精品解析：辽宁省名校联盟2024-2025学年高一下学期3月份联合考试数学试题

辽宁省名校联盟2025年高一3月份联合考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､推考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用绝对值的意义化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：A 2. 已知，那么使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简命题，再利用充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得，即命题， 对于A，是成立的充要条件，A不是； 对于B，是成立的必要不充分条件，B不是； 对于C，是成立的充分不必要条件，C是； 对于D，是成立的不充分不必要条件，D不是. 故选：C 3. 若关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算得解. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 4. 已知平面向量，且，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算及向量共线的坐标表示求出. 【详解】向量，则， 由，得，所以. 故选：A 5. 声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数来表示声强的“声强级数”，即，则“声强级数7”的声强是“声强级数5”的声强的（ ） A 20倍 B. 倍 C. 10倍 D. 100倍 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件求得，再分别求出取7和5时的即可得解. 【详解】由，得，当时，，当时，， ，所以“声强级数7”的声强是“声强级数5”的声强的100倍. 故选：D 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再利用时的函数值判断即可. 【详解】函数中，，即，解得， 函数定义域为，， 函数是偶函数，图象关于轴对称，选项AC不满足； 当时，，选项D不满足，B符合题意. 故选：B 7. 已知函数，且满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数的及单调性，再利用此性质求解不等式. 【详解】依题意，，函数的定义域为， ， 函数是奇函数，函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，又函数在上单调递增， 于函数在上单调递增，因此函数在上单调递增， 不等式， 则，即，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故选：C 8. 设函数且关于方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图象，确定的范围并求出的范围，结合方程的根把目标式表示为的函数，再求出函数值域即可. 【详解】依题意，当时，，当时，为方程， 即的两个根，则， 又当时，，当且仅当时取等号， 作出函数的图象，观察图象知，当且仅当时，方程恰有3个不同的实根， 由，得， ，而当或时，， 因此，所以的取值范围是. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 现有一组数据，则这组数据的众数为7 B. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 C. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为18 D. 若事件相互独立，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】求出众数判断A；利用对立事件的意义判断B；求出方差判断C；利用相互独立事件概率公式计算判断D. 【详解】对于A，数据由小到大排列：，众数为9，A错误； 对于B，连续射击三次，事件“至少两次中靶”包括两次中靶和三次中靶； 事件“至多有一次中靶”包括没有中靶和中靶一次，它们不可能同时发生，但必有一个发生， 因此事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件，B正确； 对于C，数据的方差为2，数据的方差为，C正确； 对于D，事件相互独立，，D错误. 故选：BC 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的值域为 C. 是上的增函数 D. 函数的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数值判断A；求出值域判断B；确定单调性判断C；利用对称性定义判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，，则，函数的值域为，B错误； 对于C，函数在上递增，在上递减，因此是上的增函数，C正确； 对于D，，函数的图象关于点对称，D正确. 故选：ACD 11. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数运算性质得，对于A，直接应用基本不等式即可判断；对于B，由得，有，借助基本不等式判断；对于C，由题意，直接应用基本不等式即可，对于D，将化为，然后利用反比例函数的单调性求解即可. 【详解】对于A，因为正实数满足，所以， 所以，解得，当且仅当， 即时，取到最小值4，故A正确； 对于B，由得， 所以， 当且仅当即时，取到最小值，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以，所以， 当且仅当即时，取到最小值，故C正确； 对于D，，由A选项可知， 由函数在上单调递减可知，， 所以，故D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】化分式不等式为一元二次不等式求解. 【详解】不等式化为：，即，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 13. 如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，将表示为，继而化为，利用三点共线求得，即可求得答案. 【详解】设，由得， 故 ， 由得， 故, 由于三点共线，故，则， 又，故， 所以， 故答案为： 14. 若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，判断的奇偶性和单调性，进而判断的单调性，注意到，利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】因对任意的，且，都有， 则在上单调递减， 又为奇函数及，所以， 则为偶函数，且，故在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，则， 当时，，得，解得或, 故； 当时，，即， 得或，解得或， 综上，不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据构造函数，且判断其单调性和奇偶性，再结合单调性与奇偶性解不等式即可. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数为偶函数. （1）求实数的值，并写出的单调区间（不必证明）； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），单调增区间为，单调减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数为幂函数，可求出m的值，结合函数的单调性即可确定m的取值，进而求得函数单调区间. （2）结合函数的奇偶性以及单调性，将转化为关于x的不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 因为是幂函数， 故，解得或； 当时，，定义域为，满足，函数为偶函数， 当时，，定义域为，函数非奇非偶函数，不符题意； 故，，其单调增区间为，单调减区间为. 【小问2详解】 由（1）知为偶函数，单调增区间为，单调减区间为. 由于，故， 即且，解得或， 即的取值范围为， 16. 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中的值（保留两位小数）以及估计该地区月均用水量的分位数； （2）现在该地区居民中任选2位居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同居民的月均用水量相互独立，求恰有1位居民月均用水量大于分位数的概率； （3）现有4位居民甲、乙、丙、丁，经调查，甲和乙月均用水量大于分位数，丙和丁月均用水量不大于分位数，现从该4人中随机选2人，求所选2人中恰有1人月均用水量大于分位数的概率. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再估算分位数. （2）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式列式计算得解. （3）利用列举法求出古典概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，解得； 数据落在区间的频率为， 数据落在区间的频率和为，则用水量的分位数， 由，解得， 所以，估计该地区月均用水量的分位数为. 【小问2详解】 设事件表示第位居民月均用水量大于分位数，， 事件表示恰有1位居民月均用水量大于分位数，， 因此， 所以所求概率为. 【小问3详解】 试验的样本空间(甲,乙)，(甲,丙)，(甲,丁)，(乙,丙)，(乙,丁)，(丙,丁)，共6个样本点， 事件表示所选2人中恰有1人月均用水量大于分位数， 则(甲,丙)，(甲,丁)，(乙,丙)，(乙,丁)，共4个样本点， 所以. 17. 已知函数. （1）求关于的一元二次不等式的解集； （2）若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论求解含参数的一元二次不等式. （2）根据给定条件，分离参数，利用基本不等式求出最小值即可. 【小问1详解】 不等式，， 当时，，原不等式无解； 当或时，，原不等式解为； 当或时，，由，解得， 不等式的解为， 所以当时，原不等式的解集为； 当或时，原不等式的解集为； 当或时，原不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，， 而，当且仅当，即时取等号， 由，使得成立，得， 所以实数的取值范围是. 18. 已知函数. （1）证明：曲线是中心对称图形； （2）若，当且仅当时成立. （i）求实数的值； （ii）若是的零点，满足，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）2；（ii）2 【解析】 【分析】（1）根据计算即可证明； （2）（i）根据反比例函数的单调性判断的单调性，确定且满足题意，计算即可求解；（ii）由（i），根据零点的概念可得，根据对数的运算性质和换元法可得（令），进而都是函数的零点，结合零点的存在性定理和的单调性可得，即可求解. 【小问1详解】 由题意，， 得， 所以曲线关于点对称. 【小问2详解】 （i）由，解得，即函数的定义域为. 对于，函数在上单调递减， 所以在上单调递增，故函数在上单调递增. 又，当且仅当时成立，需且， 即，解得. （ii）由（i）得， 因为是的零点，所以，得； 由，得， 令，则，得，即. 即都是方程的解，即都是函数的零点， 又在上单调递增，且， 所以在上有且仅有一个零点，故， 即，所以. 19. 已知函数满足为图象上不同的两点. （1）求函数； （2）若函数的图象经过两点，线段的中点落在直线上，求实数的值； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）3； （3）. 【解析】 【分析】（1）解方程求出. （2）建立方程，利用一元二次方程根的分布列出不等式求解. （3）根据给定条件，列出方程并变形，借助基本不等式求得，再利用不等式的性质求出范围. 【小问1详解】 由，得，即，显然， 所以. 【小问2详解】 依题意，是方程，即的两个根， 令，即是关于的方程的两个正根， 因此，解得， 由线段的中点落在直线上，得，解得， 所以实数的值为3. 【小问3详解】 由（1）知，， 由，得，整理得， 即，化简得，而 于是，令，则，解得， 则，即，因此， 由，得，则，， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省名校联盟2025年高一3月份联合考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､推考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C D. 2. 已知，那么使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C D. 3. 若关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，且，则（ ） A. B. C. D. 3 5. 声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数来表示声强的“声强级数”，即，则“声强级数7”的声强是“声强级数5”的声强的（ ） A. 20倍 B. 倍 C. 10倍 D. 100倍 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，且满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 8. 设函数且关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 现有一组数据，则这组数据的众数为7 B. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 C. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为18 D. 若事件相互独立，，则 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的值域为 C. 是上增函数 D. 函数的图象关于点对称 11. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为__________. 13. 如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为__________. 14. 若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数偶函数. （1）求实数值，并写出的单调区间（不必证明）； （2）若，求的取值范围. 16. 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中的值（保留两位小数）以及估计该地区月均用水量的分位数； （2）现在该地区居民中任选2位居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同居民的月均用水量相互独立，求恰有1位居民月均用水量大于分位数的概率； （3）现有4位居民甲、乙、丙、丁，经调查，甲和乙月均用水量大于分位数，丙和丁月均用水量不大于分位数，现从该4人中随机选2人，求所选2人中恰有1人月均用水量大于分位数的概率. 17. 已知函数. （1）求关于的一元二次不等式的解集； （2）若，使得成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）证明：曲线是中心对称图形； （2）若，当且仅当时成立. （i）求实数的值； （ii）若是的零点，满足，求的值. 19. 已知函数满足为的图象上不同的两点. （1）求函数； （2）若函数的图象经过两点，线段的中点落在直线上，求实数的值； （3）若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$