第八章《实数》同步单元基础与培优高分必刷卷-2024-2025学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版2024）

第八章《《实数》》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列说法错误的是（    ）． A．4是16的算术平方根 B．是的一个平方根 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根是 【答案】D 【分析】根据算术平方根、平方根的定义判断即可． 【详解】解：A、16的算式平方根，，故该选项的说法正确； B、的平方根是，则是的一个平方根，故该选项的说法正确； C、0的平方根与算术平方根都是0，故该选项的说法正确； D、的平方根是，故该选项的说法错误； 故选：D． 【点睛】此题考查算术平方根、平方根的问题，关键是根据算术平方根、平方根的定义分析． 2．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，平方根，根据算术平方根，立方根，平方根的定义逐一进行化简即可得出答案，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：、，原选项不成立，不符合题意； 、，原选项不成立，不符合题意； 、，原选项不成立，不符合题意； 、，原选项成立，符合题意； 故选：． 3．若则的立方根为（    ） A．4 B．2 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质、求立方根，根据非负数的性质求出，，再求出的值，最后根据立方根的定义计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的立方根为， 故选：C． 4．根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的运算，先求出，再根据流程图代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图，在数轴上，点表示实数，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是实数与数轴，实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解本题的关键．根据数轴可得，再逐一分析各选项的数据即可． 【详解】解：， ， ， ，即， 故A符合题意； ，， ，， 故B，C不符合题意； ， ，故D不符合题意； 故选：A． 6．下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，且，则；③一个数的立方是它本身，则这个数为1或0；④若，则a的倒数小于．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据相反数的概念判断①，注意0的相反数是0；②根据有理数的除法及加法法则判断a，b符号，然后结合绝对值的意义进行化简，从而判断②；根据立方根的概念判断③；根据倒数的概念判断④． 【详解】解：若a、b互为相反数，当时，不成立，故①不符合题意； 若，则a、b同号，又∵，∴，，则，故②符合题意； 一个数的立方是它本身，则这个数为或0，故③不符合题意； 若，则a的倒数为，故④符合题意； 正确的是②④，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查相反数，绝对值的意义，倒数的概念及立方根的概念，掌握相关基本概念是解题关键． 7．在古希腊时期， 有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数 称为黄金分割数． 设 记 则的值为（   ） A． B．99 C．4950 D．5050 【答案】C 【分析】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确推导运算规律是解题的关键．先计算，，的值，找出规律，然后求解即可． 【详解】解：，， ， ∴， ， ， ， 故选：C 8．下面是嘉淇同学做的测试题，他最后的得分是（   ） 姓名：______嘉淇______得分：______ 填空题（评分标准：每道题分） （1）的立方根是； （2）算术平方根等于它本身的数有和； （3）的相反数是； （4）． A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【分析】根据立方根、算术平方根、相反数和绝对值的定义，分别判断嘉琪同学做的四道练习题的正误，即可进行解答． 【详解】解：（1）的立方根是，故（1）不正确，不得分； （2）算术平方根等于它本身的数有和，故（2）正确，得分； （3）的相反数是，故（3）正确，得分； （4），故（4）正确，得分； 综上：一共得（分）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了立方根的定义，算术平方根的定义，相反数的定义和绝对值的定义，熟练掌握相关定义和求立方根，算术平方根，相反数和绝对值的方法是解题的关键． 9．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得; ； ； ； ； ， 故选：A． 10．从，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作）构成一个数组（其中，且将与视为同一个数组），若满足：对于任意的和都有，则S的最大值（　　） A．10 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】找出的值，结合对于任意的和都有，即可得出的最大值． 【详解】∵，，，，，， ∴共有5个不同的值， 又∵对于任意的和都有， ∴的最大值为5， 故选：C． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，找出共有几个不同的值是解题的关键． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知实数的立方根是4，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据立方根的性质得到a=64，求出=8，由此得到答案． 【详解】解：∵a的立方根是4， ∴a=43=64， ∴， ∵8的平方根是， ∴的平方根是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了由一个数的立方根求这个数，求一个数的平方根，熟练掌握立方根定义及平方根定义是解题的关键． 12．如果＝3.873，＝1.225，那么＝ ． 【答案】122.5 【分析】根据算术平方根与被开方数的关系：“被开方数每向左或向右移动4个位数，则它的算术平方根就向左向右移动2个位数”可知答案． 【详解】解：∵1.5×10000=15000， ∴＝100＝122.5， 故答案为：122.5． 【点睛】本题考查了算术平方根与被开方数的关系，关键在于知道它们之间有何关系． 13． ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先进行乘方、去绝对值、求特殊角的三角函数值、二次根式化简，再进行计算，即可求解；掌握，（）是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 故答案：． 14．如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是 【答案】 【分析】将代入程序进行计算即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，，输出， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的计算，掌握求一个数的立方根，算术平方根是解题的关键． 15．观察下列等式： ①3－=（－1）2， ②5－=（－）2， ③7－=（－）2， … 请你根据以上规律，写出第5个等式 ． 【答案】 【分析】观察相同位置的数的变化方式，先得出左边第一项和右边的两个被开方数，再得出左边第二项的被开方数，即可求出答案． 【详解】因为等式左边第一项依次增加2， 所以第5个等式的第一项是11， 因为等式右边的两个被开方数中，后一个数就是该等式的序号数，前一个数比后一个数大1， 所以第5个等式的右边的两个被开方数分别是6和5， 因为等式左边第二项中的被开方数是等式右边两个根式的被开方数的积， 所以这个数是30， 观察其余部分都相同，直接带下来即可， 所以第5个等式是． 故答案为：． 【点睛】此题属于规律探究题，主要考查了数字的变化规律以及每个等式之中的数字之间的关系，要求学生注意观察和推导，考查了学生分析与判断的能力． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．把下列各数分别填在相应的括号内： （相邻两个3之间1的个数依次增加一），． 整数：{           …}； 负数：{           …}； 分数：{           …}； 有理数：{           …}； 正数：{           …}； 无理数：{           …}． 【答案】，，，，{（相邻两个3之间1的个数依次增加一），…}，{（相邻两个3之间1的个数依次增加一）， 【分析】本题考查了实数．熟练掌握实数的分类是解题的关键．根据整数，负数，分数，有理数，整数，无理数的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：， 整数：， 负数：， 分数：， 有理数：， 正数：{（相邻两个3之间1的个数依次增加一），…}， 无理数：{（相邻两个3之间1的个数依次增加一），． 17．已知：和是a的两个不同的平方根，是a的立方根． (1)求x，y，a的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)x=-2，y=1，a=64； (2)1-4x的平方根为． 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数列方程求出x的值，再求出a，然后根据立方根的定义求出y即可； （2）先求出1-4x，再根据平方根的定义解答． 【详解】（1）解：由题意得：（x-6）+（3x+14）=0， 解得，x=-2， 所以，a=（x-6）2=64； 又∵2y+2是a的立方根， ∴2y+2==4， ∴y=1， 即x=-2，y=1，a=64； （2）由（1）知：x=-2， 所以，1-4x=1-4×（-2）=9， 所以，， 即：1-4x的平方根为． 【点睛】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意准确计算． 18．已知的平方根为，的算术平方根为6． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根等知识点，平方根、算术平方根的定义求得a、b的值是解答本题的关键． （1）运用平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先将a、b的值代入求值，然后再根据平方根的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵的平方根为， ∴，解得：， ∵的算术平方根为6， ∴， ∵， ∴． （2）∵，， ∴， 则的平方根为． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）首先化简根式，再进行加减运算，即可求得结果； （2）根据平方根、立方根定义计算即可求出值； （3）首先化简各根式，再进行加减运算，即可求得结果． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 20．已知的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，4 (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据立方根的定义求出的值，根据算术平方根的定义求出的值，利用夹逼法估算的取值范围，即可求出的值； （2）把、、的值代入计算，再求其结果的平方根即可． 【详解】（1）解：的立方根是， ， ， 的算术平方根是3， ， ， ， ， 的整数部分为4， 即； （2）由（1）得，，， ， 的平方根是， 的平方根是． 21．观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根的探索规律，发现所列式子的排列规律是解题的关键； （1）通过观察得出规律，根据规律即可解答； （1）利用规律得出原式为，化简即可． 【详解】（1）根据规律可知， =1+（n为正整数）， 故答案为：1+； （2）由规律可得，原式 ． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 【答案】(1)若，则叫的五次方根 (2) (3)，为任意实数 (4)或 【分析】（1）根据题意，进行作答即可； （2）进行开方运算即可； （3）根据定义，进行计算即可； （4）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根； （2）解：； 故答案为：； （3）解：∵是一个数的四次方， ∴， ∴； ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的五次方， ∴为任意实数． 故答案为：，为任意实数； （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． 23．如图，在数轴上，点为原点，点对应的数分别为，且满足． (1)求点、点在数轴上表示的数； (2)动点从点出发，沿数轴以1个单位/秒的速度匀速向左运动；同时点从点出发，沿数轴以3个单位/秒的速度匀速向左运动，点为的中点，设点的运动时间为秒，请用的式子表示点在数轴上表示的数； (3)在（2）的条件下，当点与点相遇后，点继续向左运动，点掉头向右运动，两点保持原来的速度不变．在点从起点出发后（即不包括起点）的整个运动过程中，仍设点为的中点，若，直接写出点在数轴上对应的数． 【答案】(1)点、点在数轴上表示的数为 (2) (3)或 【分析】本题考查一元一次方程的应用以及数轴上点性质，关键是确定数轴上点所表示的数． （1）根据，可得； （2）根据题意和数轴上两点之间的距离是由较大的数减去较小的数，再根据中点坐标公式求解即可； （3）先求的长度，再分在点左侧和右侧两种情况求，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：根据，可得， 解得， 点、点在数轴上表示的数为 （2）解：点为，点为， 点为的中点， 点表示的数为； （3）解：当点与点相遇时，，解得， 当时，， ①当时，可得，解得，不符合题意 ②当时，可得，解得，符合题意，此时点为； 当时，点为，点为， 则，点表示的数为； ③当时，可得，不成立， ②当时，可得，解得，符合题意，此时点为， 综上，点在数轴上对应的数为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章《《实数》》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列说法错误的是（    ）． A．4是16的算术平方根 B．是的一个平方根 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根是 2．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．若则的立方根为（    ） A．4 B．2 C． D．8 4．根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　） A． B．1 C． D．3 5．如图，在数轴上，点表示实数，则可能是（   ） A． B． C． D． 6．下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，且，则；③一个数的立方是它本身，则这个数为1或0；④若，则a的倒数小于．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．在古希腊时期， 有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数 称为黄金分割数． 设 记 则的值为（   ） A． B．99 C．4950 D．5050 8．下面是嘉淇同学做的测试题，他最后的得分是（   ） 姓名：______嘉淇______得分：______ 填空题（评分标准：每道题分） （1）的立方根是； （2）算术平方根等于它本身的数有和； （3）的相反数是； （4）． A．分 B．分 C．分 D．分 9．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．从，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作）构成一个数组（其中，且将与视为同一个数组），若满足：对于任意的和都有，则S的最大值（　　） A．10 B．6 C．5 D．4 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知实数的立方根是4，则的平方根是 ． 12．如果＝3.873，＝1.225，那么＝ ． 13． ． 14．如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是 15．观察下列等式： ①3－=（－1）2， ②5－=（－）2， ③7－=（－）2， … 请你根据以上规律，写出第5个等式 ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．把下列各数分别填在相应的括号内： （相邻两个3之间1的个数依次增加一），． 整数：{           …}； 负数：{           …}； 分数：{           …}； 有理数：{           …}； 正数：{           …}； 无理数：{           …}． 17．已知：和是a的两个不同的平方根，是a的立方根． (1)求x，y，a的值； (2)求的平方根． 18．已知的平方根为，的算术平方根为6． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．计算： (1)； (2)； (3)． 20．已知的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 21．观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 23．如图，在数轴上，点为原点，点对应的数分别为，且满足． (1)求点、点在数轴上表示的数； (2)动点从点出发，沿数轴以1个单位/秒的速度匀速向左运动；同时点从点出发，沿数轴以3个单位/秒的速度匀速向左运动，点为的中点，设点的运动时间为秒，请用的式子表示点在数轴上表示的数； (3)在（2）的条件下，当点与点相遇后，点继续向左运动，点掉头向右运动，两点保持原来的速度不变．在点从起点出发后（即不包括起点）的整个运动过程中，仍设点为的中点，若，直接写出点在数轴上对应的数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$