精品解析：山东省临沂市百师联盟2024-2025学年高三上学期期末联考数学试题

2024－2025学年高三期末联考数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考场号，座位号，准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知点是直线上相异的三点，为直线外一点，且，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 4. 如果圆上恰有两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C D. 5. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，且则的值是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 不能确定符号 8. 已知函数的定义域均是满足，，则下列结论中正确的是（ ） A. 奇函数 B. 为偶函数 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数；去掉的两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（ ） A. B. C. 剩下18个数据的中位数大于原样本数据的中位数 D. 剩下18个数据的分位数不等于原样本数据的分位数 10. 已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ） A. 的图像关于轴对称 B. 不是的一个周期 C. 在区间上单调递减 D. 当时，的值域为 11. 已知，，是函数的三个零点（，），则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若展开式中的系数为9，则a的值为______． 13. 已知数列其前项和为，则______. 14. 点分别为双曲线的左、右焦点，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若为以为底的等腰三角形，则的离心率为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求C； （2）若的面积为，求c． 16. 如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，． （1）证明：平面ABC； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2. （1）求椭圆C方程； （2）设直线AP、BQ的斜率分别为、，且.求证：直线PQ经过定点. 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）若恒成立，求的取值范围. 19. 已知有穷数列，从数列中选取第项，第项，，第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的长度为的子列.规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列，若数列的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列为完全数列.设数列满足. （1）判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明由； 数列①：；数列②：. （2）数列的子列长度为，且为完全数列，证明：的最大值为6； （3）数列子列长度，且为完全数列，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年高三期末联考数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考场号，座位号，准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由共轭复数的定义，结合复数运算可得结果. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数中真数大于0解出集合，再利用交集含义即可得到答案. 【详解】，则. 故选：B. 3. 已知点是直线上相异的三点，为直线外一点，且，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简得，再利用三点共线系数和为1的结论即可得到方程，解出即可. 【详解】，即， 因为点是直线上相异的三点，则点三点共线， 则，解得. 故选：A. 4. 如果圆上恰有两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出到原点距离为的所有点的轨迹，此轨迹表示的曲线与圆有两个交点即可. 【详解】平面内到原点距离为的所有点的轨迹方程为, 设圆的圆心为，则圆上恰有两个点到原点的距离为1, 等价于圆与圆相交，即，. 故选：D. 5. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中定义，结合圆锥的侧面积和体积公式进行求解即可. 【详解】设直角圆角的底面半径为，母线为，高为， 因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形， 所以有， 因为直角圆锥的侧面积为， 所以有，即， 因此， 所以该直角圆锥的体积为， 故选：D 6. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，抛物线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，再由点到直线的距离公式即可求得距离. 【详解】由，得焦点坐标为，又双曲线渐近线方程为， 即，则由点到直线的距离公式得. 故选：A. 7. 已知函数，且则的值是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 不能确定符号 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性单调性得解. 【详解】由题得函数的定义域为. 由题得， 所以函数是奇函数. 因为函数都是增函数， 所以函数也是增函数（增函数+增函数=增函数）. 因为 所以， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：研究函数的问题，经常从研究函数的奇偶性、单调性、周期性和对称性等切入，优化解题. 8. 已知函数的定义域均是满足，，则下列结论中正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】关键是利用恒等式的赋值思想，求出一些常数值，如，，有了这两个值，就可以把原恒等式化为，，这样对函数的研究就具了周期性和轴对称性，从而再作出选项判断. 【详解】令代入得：， 又由，可得，所以的图象不过原点，故A错误； 令代入得：， 再令代入得：， 由上两个式子可得， 再令代入得：， 因为，所以，即，结合上式可知， 令代入可知，， 再令代入得：，可知， 再令代入得：，由上式可知，， 结合，所以， 因为，，所以不可能为偶函数，故B错误； 再令代入得：， 由上式可知， ，故C错误； 再把用代入可得：， 再令代入得：， 从而可知，结合可得， ，故D正确； 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数；去掉的两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（ ） A. B. C. 剩下18个数据的中位数大于原样本数据的中位数 D. 剩下18个数据的分位数不等于原样本数据的分位数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平均数的计算方法判断A；根据方差的计算方法判断B；根据中位数的概念判断C，根据百分位数的计算方法判断D. 【详解】对A：因为，且，所以，故A正确； 对B：设20个数据按从小到大的顺序排列为：，则 ，， 因为， 所以 .故B正确； 对C：剩下18个数据的中位数和原样本数据的中位数均为，是相等的，故C错误； 对D:因为，则剩下18个数据的分位数为；又，所以原样本数据的分位数也是，故D错误. 故选：AB 10. 已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ） A. 的图像关于轴对称 B. 不是的一个周期 C. 在区间上单调递减 D. 当时，的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用奇偶性判断A，利用周期性定义判断B，利用单调性定义判断C，分类讨论去绝对值符号后求得值域后判断D． 【详解】，定义域是全体实数关于原点对称，是偶函数，图象关于轴对称，A正确； ， ，所以不是的一个周期，B正确； ， ，，C错； 时， ， 又，则， 时， ， 又，所以， 综上，时，，D正确． 故选：ABD． 11. 已知，，是函数的三个零点（，），则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】因为函数有三个零点，所以极大值大于0，极小值小于0，可求的取值范围，判断A的真假；再根据零点和极值点的关系，结合零点存在性定理，可以判断B的真假；设，求导，假设，推导该结论成立的可能性，判断C的真假；表示出函数在3个零点出的导数，带入，整理，可判断D的真假. 【详解】因为，又， 由或，由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 因为函数有3个零点，所以，故A成立； 又，所以，且， 所以，故成立，即B成立； 因为函数有3个零点，所以可设， 则， 所以，，， 若有，则. 由B可知，可设，，（，） 则， 由，这与矛盾，所以不成立，故C错误； 因：，故D成立. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：对C选项，因为容易判断ABD是正确的，所以估计C是错误的，第一个想法是令取特殊值，验证C不成立.但是该方法的难点是不知道令取多少才能计算零点，所以该问题采用了类似反证法的思想，先假设C是正确的，看看推导出来的结论有无矛盾即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式中的系数为9，则a的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】由题得，再借助二项式展开式的通项分两种情况讨论得解. 【详解】解：，且展开式的通项， 当时，，此时的系数为. 当时，，此时的系数为. 展开式中的系数为，． 故答案为：1 13. 已知数列其前项和为，则______. 【答案】5000 【解析】 【分析】按奇偶项分类求和． 【详解】由题意. 故答案为：5000. 14. 点分别为双曲线的左、右焦点，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若为以为底的等腰三角形，则的离心率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出图象，结合双曲线的定义及题中条件可得，，，继而根据勾股定理建立方程，解出即可. 【详解】由题可得，如图， 取的中点，连接，则． 设，则， 所以，所以． 因为直线的斜率为，所以． 又，所以， 则， 所以． 在中，， 即，解得， 即双曲线的离心率． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求C； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）先由和余弦定理求得角,再由和正弦定理求得角； （2）由三角形面积公式求得，再由正弦定理得到，联立两方程，计算即得. 【小问1详解】 由和余弦定理可得，，因，故； 又由和正弦定理得，， 即,即得，， 整理得，，因,故； 【小问2详解】 因的面积为，即① 由正弦定理，② 将②式代入①式，整理得，，解得. 16. 如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，． （1）证明：平面ABC； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取BC的中点M，连结MA、，根据等腰三角形性质和线面垂直判定定理得平面，进而由得，再证明平面ABC即可得证. （2）建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于的垂面，从而得出二面角的平面角再进行求解即可. 【小问1详解】 取BC的中点M，连结MA、． 因为，，所以，， 由于AM，平面，且， 因此平面， 因为平面，所以， 又因为，所以， 因为平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC， 因为，所以平面ABC. 【小问2详解】 法一：因为，且，所以． 以AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，． 所以，，． 设平面的法向量为，则，可得， 令，则， 设平面的法向量为，则，可得， 令，则， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 法二：将直三棱柱补成长方体． 连接，过点C作，垂足为P，再过P作，垂足为Q，连接CQ， 因为平面，且平面， 所以， 又因为，由于BD，平面，且， 所以平面，则为直角三角形， 由于平面，所以， 因为，平面CPQ，且，所以平面CPQ， 因为平面CPQ，所以， 则∠CQP为平面与平面的夹角或补角， 在中，由等面积法可得, 因为，所以， 因此平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线AP、BQ的斜率分别为、，且.求证：直线PQ经过定点. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率设，故，根据的最大值可求，故可求椭圆的标准方程. （2）利用“知点求点”可得的坐标（用表示），取，则可证明共线，故可证直线PQ经过定点. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为. 因为离心率为，故，故可设，故. 设，则， 当且仅当时等号成立，故即，故. 故，所以椭圆方程为：. 【小问2详解】 由（1）可得. 直线的方程为， 由可得， 该方程必有一根，故即， 所以，同理，. 取，若，则或， 故，此时直线的方程为：，过定点； 若， 则，， ， 故，故共线，即直线过定点， 综上，直线PQ经过定点. 18. 已知函数. （1）当时，求在处切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）分，和以及四种情况讨论函数的单调性. （3）将问题转化为，令，结合导数求出的最小值即可. 【小问1详解】 当时，，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，由，得或， ①当时，由，得或，由，得， 函数在和上单调递增，在上单调递减； ②当时，由，得或，由，得， 函数在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，由，得，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； ④当时，由，则函数在上单调递增. 所以当时，函数的单调增区间为，减区间为； 当时，函数的单调增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调增区间为，无减区间； 当时，函数的单调增区间为和，减区间为. 【小问3详解】 当时，不等式转化为， 令函数，求导得， 令（），求导得，函数在上单调递减， 且，，则函数在内存在唯一的零点， 当时，，，上单调递减， 当时，，，在上单调递增， 则，又，即， 则，即， 所以，即实数取值范围为. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ①合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； ②构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ③利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ④根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 19. 已知有穷数列，从数列中选取第项，第项，，第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的长度为的子列.规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列，若数列的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列为完全数列.设数列满足. （1）判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明由； 数列①：；数列②：. （2）数列的子列长度为，且为完全数列，证明：的最大值为6； （3）数列的子列长度，且为完全数列，求的最大值. 【答案】（1）数列①不是完全数列，数列②是完全数列，理由见详解 （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意逐项分析判断即可； （2）根据题意利用反证法结合等差数列求和分析说明； （3）根据题意转化为求的各项最小值，结合题意分析运算即可. 【小问1详解】 数列①不是完全数列，数列②是完全数列，理由如下： 数列①：因为，所以数列①不是完全数列； 数列②：因为， ， 即每一子列的所有项的和都不相同，所以数列②是完全数列. 【小问2详解】 假设存在完全数列，其长度为，则， 则长度为的数列的每一子列的所有项的和有个， 设其所有项的和的最小值为，最大值为， 则， 可得， 整理得， 当时，； 当时，； 当时，； 当，则，， 所以； 综上所述：当时，不存在，使得成立. 所以假设不成立，则，且，符合题意， 所以m的最大值为6. 【小问3详解】 因为长度，且为完全数列，且， 可知的最小值为1，的最小值为2，取； 因为，则的最小值为4，取； 因为，则的最小值为8，取； 因为， ， 则的最小值为16，取； 此时均取到对应的最小值，则均取到对应的最大值， 则， 所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：1.对于数列新定义问题，要充分理解题意，根据题意分析运算； 2.对于直接证明比较困难，可以采用反证法，适当放缩运算求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$