专题8.3 实数及其简单运算【10大题型】-2024-2025学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版2024）

专题8.3 实数及其简单运算 【考点梳理】 · 考点一：实数的概念与分类 · 考点二：实数和数轴问题 · 考点三：实数的大小比较 · 考点四：无理数的理解 · 考点五：无理数大小估算 · 考点六：无理数的整数和小数部分 · 考点七：实数的运算 · 考点八：实数的程序框图或新定义运算 · 考点九：与实数有关的规律问题 · 考点十：实数的综合问题 【知识梳理】 知识点一：无理数 无限不循环小数称为无理数。（开方开不尽的数；含有π的数；有规律但不循环的数。） 如，等 知识点二：实数： 有理数和无理数统称实数。 知识点三：实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。 技巧归纳： 1、a是一个实数，它的相反数为 -a 2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 （在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样。） 【题型探究】 题型一：实数的概念与分类 1．（2025七年级下·全国）下列说法正确的是（   ） A．实数分为正实数和负实数 B．实数分为整数和分数 C．实数分为有理数和无理数 D．带根号的数都是无理数 2．（24-25七年级下·全国）下列说法：①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和无理数都是实数；③正实数和负实数统称为实数；④实数既是有理数又是无理数．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（） A．带根号的数一定都是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数 D．能在数轴上表示出来的数都是有理数 题型二：实数和数轴问题 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，数轴上A，B两点所表示的实数分别是和，C是线段的中点，则线段的长度是（   ） A． B．2 C． D． 5．（24-25七年级下·全国）已知数轴上点到原点的距离为，且点在原点的左侧，数轴上到点的距离为的点所表示的数是 （   ） A． B． C． D．或 6．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）如图所示，一条数轴被一滩墨迹覆盖了一部分，下列实数中，被墨迹覆盖的是（   ） A． B． C． D． 题型三：实数的大小比较 7．（24-25七年级下·全国）（教材变式）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·全国）已知，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）在0，，，，五个数中，最大的数是（   ） A．0 B． C． D． 题型四：无理数的理解 10．（24-25七年级下·全国）在中，无理数的个数是（   ） A．1977 B．2020 C．1980 D．1988 11．（2025七年级下·全国）在实数中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（24-25七年级下·全国）下列各数、0、0.202002000200002…（相邻两个2之间依次多一个0）、、、，其中无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五：无理数大小估算 13．（24-25七年级下·全国）已知a为正整数，且则a等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 14．（2025七年级下·全国·专题练习）用计算器依次按键，得到的结果最接近（   ） A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8 15．（24-25七年级下·全国）的值介于（   ） A．45与50之间 B．50与55之间 C．55与60之间 D．60与65之间 题型六：无理数的整数和小数部分 16．（24-25七年级下·全国）已知的小数部分是的小数部分是，则的立方根是 ． 17．（24-25八年级上·广东揭阳）已知，分别是的整数部分和小数部分，则的值为 ． 18．（23-24八年级上·陕西西安）若a是的整数部分，b是的小数部分．则的平方根是 ． 题型七：实数的运算 19．（24-25七年级下·全国）计算： (1)； (2)； (3)． 20．（24-25七年级下·全国）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．（24-25七年级下·全国）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型八：实数的程序框图或新定义运算 22．（23-24七年级下·山西太原）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　） A． B．1 C． D．3 23．（2025七年级下·全国·专题练习）现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 24．（21-22七年级下·山西吕梁·期中）用“”表示一种新运算：对于任意正实数•，例如10•21=，那么的运算结果为（    ） A．13 B．7 C．4 D．5 题型九：与实数有关的规律问题 25．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知整数，，，，……满足下列条件：，，，，……依此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型十：实数的综合问题 28．（24-25七年级下·全国·单元测试）如下图，数轴上有三点，表示1和的点分别为，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等．设三点表示的三个数之和为p． (1)求p的值； (2)点D在点O的左侧，且．若以D为原点，求点C表示的数． 29．（24-25七年级下·全国）【阅读理解】，即，的整数部分是1，小数部分是． 【解决问题】已知是的整数部分，是的小数部分，求： (1)的值； (2)的平方根． 30．（24-25七年级下·全国）新定义：若无理数（T为正整数）的被开方数满足（n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为的“青一区间”为． (1)的“青一区间”为_______，的“青一区间”为_______； (2)实数满足关系式，求的“青一区间”． 【高分演练】 一、单选题 31．（24-25七年级下·全国）下列各式是有理数的是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级下·全国）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25七年级下·全国）的绝对值的3倍与的差的相反数等于（   ） A． B． C．1 D． 34．（24-25七年级下·全国·期中）实数：，，，（相邻两个之间依次多一个），，其中无理数有（    ）个． A． B． C． D． 35．（24-25七年级下·全国·期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A．5 B． C． D． 36．（24-25七年级下·全国）一个数值转换器，原理如图．当输入的x为64时，输出的y是（　　） A． B． C． D．8 37．（24-25七年级下·全国）如图，表示实数的点落在（   ） A．段④ B．段③ C．段② D．段① 38．（24-25七年级下·全国·单元测试）对于实数a、b，定义的含义为：当时，；当时，．例如：．已知，且和为两个连续正整数，则的立方根为（   ） A． B．1 C． D．2 39．（23-24八年级上·河南郑州）实数，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 40．（22-23七年级下·重庆江津·期中）对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．下列说法正确的个数是（    ） ①； ②； ③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0； ④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为． A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 41．（2025七年级下·全国·专题练习）有下列说法：①是一个负数；②0的相反数和倒数都是0；③全体实数和数轴上的点一一对应；④一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；⑤实数包括无理数和有理数；⑥无理数和无理数的和一定是无理数．其中正确的是 （填序号）． 42．（24-25七年级下·全国）下列各数3.1415926，，1.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），中，无理数有 个． 43．（24-25七年级下·全国）如图所示，数轴上表示所对应的点分别为，，点关于点的对称点为，那么点所表示的数是 ． 44．（2025七年级下·全国·专题练习）规定：如果，那么叫作的次方根．例如：因为，所以16的四次方根是2和．由此可知，81的四次方根是 ． 45．（24-25七年级下·全国）已知的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，则的平方根是 ． 46．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，所得的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线，因此，可得小正方形的对角线长度为．某同学受到启发，把长为3、宽为2的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形，请你仿照上面的探究方法，比较 ．（填“”或“”或“”） 三、解答题 47．（24-25七年级下·全国·课后作业）把下列各数分别填入相应的集合里： ，（每两个2之间依次增加一个1），，． 正有理数集合：｛                       …}； 负有理数集合：｛                       …}； 正无理数集合：｛                       …} 负无理数集合：｛                       …}． 48．（24-25七年级下·浙江）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 49．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m． (1)实数m的值为_______； (2)在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且与互为相反数．请计算的值． 50．（24-25八年级上·广东深圳·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小欣用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 51．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读《无理数》课堂实录，解决问题： 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全地写出来，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数字之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下，的小数部分； (2)若为的小数部分，为的小数部分，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的平方根． 52．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）阅读下列材料： 通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是 (1)的整数部分是______． (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.3 实数及其简单运算 【考点梳理】 考点一：实数的概念与分类 考点二：实数和数轴问题 考点三：实数的大小比较 考点四：无理数的理解 考点五：无理数大小估算 考点六：无理数的整数和小数部分 考点七：实数的运算 考点八：实数的程序框图或新定义运算 考点九：与实数有关的规律问题 考点十：实数的综合问题 【知识梳理】 知识点一：无理数 无限不循环小数称为无理数。（开方开不尽的数；含有π的数；有规律但不循环的数。） 如，等 知识点二：实数： 有理数和无理数统称实数。 知识点三：实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。 技巧归纳： 1、a是一个实数，它的相反数为 -a 2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 （在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样。） 【题型探究】 题型一：实数的概念与分类 1．（2025七年级下·全国）下列说法正确的是（   ） A．实数分为正实数和负实数 B．实数分为整数和分数 C．实数分为有理数和无理数 D．带根号的数都是无理数 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数、实数、有理数的分类，无理数的定义．根据有理数和无理数以及实数的分类，无理数的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、实数可分为正实数和负实数以及0，原说法错误，本选项不符合题意； B、实数可分为正实数，零和负实数，原说法错误，本选项不符合题意； C、实数可分为有理数和无理数，说法正确，符合题意； D、带根号的数不一定是无理数，如是有理数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国）下列说法：①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和无理数都是实数；③正实数和负实数统称为实数；④实数既是有理数又是无理数．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的分类，实数可以分为有理数和无理数两大类‌．有理数包括整数和分数，而无理数则是无限不循环小数． 【详解】解：实数可以分为有理数和无理数两大类‌．有理数包括整数和分数， 故①实数包括有理数、无理数和0；说法错误，0属于有理数； ②有理数和无理数都是实数；说法正确； ③正实数和负实数统称为实数，说法错误，实数中，0既不是正数也不是负数； ④实数包括有理数和无理数，但一个实数不是有理数就是无理数，不能实数既是有理数又是无理数．原说法错误； ∴说法正确的有1个， 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（） A．带根号的数一定都是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数 D．能在数轴上表示出来的数都是有理数 【答案】B 【分析】本题考查了实数，实数与数轴，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据实数的分类，无理数的意义，实数与数轴的关系，逐一判断即可解答． 【详解】带根号的数不一定都是无理数，如，是有理数，A选项错误； 无限不循环小数是无理数，B选项正确； 实数可以分为正实数、负实数和0，C选项错误； 能在数轴上表示出来的数不一定都是有理数，如可以在数轴上表示出来， 但不是有理数，D选项错误． 故选：B 题型二：实数和数轴问题 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，数轴上A，B两点所表示的实数分别是和，C是线段的中点，则线段的长度是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数、数轴和线段的中点，根据数轴上两点之间的距离公式先求出线段的长，再根据线段的中点的定义求出的长即可得解． 【详解】解：∵数轴上A，B两点所表示的实数分别是和， ∴， ∵C是线段的中点， ∴． 故选：A． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知数轴上点到原点的距离为，且点在原点的左侧，数轴上到点的距离为的点所表示的数是 （   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，掌握绝对值的意义是解题的关键．根据题意得点表示的数是，根据到点的距离为的点在点的左侧和右侧分类讨论即可求解． 【详解】解：数轴上点到原点的距离为，且点在原点的左侧， 点表示的数是， 数轴上到点的距离为的点所表示的数是或， 故选：D． 6．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）如图所示，一条数轴被一滩墨迹覆盖了一部分，下列实数中，被墨迹覆盖的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．根据无理数的估算方法，确定取值范围，对照数轴覆盖数的范围判定即可． 【详解】解：根据数轴信息，得到被墨迹覆盖的数x满足， A、，则不符合题意； B、，即，则符合题意； C、，即，则不符合题意； D、，即，则不符合题意； 故选：B． 题型三：实数的大小比较 7．（24-25七年级下·全国）（教材变式）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数比较大小．根据夹逼法进行无理数的估算后，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即； 故选：C． 8．（24-25七年级下·全国）已知，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数比较大小．根据夹逼法进行无理数的估算后，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 故选：C． 9．（24-25七年级下·全国·单元测试）在0，，，，五个数中，最大的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数大小比较，掌握无理数的估算是解题的关键．根据实数的大小比较求解即可，四个数中正数比0和负数大，即只比较，，即可． 【详解】解：， 在0，，，，五个数中，最大的数是， 故选：D． 题型四：无理数的理解 10．（24-25七年级下·全国）在中，无理数的个数是（   ） A．1977 B．2020 C．1980 D．1988 【答案】C 【分析】本题考查无理数的识别，无理数即无限不循环小数，开方开不尽的数是无理数，找出从整数1到2025中的完全平方数，即可判断． 【详解】解：∵， ∴从整数1到2025中，有45个完全平方数， ∴原数据中共有45个数，不是无理数， 则无理数的个数为（个）， 故选：C． 11．（2025七年级下·全国）在实数中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：∵ ∴在实数中，无理数有，共1个． 故选：A． 12．（24-25七年级下·全国）下列各数、0、0.202002000200002…（相邻两个2之间依次多一个0）、、、，其中无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，（每两个8之间依次多1个0）等形式． 【详解】解：∵，， 故其中，（相邻两个2之间依次多一个0）这两个数为无理数． 故选B． 题型五：无理数大小估算 13．（24-25七年级下·全国）已知a为正整数，且则a等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，结合题意根据即可得出答案． 【详解】解：∵a为正整数，且，， ∴， 故选：B． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）用计算器依次按键，得到的结果最接近（   ） A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算以及计算器的应用，运用计算器来运算，直接读数即可作答． 【详解】解：依题意，运用计算器，得， 观察四个选项，1.7最接近此结果， 故选：C 15．（24-25七年级下·全国）的值介于（   ） A．45与50之间 B．50与55之间 C．55与60之间 D．60与65之间 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的估算，利用估算无理数大小的方法即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴的值介于60与65之间． 故选：D． 题型六：无理数的整数和小数部分 16．（24-25七年级下·全国）已知的小数部分是的小数部分是，则的立方根是 ． 【答案】1 【分析】本题考查无理数的估算．利用无理数的估算求得，的值后代入中，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的小数部分， ∴， ∴的立方根是． 故答案为：． 17．（24-25八年级上·广东揭阳）已知，分别是的整数部分和小数部分，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小估算以及无理数整数部分的有关计算，先得，则的整数部分和小数部分分别是，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴则的整数部分和小数部分分别是， 即， ∴， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·陕西西安）若a是的整数部分，b是的小数部分．则的平方根是 ． 【答案】/3和/和3 【分析】根据可得，即可得到的整数部分是9，小数部分是，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，, ∴的整数部分是9，则，的小数部分是，则， ∴， ∴9的平方根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查实数的估算、实数的运算、平方根的定义，掌握实数估算的方法是解题的关键． 题型七：实数的运算 19．（24-25七年级下·全国）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先根据算术平方根和立方根化简各数，再计算即可； （2）先根据算术平方根和立方根化简各数，再计算即可； （3）先根据算术平方根、立方根和实数的性质化简各数，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 20．（24-25七年级下·全国）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查平方根，立方根的性质化简，实数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据立方根，平方根的性质化简，再计算； （2）根据立方根，平方根的性质化简，再计算； （3）根据乘方，立方根，绝对值的性质化简，再计算； （4）先去绝对值，再根据实数的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 21．（24-25七年级下·全国）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)34 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及乘方的运算，立方根，平方根的求解，化简绝对值，熟练掌握相关运算定律为解题关键． （1）先算乘方，立方根，化简绝对值，再算乘方，最后算加减法即可； （2）先算乘方，立方根，化简绝对值，再算乘方，最后算加减法即可； （3）先算乘方，立方根，算术平方根，化简绝对值，再算乘方，最后算加减法即可； （4）先算乘方，立方根，算术平方根，化简绝对值，再算乘方，最后算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型八：实数的程序框图或新定义运算 22．（23-24七年级下·山西太原）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的运算，先求出，再根据流程图代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 23．（2025七年级下·全国·专题练习）现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算，，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解： ， 故选：B． 24．（21-22七年级下·山西吕梁·期中）用“”表示一种新运算：对于任意正实数•，例如10•21=，那么的运算结果为（    ） A．13 B．7 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据新运算的定义计算即可． 【详解】解：∵•， ∴ ======4，故选：C． 【点睛】本题考查新定义，算术平方根，理解运用新运算是解题的关键． 题型九：与实数有关的规律问题 25．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数据，得到第个数为，进而求出第8个数即可． 【详解】解：，，，， ∴第个数为， ∴第8个数为； 故选C． 26．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知整数，，，，……满足下列条件：，，，，……依此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值以及实数计算中的规律问题，用所给的计算方式，依次计算出等，观察规律即可解决问题． 【详解】 由此可见，和（为偶数）相等，且都等于 所以． 故选：D． 27．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得; ； ； ； ； ， 故选：A． 题型十：实数的综合问题 28．（24-25七年级下·全国·单元测试）如下图，数轴上有三点，表示1和的点分别为，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等．设三点表示的三个数之和为p． (1)求p的值； (2)点D在点O的左侧，且．若以D为原点，求点C表示的数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握应用两点间的距离公式． （1）利用两点间的距离公式求出，再利用两点间的距离公式求出点C表示的数，从而求出p即可； （3）先根据已知条件，利用两点间的距离公式求出点D表示的数，从而求出点C表示的数即可． 【详解】（1）解：由题意，得． 因为点C在原点左侧， 所以点C表示的数为， 所以． （2）解：因为点D在点O的左侧，且， 所以点D表示的数为， 所以若以D为原点， 则点C表示的数为． 29．（24-25七年级下·全国）【阅读理解】，即，的整数部分是1，小数部分是． 【解决问题】已知是的整数部分，是的小数部分，求： (1)的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小． （1）首先得出接近的整数，进而得出a，b的值； （2）根据平方根即可解答． 【详解】（1）解：， 即， ， ∴的整数部分是，的小数部分是， ； （2）解：由（1）可知，， ， 的平方根是． 30．（24-25七年级下·全国）新定义：若无理数（T为正整数）的被开方数满足（n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为的“青一区间”为． (1)的“青一区间”为_______，的“青一区间”为_______； (2)实数满足关系式，求的“青一区间”． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查无理数的估算，理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）利用非负性求出x，y的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）解：因为， 所以， 即， 所以，所以． 因为，所以的“青一区间”为． 【高分演练】 一、单选题 31．（24-25七年级下·全国）下列各式是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，实数运算等知识，根据实数运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，为无理数，故本选项不符合题意； B、，为无理数，故本选项不符合题意； C、，2为有理数，故本选项符合题意； D、是无理数，故本选项不符合题意； 故选：C． 32．（24-25七年级下·全国）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用二次根式性质，以及绝对值的代数意义计算即可求出值． 【详解】解： ， 故选：B． 33．（24-25七年级下·全国）的绝对值的3倍与的差的相反数等于（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的加减运算，相反数及绝对值，根据题意列出式子，再根据实数的加减运算法则计算出结果即可． 【详解】解：根据题意可得， ． 故选：A． 34．（24-25七年级下·全国·期中）实数：，，，（相邻两个之间依次多一个），，其中无理数有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环的小数，进行解答，即可． 【详解】解：，，（相邻两个之间依次多一个）是无理数，共个． 故选C． 35．（24-25七年级下·全国·期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根化简，先根据数轴得出实数a的取值范围，再根据算术平方根的性质化简即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴，， ∴原式． 故选：A． 36．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个数值转换器，原理如图．当输入的x为64时，输出的y是（　　） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，求一个数的算术平方根，先根据程序求它的算术平方根，接着判断是否为无理数，是就输出结果，否则就继续算它的算术平方根，即可作答． 【详解】解：∵输入的x为64， ∴， ∵8是有理数， ∴8的算术平方根是，是无理数， 则输出的y是， 故选：A． 37．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，表示实数的点落在（   ） A．段④ B．段③ C．段② D．段① 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根以及估算无理数的大小，先确定的取值范围，然后求出的取值范围，再对应数轴上的每一段范围即可确定答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴表示的点落在段②． 故选：C． 38．（24-25七年级下·全国·单元测试）对于实数a、b，定义的含义为：当时，；当时，．例如：．已知，且和为两个连续正整数，则的立方根为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意求出a、b的值即可得到答案．本题主要考查新定义无理数的估算，立方根的运算，准确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵a和b为两个连续正整数，，， ∴即，， ∴， ∴， 则的立方根为的1， 故选：B． 39．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）实数，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比较实数的大小，无理数的估算等知识．先估算出，，即可得到，进而得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C 40．（22-23七年级下·重庆江津·期中）对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．下列说法正确的个数是（    ） ①； ②； ③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0； ④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据数轴上的位置可得即可判断①；分别求出和的结果即可判断②；根据即可判断③；推出不论怎么操作，都不可能出现这种情况即可判断④． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ①，故①正确； ②，， ∴，故②正确； ③∵原代数式为， ∴要想新操作的结果与原代数式之和为0，那么新操作的结果为， ∵， ∴至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0，故③正确； ④∵，， ∴不论怎么操作，都不可能出现这种情况，故④错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，新定义，正确理解题意是解题的关键． 二、填空题 41．（2025七年级下·全国·专题练习）有下列说法：①是一个负数；②0的相反数和倒数都是0；③全体实数和数轴上的点一一对应；④一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；⑤实数包括无理数和有理数；⑥无理数和无理数的和一定是无理数．其中正确的是 （填序号）． 【答案】③⑤/⑤③ 【分析】此题考查的是实数的分类、相反数和倒数的定义、实数与数轴一一对应关系、平方根的性质、实数的分类和无理数的运算是解决此题的关键．根据各自定义逐一判断即可． 【详解】解：①无意义，故说法错误； ②0的相反数是0，0没有倒数，故说法错误； ③全体实数和数轴上的点一一对应，故说法正确； ④一个数的平方根等于它本身，这个数是0，故说法错误； ⑤实数包括无理数和有理数，故说法正确； ⑥，故无理数和无理数的和不一定是无理数，故说法错误； 则其中正确的是：③⑤， 故答案为：③⑤． 42．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各数3.1415926，，1.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），中，无理数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了无理数的定义，解题关键是理解无理数的定义，准确进行判断． 根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可． 【详解】解：在（相邻两个1之间依次增加一个2），中， 是有理数， （相邻两个1之间依次增加一个2），是无理数，共3个， 故答案为：3． 43．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，数轴上表示所对应的点分别为，，点关于点的对称点为，那么点所表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数和数轴，数轴上两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 根据数轴上两点间的距离公式得到，，，计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， 点对应的数为， 故答案为：． 44．（2025七年级下·全国·专题练习）规定：如果，那么叫作的次方根．例如：因为，所以16的四次方根是2和．由此可知，81的四次方根是 ． 【答案】3和 【分析】本题主要考查了新定义运算，根据题干提供的新定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴81的四次方根是3和． 故答案为：3和． 45．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，还考查了倒数、相反数、三次根式等知识点，先根据倒数、相反数、三次根式的定义求出a、b、c的，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根， ∴，，， ∴， ∴的平方根是． 故答案为：． 46．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，所得的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线，因此，可得小正方形的对角线长度为．某同学受到启发，把长为3、宽为2的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形，请你仿照上面的探究方法，比较 ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查图形的拼剪，算术平方根的应用，估算无理数的大小，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据大正方形面积空白部分面积个直角三角形的面积，通过计算得出的整数部分是3，即可解答求解． 【详解】解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：， 即， ∴（负值舍去）， ∵，即， ∴的整数部分是3， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 47．（24-25七年级下·全国·课后作业）把下列各数分别填入相应的集合里： ，（每两个2之间依次增加一个1），，． 正有理数集合：｛                       …}； 负有理数集合：｛                       …}； 正无理数集合：｛                       …} 负无理数集合：｛                       …}． 【答案】；；，（每两个2之间依次增加一个1）；． 【分析】本题考查了实数，根据实数的分类，逐一判断即可解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：，， 正有理数集合：； 负有理数集合：； 正无理数集合：，（每两个2之间依次增加一个1），； 负无理数集合：． 48．（24-25七年级下·浙江·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)-11； (2)25； (3)20； (4)． 【分析】本题考查的是有理数的加减乘除乘方的混合运算，绝对值的运算，掌握以上知识是解题的关键 （1）先计算绝对值与乘方，再把除法转化为乘法，再计算乘法，最后合并即可得到答案； （2）先按分配律计算有理数的乘法，再计算括号内的加减运算，最后计算减法运算即可得到答案； （3）先计算乘方，再计算绝对值与乘法，最后算加减，即可得到答案； （4）先计算立方根，括号内的减法，乘方，再计算乘法，最后计算加法． 【详解】（1）解： ； （2）解：； ； （3）解： ； （4）解： ． 49．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m． (1)实数m的值为_______； (2)在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且与互为相反数．请计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数与数轴、平方根、非负数的性质，正确理解题意是解题关键． （1）根据向右爬了2个单位长度则在起点基础上加，即可得到m的值； （2）根据非负数的性质得到c，d的值，代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为， ∴， 故答案为：； （2）解：因为与互为相反数， 所以， 因为与均为非负数， 所以， 所以， 所以原式． 50．（24-25八年级上·广东深圳·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小欣用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】(1)5， (2)1 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的减法运算，找到无理数的整数部分是解题的关键． （1）因为，从而知道的整数部分为，用减去得到其小数部分； （2）先求得和的整数部分，再得到的小数部分，再代入求值即可． 【详解】（1）解： 的整数部分是5，小数部分是 故答案为：5，， （2）解：∵ ∴的小数部分为： ∵ ∴的整数部分为： ∴ 51．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读《无理数》课堂实录，解决问题： 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全地写出来，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数字之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下，的小数部分； (2)若为的小数部分，为的小数部分，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能够熟练运用夹逼法是解题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，再求出a、b的值，再代入求解即可； （3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的小数部分为； （2）解：， ，， ，， ； （3）解： ， ∴， ∴， 又∵，其中是整数，且， ∴， ∴， ∴的平方根是． 52．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）阅读下列材料： 通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是 (1)的整数部分是______． (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 【答案】(1)1 (2)17 【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是解本题的关键． （1）仿照材料估算即可得到答案； （2）结合（1）求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）∵，即， ∴的整数部分为1， 故答案为：1； （2）， ， ， ， ， ， ， 2 学科网（北京）股份有限公司 $$