精品解析：吉林省四平市实验中学2024-2025学年高一下学期期初考试数学试题

四平市实验中学2024-2025学年下学期期初考试 高一年级数学学科 本试卷共4页．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．答题时请按要求用笔． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A B. C. D. 2. 已知角的终边上有一点，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A B. C. D. 4. “是第二象限角”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的零点的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 函数的对称轴方程为 D. 将的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数的图象 11. 已知函数定义域为，对任意，都有，当时，，且，则（ ） A. ，都有 B. 当时， C. 是减函数 D. 若则不等式的解集为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为______. 13. 已知函数的图象经过点，则函数的单调递增区间是______． 14. 已知，，则的值为_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求：①，②； （2）若，求实数m的取值范围. 16. 已知函数． （Ⅰ）若，求函数的单调递增区间； （Ⅱ）若函数图象的相邻两对称轴之间的距离为，求函数在上的值域． 17. 已知是自然对数的底数，. （1）判断函数在上的单调性并证明； （2）解不等式. 18. 正值安顺市创建全国文明城市之际，某单位积极倡导“环保生活，低碳出行”，其中电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如表所示： 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，. （1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）现有一辆该型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少? 19. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四平市实验中学2024-2025学年下学期期初考试 高一年级数学学科 本试卷共4页．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．答题时请按要求用笔． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合B，结合韦恩图求出即可得解. 【详解】由，得或，则，， 由韦恩图知，阴影部分对应的集合表示为. 故选：A 2. 已知角的终边上有一点，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦函数的定义求解即得. 【详解】依题意，. 故选：C. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法来求得正确答案. 【详解】依题意，，解得， 所以的定义域的为. 故选：C 4. “是第二象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件定义，结合三角函数的定义判断即可. 【详解】充分性：若是第二象限角，则，，可推出，充分性成立； 必要性：若，即与异号，则为第二象限或第三象限角，必要性不成立； 故选：A 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及特殊点的函数值来确定正确答案. 【详解】的定义域为， ，所以奇函数， 图象关于原点对称，所以B选项错误. ，所以C选项错误. 的增长速度比的增长速度慢， 所以时，，所以D选项错误. 故选：A 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用“分段法”来求得正确答案. 【详解】， ， ， 即，所以. 故选：B 7. 函数的零点的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将零点问题转化为交点问题，作图求解即可. 【详解】令，故，即的零点个数为与的交点个数， 显然在单调递增，的周期为，且当时，， 故此时两个函数无交点，作出图像如下图， 由图像得共有个交点，故有个零点，即C正确. 故选：C 8. 已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由题意得到为偶函数且在上单调递增，由，将原不等式转化为，然后利用的图象与性质将问题转化为，解不等式即可得解. 【详解】设，由且, 则在上单调递增，∵为奇函数，， 故为偶函数， 而， 则，解得：， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】 先利用不等式性质得到，再利用不等式性质逐一判断选项的正误即可. 【详解】由知，，，即，故， 所以，A错误，B错误； 由知，，，则，故C正确； 由知，，则，故，即，D正确. 故选：CD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 函数的对称轴方程为 D. 将的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据上述图象依次求得，利用整体代入法求得的对称轴，利用三角函数图象变换以及函数的奇偶性判断D选项. 【详解】由于可知，，AB选项正确. 所以， ，， 所以，则， 由解得的对称轴方程为，C选项错误. 的图象向左平移个单位长度得到，所得函数为偶函数，D选项正确. 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，，且，则（ ） A. ，都有 B. 当时， C. 是减函数 D. 若则不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，即可求出；根据题意，当时，，可得，再结合即可得到，进而得可判断A、B；利用单调性定义结合题意证明单调性，即可判断C；由，结合题意可得，再借助函数单调性解不等式即可判断D. 【详解】令，则，又，所以. 当时，，所以， 又，所以，即.故A错误，B正确： 设，则 又，所以，所以， 又当时，，当时，， 所以，即，所以在上单调递减，C正确： 因为，所以， 不等式即 又在上单调递减，所以，解得， 所以等式的解集为D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数的定义域用整体代入的方法即可求出函数的定义域. 【详解】由得， 所以函数的定义域为； 故答案为：. 13. 已知函数的图象经过点，则函数的单调递增区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题确定函数的解析式，再结合指数函数与二次函数的单调性确定复合函数单调性即可得结论. 【详解】由题意得，，解得，则， 又在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间是． 故答案为：. 14. 已知，，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】结合角的取值范围，结合同角三角函数基本关系和诱导公式求值. 【详解】因为，又，所以且. 所以； . 所以：. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求：①，②； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）①，② （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的并集，交集，全集，补集的定义计算即可； （2）利用集合间的包含关系列不等式，求解即可. 【小问1详解】 由，解得，则， 当时，， 所以，或， 则. 【小问2详解】 由（1）知， 由，得，解得， 因此，实数m取值范围是. 16. 已知函数． （Ⅰ）若，求函数的单调递增区间； （Ⅱ）若函数图象的相邻两对称轴之间的距离为，求函数在上的值域． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）． 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换法则将函数化为“一角一函”的形式，利用正弦函数的性质求解；（Ⅱ）根据对称轴间的距离确定函数的最小正周期，进而求得的值，从而根据自变量的取值范围求解函数的值域． 【详解】解：（Ⅰ）∵ ， 当，， 令，， 可得，． （Ⅱ）易知函数的最小正周期，即,， 则， 由，得， 则． 【点睛】本题考查二倍角公式、两角和的正弦公式，考查正弦函数的性质．掌握正弦函数的性质是解题关键． 17. 已知是自然对数的底数，. （1）判断函数在上的单调性并证明； （2）解不等式. 【答案】（1）函数在上单调递增，证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性定义证明； （2）首先证明函数是偶函数，将不等式转化为，再结合函数的单调性解不等式； 【小问1详解】 函数在上单调递增，证明如下： 任取，，且， 则 ， 因为，，且，所以，所以，，， 故，即， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 函数的定义域为，且， 所以是偶函数， 又由（1）知在上单调递增， 所以， 两边平方可得，解得或， 故不等式的解集为或. 18. 正值安顺市创建全国文明城市之际，某单位积极倡导“环保生活，低碳出行”，其中电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如表所示： 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，. （1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）现有一辆该型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少? 【答案】（1）选择， （2）当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为 【解析】 【分析】（1）根据表格提供数据选出符合的函数模型，并利用待定系数法求得函数的解析式； （2）先求得耗电量的表达式，然后根据二次函数的性质求得正确答案. 【小问1详解】 对于，当时，它无意义，所以不合题意， 对于，易知是减函数，由图表知，随着的增大而增大，所以不合题意， 所以选，由表中数据可得， 解得，，所以当时， 【小问2详解】 国道路段长为，所用时间为， 所耗电量为， 因为，当时，； 高速路段长为，所用时间为， 所耗电量为， 当且仅当即时等号成立. 所以： 故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时， 该车从地到地的总耗电量最少，最少为. 19. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0或1； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，利用换元法计算可得； （2）依题意可得在上有解，参变分离可得在上有解，结合对勾函数的单调性求出的取值范围，即可得解； （3）依题意可得，根据的单调性，求出的最值，即可得到，换元得到，参变分离，结合函数的单调性，计算可得. 【小问1详解】 当时，由可得，， 令，则，解得或， 即或，解得或， 的“准不动点”为0或1； 【小问2详解】 由得，， 即在上有解， 令，由可得，则在上有解， 故，当时，在上单调递增，，则，解得， 的取值范围； 【小问3详解】 由得，， 即，则， 又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则， 即， 令，则，从而，则， 又在上均为增函数，则，， ，即，所以实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$