精品解析：安徽省铜陵市铜官区2024—2025学年上学期期末考试九年级数学试题

安徽省铜陵市铜官区2024−2025学年上学期期末考试九年级数学试题 注意事项： 1．全卷满分100分，考试时间100分钟． 2．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 3. 如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖xm宽，则根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A在双曲线上，轴于点B，且的面积为2，则k的值为（　　） A. B. C. 2 D. 4 5. 下列函数中，不是二次函数的是（ ） A. B. C. D. ． 6. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到．若，且的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A. B. C. D. 9. 在抛物线上有和三点，若抛物线与轴的交点在正半轴上，则和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，拋物线与轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（每小题3分，满分18分） 11. 已知 ，是方程的两实数根，则的值为____． 12. 已知a、b可以取中任意一个值，则直线的图象不经过第四象限的概率是______． 13. 如图，在等腰中，，的平分线与的中垂线交于点，点沿折叠后与点重合．若，则的度数是_________． 14. 如图，若正方形的顶点和正方形的顶点都在函数的图象上，则点的坐标是______． 15. 如图所示，AB为⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在弧AC上， 点P是O C上一动点，则阴影部分周长的最小值为___________． 16. 如图，将一个含的直角三角板放在平面直角坐标系的第一象限，使直角顶点的坐标为，点在轴上，过点，作抛物线，且点为抛物线的顶点.要使这条抛物线经过点，那么抛物线要沿对称轴向下平移________个单位． 三、解答题（共7大题，满分52分） 17. 解一元二次方程： （1） （2） 18. 已知的两邻边的长是关于的方程的两个实数根． （1）若的长为2，求的值； （2）当为何值时，是菱形？ 19. 为落实国家“双减”政策，市区某中学在课后托管时间里开展了“音乐社团，体育社团，文学社团，美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题 （1）参加问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中的度数为______； （2）根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有______人； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲，请用列表或画树状图的方法，求恰好选择了甲和乙两名同学的概率． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD． （1）求证：是⊙O的切线； （2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长． 22. 如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△COD的面积； （3）直接写出时自变量x的取值范围． 23. 在菱形中，对角线，交于点，，点是直线上一点，将线段绕点顺时针旋转到，连接． （1）当点在线段上时，如图①，求证：．（提示：连接．） （2）当点在线段延长线上时，如图②；当点在线段延长线上时，如图③，请直接写出线段，，的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若，，则__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省铜陵市铜官区2024−2025学年上学期期末考试九年级数学试题 注意事项： 1．全卷满分100分，考试时间100分钟． 2．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键． 2. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此即可得出原方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵在方程中，， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选C． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 3. 如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖xm宽，则根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】6个矩形小块通过平移可以得到一个大的矩形，求出矩形的长和宽，根据面积为即可列出方程． 【详解】解：由题意知，6个矩形小块通过平移可以得到一个大的矩形，长为，宽为， 6个矩形小块的面积和为， ． 故选A． 【点睛】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题的关键是用含x的代数式表示出6个矩形小块合成的大矩形的长和宽． 4. 如图，点A在双曲线上，轴于点B，且的面积为2，则k的值为（　　） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义． 根据反比例函数中k的几何意义得到，再结合图象即可求解． 【详解】解：由条件可知， 解得：， ∵， ∴， 故选：A． 5. 下列函数中，不是二次函数的是（ ） A. B. C. D. ． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的一般形式是常数），并据此对各选项进行分析判断． 分别对每个选项中的函数进行化简，然后根据二次函数的定义判断其是否为二次函数． 【详解】A、函数符合二次函数的一般形式），故它是二次函数，不符合题意； B、函数也符合二次函数的一般形式，它是二次函数，不符合题意； C、函数同样符合二次函数的一般形式，故是二次函数，不符合题意； D、对进行化简，，化简后函数最高次项是一次，不符合二次函数的定义，故它不是二次函数，符合题意；． 故选：D． 6. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半以及圆内接四边形对角互补． 先根据圆周角定理求出的度数，再利用圆内接四边形的性质求出的度数． 【详解】， ． 四边形是的内接四边形 ． ． 故选：D． 7. 如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到．若，且的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、三角形的内角和定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 根据旋转的旋转，可知，，由三角形内角和定理，求得的度数，最后计算，即可解题． 【详解】将绕点A逆时针旋转一定角度，得到， ， ， ． 故选：D． 8. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数． 【详解】解：由题意可得， 20×0.3=6（个）， 即袋子中红球的个数最有可能是6个， 故选：C． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出红球的个数． 9. 在抛物线上有和三点，若抛物线与轴的交点在正半轴上，则和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键． 先将抛物线解析式化为顶点式求出对称轴，再根据抛物线与轴交点位置确定的正负，然后根据点到对称轴的距离结合二次函数的增减性判断的大小． 【详解】解：抛物线的对称牰为，且若抛物线与轴的交点在正半轴上， ， ， ∴当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小，且抛物线上的点离对称轴的水平距离越远，函数值越小， ， 故选B． 10. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，拋物线与轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，图象开口方向判断出，由对称轴得出，抛物线与轴的交点判断，抛物线与轴交点的个数确定． 根据已知条件得到当时，，即，故①正确；根据抛物线的对称轴为直线，即，得到，故②正确；根据已知条件得到方程有两个相等的实数根，得到，故③正确；根据抛物线的开口向下，得到，于是得到直线与抛物线没交点，即可得到一元二次方程没实数根，故④正确． 【详解】∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵与轴的一个交点在点和之间， ∴当时，，即，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，即， 时，， 即，故②正确； ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线与直线有唯一一个交点， 即方程有两个相等的实数根， ∴，故③正确； ∵抛物线的开口向下， ， ∴直线与抛物线没交点， ∴一元二次方程没实数根，故④正确； 综上，①②③④正确． 故选：D． 二、填空题：（每小题3分，满分18分） 11. 已知 ，是方程的两实数根，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 12. 已知a、b可以取中任意一个值，则直线的图象不经过第四象限的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象性质以及概率的计算，解题的关键是先确定a，b的所有可能取值组合，再根据一次函数图象不过第四象限的条件筛选出符合要求的组合，最后根据概率公式计算概率． 先找出a，b所有不同的取值组合情况，再根据一次函数图象不经过第四象限的条件确定满足条件的组合，最后用满足条件的组合数除以总组合数得到概率． 【详解】已知a，b可以取中任意一个值，那么的所有可能组合有列表如下： 1 2 1 2 所以的所有可能组合，，共6种情况， 对于一次函数，当且时，图象不经过第四象限， 满足且的组合有，共2种情况， 可得直线的图象不经过第四象限的概率是． 故答案为：． 13. 如图，在等腰中，，的平分线与的中垂线交于点，点沿折叠后与点重合．若，则的度数是_________． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．由折叠的性质可得，，，可求，由等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可求，由三角形内角和定理可求，即可求的度数． 【详解】解：如图，连接， 点与点恰好重合， ，，， ， ，平分， 是的垂直平分线，， 又是的垂直平分线， 点是的外心， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 14. 如图，若正方形的顶点和正方形的顶点都在函数的图象上，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】在正方形中四边都相等，由反比例的性质可知，即．若假设点E的纵坐标为m，则横坐标为，因为在反比例函数图象上任意一点的横坐标和纵坐标之积都等于比例系数，所以可列方程进行解答． 【详解】解：依据比例系数k的几何意义可得正方形的面积为4， 则其边长为2， 设点E的纵坐标为m，则横坐标为， 则， 解得 (不合题意，舍去)， 故． ∴， 故点E的坐标是． 故答案为． 15. 如图所示，AB为⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在弧AC上， 点P是O C上一动点，则阴影部分周长的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】B是A关于OC的对称点，连接BD则就是AP+PD的最小值．根据已知条件可以知道∠ABD=30°，由于AB是直径，所以∠ADB=90°，解直角三角形求出BD，利用弧长公式求出的长即可． 【详解】解：如图，连接BD，AD，PB． 根据已知得B是A关于OC的对称点， ∴BD就是AP+PD的最小值， ∵，而弧AC的度数是90°的弧， ∴的度数是60°， ∴∠ABD=30°， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， 而AB=2， ∴BD=， ∵=， ∴AP+PD的最小值是， ∴阴影部分的周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 16. 如图，将一个含的直角三角板放在平面直角坐标系的第一象限，使直角顶点的坐标为，点在轴上，过点，作抛物线，且点为抛物线的顶点.要使这条抛物线经过点，那么抛物线要沿对称轴向下平移________个单位． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的图像与性质，求解平移后的抛物线解析式是解题的关键．如图，过作轴于，由抛物线的顶点为，求出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质证明，从而得到的坐标，再写出向下平移个单位后的抛物线的解析式，代入的坐标即可得到答案． 【详解】解：如图，过作轴于， 抛物线的顶点为， 对称轴为：， ， ， 解得：， 抛物线为：，点， ，， ， ， ， ，， ， ，设抛物线向下平移个单位后过点， 过点， ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（共7大题，满分52分） 17. 解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适的求解方法． （1）用配方法求解，将方程转化为完全平方式来求解； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ． 18. 已知的两邻边的长是关于的方程的两个实数根． （1）若的长为2，求的值； （2）当为何值时，是菱形？ 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程根的判别式；熟练根据一元二次方程根的情况列出对应的等式是解题的关键． （1）将代入方程即可解出的值； （2）先根据菱形的性质得到，然后利用一元二次方程根的判别式列等式求解即可． 【小问1详解】 ）解：当时， 将代入方程得： 解得：； 【小问2详解】 ∵是菱形， ∴关于方程有两个相等的实数根， 解得：， 故当时，是菱形． 19. 为落实国家“双减”政策，市区某中学在课后托管时间里开展了“音乐社团，体育社团，文学社团，美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题 （1）参加问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中的度数为______； （2）根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有______人； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲，请用列表或画树状图的方法，求恰好选择了甲和乙两名同学的概率． 【答案】（1）60； （2）100 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率等等，正确读懂统计图是解题的关键． （1）根据B：体育社团的人数和人数占比即可求出参与调查的总人数；文学社团的人数占比即可求出的度数； （2）用600乘以样本中最喜欢“音乐社团”的人数占比即可得到答案； （3）画树状图或列表先得到所有的等可能性的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ， ∴参加问卷调查的学生共有60人，扇形统计图中的度数为， 故答案为：60；； 【小问2详解】 解：（人）， ∴估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有100人， 故答案为：100； 【小问3详解】 解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用A，B，C，D表示，根据题意可画树状图或列表如下： 第2人第1人 A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC 由上图或上表可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，故恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 21. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD． （1）求证：是⊙O的切线； （2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长． 【答案】（1）证明：如下图所示，连接， ∵D是弧BC的中点， 即 ∴∠BAD=∠CAD， ∵OA=OD， ∴∠BAD=∠ODA， ∴∠CAD=∠ODA， ∴OD//AE， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线.； （2）1． 【解析】 【分析】（1）连接OD，由D为弧BC的中点，得到，求得∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO，推出AC∥OD，根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到DE是⊙O的切线； （2）连接OC，易得△AOC是等边三角形，继而证得四边形ACDO是菱形，根据菱形的性质可得CD=AC=2，∠CDE=30°，继而即可求解． 【详解】（1） 略 （2）解：如下图所示，连接OC， ∵∠CDA=30°， ∴∠AOC=2∠CDA=60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴AC＝AO＝OD 由（1）可得，AC∥OD， ∴ 四边形ACDO既是平行四边形，也是菱形， ∴CD=AC=2，∠CDO＝∠CAO＝60°， ∠CDE=90°－60°＝30°， ∵DE⊥AE, ∠CED＝90° ∴CE=1． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边对等角、平行线的判定及其性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定及性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 22. 如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△COD的面积； （3）直接写出时自变量x的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）x＜﹣4或0＜x＜2． 【解析】 【详解】试题分析：（1）把点D的坐标代入利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作DE⊥x轴于E，根据题意求得A的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）联立方程求得C的坐标，然后根据即可求得△COD的面积； （3）根据图象即可求得． 试题解析：∵点D（2，﹣3）在反比例函数的图象上，∴=2×（﹣3）=﹣6，∴；作DE⊥x轴于E，∵D（2，﹣3），点B是线段AD的中点，∴A（﹣2，0），∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在的图象上，∴，解得，，∴； （2）由，解得：，，∴C（﹣4，），∴=； （3）当x＜﹣4或0＜x＜2时，． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 23. 在菱形中，对角线，交于点，，点是直线上一点，将线段绕点顺时针旋转到，连接． （1）当点在线段上时，如图①，求证：．（提示：连接．） （2）当点在线段延长线上时，如图②；当点在线段延长线上时，如图③，请直接写出线段，，的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若，，则__________． 【答案】（1） 证明：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 线段绕点顺时针旋转到， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）图②；图③； （3）3或9 【解析】 【分析】（1）连接，根据四边形是菱形得到，，结合，即可得到是等边三角形，，，根据旋转得到是等边三角形，即可得到，易得，即可得到证明； （2）同（1）可得，即可得到答案； （3）根据菱形得到，结合（1）（2）中是等边三角形，是等边三角形，得到，根据勾股定理即可得到答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 线段绕点顺时针旋转到， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 线段绕点顺时针旋转到， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， 由（1）（2）得， 是等边三角形，是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴或； 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $