高一数学月考卷（北京专用，三角恒等变换+平面向量+解三角形）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第一次月考

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第六章+必修第一册5.5-5.7。 5．难度系数：0.66。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A．1 B． C． D． 3．已知角α的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A． B． C．3 D． 5．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C． D． 6．已知平面向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（   ） A． B． C． D． 8．已知α，β为锐角，，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数，如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），表示纯音振动的振幅（对应音强）．已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知，，则 . 12．已知，，则的最大值为 ，最小值为 . 13．向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线，则实数 . 14．函数的部分图象如图所示，则 . 15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ） ①．筒车转动的角速度 ②．当筒车旋转10秒时，盛水筒M 对应的点P的纵坐标为0 ③．当筒车旋转50秒时，盛水筒M 和初始点的水平距离为 ④．盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒 3、 解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分14分）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 17．（满分13分）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 18．（满分13分）已知是第二象限角， (1)求和的值； (2)求和的值. 19．（满分15分）设函数，其中．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，使的解析式唯一确定． (1)求的解析式及单调递增区间： (2)若在区间上的值域为，求的取值范围 条件①：的最小正周期为； 条件②：； 条件③：的图象关于直线对称． 20．（满分15分）已知函数. (1)求函数的图象的对称中心； (2)求的单调递增区间； (3)若函数在上有且仅有两个零点，求实数的取值范围. 21．（满分15分）定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质和； (2)若函数具有性质P. （ⅰ）求出，的值； （ⅱ）若将函数的图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第六章+必修第一册5.5-5.7。 5．难度系数：0.66。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A．1 B． C． D． 3．已知角α的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A． B． C．3 D． 5．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C． D． 6．已知平面向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（   ） A． B． C． D． 8．已知α，β为锐角，，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数，如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），表示纯音振动的振幅（对应音强）．已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知，，则 . 12．已知，，则的最大值为 ，最小值为 . 13．向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线，则实数 . 14．函数的部分图象如图所示，则 . 15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ） ①．筒车转动的角速度 ②．当筒车旋转10秒时，盛水筒M 对应的点P的纵坐标为0 ③．当筒车旋转50秒时，盛水筒M 和初始点的水平距离为 ④．盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒 3、 解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分14分）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 17．（满分13分）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 18．（满分13分）已知是第二象限角， (1)求和的值； (2)求和的值. 19．（满分15分）设函数，其中．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，使的解析式唯一确定． (1)求的解析式及单调递增区间： (2)若在区间上的值域为，求的取值范围 条件①：的最小正周期为； 条件②：； 条件③：的图象关于直线对称． 20．（满分15分）已知函数. (1)求函数的图象的对称中心； (2)求的单调递增区间； (3)若函数在上有且仅有两个零点，求实数的取值范围. 21．（满分15分）定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质和； (2)若函数具有性质P. （ⅰ）求出，的值； （ⅱ）若将函数的图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围. 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第六章+必修第一册5.5-5.7。 5．难度系数：0.66。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ， 故选：C. 2．已知，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则. 故选：B. 3．已知角α的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，， 所以. 故选：D 4．若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】由，即，解得. 故选：C. 5．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】由，又， 所以， 则. 故选：B 6．已知平面向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若则，共线，故充分性成立； 若，共线，不一定得到， 如，，显然满足，共线， 但是不存在实数使得，故必要性不成立； 所以“”是“，共线”的充分不必要条件. 故选：A 7．若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍得到， 再将图象向右平移个长度单位得到. 故选：A 8．已知α，β为锐角，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵为锐角，， ∴， ∴． 又，∴. 故选：B． 9．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数，如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），表示纯音振动的振幅（对应音强）．已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】频率为， 故选：C 10．如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选：A 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知，，则 . 【答案】3 【详解】由题得. 故答案为：3. 12．已知，，则的最大值为 ，最小值为 . 【答案】 6 2 【详解】设的夹角为，则， 因为，，所以 ， 因为，所以， 所以， 即， 所以的最大值为6，最小值为2. 故答案为：①6；②2. 13．向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线，则实数 . 【答案】2 【详解】由图可知，， 因为向量与共线，所以根据共线向量基本定理可设：， 即，则， 所以，解得. 故答案为：2. 14．函数的部分图象如图所示，则 . 【答案】2 【详解】结合图象，， 则，所以. 故答案为：2 15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ） ①．筒车转动的角速度 ②．当筒车旋转10秒时，盛水筒M 对应的点P的纵坐标为0 ③．当筒车旋转50秒时，盛水筒M 和初始点的水平距离为 ④．盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒 【答案】①②④ 【详解】①：因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时秒， 所以，因此①正确； ②：因为当时，盛水筒位于点，所以， 所以有，因为，所以， 即， 所以，因此②正确； ③：由②可知：盛水筒的纵坐标为，设它的横坐标为， 所以有，因为筒车旋转秒时，所以此时盛水筒在第三象限，故，盛水筒和初始点的水平距离为，因此③错误； ④：因为，所以筒车在秒的旋转过程中， 盛水筒第一次到达最高点所需要的时间是，因此④正确. 故选：①②④ 3、 解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分14分）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为向量，且， 所以，解得， 所以.……………………（4分） （2）因为，且， 所以，解得.……………………（8分） （3）因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且………………………（14分） 17．（满分13分）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【详解】（1）， ；……………………（6分） （2）， 又，故， 故三点共线. ……………………（13分） 18．（满分13分）已知是第二象限角， (1)求和的值； (2)求和的值. 【详解】（1）因为是第二象限角，， 所以，；……………………（6分） （2）， .……………………（13分） 19．（满分15分）设函数，其中．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，使的解析式唯一确定． (1)求的解析式及单调递增区间： (2)若在区间上的值域为，求的取值范围 条件①：的最小正周期为； 条件②：； 条件③：的图象关于直线对称． 【详解】（1）选条件①②： 由条件①知，， 所以，即． 由条件②知，． 因为，所以， 所以 令， 解得， 故的单调递增区间为……………………（7分） 选条件①③： 由条件①知，， 所以，即． 由条件③知，，所以, 因为，所以，以下同选条件①②， 选条件②③： 由条件②知，． 因为，所以，即 由条件③知，， 所以，此时不唯一，不符合要求……………………（7分） （2）因为，所以． 因为 且在区间上的值域为， 所以，解得， 故的取值范围是……………………（15分） 20．（满分15分）已知函数. (1)求函数的图象的对称中心； (2)求的单调递增区间； (3)若函数在上有且仅有两个零点，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为 ， 令，，得，， 所以的图象的对称中心为，.……………………（7分） （2）令，，得，， 所以，函数的单调递增区间为，.……………………（10分） （3）当时，，令，， 因为函数在上有且仅有两个零点， 则必有函数在上有且仅有两个零点，即， 即， 所以，函数与直线有两个交点，如下图所示： 由图可知，当时，即当时， 函数与直线有两个交点， 因此，实数的取值范围是.……………………（15分） 21．（满分15分）定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质和； (2)若函数具有性质P. （ⅰ）求出，的值； （ⅱ）若将函数的图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围. 【详解】（1）， ， 所以，所以不具有性质， ， ， 所以，所以具有性质.……………………（6分） （2）若具有性质，则， 则，因为，所以， 则， 由得，，， 若，则存在，使得， 而，上式不成立， 故，即，因为，所以， 则，，则， 验证：当时，， 则对任意，， ， 所以等式成立， 故存在，使得具有性质.……………………（10分） （ⅱ），所以， ，， 由，得 即， 即， 即， 即， 因为对任意的，当时，恒成立， 所以对任意的，当时，，恒成立， ，，不妨设， 则问题转化为在区间上单调递减， 所以，解得：……………………（15分） 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B D C B A A B C A 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11． 12．①6；②2. 13．2 14．2 15．①②④ 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分14分） 【详解】（1）因为向量，且， 所以，解得， 所以.……………………（4分） （2）因为，且， 所以，解得.……………………（8分） （3）因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且………………………（14分） 17．（满分13分） 【详解】（1）， ；……………………（6分） （2）， 又，故， 故三点共线. ……………………（13分） 18．（满分13分） 【详解】（1）因为是第二象限角，， 所以，；……………………（6分） （2）， .……………………（13分） 19．（满分15分） 【详解】（1）选条件①②： 由条件①知，， 所以，即． 由条件②知，． 因为，所以， 所以 令， 解得， 故的单调递增区间为……………………（7分） 选条件①③： 由条件①知，， 所以，即． 由条件③知，，所以, 因为，所以，以下同选条件①②， 选条件②③： 由条件②知，． 因为，所以，即 由条件③知，， 所以，此时不唯一，不符合要求……………………（7分） （2）因为，所以． 因为 且在区间上的值域为， 所以，解得， 故的取值范围是……………………（15分） 20．（满分15分） 【详解】（1）因为 ， 令，，得，， 所以的图象的对称中心为，.……………………（7分） （2）令，，得，， 所以，函数的单调递增区间为，.……………………（10分） （3）当时，，令，， 因为函数在上有且仅有两个零点， 则必有函数在上有且仅有两个零点，即， 即， 所以，函数与直线有两个交点，如下图所示： 由图可知，当时，即当时， 函数与直线有两个交点， 因此，实数的取值范围是.……………………（15分） 21．（满分15分） 【详解】（1）， ， 所以，所以不具有性质， ， ， 所以，所以具有性质.……………………（6分） （2）若具有性质，则， 则，因为，所以， 则， 由得，，， 若，则存在，使得， 而，上式不成立， 故，即，因为，所以， 则，，则， 验证：当时，， 则对任意，， ， 所以等式成立， 故存在，使得具有性质.……………………（10分） （ⅱ），所以， ，， 由，得 即， 即， 即， 即， 因为对任意的，当时，恒成立， 所以对任意的，当时，，恒成立， ，，不妨设， 则问题转化为在区间上单调递减， 所以，解得：……………………（15分） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教 A 版 2019 必修第二册第六章+必修第一册 5.5-5.7。 5．难度系数：0.66。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本题共 10小题，每小题 4分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．cos105 cos45 cos15 sin45     （ ） A． 3 2  B． 1 2  C． 1 2 D． 3 2 2．已知 1 sin 3   ，则cos2 （ ） A．1 B． 7 9 C． 5 9 D． 1 3 3．已知角 α 的终边过点  4, 3 ，则 sin2 （ ） A． 3 4 B． 3 4  C． 24 25 D． 24 25  4．若 π tan 2 4        ，则 tan （ ） A． 1 3 B． 1 3  C．3 D． 3 5．已知向量   32, , , 2 2 a m b          ，若  a b a  ，则m（ ） A． 3 2 B．1 C． 1 D． 3 2  6．已知平面向量a  ，b  则“  Ra b    ”是“a  ，b  共线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若将函数 siny x 的图象上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍，再将图象向右平移 π 2 个长度单位，则所得 到的曲线的解析式为（ ） A． 1 π sin 2 4 y x       B． sin2y x  C． 1 cos 2 y x  D． cos2y x  8．已知 α，β为锐角， 3 4 tan ,cos( ) 4 5       ，则2  的值为（ ） A． 5π 6 B．π C． π 3 D． π 2 9．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角 函数，如音叉发出的纯音振动可表示为 siny A x ，其中 x表示时间， y表示纯音振动时音叉的位移， 2π  表示纯音振动的频率（对应音高），A 表示纯音振动的振幅（对应音强）．已知某音叉发出的纯音振动可表 示为 1 sin3 3 y x ，则该纯音振动的频率为（ ） A． 1 6π B． 2 3π C． 3 2π D． 3 π 10．如图，已知 ,D E分别是 ABC 边 ,AB AC上的点，且满足 3 2 AB AD   ， 4AC AE   ， BE与CD交于O， 连接 AO并延长交BC于 F 点．若 AO OF   ，则实数的值为（ ） A． 7 3 B． 4 3 C． 5 2 D．2 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本题共 5小题，每小题 5分，共 25分． 11．已知  2,1a   ，  3, 3b    ，则a b    . 12．已知 2a   ， 4b   ，则 a b   的最大值为 ，最小值为 . 13．向量 , ,a b c    在正方形网格中的位置如图所示. 若向量 a b    与 c  共线，则实数  . 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 14．函数  π( ) 2sin 0 3 f x x        的部分图象如图所示，则  . 15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图 画描绘了筒车的工作原理（图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如 图 2，将筒车抽象为一个半径为 R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时 60 秒，当 0t  ，盛水筒M 位于点  0 3, 3 3P  ，经过 t秒后运动到点  ,P x y ，点 P的纵坐标满足    siny f t R t    （ 0t  ， 0  ， π 2   ），则下列叙述正确的是（ ） ①．筒车转动的角速度 π rad / s 30   ②．当筒车旋转 10 秒时，盛水筒M 对应的点 P的纵坐标为 0 ③．当筒车旋转 50 秒时，盛水筒M 和初始点的水平距离为6 3 ④．盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是 25 秒 三、解答题：本题共 6小题，共 85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分 14 分）已知向量    1, 2 , 3,a b k    . (1)若 a  ∥ b  ，求 b  的值； (2)若  2a a b    ，求实数 k的值； (3)若 a  与b  的夹角是钝角，求实数 k的取值范围. 17．（满分 13 分）如图，在 ABC 中， 1 2 , 2 3 AM AB CN CB      .设 ,AB a AC b     . (1)用 ,a b  表示 ,AN MN   ； (2)若 P为 ABC 内部一点，且 4 1 9 9 BP a b     .求证： , ,M P N 三点共线. 18．（满分 13 分）已知 是第二象限角， 4 cos 5   (1)求sin和 tan 的值； (2)求 π cos 6       和sin2的值. 19．（满分 15 分）设函数    2sinf x x   ，其中 π0,0 2     ．再从条件①、条件②、条件③这三个 条件中选择两个作为已知条件，使  f x 的解析式唯一确定． (1)求  f x 的解析式及单调递增区间： (2)若  f x 在区间 π , 3 m     上的值域为 3, 2  ，求m的取值范围 条件①：  f x 的最小正周期为π； 条件②：  0 3f  ； 条件③：  f x 的图象关于直线 π 12 x  对称． 20．（满分 15 分）已知函数   π2sin sin cos 2 3 f x x x x       . (1)求函数  f x 的图象的对称中心； (2)求  f x 的单调递增区间； (3)若函数  y f x a  在 π0, 2      上有且仅有两个零点，求实数a的取值范围. 21．（满分 15 分）定义域为 R 的函数  h x 满足：对任意 Rx ，都有      2π 2πh x h x h   ，则称  h x 具 有性质 P. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质  : 2 1P m x x  和   1 cosn x x  ； (2)若函数     3 5 πsin ( , ) 2 2 2 f x x        具有性质 P. （ⅰ）求出，的值； （ⅱ）若将函数  y f x 的图象向左平移 π 3 个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来 的 2 倍，得到函数  y g x 的图象，若对任意的 a，  2 , πb m m  ，当 a b 时，        2 2f a f b g a g b   恒成立，求正实数 m的取值范围. 1 / 6 2024-2025 学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟，分值：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教 A 版 2019 必修第二册第六章+必修第一册 5.5-5.7。 5．难度系数：0.66。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本题共 10小题，每小题 4分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．cos105 cos45 cos15 sin45     （ ） A． 3 2  B． 1 2  C． 1 2 D． 3 2 2．已知 1 sin 3   ，则cos2 （ ） A．1 B． 7 9 C． 5 9 D． 1 3 3．已知角 α 的终边过点  4, 3 ，则 sin2 （ ） A． 3 4 B． 3 4  C． 24 25 D． 24 25  4．若 π tan 2 4        ，则 tan （ ） A． 1 3 B． 1 3  C．3 D． 3 5．已知向量   32, , , 2 2 a m b          ，若  a b a  ，则m（ ） A． 3 2 B．1 C． 1 D． 3 2  6．已知平面向量a  ，b  则“  Ra b    ”是“a  ，b  共线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若将函数 siny x 的图象上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍，再将图象向右平移 π 2 个长度单位，则所得 2 / 6 到的曲线的解析式为（ ） A． 1 π sin 2 4 y x       B． sin2y x  C． 1 cos 2 y x  D． cos2y x  8．已知 α，β为锐角， 3 4 tan ,cos( ) 4 5       ，则2  的值为（ ） A． 5π 6 B．π C． π 3 D． π 2 9．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角 函数，如音叉发出的纯音振动可表示为 siny A x ，其中 x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移， 2π  表 示纯音振动的频率（对应音高），A 表示纯音振动的振幅（对应音强）．已知某音叉发出的纯音振动可表示 为 1 sin3 3 y x ，则该纯音振动的频率为（ ） A． 1 6π B． 2 3π C． 3 2π D． 3 π 10．如图，已知 ,D E分别是 ABC 边 ,AB AC上的点，且满足 3 2 AB AD   ， 4AC AE   ， BE与CD交于O， 连接 AO并延长交BC于 F 点．若 AO OF   ，则实数的值为（ ） A． 7 3 B． 4 3 C． 5 2 D．2 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5分，共 25分． 11．已知  2,1a   ，  3, 3b    ，则a b    . 12．已知 2a   ， 4b   ，则 a b   的最大值为 ，最小值为 . 13．向量 , ,a b c    在正方形网格中的位置如图所示. 若向量 a b    与 c  共线，则实数  . 3 / 6 14．函数  π( ) 2sin 0 3 f x x        的部分图象如图所示，则  . 15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图 画描绘了筒车的工作原理（图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如 图 2，将筒车抽象为一个半径为 R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时 60 秒，当 0t  ，盛水筒M位 于点  0 3, 3 3P  ，经过 t秒后运动到点  ,P x y ，点 P的纵坐标满足    siny f t R t    （ 0t  ， 0  ， π 2   ），则下列叙述正确的是（ ） ①．筒车转动的角速度 π rad / s 30   ②．当筒车旋转 10 秒时，盛水筒M 对应的点 P的纵坐标为 0 ③．当筒车旋转 50 秒时，盛水筒M 和初始点的水平距离为6 3 ④．盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是 25 秒 三、解答题：本题共 6 小题，共 85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分 14 分）已知向量    1, 2 , 3,a b k    . (1)若 a  ∥ b  ，求 b  的值； (2)若  2a a b    ，求实数 k的值； (3)若 a  与b  的夹角是钝角，求实数 k的取值范围. 4 / 6 17．（满分 13 分）如图，在 ABC 中， 1 2 , 2 3 AM AB CN CB      .设 ,AB a AC b     . (1)用 ,a b  表示 ,AN MN   ； (2)若 P为 ABC 内部一点，且 4 1 9 9 BP a b     .求证： , ,M P N 三点共线. 18．（满分 13 分）已知 是第二象限角， 4 cos 5   (1)求sin和 tan 的值； (2)求 π cos 6       和sin2的值. 5 / 6 19．（满分 15 分）设函数    2sinf x x   ，其中 π0,0 2     ．再从条件①、条件②、条件③这三个 条件中选择两个作为已知条件，使  f x 的解析式唯一确定． (1)求  f x 的解析式及单调递增区间： (2)若  f x 在区间 π , 3 m     上的值域为 3, 2  ，求m的取值范围 条件①：  f x 的最小正周期为π； 条件②：  0 3f  ； 条件③：  f x 的图象关于直线 π 12 x  对称． 20．（满分 15 分）已知函数   π2sin sin cos 2 3 f x x x x       . (1)求函数  f x 的图象的对称中心； (2)求  f x 的单调递增区间； (3)若函数  y f x a  在 π0, 2      上有且仅有两个零点，求实数a的取值范围. 6 / 6 21．（满分 15 分）定义域为 R 的函数  h x 满足：对任意 Rx ，都有      2π 2πh x h x h   ，则称  h x 具 有性质 P. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质  : 2 1P m x x  和   1 cosn x x  ； (2)若函数     3 5 πsin ( , ) 2 2 2 f x x        具有性质 P. （ⅰ）求出，的值； （ⅱ）若将函数  y f x 的图象向左平移 π 3 个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，得到函数  y g x 的图象，若对任意的 a，  2 , πb m m  ，当 a b 时，        2 2f a f b g a g b   恒 成立，求正实数 m的取值范围. 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 5 分，共 25 分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共 85 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 18．（13 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15 分） 21．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！