精品解析：广东省汕头市澄海区2024-2025学年八年级上学期数学期末测试卷

2024～2025学年度第一学期期末质量监测 八年级数学试卷 【说明】本卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 计算 的结果是（ ） A. a2 B. -a2 C. a4 D. -a4 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故选D． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 2. 一个缺角的三角形残片如图所示，量得，，则这个三角形残缺前的的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：由题意知，． 故选：C． 3. 若分式的值为正数，则m的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值为正的条件，根据题意列出不等式成为解题的关键． 根据已知得出分式的分子为正数，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴，解得：． 故选C． 4. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂除法、平方差公式、完全平方公式等知识点，掌握同底数幂的相关运算法则成为解题的关键． 根据幂的乘方、同底数幂除法、平方差公式、完全平方公式逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，故A正确，符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C不正确，不符合题意； D、，故D不正确，不符合题意． 故选：A． 5. 等腰三角形的顶角为，则它的底角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为， ∴， ∴底角是， 故选：C． 6. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数次幂、零次幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据负整数次幂、零次幂化简，然后再比较即可． 【详解】解∶ ∵，，，， ∴． 故选B． 7. 如图所示的图形中，，，那么（ ） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上即可判断． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分，选项B正确， 不能判断选项A、C、D是否正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，掌握“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”是解题的关键． 8. 如图，已知，点B和点E是对应顶点，若，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，故可得出，据此可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 9. 如图，在中，，，点D在边上，沿着对折，点C的对称点E恰好在边上，则图中等腰三角形共有（ ）． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查翻折变换的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确地求出图形中所有锐角的度数是解题的关键． 由可知是等腰三角形可得，由折叠得、，则，所以，则是等腰三角形，可求得，则，所以，则和都是等腰三角形，再推导出，则，所以是等腰三角形，然后统计等腰三角形的个数即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∵点D在边上，沿着对折，点C的对称点E恰好在边上， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴和都是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴图中共有5个等腰三角形． 故选：D． 10. 如图，已知中边上的垂直平分线与的平分线交于点E，交的延长线于点F，交于点G．则下列结论： ①；②；③；④． 其中正确结论序号是（ ）． A. ①② B. ③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】主要题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，熟记全等三角形的判 定与性质是解题的关键． 如图：连接和，根据线段垂直平分线求出，根据角平分线性质求出，证出，根据全等三 角形的性质及线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接和， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵平分，， ∴，故①正确，符合题意； 在和中， ， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即，即④正确，符合题意； 根据题意，无法求出，故③错误，不符合题意． 综上，正确的有①②④． 故选∶D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 12. 计算的结果是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法，利用分式的加减法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 在中，若，，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，利用题目条件结合三角形内角和即可列出关于的方程，进而求出结果． 【详解】解：由三角形内角和定理可知：， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 14. 如图是一个高铁站入口双翼闸机的示意图，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，过点A作，垂足为E，过点B作，垂足为F，根据垂直定义可得：，然后分别在和中，利用含30度角的直角三角形的性质求出和的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点A作，垂足为E，过点B作，垂足为F， ∴， ∵，， ∴，， ∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度． 故答案为：． 15. 如图，在长方形中，，，延长到点E，使．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿方向向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为__________．     【答案】1或7 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 分和两种情况分别根据全等三角形的判定定理以及行程问题解答即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∴，， 若，则当时， 根据可得， ∴，解得； 若，则当时， 根据可得， ∴，解得：． 综上，当和全等时，t的值为1或7． 故答案为：1或7． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2024 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里面的运算，再算括号外的除法，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 17. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法和步骤成为解题的关键． 先通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解：， ， ， ， 检验，当时，， 所以原分式方程无解． 18. 如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C． （1）求证：AB＝CD； （2）若OE平分∠BOD，求证：OE垂直平分BD． 【答案】 证明：（1）在△AOB和△COD中，  ， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴AB＝CD； （2）由（1）得：△AOB≌△COD， ∴OB＝OD， ∵OE平分∠BOD， ∴OE垂直平分BD． 【解析】 【分析】（1）证明△AOB≌△COD（ASA），即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得OB＝OD，再由等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 先阅读，再解决问题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法叫分组分解法． 例如：． （1）分解因式：； （2）若，求m和n的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、分组法因式分解等知识点，灵活运用分组法进行因式分解成为解题的关键． （1）先将原式分组后进行因式分解即可； （2）先将原式分组后进行因式分解，然后根据非负数的性质列二元一次方程组求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，解得：． 20. 某服装店老板到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装．店主统计了前两周的销售情况，发现第一周A品牌儿童服装的销量是10件，B品牌儿童服装的销量是12件，总利润是280元；第二周A品牌儿童服装的销量是18件，B品牌儿童服装的销量是20件，总利润是480元． （1）请求出A品牌和B品牌儿童服装每件的利润分别是多少元？ （2）店主在第三周调整了价格，A品牌儿童服装每件涨价a元，B品牌儿童服装每件降价a元，统计后发现，调整后的这周A、B两种品牌儿童服装的销量一样，并且A品牌儿童服装的利润达240元，B品牌儿童服装的利润达260元，求出a的值． 【答案】（1）A品牌和B品牌儿童服装每件的利润分别是10元和15元． （2）a的值为2 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用等知识点，审清题意、根据等量关系列出方程组和分式方程是解的关键． （1）设A品牌和B品牌儿童服装每件的利润分别是x、y元，根据“第一周A品牌儿童服装的销量是10件，B品牌儿童服装的销量是12件，总利润是280元”和“第二周A品牌儿童服装的销量是18件，B品牌儿童服装的销量是20件、总利润是480元”列出二元一次方程组求解即可； （2）根据“A品牌儿童服装每件涨价a元，B品牌儿童服装每件降价a元，调整后的这周A、B两种品牌儿童服装的销量一样，并且A品牌儿童服装的利润达240元，B品牌儿童服装的利润达260元”，据此列出分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设A品牌和B品牌儿童服装每件的利润分别是x和y元， 由题意得：，解得：． 答：A品牌和B品牌儿童服装每件的利润分别是10元和15元． 【小问2详解】 解：由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：a的值为2． 21. 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务： 在数学活动课上，老师让同学们以小组为单位讨论利用尺规作的平分线的方法． 第一小组展示了学习过的作法：如图1，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点M、N；再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线，则即为的平分线．第一小组证明过程如下： 连接，，由作图可知，，又∵，∴（依据），∴，∴平分． 第二小组展示了他们的作法：如图2，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点E、F；在上取一点D，以点D为圆心，长为半径作弧，交于点C，再以点C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点H，作射线；点D为圆心，长为半径作弧交于点P，作射线，则为的平分线． 完成下列任务： （1）填空：第一小组证明过程中的“依据”是指__________； （2）根据第二小组的作图方法，请证明：是的平分线； （3）假如你是第三小组的一员，请你在图3中设计另一种不同的作图方法．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1） （2） 解：由作图可知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴是的平分线． （3） 解：如图所示，即为的平分线． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图的性质、角平分线的性质、全等三角形判断及性质等知识点，熟练掌握相关概念是解题的关键． （1）根据即可证明三角形全等． （2）根据角平分线的定义证明即可． （3）在射线、上分别截取、，连接、交于点O，再作射线即可． 【小问1详解】 解：第一小组证明过程中的“依据”是． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，， 所以是的“关联分式”． （1）请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； （2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； （3）①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 【答案】（1）与分式是“关联分式”， 理由如下： ∵，， ∴是的“关联分式”． （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题属于创新探究类试题，主要考查了分式的混合运算、解不等式组等知识点，理解“关联分式”的定义是解决本题的关键． （1）根据关联分式的定义进行判断即可； （2）仿照题目中给到的方法进行求解即可； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论列不等式组求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的“关联分式”为N，则， ∴，即， ∴，即． 【小问3详解】 解：①设的“关联分式”为N，则， ∴，即， ∴，即． 故答案为：； ②由题意，可得， 整理得，解得． 23. 已知：在中，，，点D是上一点，交的延长线于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若交的延长线于点F，连接，求证：； （3）如图3，若是的平分线，交于点H，交于点G，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （2） 证明：如图，过点C作于N，交于M，         ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，即． （3）2 【解析】 【分析】本题考查主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据等角的余角相等即可证明结论； （2）如图，过点C作于N，交于M，证明得到，再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图：过点C作于N，交于M，，证明得到，根据等腰三角形的性质得到，即，然后再代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：过点C作于N，交于M，，         ∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期期末质量监测 八年级数学试卷 【说明】本卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 计算 的结果是（ ） A. a2 B. -a2 C. a4 D. -a4 2. 一个缺角的三角形残片如图所示，量得，，则这个三角形残缺前的的度数为（ ）． A. B. C. D. 3. 若分式的值为正数，则m的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 等腰三角形的顶角为，则它的底角为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图所示的图形中，，，那么（ ） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 平分 D. 8. 如图，已知，点B和点E是对应顶点，若，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点D在边上，沿着对折，点C的对称点E恰好在边上，则图中等腰三角形共有（ ）． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 如图，已知中边上的垂直平分线与的平分线交于点E，交的延长线于点F，交于点G．则下列结论： ①；②；③；④． 其中正确结论序号是（ ）． A. ①② B. ③④ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_________． 12. 计算的结果是__________． 13. 在中，若，，则的度数为__________． 14. 如图是一个高铁站入口双翼闸机的示意图，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度为__________． 15. 如图，在长方形中，，，延长到点E，使．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿方向向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为__________．     三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：，其中，． 17. 解方程：． 18. 如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C． （1）求证：AB＝CD； （2）若OE平分∠BOD，求证：OE垂直平分BD． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 先阅读，再解决问题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法叫分组分解法． 例如：． （1）分解因式：； （2）若，求m和n的值． 20. 某服装店老板到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装．店主统计了前两周的销售情况，发现第一周A品牌儿童服装的销量是10件，B品牌儿童服装的销量是12件，总利润是280元；第二周A品牌儿童服装的销量是18件，B品牌儿童服装的销量是20件，总利润是480元． （1）请求出A品牌和B品牌儿童服装每件的利润分别是多少元？ （2）店主在第三周调整了价格，A品牌儿童服装每件涨价a元，B品牌儿童服装每件降价a元，统计后发现，调整后的这周A、B两种品牌儿童服装的销量一样，并且A品牌儿童服装的利润达240元，B品牌儿童服装的利润达260元，求出a的值． 21. 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务： 在数学活动课上，老师让同学们以小组为单位讨论利用尺规作的平分线的方法． 第一小组展示了学习过的作法：如图1，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点M、N；再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线，则即为的平分线．第一小组证明过程如下： 连接，，由作图可知，，又∵，∴（依据），∴，∴平分． 第二小组展示了他们的作法：如图2，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点E、F；在上取一点D，以点D为圆心，长为半径作弧，交于点C，再以点C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点H，作射线；点D为圆心，长为半径作弧交于点P，作射线，则为的平分线． 完成下列任务： （1）填空：第一小组证明过程中的“依据”是指__________； （2）根据第二小组的作图方法，请证明：是的平分线； （3）假如你是第三小组的一员，请你在图3中设计另一种不同的作图方法．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，， 所以是的“关联分式”． （1）请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； （2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； （3）①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 23. 已知：在中，，，点D是上一点，交的延长线于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若交的延长线于点F，连接，求证：； （3）如图3，若是的平分线，交于点H，交于点G，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $