8.2 立方根 课件 2024—2025学年人教版七年级数学下册

第八章 实数 8.2 立方根 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 立方根的定义 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 3. 新课导入 5. 知识点2 立方根的性质 9. 拓展与延伸 5. 知识点3 用计算器求立方根 8. 对接中考 2. 知识回顾 1. 了解立方根的概念，并理解立方根的性质. 2. 知道平方根与立方根的联系与区别. 3. 会用根号表示一个数的立方根，能用开立方运算求某些数的立方根 . 4. 学会用计算器计算各数的立方根或立方根的近似值. 学习目标 知识回顾 1. 什么叫做平方根？ 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根. 2. 平方根的性质有哪些？ (1) 正数有两个平方根，两个平方根互为相反数. (2) 0 的平方根还是 0. (3) 负数没有平方根. 新课导入 二阶魔方由几个小立方体构成______ 三阶魔方由几个小立方体构成______ 四阶魔方由几个小立方体构成______ 如果一个魔方由 27 个小立方体构成，它应该是几阶魔方？ 8 27 64 新课讲解 知识点1 立方根的定义 【问题】要做一个体积为27 cm3的正方体模型，它的棱长要取多少？ 正方体的体积公式为：S = a3， 则有 27 = a3， 即a3 = 27. 此时 a 的值为多少呢？ a 新课讲解 【思考】如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少? 因为23=8，所以这个数可以是2. 除2以外，任何一个数的立方都不等于8. 因此，如果一个数的立方等于8，那么这个数是2. 新课讲解 【立方根定义】一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根. 例如，2 是 _____ 的立方根，3 是 _____ 的立方根． 8 27 根指数 被开方数 类似于平方根，一个数 a 的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”. 算术平方根的符号，实际上省略了中的根指数2.因此，也可读作“二次根号a”. 注意：这个根指数3绝对不可省略！ 例如：表示8的立方根，=2；表示-8的立方根，=-2. 新课讲解 27 -27 125 -125 3 -3 5 -5 立方 开立方 类似开平方运算，求一个数的立方根的运算叫做开立方. 1.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算. 2.立方根与开立方的关系：立方根是一个数，是开立方的结果；而开立方是求一个数的立方根的运算 . 新课讲解 例 1. 求下列各数的立方根： (1)－125； (2)2 ； (3)－1. 方法点拨：根据立方根的定义用立方法求解. 解：(1) 因为(－5)3=－125， 所以－125 的立方根是－5，即 =－5. (2) 因为，而 ， 所以的立方根是，即. 如果被开方数为带分数 ，一般先将带分数化为假分数 ，然后再求其立方根. (3)因为(－1)3=－1， 所以－1 的立方根是－1，即3 =－1. 新课讲解 例 2. 已知x－2 的平方根是±2，2x＋y＋7 的立方根是3，求x2＋y2 的算术平方根. 方法点拨：一个数等于它的平方根的平方，等于它的立方根的立方 . 解：∵ x－2 的平方根是±2， ∴ x－2=4. ∴ x=6. ∵ 2x＋y＋7 的立方根是3， ∴ 2x＋y＋7=27. 把x=6 代入解得y=8， ∴ x2＋y2=62＋82=100. ∴ x2＋y2 的算术平方根为10. 新课讲解 练一练 2. 若是5的立方根，则b＝_____，若，则a＝_____. 1. 64的立方根是（ 　　） A．4 B．8 C．±4 D．±8 1 －8 A 新课讲解 知识点2 立方根的性质 【问题1】根据立方根的意义填空. 因为 23 =8，所以 8 的立方根是( )； 因为( )3 =0.064，所以 0.064 的立方根是( )； 因为( )3 ＝0，所以 0 的立方根是( )； 因为( )3 ＝-8，所以 -8 的立方根是( )； 因为( )3 ＝ ，所以 的立方根是( ). 0 2 -2 0 -2 0.4 0.4 注意：立方根是它本身的数有1，-1，0. 立方根的性质： 1.正数的立方根是正数. 2. 0 的立方根是 0. 3.负数的立方根是负数. 通过对这些题目的解答，你能发现什么? 新课讲解 因为 = ， = ， 所以 ； 因为 = ， = ， 所以 . -2 -2 = -3 -3 = 【问题2】 请你再试几个不同的数 a，观察与是否仍相等. 一般地，互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数，即. 利用“”，可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数. 新课讲解 【问题3】 求()³，() ³，() ³，() ³，() ³的值，对于任意数a，() ³等于多少? ()³=0³=0, () ³=2³=8, () ³=(-2)³=-8, () ³=3³=27, () ³=(-3)³=-27 对于任意数a，()³=a 新课讲解 【问题4】 求，，，， 的值.对于任意数a，等于多少? ==, ==2, ==-2, ==-3, ==4 对于任意数a，=a 新课讲解 平方根 立方根 区别 性 质 正数 0 负数 表示方法 被开方数的范围 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 没有平方根 一个，为负数 可以为任何数 非负数 ± 平方根与立方根的区别 联系 运算关系 0 的开方 都与相应的乘方运算互为逆运算. 0 的平方根与立方根都是 0. 3. 关于立方根，下列说法正确的是（　　） A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有0 C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根 新课讲解 例 正数有一个立方根 立方根等于本身的数有-1，0，1 负数有立方根 C 新课讲解 例 4. 求下列各式的值: (1) ； (2)-； (3) . 解：(1) = -=-8； (2) -= =0.1； (3) ==-4. 可以看作：根号内外同时添加“-” 新课讲解 例 5. 已知3和3 互为相反数，且x≠0，y≠0，求 的值. 方法点拨：根据立方根互为相反数，则被开方数互为相反数，建立 x 与 y 之间的关系式求解 . 解：∵ 3和3互为相反数， ∴ 3y－1 和1－2x 互为相反数， ∴(3y－1)＋(1－2x)=0. ∴ 3y=2x. 又∵ x ≠ 0，y ≠ 0， ∴ = . 新课讲解 1. 一个数的立方根具有唯一性，并且与原数的符号相同 . 2. 互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数，即 =- . 利用“=- ”可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数. 3. ()3= =a. 特别提醒 新课讲解 练一练 1.下列说法正确的是 ( ) A. 负数没有立方根 B. 9的立方根是 C. D. 任何正数都有两个立方根，它们互为相反数 B 分析：任何一个数都有唯一的立方根，所以选项A，D不正确，因为33=27，所以，故选项C也不正确，选项B正确. 新课讲解 练一练 2. (1) 已 知 与 相等，则 b 的值为________ . (2) 若非零实数x ， y 满足 + =0，则 = ________. 6 －2 新课讲解 练一练 3. 已知与互为相反数，求2a-3b+3的值. 解：因为与互为相反数， 所以2a+1+1-3b=0， 即2a-3b=-2. 所以2a-3b+3=-2+3=1. 新课讲解 知识点3 用计算器求立方根 很多有理数的立方根是无限不循环小数. 例如， 等都是无限不循环小数. 我们可以用有理数近似地表示它们. 新课讲解 一些计算器设有 键，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值). 按键顺序为：先按 键，再输入被开方数，最后按 = 键. 有些计算器需要用第二功能键求一个数的立方根. 按键顺序为：先按 2nd F 键，再按 键 ，然后输入被开方数，最后按 = 键. 特别警示：不同型号的计算器按键的顺序可能不同，使用计算器时，一定要按说明书操作. 新课讲解 例如：用计算器求，只需依次按键 ②①⑨⑦ ， 显示:13，所以=13. 用计算器求，只需依次按键 ③ 显示的近似值:1.442249570，所以≈1. 442. = = 新课讲解 例 解： (1)依次按键 ， 显示：2.367501744， ∴ ≈2.37. (2)依次按键 ， 显示：-4.890973246， ∴ ≈-4.89. 6. 用计算器求下列各数的立方根(精确到0.01). (1)13.27； (2) -117. 2nd F 3 1 . 2 7 = 1 - 1 7 = 2nd F 新课讲解 =_____， =_____， =_____， =_____， 【探究】用计算器计算…，，，，，…你能发现什么规律？ 0.06 0.6 6 60 被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位. 新课讲解 ≈________， ≈________， ≈_______. ≈______， 用计算器计算(结果保留到小数点后三位)，并利用你发现的规律求 ，，的近似值 4.642 0.464 2 0.046 42 46.42 被开方数的小数点向左或向右移动 3n 位时，立方根的小数点就相应地向左或向右移动 n 位(n 为正整数). 新课讲解 例 7. 已知≈1.038，≈2.237，≈4. 820，求下列各式的值：(1)； (2). 解：(1)1 120是1.12的小数点向右移动3位后的数， 故它的立方根的小数点相应地向右移动1位， 即≈10.38. (2)0.112是112的小数点向左移动3位后的数， 故它的立方根的小数点相应地向左移动1位， 即=-≈-0.482. 新课讲解 例 8. 求下列各式中x的值： (1)x3=； (2)x3+1=-； (3)3(2x+1)3=192. 分析：利用开立方求方程的解，需先将方参程转化为x3=a或(mx+b)3=a的形式，再求x的值. 解：(1)因为x3=，所以x=； (2)因为x3+1=，所以x3=所以，x=； (3)因为3(2x+1)3=192，所以(2x+1)3=64，所以2x+1=4，所以x=. 如果方程中出现了某个整体的立方等于一个常数，那么先利用整体思想求出这个整体的值，再求未知数的值. 新课讲解 利用立方根的定义解方程的一般步骤： 1.将原方程化为x3=a的形式； 2.用立方根的定义，直接开立方求出x的值或先将方程化为一元一次方程，再解所得的一元一次方程，求出x的值. 方法点拨 新课讲解 由立方根的关系求字母的值的思路 一个数有且只有一个立方根 如果两个数的立方根相等,那么这两个数相等, 即若= ，则A=B； 如果两个数的立方根互为相反数,那么这两个数互为相反数, = -则A=-B，利用A+B=0列方程求解. 归纳 新课讲解 练一练 1. 下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间? (1)； (2) ； (3) ； (4) 解：(1)因为1＜7＜8，所以1＜＜2，在1和2之间； (2)因为64＜99＜125，所以4＜＜5，在4和5之间； (3)因为512＜635＜729，所以8＜＜9，在8和9之间； (4)因为-64＜-28＜-27，所以-4＜＜-3，在-4和-3之间. 新课讲解 练一练 2. 求下列各式中的 x： (1)8x3+125=0； (2)3(x － 1)3+81=0. 方法点拨：先将方程转化为 x 3=a 的形式，再利用立方根的定义求解 . 解：(1) 8x3+125=0 ， 8x 3= － 125， x3= － ， x=－ . (2) 3(x － 1) 3+81=0 ， (x－1) 3=－27， x－1=－3， x=－2. 课堂小结 立方根 性质 表示 定义 如果x3=a，那么x叫作a的立方根或三次方根. 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0的立方根是0. 一个数a的立方根记为“”，读作“三次根号a”. 用计算器计算及探索规律 被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位. 当堂小练 1.的立方根是_____. 2 注意： 是64的算术平方根，需要先计算出结果 2. 如果，那么a与b的关系是(　　 ) A．a＝b B．a＝－b C．a＝±b D．不能确定 B 3. 若，则等于(　 　) A．x B．2x C．0 D．－2x D 当堂小练 4. 下列说法中正确的是（　　） A.4 的平方根是 2 B. 平方根是它本身的数只有 0 C. － 8 没有立方根 D. 立方根是它本身的数只有 0 和 1 解析： A.4 的平方根是 ± 2，故错误； B. 平方根是它本身的数只有 0，故正确； C. －8 的立方根是 －2，故错误； D. 立方根是它本身的数是 0，1， －1，故错误 . 故选 B. B 当堂小练 5. 判断下列说法是否正确，并说明理由. (1)的立方根是； (2) 64没有立方根； (3) (1)3的平方根是1； (4) 0的平方根和立方根都是0. 的立方根是 −64的立方根是−4 (−1)3=−1，−1没有平方根 当堂小练 6. 求下列各数的立方根: (1)216； (2)； (3) 133； (4)0.008. 解：(1)因为(6)3=216，所以216的立方根是6，即 =6； (2)因为()3=，所以的立方根是，即； (3)133的立方根是13，即=13； (4)因为(−0.2)3=−0.008，所以−0.008的立方根是−0.2， 即 =−0.2. 当堂小练 7. 求下列各式的值: (1). (2) . 解： (1)＝ ＝. (2) ＝ ＝20. 当被开方数是一个算式时，应先算出这个算式的结果，再进行开立方运算. 当堂小练 8. 求下列各式中 x 的值： (1) (x+2) 3+1=0； (2) (2x+3) 3=54. 解：(1) (x＋2)3＋1＝0， 　 　 (x＋2)3＝－1， 　 　x＋2＝－1， 　 　x＝－3. 当堂小练 9. 如果 为 a － 3b 的算术平方根， 为 1－a2 的立方根，求 2a － 3b 的立方根 . 解： 由题意，得 b+4=2， a+2=3. 所以 b= － 2， a=1. 所以 2a － 3b =8. 所以 = =2. 当堂小练 10. 已知一个正数的两个平方根分别是a－3 和a－11，a＋2b－3 的立方根是2， 求2a＋b 的算术平方根. 解：由题意，得(a－3)＋(a－11)＝0， ∴2a＝14. ∴a＝7. ∵a＋2b－3的立方根是2， ∴a＋2b－3＝23＝8，∴a＋2b＝11. ∴b＝2，∴2a＋b＝16， ∴2a＋b的算术平方根是4. 当堂小练 11. 已知 =1 － a2，求 a 的值 . 方法点拨：解决本题用到了分 类 讨 论 的 数 学 思想，即要根据立方根等于它本身的数有0，1， － 1 进行分类讨论 . 解： 立方根等于它本身的数有 － 1，0，1. 当 1 － a2 = － 1 时，a=± ；当 1 － a2 =0 时， a=± 1； 当 1 － a2 =1 时， a=0. 故 a 的值为 ± 或 ± 1 或 0. 当堂小练 12. 已知一个正数的两个平方根分别为 a 和 (-2a - 5). (1) 求 a 的值，并求这个正数； (2) 求 34 + 2a3 的立方根. 解：(1) 由题意，得 a + (-2a - 5) = 0， 解得 a = -5， ∴ 这个正数为 (-5)2 = 25. (2) 34 + 2a3 = 34 + 2×(-5)3 = -216 ∴ 34 + 2a3 的立方根是 -6. 当堂小练 13. 已知一个正方体的体积是1 000 cm3，现要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使余下的体积是488 cm3，那么截去的每个小正方体的棱长是多少? 分析：根据8个小正方体的体积之和=原体积-剩余体积列方程求解. 解：设截去的每个小正方体的棱长是x cm. 根据题意，得8x3=1 000-488， 即x3=64. 所以x=，即x=4. 答：截去的每个小正方体的棱长是4 cm. 当堂小练 解：33 = 27，43 = 64. 因为 27 < 50 < 64， 14. 比较 3，4， 的大小. 所以 3 < < 4. 当堂小练 15. 的整数部分是____，小数部分是________. 2 23=8<11<27=33 确定立方根的整数部分和小数部分的方法 先找与被开方数最接近的两个能开得尽立方的整数，然后确定立方根的取值范围，再利用取值范围确定其整数部分和小数部分. 对接中考 1. 若用我们数学课本上的科学计算器进行计算，依次按键 ， 对应的计算是（　　） A.23 B.32 C. D. C 对接中考 2. 27 的 立 方 根 为_______. 解析： 本题考查求一个数的立方根，根据立方根的定义解答即可 . 解：∵ 3 3=27， ∴ 27 的立方根是 3. 3 对接中考 3.=_________ 解析：本题考查开立方运算，正确识别开立方的表示方法是解题关键 . 解：∵(－ 2) 3= － 8， ∴ = － 2. － 2 对接中考 4. －0.064 的 立 方 根是（　　） A.－0.4 B.0.4 C.± 0.4 D. 不存在 A 对接中考 5. 正 整 数a， b分 别 满 足 <a< ， <b< ，则ba= (　　) A.4 B.8 C.9 D.16 D 拓展与延伸 1. 已 知 2a－1 的 算 术 平 方 根 是 ，a－5b+1 的立方根是 －2. (1)求 a 与 b 的值； (2)求 2a－b 的立方根 . 拓展与延伸 2. 已知 x- 2 的平方根是 ±2，2x+y+7 的立方根是 3，求x2+y2 的平方根. 解：∵ x-2 的平方根是 ±2，2x+y+7 的立方根是 3， ∴ x-2=4，2x+y+7=27，解得 x=6，y=8， ∴ x2+y2=100， ∴ x2+y2 的平方根为±10. 拓展与延伸 4. 已知一个正方体的体积是 1000 cm3，现在要在它的 8 个角上分别截去 8 个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是 488 cm3，问截去的每个小正方体的棱长是多少？ 解：设截去的每个小正方体的棱长是 x cm. 依题意，得 1000-8x3=488， 8x3=512， x3=64， x=4. 答：截去的每个小正方体的棱长是 4 cm. (2) (2x＋3)3＝54， (2x＋3)3＝216， 2x＋3＝6，　　2x＝3， 　　 x＝. 解：(1) ∵11的算术平方根是， ∴2a－1＝11，解得a＝6. ∵－8的立方根是－2， ∴a－5b＋1＝－8，∴b＝3. (2) ∵a＝6，b＝3， ∴2a－b＝2×6－3＝9， ∴2a－b的立方根是. $$