拓展6-1 平面向量的最值与四心问题-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第二册）

拓展6-1 平面向量的最值与四心问题 一、基底法求最值 四、求参数的最值 二、坐标法求最值 五、求模长的最值 三、求数量积的最值 六、四心的向量表示 方法点拨：平面向量求最值范围的常用方法： 1.定义法：先利用数量积的概念及其运算律转化所求问题，再运用基本不等式或二次函数性质求其最值问题 2.基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 3.坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 4.数形结合法：结合条件进行向量关系推导，然后利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹，结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围。 一、基底法求最值 1．如图，在面积为的中，M，N分别为，的中点，点P在上，若，则的最小值是 ．    2．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆(正方形内部，含边界)，则的取值范围为 . 3．等边的边长为2，三角形所在平面内有一动点，满足，则的最小值为 ． 4．、、三点在半径为的圆上运动，且，是圆外一点，，则的最大值是 ． 5．在中，E为边BC中点，若，的外接圆半径为3，则的最大值为 . 二、坐标法求最值 6．在矩形中，.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为（    ）      A． B． C． D． 8．（多选）在直角梯形中，，，，，点P在所在的平面内，满足，若M是的中点，则的取值可能是（    ） A．7 B．10 C．13 D．16 9．是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 10．如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点E为边CD上的动点，则的最小值为 ．    三、求数量积的最值 11．在矩形中，，，，，过M点作交于N点，若E，F分别是和上动点，且，则的最小值为 . 12．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如下图所示其外框是边长为4的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心O，圆O的半径为2，点P在圆O上运动，则的最小值为 . 13．在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国､各地区代表团的91朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF.已知正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的最大值是 14．如图，正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的最小值为 ． 15．在中，，，，P，Q是BC边上的两个动点，且，则的最大值为 ． 四、求参数的最值 16．已知正六边形ABCDEF的边长为1，若点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则的最小值为 ；若点N为线段AE（含端点）上的动点，且满足，则的最大值为 . 17．已知圆的半径为2，圆与正的各边相切，动点在圆上，点满足. (1)求的值； (2)若存在，使得，求的最大值. 18．在△ABC中，已知，，，，Q为线段CA延长线上的一点，且. (1)当且，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长； (2)若，求t的最大值. 19．在矩形中，，，矩形内一点（含边界），满足，若，当取得最大值时， ． 20．在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 五、求模长的最值 21．已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（   ） A．17 B．20 C．34 D．48 22．已知在正三棱锥中，底面正三角形的边长为2，侧棱长为4，向量，满足，，则的最大值为 . 23．已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是 . 24．已知平面向量，，，满足，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 25．在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 ． 六、四心的向量表示 方法点拨：1.重心向量式 设是的重心,为平面内任意一点,则有 ①;② ③若,则动点的轨迹经过三角形的重心 ④若,则动点的轨迹经过三角形的重心 2.垂心向量式 若是的垂心,为平面内任意一点,则有: ①;② ③,则动点的轨迹通过的垂心 3.内心向量式 若是的垂心,则有：① ②,则动点的轨迹经过三角形的内心 4.外心向量式 若是的外心,为平面内任意一点,则 ① ② ③,则动点的轨迹通过外心. ④若 26．已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 27．（多选）在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是（    ） A．若，则点的轨迹不可能经过的外心 B．若，则点的轨迹不可能经过的垂心 C．若，则点的轨迹可能经过的重心 D．若，则点的轨迹可能经过的内心 28．（多选）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，为中点，且，，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 29．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是平面△ABC上一点，且满足abc，则G是△ABC中的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 30．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则△ACO与△CBP面积比为（    ） A．5:6 B．3:4 C．2:3 D．1:2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展6-1 平面向量的最值与四心问题 一、基底法求最值 四、求参数的最值 二、坐标法求最值 五、求模长的最值 三、求数量积的最值 六、四心的向量表示 方法点拨：平面向量求最值范围的常用方法： 1.定义法：先利用数量积的概念及其运算律转化所求问题，再运用基本不等式或二次函数性质求其最值问题 2.基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 3.坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 4.数形结合法：结合条件进行向量关系推导，然后利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹，结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围。 一、基底法求最值 1．如图，在面积为的中，M，N分别为，的中点，点P在上，若，则的最小值是 ．    【答案】3 【详解】取边上的中点Q，设P到的距离为h， 由，所以， ， . （当且仅当，即时等号成立）． 则的最小值为3． 故答案为：3.    2．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆(正方形内部，含边界)，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为正方形的边长为4，取的中点，连接， 当在点或点时，， 当当在弧中点时，， 所以的取值范围为， 由于，，， 所以， 因为，所以，故， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 3．等边的边长为2，三角形所在平面内有一动点，满足，则的最小值为 ． 【答案】．/ 【详解】设的中点为，如图， 则， 因为，所以点在以为圆心，1为半径的圆上， 所以， 所以. 故答案为：． 4．、、三点在半径为的圆上运动，且，是圆外一点，，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】连接，如下图所示： 因为，则为圆的一条直径，故为的中点， 所以，， 所以，， ，当且仅当共线且同向时，等号成立． 故答案为：    5．在中，E为边BC中点，若，的外接圆半径为3，则的最大值为 . 【答案】104 【详解】如图所示： ，， 因为，所以. 因为的外接圆半径为3，所以，当且仅当AE为圆直径时等号成立. 所以， 当且仅当AE为圆直径时等号成立. 故答案为： 二、坐标法求最值 6．在矩形中，.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则 ,设 ， 故 所以 其中， 由于，所以， 故选：B    7．如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设，其中， 则，， ， 当时，有最大值6． 故选：C．    8．（多选）在直角梯形中，，，，，点P在所在的平面内，满足，若M是的中点，则的取值可能是（    ） A．7 B．10 C．13 D．16 【答案】BC 【详解】以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，    则点P在以D为圆心，1为半径的圆上，可设， 由题意知，，则， 所以， 则 ，其中， 所以. 故选：BC. 9．是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】以B为坐标原点，以BC方向为轴正方向，以BA方向为轴正方向建立坐标系，    则，设，，， 则， 因为，则， 则， 故当，时取得最大值为5． 另解：令，则为中点，为中点，则， 所以，当为中点时取等． 故选：C 10．如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点E为边CD上的动点，则的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】连接AC，因为，，， 所以， 又，所以， 所以. 过点B作AD的垂线BF，垂足为F， 易知，在中，， 所以， 以D为原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系， 则 设， 则， ， 当时，有最小值. 故答案为：    三、求数量积的最值 11．在矩形中，，，，，过M点作交于N点，若E，F分别是和上动点，且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由题意，建立平面直角坐标系，如图所示： 过点作，垂足为，则，， 由，，可设，,，则,，由， 所以，,， 所以， 当时，取得最小值为． 故答案为：． 12．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如下图所示其外框是边长为4的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心O，圆O的半径为2，点P在圆O上运动，则的最小值为 . 【答案】 【详解】以该正六边形的中心O为坐标原点，以为轴，建立平面直角坐标系如图所示， 则， 因为点P在半径为2的圆O上运动，所以设， 所以 因此， 当时等号成立，即最小值为. 故答案为：. 13．在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国､各地区代表团的91朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF.已知正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的最大值是 【答案】3 【详解】由已知，正六边中，得， 作，垂足为， 要使最大，必须让， 所以， 如图可知，当在处时，最大，从而最大， 此时， 所以的最大值是3.      故答案为：3. 14．如图，正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图所示： 连接，设，，连接，依题意得，，，， 则， 因为，所以， 所以，所以的最小值为. 故答案为：. 15．在中，，，，P，Q是BC边上的两个动点，且，则的最大值为 ． 【答案】3 【详解】      如图，取中点，连接， ， ， 两式相减得 ， 要使有最大值，则最小， 当时，， 所以的最大值为. 故答案为：3. 四、求参数的最值 16．已知正六边形ABCDEF的边长为1，若点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则的最小值为 ；若点N为线段AE（含端点）上的动点，且满足，则的最大值为 . 【答案】 /-0.5 4 【详解】   如图，由向量数量积的几何意义可知可理解为在上的投影数量与的乘积， 要使最小，需使在上的投影数量最小，由图知，当且仅当点与重合时，投影的数量最小，即， 故；    如上图，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，则,不妨设，则， 则，由代入坐标，即得，， 解得：于是，因，故当且仅当时，的最大值为4. 故答案为： 17．已知圆的半径为2，圆与正的各边相切，动点在圆上，点满足. (1)求的值； (2)若存在，使得，求的最大值. 【答案】(1)51 (2)5 【详解】（1）方法1，由题意知，且， ， ， 为的中点. ， ； 方法2，如图，以点为坐标原点，直线为轴，过点与直线垂直的直线为轴建立直角坐标系，则. 由得，所以. ，设，则 . 则 ； （2）方法1，. ，，. 两边平方得： ，由（1）得，则. （当且仅当时取“=”号），整理得，即的最大值为5； 方法2，由（1） ，又， 则， . 可得. 则， 整理得（当且仅当时等号成立），整理得，解得.所以的最大值为5. 18．在△ABC中，已知，，，，Q为线段CA延长线上的一点，且. (1)当且，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长； (2)若，求t的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为且，所以是的中点，是的中点，则M是的重心， 设， 所以， ； （2）因为，， 所以， ， ， ， 由，得：， 所以，因为，， 所以，， 令，则在单调递减，所以当时，有最大值－3. 19．在矩形中，，，矩形内一点（含边界），满足，若，当取得最大值时， ． 【答案】 【详解】如图建立平面直角坐标系，则， 设， 则 因为，所以，即 又，所以，得 所以 因为，即 所以当且仅当，即时，取得最大值， 所以 故答案为： 20．在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系， 设，则， 当点在上时，设， 则，即，故， 当点在上时，设， 则，即，解得， 故， 当点在上时，设， 则，即，故 综上，的取值范围是. 故选：B 五、求模长的最值 21．已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（   ） A．17 B．20 C．34 D．48 【答案】C 【详解】设是圆的圆心，连接，作，垂足分别为， 则分别是的中点，由勾股定理得， ， ， 故, 当反向时等号成立， 所以的最大值是. 故选：C 【点睛】方法点睛： 解决圆中向量问题，垂径定理是一个重要的工具，通过垂径定理找到弦的中点，将向量与圆心和中点联系起来，便于进行向量的运算和转化. 对于求向量和的模的最值问题，利用向量的线性运算将其转化为已知向量的运算形式，再结合绝对值三角不等式（当且仅当与同向或反向时取等号）来求解，是一种常用的方法. 22．已知在正三棱锥中，底面正三角形的边长为2，侧棱长为4，向量，满足，，则的最大值为 . 【答案】5 【详解】由三棱锥是正三棱锥，可得，且， 由化简得，根据化简得． 设，，代入，，分别化简得且， 因此，点在以为直径的球面上，半径；在以为直径的球面上，半径． 分别取线段、的中点、， 则，故． 故答案为：5． 23．已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】取的中点，则， 又，又因为， 故三点共线，即点在中线上运动， 在正三角形中，， 又，，则， 故. 故答案为： 24．已知平面向量，，，满足，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，设， 则，即，解得， 建立平面直角坐标系，如图所示． 设，，， 则，，，，， 因为，所以， 则， 所以的最大值为． 故选：C． 25．在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】过点作⊥于点， 因为等腰梯形中，， 所以，由勾股定理得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 是腰的中点，故， 所以， 设，，， 则，故，， 故， ， 故 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：， 六、四心的向量表示 方法点拨：1.重心向量式 设是的重心,为平面内任意一点,则有 ①;② ③若,则动点的轨迹经过三角形的重心 ④若,则动点的轨迹经过三角形的重心 2.垂心向量式 若是的垂心,为平面内任意一点,则有: ①;② ③,则动点的轨迹通过的垂心 3.内心向量式 若是的垂心,则有：① ②,则动点的轨迹经过三角形的内心 4.外心向量式 若是的外心,为平面内任意一点,则 ① ② ③,则动点的轨迹通过外心. ④若 26．已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 【答案】A 【详解】因为，即O到各顶点距离相等，所以O为的外心； 取的中点分别为，连接， 则有， 所以三点共线，三点共线，三点共线， 即N为的重心； 由，即，同理， 所以为垂线的交点，故为的垂心. 故选：A 27．（多选）在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是（    ） A．若，则点的轨迹不可能经过的外心 B．若，则点的轨迹不可能经过的垂心 C．若，则点的轨迹可能经过的重心 D．若，则点的轨迹可能经过的内心 【答案】ABC 【详解】若，根据向量共线的推论知：共线，即在直线上， 中，当时，则的中点为三角形外心，故有可能为外心，A错； 若，不妨取 当时, 此时的轨迹经过的垂心，B错； 若为的重心，必有，此时，C错； 若，设为等边三角形，结合， 则点在的中线上，也在的平分线上，的轨迹可能经过的内心，D正确. 故选：ABC 28．（多选）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，为中点，且，，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由是的重心可得， 所以，故A项错误； 过的外心分别作， 的垂线，垂足为，，如图(1)，易知，分别是，的中点，则 ，故B项正确； 因为是的重心，所以有，故， 由欧拉线定理可得，故C项正确： 如图(2)，由于，所以，故D错误． 故选:BC. 29．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是平面△ABC上一点，且满足abc，则G是△ABC中的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【详解】解：∵abc， ∴ab（）+c（）， ∴（a+b+c）bc， 即， ∴G在∠BAC的角平分线上， 同理可得：G在∠ABC的角平分线上， ∴G是△ABC的内心． 故选：A． 30．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则△ACO与△CBP面积比为（    ） A．5:6 B．3:4 C．2:3 D．1:2 【答案】D 【详解】由O是△ABC的重心，得，而， 则，故， 所以点P为OA中点，即点P、点O为BC边中线的两个三等分点， 所以，， 所以△ACO与△CBP面积比为1:2. 故选：D 2 学科网（北京）股份有限公司 $$