黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷

哈三中2025年高三学年第一次模拟考试 填 名 试卷 考试说明：(1)本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分. 考试时间为120分钟： (2)第I卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第I卷 (选择题，共58分) 一、 选择题（共58分） 装 (一)单项选择题（共8小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 订装 1. 复数z= 3-41 则z在复平面内对应的点在 1+2i 线 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 已知集合A={xk2-4x+3=0,xeR},B={xx2+6x+7≥0，xeN},则满足 内 条件ASC三B的集合C的个数为 不 A.512 B.128 C.64 D.32 要 3. 2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全 国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80 答 后”叶光富、李聪、李广苏、“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准 题 备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间， 其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有 A.16种 B.32种 C.48种 D.64种 高三一模数学第1页共6页 4. 已知在边长为2的等边△ABC所在平面内，有一点P满足PB+PC=4亚，则 PA.PB= A.1 B. 已知圆G:x2+y2=b:与椭圆C2多+茶=1(a>b>,若在椭圆C2上存在一一 5.i 点P,过P点能作圆C的两条切线，切点为A,B,且∠MPB=子， 则椭圆C2离 心率的取值范围为 6. 已知函数f(x)=n(e2“+1)-x,若x∈[，2时，关于x的不等式 f(2x+1)<f(x+a)恒成立，则实数a的取值范围为 A.(-7,-4)U(2,3) B.(-7,-3)U(2,4) C.(-o,-7)U(3,+o∞) D.(-o,-4)U(2,+oo) 7.已知一个圆锥的母线长为√，则当其体积最大时，该圆锥的内切球半径为 A.√6-2 B. 1-2 C.5-2 D.1 8. 已知数列a}满是a+分+号4++片a=2.3-6e加若 0 b。,-2n+12n+3' 则数列色n}的前15项和为 A. 35 B. 35 C. 35 D 35 -3 371 -3 11 31 高三一模数学 第2页共6页 (二)多项选择题（共3小题，每小题6分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列命题中正确的为 A若随肌变量x限从二项分布写引且E(x+-6,则DC)=号 B.若a>0,b>0,且2a+b=1,则1-4ab+√ab的最大值为之 C.若随机变量5服从正态分布N(0,c2),且P(5>2)=0.023,则 P(-2≤5≤2)=0.954 D.若命题“3x∈R,(k2-)x2+41-k)x+3≤0”是假命题，则k的取值范围为(L,7) 10.已知函数f(纠=3tan(2x-孕+1，则 A,f(②)=7-35 B.f(x)的最小正周期为π C.f树图象的对称中心为（经+受(e2到 D.不等式f(x)≤4的解集为 11.已知函数y=f(2x+1)的图象关于点(L,0)对称，函数y=f(x+1)的图象关于直线 x=1对称，则下列说法正确的为 A.4是f(x)的一个周期 B.f(x)是偶函数 c1 D.f0+x)+fI-x)=0 高三一模数学第页共6页 第Ⅱ卷 (非选择题，共92分) 二、填空题（体大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上） 2.已知a是第一象限角，且coc+启，则ama-胃引一 13.由样本数据(x,y)1=1,2,3,10),求得回归直线方程为y=2x-1,且x=3,若去 除偏离点(4,10)后，得到新的回归直线方程为>=三x+方，则去除偏离点后，相应于 样本点(2,2)的残差值为 4已知双曲线C:专1>0,6>0)的左右点分别为乃，乃，过日且斜率容 装 在的直线I与双曲线C的渐近线相交于M,N两点，M0W中点纵坐标为5 MF=NF,则双曲线的渐近线方程为. 三、解答题（体大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) △4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A+C=bsinA. 2 (1)求B; (2)若△MBC为锐角三角形，b=√5，求2a-c的取值范围. 线 模数学第4页共6页 16. (15分) 如氮，在四按锥P-BCD中，PA1平面ABCD,∠DMB=受，B1CD, 2 PA=AB=AD=2,CD=1,M是线段PB上的动点. (1)当M是线段PB中点时，求证：CM//平面PAD; M (2)1 设N是PD的中点，当二面角P-AC-M的余弦值 ,装 为30 时，求点N到平面ACM的距离. 6 ,订 线 17.(15分) “冰雪同梦，亚洲同心”，2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，本次赛事共有6个大 内 项，11个分项，64个小项，有来自34个国家和地区，1200多名运动员参赛是一 场令人回味无穷的冬季体育盛会，亚冬会圆满结束后，我校团委组织学生参加与亚 不 冬会有关的知识竞赛.为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两 分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会，已知小明报名参加比赛，每 要 道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等， 答 (1)若前三道试题，小明每道试题答对的概率均为p, 线 ①设=名，记小明答完前三道题得分为X,求随机变量x的分布列嫩学期望： 题 ②若小明答完前四道题得8分的概率为】，求小明答完前四题时至少答对三题的 81 概率的最小值； (2)若小明答对每道题的概率均为，因为小明答对第一题或前两愿答错，均可 得到两分，称此时小明答题累计得分为2，记小明答题累计得分为的概率为P,求 数列{P}的通项公式， 高三一模数学 第5页共6页 18.(17分) 点A为直线x=一4上的动点，O为坐标原点，过点A作直线1垂直于y轴，过点O 作直线OA的垂线交直线1于点P, (1)求点P的轨迹方程； (2)记P点轨迹为曲线C,C上一定点B,过B作两不同直线分别交C于M,N 两点， ①直线BM、BN的斜率满足kM+kw=1,且直线MN过点(-3,2)，求定点B 坐标： ②若点B,2),且直线BM、BN的斜率满足kM+kaw=O,设△BMN的外接圆 为圆E,过点B作曲线C的切线m,判断直线m与圆E位置关系，并说明理由. 19.(17分) 已知函数f(x)=(x-a)lnx-x. (1)当a=e时，求f(x)的单调区间； (2)设，2（名<x2)是f(x)的两个极值点， 2 ①求证：为+x2>二： ②求证： 2v1+ae <为2-x<e2+2a+1. e 哈三中2025年高三学年第一次模拟考试 数学答案 2 3 4 5 6 8 9 10 11 B C B 0 A BC ACD ABD 2- 14.y=土x 15.(1)由正弦定理可符s血6i4+C=如Bsin4, 2 因为Ae,180）,如A*0,所以血牛C=抽B, …2分 2 因为4+8+C=180,所以4+C=90-县， 2 因为告-号引-om号所以m号8=2m号， 2 因为m号0所以号宁所以号-动，即 .5分 (2)因为△MBC为悦角三角形，得30°<C<90° .7分 由。。 mA如8"nc 相 6sm4_5a42m4.6e恤S.如c-2编C sinB 3 sinB 3 2 2 2a-c=4sin A-2sin C=4sin(120-C)-2sin C=23cosC ..... 11分 因为0<cosC< 所以2a-c的取值范围为(0,3). 13分 2 6(1)正明：取PA中点为K,连换MK,DK,则MK1I4B,且MK=AB= 因为CD11AB,CD=号AB,所以MK与CD平行且相等， 所以四边形MKDC为平行四边形， 所以MC/IKD, 高三一模数学答案第1页共7页 又因为MC:平面PAD,KDC平面PAD, 所以CMI1平面PAD …5分 (2)以A为原点，AD,AB,AP所在直线为x,?,z轴建立如图所示的空间直角坐标 系.则A(0,0,0),P(0,0,2),B(0,2,0),C(21,0),D(2,0,0)N,0,1). 设平面PAC的一个法向量为m=(x,y,), 由 mC=0.得m=-2,0: m.=0 设PM=1PB,得M(0,22,2-21). 设平面ACM的一个法向量为n=(xy,=), 由 nAC=0 n.AM=0 得-2) …8分 由cos(瓜)=四，解得久=有 …12分 此时n=(（1,-2,1), 设N点到平面ACM的距离为d, 则d= …15分 3 高三一模数学答案第2页共7页 17.(1)①随机变量X可能取3,45,6 Px=列-=分 Px=4=G--号 x=-c号号x=) 故得分X的分布列为： 27 27 27+4×写+5x后+6x8 2 4 E(X)=3 8 9 9 7 =5 5分 ②因为前四道试题得8分即全对的概事为】， 81 所以第4道试题答对的概率为1 81p' 所以小明答完前四愿时至少答对三哪的概串 叭+)+G-=时+动 …8分 因为-n--e-9p. 27p2 所以八)在(》上单调适减。在行上单调适增。 所以e以=-甘 4…10分 (2)依愿意可得R=子月=们)-子 3 3 P …l2分 高三一模数学爷案第3页共7页 即R+时=R+款 所+写2到为布数别。 所以R+写P=1 则2-是引引 所以化-}是以月-是言为殖项。一吉为公比的等比数列， 所以2-八，即R立广」 .…15分 18. (1)设4(-4，%)，则1：y=。,04:y=左x 4 %≠0时，OP:y=二x,P点轨迹为y2=4x0y≠0) …2分 yo y。=0时.P0,0) …3分 综上，P点轨迹为y2=4x …4分 a信利[答小客 直线MN:y=k(x+3)+2(斜串一定存在) y=k(x+3列+2联立得为2-4y+12k+8=0 y2=4x 高三一模数学容案第4页共7页