精品解析： 山东省枣庄市山亭区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末学业质量监测八年级数学（A卷） 注意事项： 1．本试卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷时，考生务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号. 考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题３分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 如果演唱会门票“8排13座”记作，那么表示（ ） A. 9排8座 B. 8排8座 C. 9排9座 D. 8排9座 2. 下列表格中关于有理数“2”的描述，说法错误的序号是（ ） 相反数 倒数 绝对值 平方根 2 ① ② ③2 ④ A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当时，该微观粒子的能量的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 4. 下列说法错误的有（ ）个 ①任意数的算术平方根是正数； ②只有正数才有平方根； ③如果，那么和是邻补角； ④1是1算术平方根； ⑤负数没有立方根． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 某次数学综合实践课上，小明将一副三角板摆成如图所示的样子，则的大小为（　　） A. B. C. D. 6. 2023年是全球第28个世界读书日．某学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校八年级40名同学近3个月每人阅读的课外书数量，数据如下表所示： 人数/人 5 13 15 7 课外书数量/本 3 4 5 8 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ） A. 5，5 B. 13，5 C. 4，15 D. 4.5，15 7. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A. B. C. D. 8. 要得知作业纸上两相交直线、所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）： 对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ） 方案Ⅰ：①作一直线，交、于点E，F； ②利用尺规作； ③测量的大小即可． 方案Ⅱ：①作一直线，交、于点E，F； ②测量和的大小； ③计算即可． A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行 9. 太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，反射后沿着与平行的方向射出，已知图中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 为抬高水平放置的长方体木箱的一侧（其中），在下方垫入扇形木块，其中木块的横截面是圆心角为的扇形，假设扇形半径足够长，将木块推至如图所示位置，，则此时木箱点距离地面高度为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只填写最后结果，每小题填对得3分． 11. 写出一个与是同类二次根式的最简二次根式_____________．（不与原数相等） 12. 如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是________． 13. 如果点和都在直线上，则与的大小关系是______． 14. 如图，的斜边的垂直平分线与交于点，，，则的面积为______． 15. 图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地年月日至日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为，，则______．（填“”，“”，“”） 16. 已知是方程组的解，则的值是_________． 三、解答题：本大题共8小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤． 17. 化简： （1） （2） 18. 学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 19. 我国某巨型摩天轮的最低点距离地面，圆盘半径为．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点P时，小丽到点Q，此时，且小丽距离地面． （1）与全等吗？为什么？ （2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差． 20. 解答 （1）在平面直角坐标系描出下列点，，，，并依次连接，，，，，围成一个封闭图形； （2）求出第（1）题中图形的面积； （3）指出第（1）题中三个角：，，之间等量关系，并证明． 21. 已知一次函数，请回答下列问题： （1）请用描点法画出它的图象： 解：列表： 0 4 0 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点；连线：把这两点连接起来，得到的图象；表格中的值为___________；请在坐标系中画出的图象； （2）若一次函数的图象与一次函数图象关于轴对称，请画出一次函数的图象，并求出它的解析式； （3）若平行于轴的直线分别交的图象，的图象于两点，已知的长为4，则点的横坐标是___________． 22. 跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下： 100　　110　　114　　114　　120　　122　　122　　131　　144　　148 152　　155　　156　　165　　165　　165　　165　　174　　188　　190 对这组数据进行整理和分析，结果如下： 平均数 众数 中位数 145 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀，请你估计七年级240名学生中，约有多少名学生能达到优秀？ （3）某同学1分钟跳绳152次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由． 23. 为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元（两次购进同种花草和价格相同）．求： （1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？ （2）若计划购买A、B两种花草共30棵，其中购买A种花草m棵，且，请你给出一种费用最省的方案，并求该方案所需费用． 24. 已知：如图①，，点P在之间，连接．易说明． 下面是两位同学添加辅助线方法： 如图②，过点P作． 如图③，延长交于点M． 请你选择一位同学的方法进行说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期末学业质量监测八年级数学（A卷） 注意事项： 1．本试卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷时，考生务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号. 考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题３分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 如果演唱会门票“8排13座”记作，那么表示（ ） A. 9排8座 B. 8排8座 C. 9排9座 D. 8排9座 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用数对表示位置． 根据题意，电影票上的“8排13座”记作，可知用数对表示位置时，第一个数字表示排，第二个数字表示座，由此即可解答． 【详解】解：∵电影票上的“8排13座”记作， ∴表示9排8座， 故选：A． 2. 下列表格中关于有理数“2”的描述，说法错误的序号是（ ） 相反数 倒数 绝对值 平方根 2 ① ② ③2 ④ A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查有理数，相反数，绝对值，倒数以及平方根．分别根据相反数，绝对值，倒数以及平方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：①2的相反数是，说法正确； ②2的倒数是，说法正确； ③2的绝对值是2，说法正确； ④2平方根是，原说法错误． 故选：D． 3. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当时，该微观粒子的能量的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数大小，熟练掌握无理数估算大小的方法是解题关键．首先根据题意可知该微观粒子的能量，结合，易得，即可获得答案． 【详解】解：当时， ， ∵， ∴， ∴该微观粒子的能量的值在3和4之间． 故选：A． 4. 下列说法错误的有（ ）个 ①任意数的算术平方根是正数； ②只有正数才有平方根； ③如果，那么和是邻补角； ④1是1的算术平方根； ⑤负数没有立方根． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查平方根，算术平方根，立方根，邻补角定义，解题关键在于掌握运算法则和相关定义．根据平方根、算术平方根、立方根的定义和邻补角的定义解答即可． 【详解】解：①0的算术平方根是0，故原说法错误； ②0平方根是0，故原说法错误； ③如果，那么和是补角，但不一定是邻补角，故原说法错误； ④1是1的算术平方根，此说法正确； ⑤负数也有立方根，故负数的立方根是负数，原说法错误； 综上可知：错误的有4个． 故选：C． 5. 某次数学综合实践课上，小明将一副三角板摆成如图所示的样子，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”．根据题意得到，根据三角形外角和定理即可求解． 【详解】解：如图，由题意得， ∵是的外角， ∴． 故选：B 6. 2023年是全球第28个世界读书日．某学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校八年级40名同学近3个月每人阅读的课外书数量，数据如下表所示： 人数/人 5 13 15 7 课外书数量/本 3 4 5 8 则阅读的课外书数量的中位数和众数分别是（ ） A. 5，5 B. 13，5 C. 4，15 D. 4.5，15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，解题的关键是掌握平均数、中位数和众数的概念．利用中位数，众数的定义即可解决问题．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字（或者两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：中位数为第20个和第21个的平均数为：，众数为5． 故选：A． 7. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可． 【详解】解：由题意得 故选A． 8. 要得知作业纸上两相交直线、所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）： 对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ） 方案Ⅰ：①作一直线，交、于点E，F； ②利用尺规作； ③测量的大小即可． 方案Ⅱ：①作一直线，交、于点E，F； ②测量和的大小； ③计算即可． A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】根据内错角相等，两直线平行，可判断方案Ⅰ可行；根据三角形内角和定理，可判断方案Ⅱ可行，即可得到答案． 【详解】解：方案Ⅰ：， ， 直线、所夹锐角的大小等于直线、所夹锐角的大小， 测量的大小即可得到直线、所夹锐角的大小， 方案Ⅰ可行； 方案Ⅱ：直线、所夹锐角与和可组成三角形， 即直线、所夹锐角， 方案Ⅱ可行， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． 9. 太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，反射后沿着与平行的方向射出，已知图中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等．由平行线的性质即可得出，求得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由题意知， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 为抬高水平放置的长方体木箱的一侧（其中），在下方垫入扇形木块，其中木块的横截面是圆心角为的扇形，假设扇形半径足够长，将木块推至如图所示位置，，则此时木箱点距离地面高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关的知识．由特殊角即目标距离构造直角三角形，利用含特殊角中边的比例关系设未知数表示线段长度，利用勾股定理建立等量关系解之即可． 【详解】解：如图，过点作， ， ， 设，则， 在中，，即， 在中，有，即， 解得：（负值舍去）， ， 木箱点距离地面高度为， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只填写最后结果，每小题填对得3分． 11. 写出一个与是同类二次根式的最简二次根式_____________．（不与原数相等） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据同类二次根式概念和最简二次根式的概念即可求解． 【详解】∵， ∴与是同类二次根式的最简二次根式有（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念和最简二次根式的概念，解题的关键是能够掌握同类二次根式的概念和最简二次根式的概念． 12. 如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是________． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用y=x+3确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求得结论． 【详解】解：把P（m，5）代入y=x+3得m+3=5，解得m=2， 所以P点坐标为（2，5）， 所以方程组的解是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 13. 如果点和都在直线上，则与的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据“一次函数中，当，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”即可求解． 【详解】∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点和都在直线上，且， ∴． 故答案为：． 14. 如图，的斜边的垂直平分线与交于点，，，则的面积为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据三角形的面积公式可得的面积为，即可求解 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ， ， 又∵ 故答案为：1． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 15. 图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地年月日至日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为，，则______．（填“”，“”，“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图和方差，根据折线统计图和方差的意义进行求解即可，掌握方差的意义是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，甲地的气温波动小，比较稳定，乙地的气温波动大，更不稳定， ∴， 故答案为：． 16. 已知是方程组的解，则的值是_________． 【答案】4 【解析】 【分析】将方程组的解代入原方程组，然后两方程作加法计算求解． 【详解】解：因为是方程组的解， ∴ 把①②式相加得到：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，理解方程组的解的概念是解题关键． 三、解答题：本大题共8小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤． 17. 化简： （1） （2） 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）先利用二次根式的性质分别化简，再计算加减即可求解； （2）先利用平方差公式将括号展开，再计算除法，进一步计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是代入法解方程组，先把方程②化为，再利用代入法解方程组即可． 【详解】解：， 由②得：③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； 19. 我国某巨型摩天轮的最低点距离地面，圆盘半径为．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点P时，小丽到点Q，此时，且小丽距离地面． （1）与全等吗？为什么？ （2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别证明，，即可利用证明； （2）由全等三角形的性质可得，再根据线段之间的关系求出，进而利用勾股定理求出，则，由此可得两人所在座舱距离地面的高度差为． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵小丽到点Q，且小丽距离地面， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴两人所在座舱距离地面的高度差为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 20. 解答 （1）在平面直角坐标系描出下列点，，，，并依次连接，，，，，围成一个封闭图形； （2）求出第（1）题中图形的面积； （3）指出第（1）题中三个角：，，之间的等量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形性质，熟知平行线的性质是解题的关键． （1）根据题意，画出图形即可． （2）按要求求出（1）中所画图形的面积即可． （3）根据（1）中所画图形即可解决问题． 【小问1详解】 如图所示， 【小问2详解】 如图所示，连接， 则； 又由勾股定理得， ，， 由图可知： 所以， 故． 所以（1）中所画图形的面积为． 【小问3详解】 ． 因为， 所以． 又因为，， 所以． 又因为， 所以， 所以． 21. 已知一次函数，请回答下列问题： （1）请用描点法画出它的图象： 解：列表： 0 4 0 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点；连线：把这两点连接起来，得到的图象；表格中的值为___________；请在坐标系中画出的图象； （2）若一次函数的图象与一次函数图象关于轴对称，请画出一次函数的图象，并求出它的解析式； （3）若平行于轴的直线分别交的图象，的图象于两点，已知的长为4，则点的横坐标是___________． 【答案】（1），图见解析 （2），图见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，轴对称， （1）将代入函数，即可解答，再利用描点法画函数图象，即可解答； （2）得到一次函数与轴的交点，关于轴的对称点，再利用待定系数法，求得一次函数解析式即可解答； （3）设平行于轴的直线为，求得直线与两个函数的交点，利用两交点的横坐标之差的绝对值为4，列方程即可解答． 熟知平行于y轴的线段长度为横坐标之差的绝对值是解题的关键． 【小问1详解】 解：将代入函数，可得， 解得， 函数图象，如图所示： 【小问2详解】 解：根据（1）可得函数图象与轴的交点为， 关于轴的对称点为， 把，代入， 可得， 解得， ， 函数图像，如图所示： 【小问3详解】 解：设平行于轴的直线为， 当时，可得，， 可得点的横坐标为，点的横坐标为， 则， 解得， 点的横坐标为或． 22. 跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下： 100　　110　　114　　114　　120　　122　　122　　131　　144　　148 152　　155　　156　　165　　165　　165　　165　　174　　188　　190 对这组数据进行整理和分析，结果如下： 平均数 众数 中位数 145 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀，请你估计七年级240名学生中，约有多少名学生能达到优秀？ （3）某同学1分钟跳绳152次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）是，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据众数与中位数的定义进行计算即可求解； （2）根据样本估计总体，用跳绳165次及以上人数的占比乘以总人数，即可求解； （3）根据中位数的定义即可求解； 【小问1详解】 解：这组数据中，165出现了4次，出现次数最多 ∴， 这组数据从小到大排列，第10个和11个数据分别为， ∴， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵跳绳165次及以上人数有7个， ∴估计七年级240名学生中，有个优秀， 【小问3详解】 解：∵中位数为， ∴某同学1分钟跳绳152次，可推测该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生． 【点睛】本题考查了求中位数，众数，样本估计总体，熟练掌握中位数、众数的定义是解题的关键． 23. 为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元（两次购进同种花草和价格相同）．求： （1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？ （2）若计划购买A、B两种花草共30棵，其中购买A种花草m棵，且，请你给出一种费用最省方案，并求该方案所需费用． 【答案】（1）A、B两种花草每棵的价格分别是20元和5元； （2）购买A花草10棵，购买B花草20棵，共花费300元． 【解析】 【分析】（1）设A、B两种花草每棵的价格分别是x，y元，由题意列二元一次方程组求解即可； （2）设所需费用为W，则，利用函数增减性可知：当时，W取最小值，此时元． 【小问1详解】 解：设A、B两种花草每棵的价格分别是x，y元， 则由题意可知： ，解之得：， ∴A、B两种花草每棵的价格分别是20元和5元； 【小问2详解】 解：设所需费用为W，则由已知可得：， 由可知W随m的增大而增大， ∵， ∴当时，W取最小值，此时元， 故最省钱的方案是：购买A花草10棵，购买B花草20棵，共花费300元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数增减性，一次函数的分配问题．解题的关键是找出等量关系列出方程组求解，表示出所需费用利用一次函数增减性可知当时，W取最小值，此时元． 24. 已知：如图①，，点P在之间，连接．易说明． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 如图②，过点P作． 如图③，延长交于点M． 请你选择一位同学的方法进行说明． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质．以选择小明的方法为例，过点P作，推出，得到，，据此即可证明结论成立；以选择小慧的方法为例，延长交于点M，利用平行线的性质，得到，再利用三角形的外角性质即可证明结论成立． 【详解】解：以选择小明的方法为例，证明如下： 过点P作， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 以选择小慧的方法为例，证明如下： 延长交于点M， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$