精品解析：云南省昭通市第一中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题（A卷）

昭通一中2023年秋季学期高二年级入学考试 数学（A卷） 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算. 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 2. （ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】 故选：C. 3. 某校组织学生参加知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ） A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有75人 B. 直方图中的值为0.020 C. 估计全校学生成绩的中位数为87 D. 估计全校学生成绩的样本数据的分位数约为90 【答案】C 【解析】 【分析】根据成绩在区间内的频率可判断，根据频率之和为1可判断B，根据中位数的定义判断C，根据百分位数的定义判断D． 【详解】对于A，被抽取的学生中，在区间内的人数为人，故A错； 对于B，，则，故B错， 对于C，设全校学生成绩的中位数约为，因为前三个矩形面积之和为， 前四个矩形面积之和为， 则，则，故C对， 对于D，低于90分的频率为，设样本中数据的分位数为， 则，得，故D错， 故选：C． 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解. 【详解】由题意， . 故选：D. 5. 已知，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的求法直接求解即可. 【详解】在上的投影向量为：. 故选：C. 6. 某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（ ） A. 该几何体的面是等边三角形或正方形 B. 该几何体恰有12个面 C. 该几何体恰有24条棱 D. 该几何体恰有12个顶点 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的形状逐个选项判断即可. 【详解】据图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确． 故选：B 7. 在长方体中，，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则,,,, ∴,, ∴, 故选：. 8. 三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的一般方程列出方程组求解即可. 【详解】设所求圆方程为, 因为，，三点都在圆上， 所以，解得， 即所求圆方程为：. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知直线，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】AB 【解析】 【分析】根据两条直线平行，斜率相等即可求得. 【详解】则由题意得，的斜率 对于，因为，显然，斜率为， 则解得或， 当或时，两条直线不重合，所以符合题意. 故选：AB 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 B. 直线在轴的截距是2 C. 直线的倾斜角为30° D. 过点且倾斜角为90°的直线方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线的截距、倾斜角、直线方程等知识确定正确答案. 【详解】A选项，直线过点且在轴，轴截距相等，所以A选项错误. B选项，直线在轴上的截距是，B选项错误. C选项，直线的斜率为，倾斜角为，C选项正确. D选项，过点且倾斜角为90°的直线方程为，D选项正确. 故选：CD 11. 甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为．则（ ） A. 甲乙都研发成功的概率为 B. 疫苗A研发成功的概率为 C. 疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为 D. 仅有一款疫苗研发成功的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率公式可判断A；结合对立事件的概率关系可判断B；再由相互独立事件的概率公式可判断C；分两种情况，由相互独立事件的概率公式可判断D. 【详解】用A，B，C分别表示事件“甲成功”，“乙成功”，“丙成功”，则： A．根据概率公式有： B．由概率的性质可得：疫苗A研发成功的概率 C．两疫苗的研发相互独立，所以所求概率为 D．所求概率为 故选：ACD 12. 如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（ ） A. ，M，O三点共线 B. 平面 C. 直线与平面所成角的为 D. 直线和直线是共面直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正方体的特性，依次分析各项正误. 【详解】由正方体的特性可知，为正方体的体对角线，平面，平面平面于，又交平面于点，故点在上，故A项正确； 由正方体的特性可知，平面，平面，故，同理，，于点，故平面，故B项正确； 设正方体的边长为1，直线与平面的夹角为，则，点到平面的距离为，故，，C项正确； 直线与直线为异面直线，故D项错误. 故选：ABC. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 经过点和点的直线的斜率是____________. 【答案】 【解析】 分析】由两点斜率公式即可求解. 详解】由两点斜率公式可得, 故答案为： 14. 过点作圆的切线，则切线方程为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出方程，求出切线方程. 【详解】①直线的斜率不存在时满足， ②直线斜率存在时，设切线方程为，则， 所以切线方程为，即． 故答案为：或. 15. 已知，则的最小值为_____________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由可知， ，当且仅当时，等号成立， 即的最小值为5. 故答案为：5 16. “中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵故的球面射电望远镜（如图），已知“天眼”的形状为球冠（球面被平面所载后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高），设球冠底的直径，球冠的高，则球的半径______．（精确到整百）． 【答案】800 【解析】 【分析】作出图形，可知球心到截面圆的距离为，利用勾股定理列等式可求得. 【详解】如下图所示： 球心到截面圆的距离为，由勾股定理可得，化简得， 解得. 又， 所以 故答案为：. 四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 频率分布表 组别 分组 频数 频率 第1组 8 第2组 a 第3组 20 第4组 第5组 2 b 合计 频率分布直方图 （1）写出a，b，x，y的值； （2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布表和频率分布直方图计算可得结果； （2）利用列举法和古典概型的概率公式计算可得结果. 【小问1详解】 样本容量，所以第组的频数为，， 所以， 所以第组的频率为，所以，， ，. 【小问2详解】 由（1）可知，第4组共有4人，记为，第5组共有2人，记为． 从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有，共15种情况． 设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件， 有,共9种情况． 所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是． 18. 在中，角所对的边分别是．已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理即可解出； （3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出． 【小问1详解】 由正弦定理可得，，即，解得：； 小问2详解】 由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． 【小问3详解】 由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． 19. （1）已知数列是等差数列，若，，求； （2）在等比数列中，，，求和公比. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式结合前项和公式求解即可； （2）利用等比数列的通项公式求解即可. 【详解】（1）因为，，所以. 根据公式，可得. （2）设等比数列的首项为，公比为，因为，， 由等比数列的性质可得，，又， ，， ，解得：， 当时，由，所以； 当时，由，所以， 所以或. 20. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点为. （1）求双曲线的方程； （2）已知直线与双曲线交于不同的两点，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程； （2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案. 【小问1详解】 由已知，， 又，则， 所以双曲线方程为. 【小问2详解】 由，得， 则， 设，，则，， 所以. 21. 如图，圆是的外接圆，平面，是圆的直径，，，且. （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直证明平面，再通过面面垂直即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，表达出各点坐标，得出面与面的法向量，即可求出两个面夹角的余弦值. 【小问1详解】 由题意及图证明如下， 在圆中，直径， ∴， ∵平面,平面,平面, ∴，， 平面,面， ∴平面, 又平面, ∴平面平面. 【小问2详解】 由题意及（1）得， 在中， 在中，，， ∴， ∵， ∴ 建立空间直角坐标系如下图所示， ∵， ∴， 则， 在面中，其一个法向量为， 在面中，设其一个法向量为， 则，即，解得：， ∴当时，， 设面与面所成角为， 22. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若在上恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）增区间为，减区间为； （2）. 【解析】 【分析】(1)求f(x)定义域和导数，在定义域内研究其导数的正负，由此即可判断f(x)的单调区间； (2)参变分离不等式，构造函数，利用导数求F(x)的最大值即可得a的范围. 【小问1详解】 时，. 时，单调递增， 时，单调递减， ∴的增区间为，减区间为； 【小问2详解】 由在上恒成立，故， 设，则. 当时，F(x)单调递增；当时，F(x)单调递减， 故，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 昭通一中2023年秋季学期高二年级入学考试 数学（A卷） 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. 1 C. D. 3. 某校组织学生参加知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ） A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有75人 B. 直方图中的值为0.020 C. 估计全校学生成绩的中位数为87 D. 估计全校学生成绩的样本数据的分位数约为90 4. （ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则在上投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（ ） A. 该几何体面是等边三角形或正方形 B. 该几何体恰有12个面 C. 该几何体恰有24条棱 D. 该几何体恰有12个顶点 7. 在长方体中，，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9 已知直线，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 B. 直线在轴的截距是2 C. 直线的倾斜角为30° D. 过点且倾斜角为90°的直线方程为 11. 甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为．则（ ） A. 甲乙都研发成功的概率为 B. 疫苗A研发成功的概率为 C. 疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为 D. 仅有一款疫苗研发成功的概率为 12. 如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（ ） A ，M，O三点共线 B. 平面 C. 直线与平面所成角的为 D. 直线和直线是共面直线 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 经过点和点的直线的斜率是____________. 14. 过点作圆的切线，则切线方程为___________． 15. 已知，则的最小值为_____________. 16. “中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵故的球面射电望远镜（如图），已知“天眼”的形状为球冠（球面被平面所载后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高），设球冠底的直径，球冠的高，则球的半径______．（精确到整百）． 四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 频率分布表 组别 分组 频数 频率 第1组 8 第2组 a 第3组 20 第4组 第5组 2 b 合计 频率分布直方图 （1）写出a，b，x，y的值； （2）在选取样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率． 18. 在中，角所对的边分别是．已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 19. （1）已知数列是等差数列，若，，求； （2）在等比数列中，，，求和公比. 20. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点为. （1）求双曲线的方程； （2）已知直线与双曲线交于不同的两点，，求. 21. 如图，圆是的外接圆，平面，是圆的直径，，，且. （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 22. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若在上恒成立，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$