18.1.2平行四边形的判定（ 第2课时 ）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

人教版八年级数学下册 第18章 平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定 第2课时 平行四边形的判定（2） 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.（重点） 2.会进行平行四边形的性质与判定的综合运用.（难点） 数学来源于生活，高铁被外媒誉为我国新四大发明之一，我们知道铁路的两条直铺的铁轨互相平行，那么铁路工人是怎样的确保它们平行的呢？ 情景导入 只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了 那这是为什么呢？会不会跟我们学过的平行四边形有关呢？ 问题 我们知道，两组对边分别平行或相等的是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？ 猜想1：一组对边相等的四边形是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 等腰梯形不是平行四边形，因而此猜想错误. 猜想2：一组对边平行的四边形是平行四边形. 梯形的上下底平行，但不是平行四边形，因而此猜想错误. 新知探究 B A 活动 如图，将线段AB向右平移BC长度后得到线段 CD，连接AD，BC，由此你能猜想四边形ABCD的形状吗？ D C 四边形ABCD是平行四边形 猜想3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 你能证明吗？ 7 A B C D 证明思路 作对角线构造全等三角形 一组对应边相等 两组对边分别相等 四边形ABCD是平行四边形 如图，在四边形ABCD中，AB=CD且AB∥CD， 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证一证 议一议 8 A B C D 2 1 证明：连接AC. ∵AB∥CD， ∴∠1=∠2. 在△ABC和△CDA中, AB=CD， AC=CA， ∠1=∠2， ∴△ABC≌△CDA(SAS)， ∴BC=DA . 又∵AB= CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 平行四边形的判定定理： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中，∵AB∥CD,AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. B D A C 概念归纳 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB =CD，EB //FD． 又∵EB = AB ，FD = CD， ∴EB =FD ． ∴四边形EBFD是平行四边形． 例1 如图 ，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形. 例题讲解 例2 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边形． 证明：∵AB=CD， ∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD， 在△ACE和△DBF中， AC＝BD ,∠A＝∠D, AE＝DF , ∴△ACE≌△DBF(SAS)， ∴CE=BF，∠ACE=∠DBF， ∴CE∥BF， ∴四边形BFCE是平行四边形． 【变式题】 如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE． （1）求证：△ACD≌△CBE； （2）连接DE，求证：四边形CBED是平行四边形． 证明：（1）∵点C是AB的中点，∴AC=BC. 在△ADC与△CEB中， AD＝CE , CD＝BE , AC＝BC , ∴△ADC≌△CEB（SSS）， （2）∵△ADC≌△CEB， ∴∠ACD=∠CBE， ∴CD∥BE. 又∵CD=BE， ∴四边形CBED是平行四边形． 讨论 例3 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE相等吗？为什么？ 解：BF＝CE．理由如下： ∵DF∥BC，EF∥AC， ∴四边形FECD是平行四边形，∠FDB=∠DBE， ∴FD=CE. ∵BD平分∠ABC， ∴∠FBD=∠EBD， ∴∠FBD=∠FDB. ∴BF=FD. ∴BF＝CE. 平行四边形的性质与判定的综合运用 例4 如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．求证：四边形BCED′是平行四边形. 证明：由题意得∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E， ∵DE∥AD′， ∴∠DEA=∠EAD′， ∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA， ∴∠DAD′=∠DED′， ∴四边形DAD′E是平行四边形， ∴DE=AD′. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB=DC， ∴CE∥D′B，CE=D′B， ∴四边形BCED′是平行四边形. 归纳 此题利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，再结合平行四边形的判定及性质进行解题. 1.为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了.你能说出其中的道理吗？ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 课堂练习 2.如图，在□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点 分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足.求证：四边形AFCE是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， A B D C E F ∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°. ∴△AED≌△CFB， ∴AE＝CF. 又∵ ∠AEF＝∠CFE＝90°， ∴ AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形. 【考点】平行四边形的性质和判定的综合应用. 课堂练习 3.如图，在□ABCD中，点E、F分别在BC，AD上，且AF＝CE. 求证：四边形AECF是平行四边形. A D B C F E 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，即AF∥CE. 又∵AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形. 【考点】平行四边形的性质和判定综合应用. 难度系数：☆ 课堂练习 4.如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形. A D B C E F 证明：∵四边形AEFD和EBFC都是平行四边形， ∴EF∥AD，EF＝AD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴EF∥BC，EF＝BC， 【考点】平行四边形的判定方法. 难度系数：☆☆☆ 课堂练习 1.根据图中所示数据（不添加辅助线），判定四边形 是平行四边 形的依据是( ) D （第1题） A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是 平行四边形 D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 分层练习 21 （第2题） 2. 如图，给出了四边形的部分数据，再添加 一条线段长为9的条件，可得此四边形是平行四边形， 则这条线段是( ) D A.① B.② C.③ D.④ 22 3.在四边形中，已知 ，再加上一个条件，不能判定四边 形 是平行四边形的是( ) D A. B. C. D. 4.根据所标数据，下列不一定是平行四边形的是( ) C A. B. C. D. 23 5. 如图，在中，点，分别在， 上.下列条件中，不能得出四边形 一定为平行四边形的是( ) B A. B. C. D. 24 如图，将向右平移得到，连接 ，， ， 则图中有___个平行四边形. 3 （第6题） 25 7.[2024·北京通州区期中] 如图，在四边形中， ，对角线 ，交于点，现有三个条件：； ； .其中可以判定四边形 是平行四边形的有______ （填序号） . ①② （第7题） 26 8.[2024·上海青浦区期中] 如图，在四边形 中，，对角线， 相交于 点，在边的延长线上，且 ， . 证明：， . ，， . ， 四边形 是平行四边形. 求证：四边形 是平行四边形. 27 9.如图，，，，是线段 上的两点，则以下条件 不能判断四边形 是平行四边形的是( ) C A. B. C. D.， 28 10.已知在平面直角坐标系中有三个点：，， .在 平面内确定点，使得以，，， 为顶点的四边形为平行四边形， 则点 的坐标不可能是( ) D A. B. C. D. 29 11.如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边 上 的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形 的 周长为____. 16 （第11题） 30 [解析] 点拨：四边形 是平行四边形， ，， . 由折叠的性质得，， ， ， ， ， ，，又 ， 四边形 是平行四边形， 四边形的周长 . 31 12. 如图，在四边形中， ， ，，点，分别从，同时出发，点 以 的速度由向运动，点以的速度由向 运动.设运动的 时间为，则当______时，直线将四边形 截出一个平行四 边形. 2或3 （第12题） 32 [解析] 点拨：根据题意，得， ， 则， . ， 当时，四边形 是平行四边形， ，解得 ； ， 当时，四边形 是平行四边形， ，解得 . 综上所述，当或3时，直线将四边形 截出一个平行四边形. 33 13.[2024·达州 如图] ，线段，相交于点，且 ， 于点 . 34 （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点，连接， ； （不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母） 解：如图. 35 （2）若，请判断四边形 的形状，并说明理由. （若前问未完成，可画草图完成此问） 解：四边形 是平行四边形. 理由如下：，， . 又，， . ，，， . 又，,， . 又, 四边形 是平行四边形. 36 14. 如图，在中，， 为锐角， 点是对角线的中点.某数学学习小组要在上找两点， ，使四边 形 为平行四边形，现总结出甲、乙、丙三种方案如下： 请回答下列问题： （1）以上方案能得到四边形 为平行四边形的是____________； 甲、乙、丙 37 （2）请将（1）中方案的证明过程写下来（如果有多种只写一种即可）. 证明：（以下三种选择一种即可）方案甲：如图， 连接，易得过点 ， 四边形是平行四边形，为 的中点， ， . ，， . 又, 四边形 为平行四边形. ，分别为， 的中点， 38 方案乙： 四边形 是平行四边形， ，， ， . 平分，平分 ， . 在和中， ，， ， ， . 又, 四边形 为平行四边形. 方案丙：， ， ， . 四边形 是平行四边形， ,， . 在和中， ， . 又, 四边形 是平行四边形. 平行四边形的判定(2) 平行四边形的性质与判定的综合运用 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 课堂小结 $$