精品解析：2025年河南省郑州市中考第一次质量检测考前模拟卷（七）

2025年河南省郑州市第一次质量检测考前模拟卷（七） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 龙年春晚分会场，“长沙元素”吸引八方来客，春节假日接待旅游人数万人次，同比增长，其中数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，，则（ ） A. B. C. D. 4. 体育是初三学生中考的第一科，某班50名同学的体育中考成绩数据如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（　　） 分数 43 44 45 46 47 48 49 50 人数 1 2 1 ■ ■ 3 4 30 A. 中位数，众数 B. 中位数，方差 C. 平均数，方差 D. 平均数，众数 5. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，自行车右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是等腰三角形，，．以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线交于点，连接．下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，，反比例函数的图像经过点A，且与BC相交于点D．若的面积为20，则k的值为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 32 8. 如图，为的直径，交于点，点是的中点，连接．若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 有如下结论： ①抛物线开口向上 ②抛物线的对称轴是直线 ③抛物线与y轴交点坐标为 ④由抛物线可知的解集是 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 10. 如图1，在矩形中，点P从点A出发，沿折线向点C匀速运动，过点P作对角线的垂线，交矩形的边于点Q．设点P运动的路程为x，的长为y，其中y关于x的函数图象大致如图2所示，则m的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，小明在距离地面27米的处测得处的俯角为，处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是______米． 12. 传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，长度为米，圆心角，则裙长为______． 13. 幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则m的值为 ___________． 14. 如图，线段与轴平行，点的坐标为，将线段沿着轴水平向左平移到线段，点的对应点的坐标为，反比例函数的图象同时经过点与点．则的值为______． 15. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 16. 计算 （1）计算：． （2）计算：． 四、解答题：本题共7小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 18. 如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． （1）由以上作图可知，与的数量关系是_______ （2）求证： （3）若，，，求的面积． 19. 如图，，是切线，，为切点，连接，，过点作交于点，过点作，垂足为． （1）求证：． （2）若的半径是，，求的长． 20. 如图，是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在网格中画图，画图过程用虚线，画图结果用实线表示． （1）如图1，在上画一点E，使=；过点E作，垂足为F； （2）如图2， D是网格中格点，在线段上找一点，使得平分；在上找点，连接，使． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图像交于点．已知点坐标为，点坐标为． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图像于点．当时，求点的坐标． 22. 爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： （1）【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且，， ∴ ． ∵，， ∴； （2）【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：； （3）【直接应用】如图3所示，在中，，是的平分线，且交于D，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出； （4）【拓展应用】如图4所示，在中，，，，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分（）沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），直接写出剩余部分的面积为 ． 23. 【教材呈现】下图是华师版九上数学校材第103页部分内容． 已知：如图24.2.2，在中，是斜边上的中线．求证：． 证明：延长至点，使，连结． 【定理证明】根据教材提示，结合图①，写出完整演绎推理过程． 【结论应用】如图②，在直角三角形纸片中，，点是斜边的中点，连结．将沿折叠，使点落在点处，此时恰好有．若，则长为______． 【拓展应用】 如图③，在和中，，点为边上一点，连结，若点分别为的中点．当时，的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年河南省郑州市第一次质量检测考前模拟卷（七） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的运算的计算法则，即可求出答案． 【详解】A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是掌握幂的运算的相关计算法则． 2. 龙年春晚分会场，“长沙元素”吸引八方来客，春节假日接待旅游人数万人次，同比增长，其中数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：278.94万， 故选：． 3. 如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平角的定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可求出∠2的度数． 【详解】解：由题意得∠ABC=90°， ∵∠1=40°， ∴∠3=180°-∠1-∠ABC=50°， ∵， ∴∠2=∠3=50°， 故选B． 【点睛】 本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知平行线的性质是解题的关键． 4. 体育是初三学生中考的第一科，某班50名同学的体育中考成绩数据如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（　　） 分数 43 44 45 46 47 48 49 50 人数 1 2 1 ■ ■ 3 4 30 A. 中位数，众数 B. 中位数，方差 C. 平均数，方差 D. 平均数，众数 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握众数和中位数的概念． 根据众数和中位数的定义求解可得． 【详解】解：这组数据中成绩为46、47的人数和为， 则这组数据中出现次数最多的数50，即众数50， 第25、26个数据都是50， 则中位数为50， 故选：． 5. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，自行车右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，三角形内角和定理，过A作，根据三角形内角和定理得到，结合正弦的定义求解即可得到答案 【详解】解：过A作， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，是等腰三角形，，．以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线交于点，连接．下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得出，由三角形内角和定理得出，由作图可得：平分，垂直平分，则，，证明即可判断A；由等腰三角形的判定与性质证明，即可判断B；求出即可判断D；由已知条件不能得出即可判断C，得出答案． 【详解】解：∵是等腰三角形，，， ∴， ∴， 由作图可得：平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴，， ∴，，， ∴，故A正确； ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴，故B正确； ∵垂直平分， ∴，故D正确； 由已知条件不能得出，故C错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、尺规作图—基本作图、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 7. 如图，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，，反比例函数的图像经过点A，且与BC相交于点D．若的面积为20，则k的值为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC，过点A作AE⊥OC于点E，根据菱形的性质可得△AOD的面积=△AOC的面积=20，再根据，可设，然后根据勾股定理可得，继而得到，从而得到△AOE的面积为，即可求解． 【详解】解：如图，连接AC，过点A作AE⊥OC于点E， ∵四边形OACB是菱形， ∴OA=OC，OA∥BC， ∴△AOD的面积=△AOC的面积=20， ∵， 可设， ∴， ∴， ∴， ∴△AOE的面积为， ∵反比例函数的图像经过点A， ∴，解得：， ∵图像位于第一象限内， ∴k=24． 故选：C 【点睛】本题考查了解直角三角形，反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8. 如图，为的直径，交于点，点是的中点，连接．若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．连接，，交于，由圆周角定理可，，可知和均为等边三角形，继而可知，可得，再结合阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：连接，，交于， 点为劣弧的中点， ， ， ， ， ， ∴和均为等边三角形 ， ， ， 则阴影部分的面积， 故选：B． 9. 二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 有如下结论： ①抛物线的开口向上 ②抛物线的对称轴是直线 ③抛物线与y轴的交点坐标为 ④由抛物线可知的解集是 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与不等式的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决． 【详解】解：由表格可知，该函数的对称轴是直线， ∵时，y随x的增大而增大， ∴抛物线的开口向上，故选项①②正确； ∵当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为，故选项③正确； ∵和时，， ∴当，， 的解集是，故选项④正确， 故选：D． 10. 如图1，在矩形中，点P从点A出发，沿折线向点C匀速运动，过点P作对角线的垂线，交矩形的边于点Q．设点P运动的路程为x，的长为y，其中y关于x的函数图象大致如图2所示，则m的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点可得：当时，则，结合图象可得：，当时，重合，当时，重合，可得，如图，当时，重合，记的交点为，则，证明，此时，可得，，从而可得答案． 【详解】解：由点可得：当时，则， 结合图象可得：， 当时，重合，当时，重合， ∴，而， ∴， 如图，当时，重合，记的交点为，则， ∴， ∴，， 此时， ∴，， ∴，即， 故选B 【点睛】本题考查是动态问题的函数图象，解直角三角形的应用，勾股定理的应用，矩形的性质，理解函数图象的含义是解本题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，小明在距离地面27米的处测得处的俯角为，处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用.先解直角三角形，求出的长，证明三角形为等腰直角三角形，得到，据此求解即可. 【详解】解：由题意，得：，，， ∴在中，， ∵斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：. 12. 传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，长度为米，圆心角，则裙长为______． 【答案】米##米 【解析】 【分析】由题意知，，，计算求解的值，然后根据计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， ∴， 故答案为：米或米． 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式．解题的关键在于正确的计算． 13. 幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则m的值为 ___________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设左下角方格中的数是x， ∵每一行、每一列及各条对角线上三个数之和均相等， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． 14. 如图，线段与轴平行，点的坐标为，将线段沿着轴水平向左平移到线段，点的对应点的坐标为，反比例函数的图象同时经过点与点．则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数，平移的性质，坐标与图形，根据线段与轴平行可得点的横坐标为，再结合平移的性质和平移的途径可得，，问题随之得解． 【详解】∵线段与轴平行，点的坐标为， ∴点的横坐标为， ∵线段沿着轴水平向左平移到线段，点对应点的坐标为， ∴线段沿着轴水平向左平移2个单位到线段， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为，点的纵坐标与点A的纵坐标相同为， 即，， ∵反比例函数的图象同时经过点与点， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 【答案】3或 【解析】 【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形． 【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC， 在Rt△ABC中，AB=3，BC=4， ∴AC==5， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=3， ∴CB′=5-3=2， 设BE=x，则EB′=x，CE=4-x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， ∴x2+22=（4-x）2，解得， ∴BE=； ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形， ∴BE=AB=3． 综上所述，BE的长为或3． 故答案为：或3． 【点睛】此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 16. 计算 （1）计算：． （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简； （2）先根据二次根式的乘法、完全平方公式、分母有理化化简，再算加减． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 四、解答题：本题共7小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 【答案】（1）甲 29 （2）甲 （3）乙队员表现更好 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是∶ （1）根据折线统计图的波动判断得分更稳定的球员，根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均每场得分以及得分的稳定性求解即可； （3）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可． 【小问1详解】 解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的得分上下波动幅度， ∴得分更稳定的队员是甲， 乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30， ∴中位数为， 故答案为∶乙，29； 【小问2详解】 解∶ 因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定， 所以甲队员表现更好； 【小问3详解】 解∶甲的综合得分为， 乙的综合得分为， ∵， ∴乙队员表现更好． 18. 如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． （1）由以上作图可知，与的数量关系是_______ （2）求证： （3）若，，，求的面积． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案； （2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明； （3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可． 【小问1详解】 解：由作图可知，为的角平分线 故答案为： 【小问2详解】 证明：四边形为平行四边形 【小问3详解】 解：如图，过点作的垂线交的延长线于点 四边形为平行四边形， ， ， 又 ． 19. 如图，，是的切线，，为切点，连接，，过点作交于点，过点作，垂足为． （1）求证：． （2）若的半径是，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据切线的性质得，，再根据，，得，则四边形是矩形，然后根据矩形的性质可得出结论； （2）设，依题意得，，证明和全等得，然后在中，由勾股定理求出，进而可得的长． 【小问1详解】 证明：，是的切线，，是的半径， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， ； 【小问2详解】 解：设， 四边形是矩形，的半径是，， ，， ， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 20. 如图，是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在网格中画图，画图过程用虚线，画图结果用实线表示． （1）如图1，在上画一点E，使=；过点E作，垂足为F； （2）如图2， D是网格中的格点，在线段上找一点，使得平分；在上找点，连接，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点，，连接交于点，点即为所求，取格点，，连接交于点，作直线即可； （2）取格点，连接，取的中点，连接交于点，点即为所求．取格点，连接，取格点，连接交于点，连接交于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，点，直线即为所求； 【小问2详解】 解：如图，点，点即为所求． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图像交于点．已知点坐标为，点坐标为． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图像于点．当时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）点的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设，则，，根据，得到，解得，据此求出点F的纵坐标，进而求出点F的坐标即可． 【小问1详解】 解：把点代入得，，解得， 反比例函数的表达式为， 把点，点代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设， 平行于轴， ， ， ， ，解得， ， 点的纵坐标为， 把代入得，解得， 点的坐标为． 22. 爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： （1）【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且，， ∴ ． ∵，， ∴； （2）【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：； （3）【直接应用】如图3所示，在中，，是的平分线，且交于D，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出； （4）【拓展应用】如图4所示，在中，，，，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分（）沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），直接写出剩余部分的面积为 ． 【答案】（1） （2）见解析 （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）根据角的平分线性质定理解答即可； （2）过点D作于N，过点D作于M．过点A作于点P．仿照第一问的解答求解即可； （3）利用（1）的结论，求得，设，则，利用勾股定理列式计算即可； （4）先算，后两次运用（1）的结论，依次计算即可． 【小问1详解】 解：∵是角平分线，且，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：过点D作于N，于M．过点A作于点P． ∵是的角平分线， ∴． ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵中，，是的平分线，且交于D， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得（负值舍去）， ∴； 【小问4详解】 解：∵，，， ∴， ∵将先沿的平分线折叠， ∴，，，， ∴，由（1）可得， ∴，， ∴， 同理可求：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角的平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的性质，熟练掌握角的平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 23. 【教材呈现】下图是华师版九上数学校材第103页的部分内容． 已知：如图24.2.2，在中，是斜边上的中线．求证：． 证明：延长至点，使，连结． 【定理证明】根据教材提示，结合图①，写出完整演绎推理过程． 【结论应用】如图②，在直角三角形纸片中，，点是斜边的中点，连结．将沿折叠，使点落在点处，此时恰好有．若，则长为______． 【拓展应用】 如图③，在和中，，点为边上一点，连结，若点分别为的中点．当时，的长为______． 【答案】定理证明：见解析；结论应用：；拓展应用：2 【解析】 【分析】定理证明：证明四边形为矩形，利用矩形的性质，即可得证； 结论应用：设交于点O，根据斜边上的中线的性质和折叠的性质，求出，进而得到，证明为等腰三角形，得到，即可得出结果； 拓展应用：根据题意可证，，， 得到，，则，连接，结合斜边上的中线的性质的，，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：定理证明： 证明：延长到E，使，连接，则， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴； 结论应用：如图中，设交于点O． ∵， ∴， ∴， 由翻折性质可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； 拓展应用：∵，，，， 则，， ∴，， ∴， ∴，，则， 连接， ∵点分别为的中点， ∴，， ∴， 则， 故答案为：2． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定及性质，直线三角形斜边上的中线，等腰三角判定和性质，勾股定理，解直角三角形．准确的添加辅助线，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$