这类问题时，要明确体积不变这一关键，再根据切割或拼接的方式分析面的变化情况，有时可能还需要结合表面积的知识进行综合考虑 。 ： 芳芳准备把两个长是40厘米、宽为20厘米、高是25厘米的长方体礼品盒（如图）叠在一起，再用彩纸包装好。 （1）包装后的大长方体礼物体积是多少立方分米？（厚度忽略不计） （2）怎样叠放最节省包装纸？此时的表面积与原来两个长方体表面积之和相比减少了多少平方分米？ 1．把一块长3米的长方体木材，锯成完全相同的两块小长方体。（如下图）表面积增加了40平方分米。这根木材原来的体积是多少立方米？ 2．将长5米的长方体木料，如下图切割分成5段后，表面积增加38.4平方分米。这个长方体木料的一个侧面的面积是多少平方分米？原来这根木料体积是多少立方分米？ 3．一个长方体，若长增加4分米，宽和高都不变，则体积增加60立方分米；若宽减少3分米，长和高都不变，则体积减少72立方分米；若高增加2分米，长和宽都不变，则体积增加80立方分米。原来长方体的表面积是多少平方分米？ 【拓展考点1】不规则物体体积的计算（排水法） 【思路点拨】对于形状不规则的物体，不能直接用公式计算体积。可以利用排水法来测量其体积，即把不规则物体放入盛水的容器中（物体要完全浸没在水中），上升的水的体积就是不规则物体的体积。如果容器是长方体或正方体，上升的水的体积 = 容器的底面积 × 水面上升的高度。 ： 一个长方体无盖的玻璃鱼缸（如图）。从鱼缸里面量得长60厘米，宽45厘米，高40厘米。把水草和小鱼放入鱼缸后现在的水面高度是35厘米，如果再放入体积10立方分米的石块，水会溢出来吗？请说明理由。 1．一个长方体水箱，从里面量，长是40厘米，宽是35厘米，水箱中浸没一个钢球（水未溢出），水深15厘米。取出钢球后，水深12厘米。如果每立方分米钢重7.8千克，这个钢球重多少千克？ 2．如图，一个长方体无水鱼缸中放着一块高是20厘米，体积为4000立方厘米的假山石。如果水管以每分钟4立方分米的流量向鱼缸中注水，至少要多长时间才能将假山石完全淹没？    3．机场托运的行李一般不超过如图所示的规格。张叔叔的行李是0.27立方米的长方体包装箱，底面的长是60厘米，宽是45厘米。这个包装箱符合机场托运的一般规格吗？ 【拓展考点2】长方体和正方体体积的综合应用（涉及多种形状组合或复杂情境） 【思路点拨】在一些复杂的实际问题或几何问题中，会涉及长方体和正方体体积的综合运用，可能还会与其他几何知识相结合。解决这类问题时，要仔细分析题目中的条件和图形结构，将复杂问题分解成多个简单问题，逐步求解。 ： 下面是由长方体和正方体组合而成的图形，长方体的长，宽，高分别是15厘米，8厘米，10厘米；上面正方体的棱长是7厘米，计算组合图形的表面积和体积。 1．下图是由棱长为1厘米的小正方体拼摆而成的，这个拼摆而成的立体图形的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？在这个立体图形上至少再摆上几个小正方体后就可以拼摆成一个较大的正方体？ 2．高铝砖是一种新型材料烧制成的建筑材料，具有耐高温的优点，经常用于高温窑炉内衬和作为装饰材料等。下面是某公司生产的一种高铝砖的样式图。这样一块高铝砖的体积是多少立方厘米？ 3．下图是两个小正方体和一个长方体，请计算出它的体积和表面积分别是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年五年级数学下册同步高效学习讲练手册 ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 温馨提示：在资料整理过程中，因为个人知识结构与认知视角所限，融入了部分主观见解，可能致使资料出现一些错漏之处，因此造成的困扰也敬请谅解！ 2024-2025学年度五年级数学下册同步讲练篇 第三单元 长方体和正方体 （长方体和正方体的体积、体积容积单位及进率） 【考点1】长方体体积的概念 3 【考点2】长方体体积的计算 5 【考点3】正方体体积的概念与计算 7 【考点4】体积单位的换算 10 【考点5】长方体和正方体体积在实际问题中的应用 11 【考点6】长方体和正方体切割或拼接后的体积变化 13 【拓展考点1】不规则物体体积的计算（排水法） 16 【拓展考点2】长方体和正方体体积的综合应用（涉及多种形状组合或复杂情境） 19 【考点1】长方体体积的概念 【思路点拨】长方体所占空间的大小就是长方体的体积。可以通过用若干个相同的小正方体摆成长方体，观察小正方体的数量与长方体体积的关系，来理解长方体体积的概念。例如，用 12 个棱长为 1 厘米的小正方体摆成不同形状的长方体，无论怎么摆，小正方体的总数不变，长方体的体积也不变，都是 12 立方厘米。 ： 如下图所示，小球的体积是( )立方厘米，大球的体积是( )立方厘米。 答案： 2 5 分析：先看第2个图可知，放入1个大球和1个小球后水溢出了7立方厘米，因为溢出水的体积就是放入球的体积，所以1个大球和1个小球的体积和是7立方厘米；再看第3个图可知，放入了1个大球和4个小球后水溢出了13立方厘米，因为溢出水的体积就是放入球的体积，所以1个大球和4个小球的体积和是13立方厘米，那么3个小球的体积就是（13－7）立方厘米，再用除法求出1个小球的体积，最后用7立方厘米减去1个小球的体积求出1个大球的体积。 详解：13－7＝6（立方厘米） 6÷（4－1） ＝6÷3 ＝2（立方厘米） 7－2＝5（立方厘米） 小球的体积是2立方厘米，大球的体积是5立方厘米。 点睛：解题的关键是分析出溢出水的体积就是放入球的体积。 1．比较图中物体的体积，在（    ）中填“＞”或“＜”。 (1)图1中，两杯水的体积比较：甲( )乙。 (2)图2中，两块石头的体积比较：甲( )乙。 (3)图3中，两个立体图形的体积比较：甲( )乙。 答案：(1)＞ (2)＜ (3)＜ 分析：（1）体积是指物体所占空间的大小，用目测法，哪杯水多，那杯水的体积大； （2）用目测法，哪个石块大，那个石块的体积就大； （3）都是用一样大小的小正方体拼成，分别数出小正方体的个数，用小正方体多的立体图形体积大。 详解：（1）图1中，两杯水的体积比较：甲杯水多，甲杯水体积大，甲＞乙。 （2）图2中，两块石头的体积比较：乙石块大，乙石块体积大，甲＜乙。 （3）图3中，两个立体图形的体积比较：甲由7个小正方体组成，乙由9个小正方体组成，7＜9，甲＜乙。 2．物体都占据一定的空间，物体大的占据的空间( )，物体小的占据的空间( )，物体占据空间的大小叫做物体的( )。 答案： 大 小 体积 分析：物体所占空间的大小叫做物体的体积。如：一台冰箱比一个电饭煲大，所以冰箱占据的空间大，电饭煲占据的空间小。 详解：物体都占据一定的空间，物体大的占据的空间大，物体小的占据的空间小，物体占据空间的大小叫做物体的体积。 3．下图是由棱长1cm的小正方体拼成的立体图形，从上面和前面看到的形状相同。这个几何体的体积是( )cm3，表面积是( )cm2。 答案： 10 32 分析：先根据公式正方体体积＝棱长×棱长×棱长求出1个正方体体积，由图可知这个几何体第一层有4个，第二层有6个，一共有10个小正方体，所以体积是10cm³；由图可知，这个几何体前面有6个面，后面有6个面，上面有6个面，下面有6个面，左面有4个面，右面有4个面，一共有32个面，用公式正方形的面积=棱长×棱长求出1个面的面积，所以表面积是32cm²。 详解：1×1×1＝1（cm³） 1×（4＋6）＝1×10＝10（cm³） 1×1×（6＋6＋6＋6＋4＋4）＝1×32＝32（cm²） 【考点2】长方体体积的计算 【思路点拨】长方体的体积 = 长 × 宽 × 高，用字母表示为V = a×b×h（V表示体积，a表示长，b表示宽，h表示高）。在计算时，要注意长、宽、高的单位需统一。 ： 计算下面长方体的表面积和体积。（单位：分米） 答案：88平方分米；32立方分米 分析：长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，把图中数据代入公式计算，据此解答。 详解：（8×4＋8×1＋4×1）×2 ＝（32＋8＋4）×2 ＝44×2 ＝88（平方分米） 8×4×1＝32（立方分米） 所以，长方体的表面积是88平方分米，体积是32立方分米。 1．计算下面长方体的表面积和体积。（单位：dm） 答案：表面积是152dm2，体积是96dm3 分析：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，据此代入数据计算。 详解：表面积：（8×6＋8×2＋6×2）×2 ＝（48＋16＋12）×2 ＝76×2 ＝152（dm2） 体积：8×6×2＝96（dm3） 则长方体的表面积是152dm2，体积是96dm3。 2．如图所示是一个长方体的展开图，求这个长方体的表面积和体积。 答案：306cm2；270cm3 分析：观察长方体展开图，长方体的长是15cm，宽是6cm，高是（9－6）cm，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。 详解：9－6＝3（cm） 表面积： （15×6＋15×3＋6×3）×2 ＝（90＋45＋18）×2 ＝153×2 ＝306（cm2） 体积： 15×6×3 ＝90×3 ＝270（cm3） 这个长方形的表面积是306cm2，体积是270cm3。 3．计算下面长方体的体积。 答案：90cm3 分析：根据长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。 详解：3×3×10＝90（cm3） 长方体的体积是90cm3。 【考点3】正方体体积的概念与计算 【思路点拨】正方体所占空间的大小就是正方体的体积。正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高都相等时，就变成了正方体。正方体的体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长，用字母表示为V = a³（a表示正方体的棱长）。 ： 计算下面正方体的表面积和体积。（单位：厘米） 答案：294平方厘米；343立方厘米 分析：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，把图中数据代入公式计算，据此解答。 详解：7×7×6 ＝49×6 ＝294（平方厘米） 7×7×7 ＝49×7 ＝343（立方厘米） 所以，正方体的表面积是294平方厘米，体积是343立方厘米。 1．计算如图图形的表面积和体积。 答案：328平方分米；336立方分米 分析：根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，先算出正方体和长方体的表面积再加起来，再减去长方体和正方体相连那里的两个正方形的面积，算出来就是这个图形的表面积。 根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，算出正方体和长方体的体积再相加，就可以求出这个图形的体积。据此解答。 详解：表面积： 6×6×6＝216（平方分米） （2×6＋2×10＋6×10）×2 ＝（12＋20＋60）×2 ＝92×2 ＝184（平方分米） 6×6×2＝72（平方分米） 216＋184－72＝328（平方分米） 体积： 6×6×6＋2×6×10 ＝216＋120 ＝336（立方分米） 2．求下图中正方体的表面积和体积。（单位：厘米） 答案：表面积：384平方厘米；体积：512立方厘米 分析：本题考查正方体的表面积和体积计算公式。 由于正方体每个面都相等，所以：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，用字母表示：；因为正方体是长、宽、高都相等的正方体，所以：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用字母表示：。根据对应公式代入解答即可。 详解：正方体表面积：8×8×6＝384（平方厘米） 正方体的体积：8×8×8＝512（立方厘米） 所以，图中正方体的表面积为384平方厘米，体积为512立方厘米。 3．求下面图形的表面积和体积。（单位：分米） 答案：表面积124平方分米；体积75立方分米。 分析：图形由一个棱长3分米的正方体和一个长6分米、宽4分米、高2分米的长方体叠加而成，图形的表面积是被遮挡了2个正方体的面，即长方体表面积＋正方体的4个面面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此计算出图形表面积；图形体积＝长方体体积＋正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此计算得出答案。 详解：图形表面积为： （平方分米） 体积为： （立方分米） 【考点4】体积单位的换算 【思路点拨】常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。1立方米 = 1000立方分米，1立方分米 = 1000立方厘米。在进行单位换算时，大单位换算成小单位要乘以进率，小单位换算成大单位要除以进率。 ： 8立方米＝( )立方分米      2800立方厘米＝( )立方分米 答案： 8000 2.8 分析：①1立方米＝1000立方分米，高级单位换算成低级单位，乘进率； ②1立方分米＝1000立方厘米，低级单位换算成高级单位，除以进率。 详解：①8×1000＝8000（立方分米） ②2800÷1000＝2.8（立方分米） 点睛：本题主要考查单位之间的换算，低级单位变高级单位除以进率，高级单位变低级单位乘进率。 1．15秒＝( )分    3.85m3＝( )dm3 答案： 0.25 3850 分析：1分＝60秒；1m3＝1000dm3；高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率，据此解答。 详解：15秒＝15÷60＝0.25分 3.85m3＝3.85×1000＝3850dm3 2．560dm3＝( )m3                                     2吨500千克＝( )吨 答案： 0.56 2.5 分析：1m3＝1000dm3，1吨＝1000千克，高级单位化成低级单位乘单位间的进率，低级单位化成高级单位除以单位间的进率；一个数除以10、100、1000……相当于小数点向左移动一位、两位、三位……，反之，一个数乘10、100、1000……相当于小数点向右移动一位、两位、三位……，据此解答。 详解：560dm3＝560÷1000＝0.56m3 500千克＝500÷1000＝0.5吨 2吨500千克＝2吨＋0.5吨＝2.5吨 560dm3＝0.56m3                                      2吨500千克＝2.5吨 3．0.6立方米＝( )立方分米     2小时15分＝( )小时 答案： 600 2.25 分析：根据1立方米＝1000立方分米，1时＝60分，单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率。复名数换单名数，单位相同的不用换，单位不同的先统一单位，再加上之前没换单位部分的数。 详解：立方米化为立方分米要乘1000， 0.6立方米＝600立方分米 分化为小时要除以60， 15分＝0.25小时 2小时15分＝2.25小时 【考点5】长方体和正方体体积在实际问题中的应用 【思路点拨】在实际生活中，很多问题会用到长方体和正方体的体积知识，如计算物体的容积、材料的用量、物体的重量等。在解决这类问题时，要根据题目中的条件，准确选择合适的体积公式进行计算，同时注意单位的换算和实际情况的分析。 ： 家具厂订购1000根方木，每根方木横截面的面积是2.4平方分米，长是30分米。这些方木一共是多少立方米？ 答案：72立方米 分析：横截面的面积看成长方体的底面积，长看成是高，根据长方体的体积公式：，代入数的计算，得到每根方木的体积，再乘1000，最后根据1立方米＝1000立方分米，低级单位化为高级单位除以进率，即可得解。 详解： （立方分米） （立方米） 答：这些方木一共是72立方米。 1．老师想带一个长55厘米、宽20厘米、体积88立方分米的行李箱，乘坐某公司航班。老师所带的行李箱尺寸超出规定了吗？请列式计算说明理由。 答案：没有 分析：已知一个行李箱长55厘米、宽20厘米、体积88立方分米，先根据进率“1立方分米＝1000立方厘米”换算单位，再根据长方体的高＝体积÷（长×宽），求出行李箱的高； 已知航空托运行李箱的尺寸规定：A＋B＋C小于或等于158厘米，按此规定，把行李箱的长、宽、高相加，和≤158厘米，所带的行李箱就没有超出规定；反之，和＞158厘米，就超出规定。 详解：88立方分米＝88000立方厘米 88000÷（55×20） ＝88000÷1100 ＝80（厘米） 55＋20＋80＝155（厘米） 155＜158 答：老师所带的行李箱尺寸没有超出规定。 2．一个长50厘米、宽30厘米、高40厘米的鱼缸中盛有37.5升水，放入几条金鱼后，水面上升了1厘米。这几条金鱼的体积是多少立方分米？ 答案：1.5立方分米 分析：根据题意，装有水的鱼缸中放入几条金鱼后水面上升了1厘米，那么这几条金鱼的体积等于水上升部分的体积；水上升部分是一个长50厘米、宽30厘米、高1厘米的长方体，根据“长方体的体积＝长×宽×高”，以及进率“1立方分米＝1000立方厘米”，即可求出这几条金鱼的体积。 详解：50×30×1＝1500（立方厘米） 1500立方厘米＝1.5立方分米 答：这几条金鱼的体积是1.5立方分米。 3．青岛港是中国北方第一大港，也是东北亚国际航运枢纽中心，每天都有成千上万个集装箱在港口装卸。某个装满货物的集装箱为长方体形状，长10米，宽8米，高4米。如果每立方分米货物重0.3千克，这一箱货物有多少吨？ 答案：96吨 分析：已知集装箱是一个长10米、宽8米、高4米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，以及进率“1立方米＝1000立方分米”，求出集装箱的体积；再用每立方分米货物的重量乘集装箱的体积，即是这一箱货物的重量。 详解：10×8×4＝320（立方米） 320立方米＝320000立方分米 320000×0.3＝96000（千克） 96000千克＝96吨 答：这一箱货物有96吨。 【考点6】长方体和正方体切割或拼接后的体积变化 【思路点拨】把长方体或正方体切割时，体积不变，但切割后增加了新的面；将几个长方体或正方体拼接时，体积同样不变，但拼接处的面会重合。在解决这类问题时，要明确体积不变这一关键，再根据切割或拼接的方式分析面的变化情况，有时可能还需要结合表面积的知识进行综合考虑 。 ： 芳芳准备把两个长是40厘米、宽为20厘米、高是25厘米的长方体礼品盒（如图）叠在一起，再用彩纸包装好。 （1）包装后的大长方体礼物体积是多少立方分米？（厚度忽略不计） （2）怎样叠放最节省包装纸？此时的表面积与原来两个长方体表面积之和相比减少了多少平方分米？ 答案：（1）40立方分米 （2）把面积是1000平方厘米的面叠放最节省包装纸；20平方分米 分析：（1）体积表示物体所占空间的大小，所以包装好的大长方体礼物体积等于两个长方体的体积和，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出一个长方体的体积，再乘2，即可解答。 （2）重合面的面积最大，叠放最节省包装纸；根据图可知，长是40厘米，宽是25厘米的面的面积是最大的，所以减少了两个长是40厘米，宽是25厘米面的面积，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答，注意单位名数的换算。 详解：（1）40×20×25×2 ＝800×25×2 ＝20000×2 ＝40000（立方厘米） 40000立方厘米＝40立方分米 答：包装后的长方体礼物体积是40立方分米。 （2）40×20＝800（平方厘米） 40×25＝1000（平方厘米） 20×25＝500（平方厘米） 1000＞800＞500；把面积是1000平方厘米的面叠放最节省包装纸。 40×25×2 ＝1000×2 ＝2000（平方厘米） 2000平方厘米＝20平方分米 答：把面积是1000平方厘米的面叠放最节省包装纸，此时的表面积与原来两个长方体表面积之和相比减少了20平方分米。 1．把一块长3米的长方体木材，锯成完全相同的两块小长方体。（如下图）表面积增加了40平方分米。这根木材原来的体积是多少立方米？ 答案：0.6立方米 分析：将左右侧面看作长方体的上下底面，则长3米，即为长方体的高是3米。长方体的体积＝底面积×高＝截面面积×高。锯开后增加的表面积是2个截面的面积。代入数据即可求出长方体体积。 详解：截面面积为40÷2＝20（平方分米） 3米＝30分米 其体积为30×20＝600（立方分米） 600立方分米＝0.6立方米 答：这根木材原来的体积是0.6立方米。 2．将长5米的长方体木料，如下图切割分成5段后，表面积增加38.4平方分米。这个长方体木料的一个侧面的面积是多少平方分米？原来这根木料体积是多少立方分米？ 答案：4.8平方分米；240立方分米 分析：把长方体截成5段后，表面积比原来增加了8个横截面的面积，即38.4平方分米，用增加的面积除以增加的面数，据此求出木料一个侧面的面积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，代入数据求出木料原来的体积。 详解：5米＝50分米 （5－1）×2 ＝4×2 ＝8（面） 38.4÷8＝4.8（平方分米） 4.8×50＝240（立方分米） 答：这个长方体木料的一个侧面的面积是4.8平方分米，原来这根木料体积是240立方分米。 3．一个长方体，若长增加4分米，宽和高都不变，则体积增加60立方分米；若宽减少3分米，长和高都不变，则体积减少72立方分米；若高增加2分米，长和宽都不变，则体积增加80立方分米。原来长方体的表面积是多少平方分米？ 答案：158平方分米 分析：首先根据题意可知，如果长增加4分米，宽和高都不变，它的体积增加60立方分米，根据长方体的体积公式：长×宽×高，用原来的宽乘原来的高再乘增加部分的长就是增加部分的体积，可以求出：宽×高＝60÷4＝15（平方分米） 如果宽减小3分米，长和高都不变，它的体积减少72立方分米，可以求出：长×高＝72÷3＝24（平方分米）﹔ 如果高增加2分米，长和宽都不变，它的体积增加80立方分米，可以求出长×宽＝80÷2＝40（平方分米）； 然后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据进行计算即可解决问题。 详解：由分析可知： 宽×高：60÷4＝15（平方分米） 长×高：72÷3＝24（平方分米） 长×宽：80÷2＝40（平方分米） （15＋24＋40）×2 ＝（39＋40）×2 ＝79×2 ＝158（平方分米） 答：原来长方体的表面积是158平方分米。 【拓展考点1】不规则物体体积的计算（排水法） 【思路点拨】对于形状不规则的物体，不能直接用公式计算体积。可以利用排水法来测量其体积，即把不规则物体放入盛水的容器中（物体要完全浸没在水中），上升的水的体积就是不规则物体的体积。如果容器是长方体或正方体，上升的水的体积 = 容器的底面积 × 水面上升的高度。 ： 一个长方体无盖的玻璃鱼缸（如图）。从鱼缸里面量得长60厘米，宽45厘米，高40厘米。把水草和小鱼放入鱼缸后现在的水面高度是35厘米，如果再放入体积10立方分米的石块，水会溢出来吗？请说明理由。 答案：不会；理由见详解 分析：根据题意，长方体无盖的玻璃鱼缸高40厘米，放入水草和小鱼后水面高度是35厘米，则无水部分的高是（40－35）厘米，根据长方体的体积公式V＝abh，求出鱼缸无水部分的体积，再根据进率“1立方分米＝1000立方厘米”换算单位，最后与石块的体积进行比较，如果大于或等于石块的体积，水不会溢出；反之，水会溢出。 详解：60×45×（40－35） ＝60×45×5 ＝13500（立方厘米） 13500立方厘米＝13.5立方分米 10＜13.5 答：水不会溢出来。理由是鱼缸内无水部分的体积大于石块的体积，所以水不会溢出。 1．一个长方体水箱，从里面量，长是40厘米，宽是35厘米，水箱中浸没一个钢球（水未溢出），水深15厘米。取出钢球后，水深12厘米。如果每立方分米钢重7.8千克，这个钢球重多少千克？ 答案：32.76千克 分析：根据题意，从长40厘米、宽35厘米、水深15厘米的长方体水箱中取出一个完全浸没的钢球，水深变成12厘米，水面下降了（15－12）厘米； 那么水下降部分的体积等于这个钢球的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，求出钢球的体积，并根据进率“1立方分米＝1000立方厘米”换算单位。 然后用每立方分米钢的重量乘钢球的体积，即可求出这个钢球的重量。 详解：40×35×（15－12） ＝40×35×3 ＝1400×3 ＝4200（立方厘米） 4200立方厘米＝4.2立方分米 7.8×4.2＝32.76（千克） 答：这个钢球重32.76千克。 2．如图，一个长方体无水鱼缸中放着一块高是20厘米，体积为4000立方厘米的假山石。如果水管以每分钟4立方分米的流量向鱼缸中注水，至少要多长时间才能将假山石完全淹没？    答案：8分钟 分析：将假山淹没时水的高度和假山的高度相同，算出此时水和假山的总体积，再减去假山的体积就是流入的水的体积；用水的体积除以每分钟流入的水的体积即可求出需要的时间，注意单位是否统一。 详解：60×30×20 ＝1800×20 ＝36000（立方厘米） 36000－4000＝32000（立方厘米） 32000立方厘米＝32立方分米 32÷4＝8（分钟） 答：至少要8分钟才能将假山石完全淹没。 点睛：此题考查对长方体体积的计算，熟练掌握长方体体积公式，找到本题正确的等量关系合理运用是解题的关键。注意单位不同，需要转换。 3．机场托运的行李一般不超过如图所示的规格。张叔叔的行李是0.27立方米的长方体包装箱，底面的长是60厘米，宽是45厘米。这个包装箱符合机场托运的一般规格吗？ 答案：不符合 分析：根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷a÷b，据此求出张叔叔的行李的高，然后与90厘米进行比较，如果行李的高小于或等于90厘米，说明符合机场托运的一般规格，否则就不符合。 详解：0.27立方米＝270000立方厘米 270000÷60÷45 ＝4500÷45 ＝100（厘米） 100＞90 答：这个包装箱不符合机场托运的一般规格。 点睛：此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【拓展考点2】长方体和正方体体积的综合应用（涉及多种形状组合或复杂情境） 【思路点拨】在一些复杂的实际问题或几何问题中，会涉及长方体和正方体体积的综合运用，可能还会与其他几何知识相结合。解决这类问题时，要仔细分析题目中的条件和图形结构，将复杂问题分解成多个简单问题，逐步求解。 ： 下面是由长方体和正方体组合而成的图形，长方体的长，宽，高分别是15厘米，8厘米，10厘米；上面正方体的棱长是7厘米，计算组合图形的表面积和体积。 答案：896平方厘米；1543立方厘米 分析：组合图形的体积是长方体的体积和正方体体积之和，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 组合图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4。 据此代入数据计算。 详解：表面积： ＝（120＋150＋80）×2＋196 ＝350×2＋196 ＝700＋196 （平方厘米） 体积： （立方厘米） 答：组合图形的表面积是896平方厘米和体积是1543立方厘米。 1．下图是由棱长为1厘米的小正方体拼摆而成的，这个拼摆而成的立体图形的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？在这个立体图形上至少再摆上几个小正方体后就可以拼摆成一个较大的正方体？ 答案：26平方厘米；6立方厘米；21个 分析：（1）观察图形可知，从正面看到4个面，从上面看到5个面，从右面看到4个面，则这个立体图形共有（4＋5＋4）×2个面；根据正方体的特征可知，每个面是边长为1厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘正方形的总个数，即可求出这个立体图形的表面积。 （2）根据正方体的体积公式V＝a3，求出1个小正方体的体积，再乘拼摆这个立体图形用到小正方体的个数，即是这个立体图形的体积。 （3）从图中可知，最长的棱上有3个小正方体，那么要拼摆成一个较大的正方体，每条棱上要摆3个小正方体；利用正方体的体积公式，求出这个较大的正方体需要小正方体的个数，再减去已有的小正方体的个数，即是至少还需要小正方体的个数。 详解：（1）（4＋5＋4）×2 ＝13×2 ＝26（个） 表面积：1×1×26＝26（平方厘米） （2）体积：1×1×1×6＝6（立方厘米） （3）3×3×3－6 ＝27－6 ＝21（个） 答：这个拼摆而成的立体图形的表面积是26平方厘米，体积是6立方厘米，在这个立体图形上至少再摆上21个小正方体后就可以拼摆成一个较大的正方体。 2．高铝砖是一种新型材料烧制成的建筑材料，具有耐高温的优点，经常用于高温窑炉内衬和作为装饰材料等。下面是某公司生产的一种高铝砖的样式图。这样一块高铝砖的体积是多少立方厘米？ 答案：156250立方厘米 分析： 观察图形可知，高铝砖的体积＝长为（25＋25＋25）厘米、宽为50厘米、高50厘米的长方体的体积－长为25厘米、宽为50厘米、高为（50－25）厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 详解：（25＋25＋25）×50×50－（50－25）×25×50 ＝75×50×50－25×25×50 ＝187500－31250 ＝156250（立方厘米） 答：这样一块高铝砖的体积是156250立方厘米。 3．下图是两个小正方体和一个长方体，请计算出它的体积和表面积分别是多少？ 答案：39立方厘米： 84平方厘米 分析：由图可知，体积＝长方体体积＋两个小正方体的体积之和；表面积＝长方体表面积＋两个小正方体的侧面积之和，据此解答。 详解：体积： 6×2×2.5＋2×2×2＋1×1×1 ＝30＋8＋1 ＝39（立方厘米） 表面积： （6×2＋6×2.5＋2×2.5）×2＋2×4×2＋1×4×1 ＝（12＋15＋5）×2＋16＋4 ＝64＋16＋4 ＝84（平方厘米） 答：它的体积是39立方厘米，表面积是84平方厘米。 点睛：此题主要考查组合体体积和表面积的计算，体积＝各个几何体体积之和，求表面积时要认真分析图形，找出表面积包括哪些面再解答。 学科网（北京）股份有限公司 $$