18.1.2平行四边形的判定 （第3课时 三角形的中位线）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

人教版八年级数学下册 第18章 平行四边形 第3课时 三角形的中位线 18.1.2 平行四边形判定 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线 定理. （重点） 2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题. (重点） 问题 平行四边形的性质和判定有哪些？ 边： 角： 对角线： B O D A C AB∥CD, AD∥BC AB=CD, AD=BC AB∥CD, AB=CD ∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC AO=CO,DO=BO 判定 性质 情景导入 我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧. 思考 如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？ 概念学习 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. A B C D E 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，则线段DE就称为△ABC的中位线. 三角形的中位线定理 新知探究 问题1 一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？ A B C D E F 有三条，如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF. 问题2 三角形的中位线与中线有什么区别？ 中位线是连接三角形两边中点的线段. 中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段. 问题3：如图，DE是△ABC的中位线， DE与BC有怎样的关系？ D E 两条线段的关系 位置关系 数量关系 分析： DE与BC的关系 猜想： DE∥BC ？ 度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论． 问题4： 平行 角 平行四边形 或 线段相等 一条线段是另一条线段的一半 倍长短线 分析1： D E 猜想： 三角形的中位线平行于三角形的 第三边且等于第三边的一半． 问题3：如何证明你的猜想？ 分析2： D E 互相平分 构造 平行四边形 倍长DE 思考 证明： D E 延长DE到F，使EF=DE． 连接AF、CF、DC ． ∵AE=EC，DE=EF ， ∴四边形ADCF是平行四边形． F ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴CF AD , ∴CF BD , 又∵ ， ∴DF BC ． ∴ DE∥BC， ． 如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点， 求证： 做一做 D E 证明： 延长DE到F，使EF=DE． F ∴四边形BCFD是平行四边形． ∴△ADE≌△CFE． ∴∠ADE=∠F 连接FC． ∵∠AED=∠CEF，AE=CE， 证法2： ，AD=CF, ∴BD CF． 又∵ ， ∴DF BC ． ∴ DE∥BC， ． ∴CF AD , 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． D E △ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点， 则DE∥BC，DE= BC． 三角形中位线定理： 符号语言： 概念归纳 A B C D E F 重要发现： ①中位线DE、EF、DF把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE和BDEF，四边形 BFED和CFDE，四边形ADFE和DFCE. ②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一. 由此你知道怎样分蛋糕了吗 观察 例4 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形． 四边形问题 连接对角线 三角形问题 （三角形中位线定理） 分析： 做一做 三角形的中位线与平行四边形的综合运用 证明:连接AC. ∵E,F,G,H分别为各边的中点, ∴ EF∥HG, EF=HG. ∴EF∥AC, HG∥AC, ∴四边形EFGH是平行四边形. 顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形. 归纳 【变式题】如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．求证：四边形EFGH为平行四边形. 证明：如图，连接BD. ∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点， ∴EH是△ABD的中位线， FG是△BCD的中位线， ∴EH∥BD且EH= BD， FG∥BD且FG= BD， ∴EH∥FG且EH=FG， ∴四边形EFGH为平行四边形. 解：能在图中画出3个平行四边形. 如图，连接DE,EF,FD, 则▱BEFD,▱DECF,▱DEFA即为所画的3个平行四边形. 1. 如图, 在△ABC中, D, E, F分别是, AB, BC, CA 的中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？ B E A C F D 课堂练习 A B C D E 方法1：分别取AC, BC的中点D, E, 连接DE, 并量出DE的长，则AB=2DE（依据：三角形中位线定理）. 2.如图，A, B两点被池塘隔开，在 A, B外选一点C，连接 AC和 BC, 怎样测出 A, B两点间的距离？根据是什么？ A B C D E 方法2：可分别延长AC和BC到D, E, 使 DC=BC ，EC=AC, 连接DE, 量出DE的距离，即得AB的距离，AB=DE（依据：三角形全等）. 2.如图，A, B两点被池塘隔开，在 A, B外选一点C，连接 AC和 BC, 怎样测出 A, B两点间的距离？根据是什么？ （第1题） 如图，小张想估测被池塘隔开的，两处景观 之间的距离，他先在外取一点 ，然后步测出，的中点，， 并步测出 的长约为，由此估测， 之间的距离约为( ) C A. B. C. D. 分层练习 21 （第2题） 2.[2024·广安] 如图，在中，点， 分别是，的中点， 若 ， ，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 22 （第3题） 3.如图，在中，，为 上一动点，，分别为， 的中点，则 的长为( ) B A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 23 （第4题） 4.如图，,,分别是 三边的中点.若 , ， 则 的度数为( ) C A. B. C. D. 24 5. 如图是一个跷跷板的示意图，支柱 垂直于地面， 点是跷跷板（AB）的中点， ，在游戏中，小朋友 （看作点或点）离地面的最大高度是____ . 0.7 25 7.如图，为斜边上的中线，为 的中点．若， ，则 ___. 3 （第7题） 6.[2024· 无锡] 在中，，，，，， 分 别是，，的中点，则 的周长为___. 9 26 8.[2024· 浙江] 如图，，分别是的边， 的中点，连接 ，.若，，则 的长为___. 4 （第8题） 27 9.如图，在中，,,分别是,, 的中点.连接,,,， 求证：与 互相平分. 证明:，,分别是,， 的中点， ,是 的中位线. , . 四边形为平行四边形.与 互相平分. 28 10.如图，的对角线，相交于点 ， 点是的中点，.若 的周长为12， 则 的周长为( ) B A.4 B.5 C.6 D.8 29 [解析] 点拨：四边形 是平行四边形， 是的中点， . 又是的中点，是的中位线， . ， . 的周长为12， ， 的周长为 . 30 （第11题） 11.如图，是内一点，， ，，，，， ，分别是， ，，的中点，则四边形 的周长为( ) A A.12 B.14 C.24 D.21 [解析] 点拨：，， ， . ，，，分别是，，， 的中点， ， ， 四边形 的周长为 . 31 （第12题） 12.如图，在中， ，，，点在边 上， ，，垂足为，是 的中点，则 的长为( ) D A.9 B.8 C.6 D.4 [解析] 点拨：在中， ， ， ， . ，，，为 的中点. 又为 的中点， 是的中位线， . 32 13.在四边形中，，点，分别是边， 的中点，连 接 . （1）如图①，点为对角线的中点，连接， ，若 ， 则_____ . 128 33 （2）如图②，直线分别与，的延长线交于点， .求证： . 证明：如图，连接，取的中点，连接， ， 易得为的中位线，为 的中位线， ，，， ， ， . ， ， ， . 34 14.【课本再现】如图①，，分别是的边, 的中点.求证： ，且 . 35 （1）【定理证明】嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图②③， 请选择其中的一种作法进行证明. 36 解：（答案不唯一）选择嘉嘉的作法进行证明. 证明：由嘉嘉的作法得 . 是的中点， . 又, , , . 是的中点，, . 又, 四边形 是平行四边形， ,,, . 37 （2）【知识应用】 如图④，在四边形 中， ，， ， ，点，，分别是， ， 的中点，连接,,，求 的长. 38 解： 点，分别是， 的中点， 是的中位线，， ， . ， ， 同理可得， ， ， ， . 39 解：由题意得□ABCD周长为 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC. ∴2(AB+BC)=32. ∴BC=10. 1.如果四边形ABCD是平行四边形，AB=6，且AB的长是□ABCD周长的 ，那么 BC的长是多少？ 习题 2.如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板.如果光线与纸板右下方所成的∠1是72°15′，那么光线与纸板左上方所成的∠2是多少度？为什么？ 解：∠2是72°15′.理由：平行四边 形的对角相等． 3.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD=36，AB=11. 求△OCD的周长. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=11， 又∵AC＋BD=36， ∴OC+OD= (AC＋BD)=18. ∴△OCD的周长为OC+OD+CD=18+11=29. 4.如图，在□ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且AF=CE. 求证：四边形AECF是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC. ∵点E，F分别在BC，AD上， ∴AF∥CE. 又∵AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形． 5.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO. 又∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点， ∴EO=GO，FO=HO. ∴四边形EFGH是平行四边形． 6.如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形.求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形， ∴EF AD，EF BC. ∴AD BC. ∴四边形ABCD是平行四边形． 7.如图，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？你还能画出一些与△ABC面积相等的三角形吗？ 解：△ABC与△DBC的面积 相等.理由：因为两条平行线 之间的距离相等，所以△ABC与△DBC的高相等.又它们的底都是BC，所以它们的面积相等. 这样的三角形有无数个，只要 是以BC为底，第三个顶点在直线l1上的三角形的面积就等于△ABC的面积. 8.如图，□OABC的顶点O，A，C的坐标分别是(0，0)，(a，0)，(b，c). 求顶点B的坐标. 解：在□OABC中，OA=BC， ∵点A(a，0)，∴OA=BC=a. ∵点C(b，c)， ∴点B的坐标为(b+a，c). 9.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC． (1) 已知∠A=∠B，求证：AD=BC； 证明：如图，过点C作CE∥AD交AB于点E. (1) ∵AB∥DC，CE∥AD， ∴四边形AECD为平行四边形. ∴AD=EC. ∵CE∥AD， ∴∠A=∠CEB. E ∵∠A=∠B， ∴∠B=∠CEB. ∴BC=EC. ∴AD=BC. (2) 已知AD=BC，求证：∠A=∠B． (2) 由(1)知四边形AECD为平行四边形，∴AD=EC. ∵AD=BC，∴BC=EC. ∴∠B=∠CEB. ∵CE∥AD， ∴∠A=∠CEB. ∴∠A=∠B． E 10.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°，BE平分∠ABC且交AD于点E，DF∥BE且交BC于点F. 求∠1的大小． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°， ∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=70°， ED∥BF. 又∵BE∥DF， ∴四边形EBFD是平行四边形. ∴∠EBF=∠EDF. ∵BE平分∠ABC，∠ABC=70°， ∴∠EBF= ∠ABC=35°. ∴∠EDF=35°. ∴∠1=∠ADC－∠EDF=70°－35°=35°. 11.如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC，∠ABC与∠B′有什么关系？线段AB′与线段AC′呢？为什么？ 解：∠ABC=∠B′，AB′=AC′.理由如下： ∵A′B′∥BA，B′C′∥CB， ∴四边形ABCB′是平行四边形. ∴∠ABC=∠B′，AB′=BC. 同理，四边形BCAC′是平行四边形. ∴AC′=BC. ∴AB′=AC′. 12.如图，在四边形ABCD中，AD=12，DO=OB=5，AC=26，∠ADB=90°. 求BC的长和四边形ABCD的面积． 解：在Rt△ADO中，由勾股定理，得 AO= ∵AC=26，∴OC=26－13=13. ∴AO=OC. ∵DO=OB， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴BC=AD=12， S□ABCD=AD·BD=12×10=120. 13.如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？ 解：6个. 两个有公共边的正三角形刚好构成一个平行四边形. 14.如图，用硬纸板剪一个平行四边形，作出它的对角线的交点O，用大头针把一根平放在平行四边形上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动.拨动细木条，使它随意停留在任意位置．观察几次拨动 的结果，你发现了什么？证明你的发现． 解：若木条与平行四边形的对边相交于点E，F，那么无论木条怎样转动， 都有OE=OF. 理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AO=CO. 假设木条与边AD相交于点F， 与边BC相交于点E， F E 则∠OAF=∠OCE，∠OFA=∠OEC. ∴△AOF≌△COE. ∴OF=OE. 当木条与边AB，CD相交于 点G，H时，同理可得OG=OH. 15.如图，在□ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB. 图中哪两个平行四边形面积相等？为什么？ 解：□AEPH与□PGCF面积相等.理由如下：由题意，易证△ABD≌△CDB，△PHD≌△DFP，△BEP≌△PGB. 故可得到S△ABD=S△CDB，S△PHD=S△DFP，S△BEP=S△PGB， ∴S△ABD－S△PHD－S△BEP=S△CDB－S△DFP－S△PGB. 即S□AEPH=S□PGCF． 三角形的中位线 三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半 三角形的中位线定理 三角形的中位线定理的应用 课堂小结 $$