高二数学月考卷（北京专用，等比数列+导数）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第一次月考

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性第二册第三章等比数列+第四章导数及其应用。 5．难度系数：0.73。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知，则（    ） A．0 B．2 C．1 D． 2．若函数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．已知等比数列中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数在处有极大值，则c的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．-2 5．已知函数，则在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．8 B．3 C．4 D．-4 7．已知函数在处取得极值0，则（    ） A．6 B．12 C．24 D．12或24 8．已知公比为的等比数列的前项和为，命题，命题：对恒成立，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2018年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清．若银行按年利率为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 10．已知函数恰有一个零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知数列的通项公式为，前n项和为，则 ． 12．在等比数列中，已知，则 ． 13．《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”由以上条件，该女子第5天织布 尺；若要织布50尺，该女子所需的天数至少为 . 14．已知函数，，则函数与图象的交点坐标为 ，在交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积为 ． 15．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序排列，构成的数列记为，数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法正确的是 ① ②若，则 ③ ④ 三、解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分12分）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． 17．（满分14分）已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 18．（满分14分）已知函数的图象在原点处的切线的斜率为2. (1)求的值； (2)若，求曲线的过点的切线方程. 19．（满分15分）设公比不为1的等比数列的前项和为，且． (1)求的公比； (2)若，求数列的前项和． 20．（满分15分）求已知函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为. (1)求； (2)求在区间上的最大值和最小值. 21．（满分15分）求已知函数在时取得极值． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最小值； (3)若有两个零点，求的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性第二册第三章等比数列+第四章导数及其应用。 5．难度系数：0.73。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知，则（    ） A．0 B．2 C．1 D． 【答案】B 【详解】因为，所以，故. 故选：B 2．若函数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由题设. 故选：C 3．已知等比数列中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由等比数列性质，得，所以. 故选：D 4．已知函数在处有极大值，则c的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．-2 【答案】B 【详解】， 且函数在处有极大值， 故，即，解得或2． 当时，，令得，或， 令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，不符合题意，应舍去； 当时，，令得或， 令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 满足在处取得极大值，满足要求. 故． 故选：B 5．已知函数，则在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以函数的导函数为， 令，可得或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，。函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，， 所以在区间上的最大值为. 故选：B. 6．已知函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．8 B．3 C．4 D．-4 【答案】C 【详解】因为切线方程为， 可知当时，，且切线斜率为3， 即，，所以. 故选：C. 7．已知函数在处取得极值0，则（    ） A．6 B．12 C．24 D．12或24 【答案】C 【详解】由题意知，，又在处取得极值0， 则，解得或， 当时，， 函数在R上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，， 令或，， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意， 所以，， 则. 故选：C. 8．已知公比为的等比数列的前项和为，命题，命题：对恒成立，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由等比数列的通项公式可知， 当时，可得到，即充分性成立； 反之，若，如，不符合，所以必要性不成立. 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 9．某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2018年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清．若银行按年利率为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【详解】设每年偿还的金额为x元，则， 则，解得， 所以该学生家长每年的偿还金额是元. 故选：D 10．已知函数恰有一个零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】通过代入特殊值可得，所以必然是的唯一零点； ，令，，故有两个不相等的实数根，令，根据韦达定理，可以判断出； 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，故是的极小值点； 当时，，当时，，故如果恰有一个零点，必然是在极小值点取到零点，故； ，此时恰有一个零点. 故选：C. 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知数列的通项公式为，前n项和为，则 ． 【答案】147 【详解】 ． 故答案为：147 12．在等比数列中，已知，则 ． 【答案】6 【详解】设数列的公比为，由于，则， 若，则矛盾， 则符合． 所以. 故答案为：. 13．《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”由以上条件，该女子第5天织布 尺；若要织布50尺，该女子所需的天数至少为 . 【答案】 / 【详解】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，前5项的和为5， 设首项为，前项和为， 则由题意得，∴， ∴，即该女子第5天所织布的尺数为． 令，解得：，所以. 所以若要织布50尺，该女子所需的天数至少为. 故答案为：；． 14．已知函数，，则函数与图象的交点坐标为 ，在交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积为 ． 【答案】 / 【详解】令可得，解得，此时， 所以，函数与图象的交点坐标为， 因为，则，所以，， 所以，函数的图象在点处的切线方程为，即， 所以，直线交轴于点， 因为，则，则， 所以，函数的图象在点处的切线方程为，即， 所以，直线交轴于点， 因此，两个函数的图象在交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积为. 故答案为：；. 15．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序排列，构成的数列记为，数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法正确的是 ① ②若，则 ③ ④ 【答案】①③④ 【详解】对于①, 根据题意可知，斐波那契数列的排列规则为：奇数，奇数，偶数，奇数，奇数，偶数，…，进而可知数列为1，1，0，1，1，0，…， 故数列为周期数列，且周期为，所以，①正确， 对于②，，，，，,故由解得或，②错误， 对于③， ，③正确， 对于④， ，④正确， 故选：①③④ 三、解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分12分）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）因为， 所以， 所以；………………4分 （2）因为， 所以， 所以；………………8分 （3）因为， 所以， 所以………………12分 17．（满分14分）已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【详解】（1）设等比数列的公比为，且， 因为，，成等差数列，则， 即，解得或（舍去）， 所以的通项公式为………………6分 （2）由（1）可知：， 则 ， 所以………………14分 18．（满分14分）已知函数的图象在原点处的切线的斜率为2. (1)求的值； (2)若，求曲线的过点的切线方程. 【详解】（1）由已知得， 根据题意得，解得或1………………6分 （2）因为，所以由（1）可得， 所以， 设切点坐标为，则切线的斜率， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 得，解得或， 所以切线方程为或………………14分 19．（满分15分）设公比不为1的等比数列的前项和为，且． (1)求的公比； (2)若，求数列的前项和． 【详解】（1）设的公比为， ，， ，， ，………………6分 （2），， （或） ， ………………15分 20．（满分15分）求已知函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为. (1)求； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【详解】（1）由得， 所以，又， 所以在点处的切线方程为，即. 当时，；当时，. 因为与坐标轴所围成的三角形的面积为且， 所以，所以………………7分 （2）由（1）得，. 由得或. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因为，， ，，且， 所以在上的最大值为，最小值为………………15分 21．（满分15分）求已知函数在时取得极值． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最小值； (3)若有两个零点，求的值． 【详解】（1）由题得，且定义域为. 由函数在时取得极值，得，解得， 此时，显然是的变号零点，即是极值点， 因此， 所以当或时，，当时，， 所以函数的递增区间是，递减区间是………………5分 （2）由（1）知，函数， 且在上单调递增，在上单调递减， 又 所以函数在区间上的最小值是………………8分 （3）因为， 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 所以有极小值为，极大值为， 由有两个零点得直线与函数的图像有两个交点， 故或，所以或………………15分 9 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性第二册第三章等比数列+第四章导数及其应用。 5．难度系数：0.73。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知，则（    ） A．0 B．2 C．1 D． 2．若函数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．已知等比数列中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数在处有极大值，则c的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．-2 5．已知函数，则在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．8 B．3 C．4 D．-4 7．已知函数在处取得极值0，则（    ） A．6 B．12 C．24 D．12或24 8．已知公比为的等比数列的前项和为，命题，命题：对恒成立，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2018年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清．若银行按年利率为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 10．已知函数恰有一个零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知数列的通项公式为，前n项和为，则 ． 12．在等比数列中，已知，则 ． 13．《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”由以上条件，该女子第5天织布 尺；若要织布50尺，该女子所需的天数至少为 . 14．已知函数，，则函数与图象的交点坐标为 ，在交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积为 ． 15．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序排列，构成的数列记为，数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法正确的是 ① ②若，则 ③ ④ 三、解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分12分）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． 17．（满分14分）已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 18．（满分14分）已知函数的图象在原点处的切线的斜率为2. (1)求的值； (2)若，求曲线的过点的切线方程. 19．（满分15分）设公比不为1的等比数列的前项和为，且． (1)求的公比； (2)若，求数列的前项和． 20．（满分15分）求已知函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为. (1)求； (2)求在区间上的最大值和最小值. 21．（满分15分）求已知函数在时取得极值． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最小值； (3)若有两个零点，求的值． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D B B C C A D C 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11． 12． 13．； 14．； 15．①③④ 三、解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分12分） 【详解】（1）因为， 所以， 所以；………………4分 （2）因为， 所以， 所以；………………8分 （3）因为， 所以， 所以………………12分 17．（满分14分） 【详解】（1）设等比数列的公比为，且， 因为，，成等差数列，则， 即，解得或（舍去）， 所以的通项公式为………………6分 （2）由（1）可知：， 则 ， 所以………………14分 18．（满分14分） 【详解】（1）由已知得， 根据题意得，解得或1………………6分 （2）因为，所以由（1）可得， 所以， 设切点坐标为，则切线的斜率， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 得，解得或， 所以切线方程为或………………14分 19．（满分15分） 【详解】（1）设的公比为， ，， ，， ，………………6分 （2），， （或） ， ………………15分 20．（满分15分） 【详解】（1）由得， 所以，又， 所以在点处的切线方程为，即. 当时，；当时，. 因为与坐标轴所围成的三角形的面积为且， 所以，所以………………7分 （2）由（1）得，. 由得或. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因为，， ，，且， 所以在上的最大值为，最小值为………………15分 21．（满分15分）求已知函数在时取得极值． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最小值； (3)若有两个零点，求的值． 【详解】（1）由题得，且定义域为. 由函数在时取得极值，得，解得， 此时，显然是的变号零点，即是极值点， 因此， 所以当或时，，当时，， 所以函数的递增区间是，递减区间是………………5分 （2）由（1）知，函数， 且在上单调递增，在上单调递减， 又 所以函数在区间上的最小值是………………8分 （3）因为， 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 所以有极小值为，极大值为， 由有两个零点得直线与函数的图像有两个交点， 故或，所以或………………15分 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 5 分，共 25 分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共 85 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 18．（14 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15 分） 21．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教 A 版 2019 选择性第二册第三章等比数列+第四章导数及其应用。 5．难度系数：0.73。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本题共 10小题，每小题 4分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1.已知 ( ) e sinxf x x  ，则  0f  （ ） A．0 B．2 C．1 D． 2 2．若函数  f x 满足 (3) 1f   ，则   0 (3) 3 lim x f f x x      （ ） A．1 B．2 C． 1 D． 2 3．已知等比数列 na 中， 3 4 66, 27a a a  ，则 7a 的值为（ ） A． 1 2 B． 2 3 C． 3 4 D． 9 2 4．已知函数 2( ) ( )f x x x c  在 2x  处有极大值，则 c的值为（ ） A．2 B．6 C．2 或 6 D．-2 5．已知函数 3( ) 3f x x x  ，则 ( )f x 在区间[ 2, 2] 上的最大值为（ ） A． 2 B．2 C． 4 D．4 6．已知函数  f x 的图象在点   1, 1f 处的切线方程为3 2 0x y   ，则    1 1f f  （ ） A．8 B．3 C．4 D．-4 7．已知函数   3 2 23f x x ax bx a    在 1x   处取得极值 0，则  1f  （ ） A．6 B．12 C．24 D．12 或 24 8．已知公比为q的等比数列 na 的前 n项和为 nS ，命题 1: 1, 1r a q  ，命题 s：对 * 1, 1nn a   N 恒成立， 则 r 是 s的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于 2018 年 8 月 20 号从银行贷款 a元，为还清这笔贷款， 该家长从 2019 年起每年的 8 月 20 号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的 m年后还清．若银行按 年利率为 p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿 还金额是（ ） A． a m 元 B． 1(1 ) (1 ) 1 m m ap p p    元 C． 1(1 ) 1 m m ap p p   元 D． (1 ) (1 ) 1 m m ap p p    元 10．已知函数    2 3 ln 2 0 2 x f x x x a a     恰有一个零点，则a （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本题共 5小题，每小题 5分，共 25分． 11．已知数列 na 的通项公式为 2nna n  ，前 n项和为 nS ，则 6S  ． 12．在等比数列 na 中，已知 1 3 2 49, 9a a a a   ，则 4a  ． 13．《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面. 《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织 布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”由以上条件， 该女子第 5 天织布 尺；若要织布 50 尺，该女子所需的天数至少为 . 14．已知函数   1f x x  ，   2g x x ，则函数  f x 与  g x 图象的交点坐标为 ，在交点处的两条切线 与 x轴所围成的三角形面积为 ． 15．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13， 21，….该数列的特点如下：前两个数均为 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这 样的一列数组成的数列 na 称为斐波那契数列，现将 na 中的各项除以 2 所得的余数按原来的顺序排列， 构成的数列记为 nb ，数列 na 的前 n项和为 nS ，数列 nb 的前 n项和为 nT ，下列说法正确的是 ① 2024 1350T  ②若 2024nT  ，则 3036n  试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … ③ 1000 1002 1S a  ④ 2 2 2 2 1 2 3 500 500 501a a a a a a     三、解答题：本题共 5小题，共 85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分 12 分）求下列函数的导数． (1) 3 22 3 4y x x   ； (2) lny x x ； (3) cos x y x  ． 17．（满分 14 分）已知 na 是各项均为正数的等比数列， 1 1a  ，且 1a ， 2a ， 33a 成等差数列． (1)求 na 的通项公式； (2)求数列 na n 的前 n项和 nS ． 18．（满分 14 分）已知函数        3 21 1f x x a x a a x a     R 的图象在原点处的切线的斜率为 2. (1)求 a的值； (2)若 0a  ，求曲线  y f x 的过点  1,1A 的切线方程. 19．（满分 15 分）设公比不为 1 的等比数列 na 的前 n项和为 nS ，且 3 13S a ． (1)求 na 的公比； (2)若 1 2a  ，求数列 1n na a  的前 n项和 nT ． 20．（满分 15 分）求已知函数     2e 0xf x x a a   的图象在点   0, 0f 处的切线与坐标轴所围成的三角 形的面积为 3 2 . (1)求 a； (2)求  f x 在区间 4, 2 上的最大值和最小值. 21．（满分 15 分）求已知函数 3 2( ) 2f x x x ax    在 1x  时取得极值． (1)求函数 ( )f x 的单调区间； (2)求函数 ( )f x 在区间[ 2, 2] 上的最小值； (3)若 ( ) ( ) , [ 2, 2]h x f x m x    有两个零点，求m的值． 1 / 6 2024-2025 学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟，分值：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教 A 版 2019 选择性第二册第三章等比数列+第四章导数及其应用。 5．难度系数：0.73。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本题共 10小题，每小题 4分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1.已知 ( ) e sinxf x x  ，则  0f  （ ） A．0 B．2 C．1 D． 2 2．若函数  f x 满足 (3) 1f   ，则   0 (3) 3 lim x f f x x      （ ） A．1 B．2 C． 1 D． 2 3．已知等比数列 na 中， 3 4 66, 27a a a  ，则 7a 的值为（ ） A． 1 2 B． 2 3 C． 3 4 D． 9 2 4．已知函数 2( ) ( )f x x x c  在 2x  处有极大值，则 c的值为（ ） A．2 B．6 C．2 或 6 D．-2 5．已知函数 3( ) 3f x x x  ，则 ( )f x 在区间[ 2, 2] 上的最大值为（ ） A． 2 B．2 C． 4 D．4 6．已知函数  f x 的图象在点   1, 1f 处的切线方程为3 2 0x y   ，则    1 1f f  （ ） A．8 B．3 C．4 D．-4 7．已知函数   3 2 23f x x ax bx a    在 1x   处取得极值 0，则  1f  （ ） A．6 B．12 C．24 D．12 或 24 2 / 6 8．已知公比为 q的等比数列 na 的前 n项和为 nS ，命题 1: 1, 1r a q  ，命题 s：对 * 1, 1nn a   N 恒成立， 则 r 是 s的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于 2018 年 8 月 20 号从银行贷款 a元，为还清这笔贷款， 该家长从 2019 年起每年的 8 月 20 号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的 m年后还清．若银行按 年利率为 p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿 还金额是（ ） A． a m 元 B． 1(1 ) (1 ) 1 m m ap p p    元 C． 1(1 ) 1 m m ap p p   元 D． (1 ) (1 ) 1 m m ap p p    元 10．已知函数    2 3 ln 2 0 2 x f x x x a a     恰有一个零点，则a （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5分，共 25分． 11．已知数列 na 的通项公式为 2nna n  ，前 n项和为 nS ，则 6S  ． 12．在等比数列 na 中，已知 1 3 2 49, 9a a a a   ，则 4a  ． 13．《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面. 《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织 布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”由以上条件， 该女子第 5 天织布 尺；若要织布 50 尺，该女子所需的天数至少为 . 14．已知函数   1f x x  ，   2g x x ，则函数  f x 与  g x 图象的交点坐标为 ，在交点处的两条切线 与 x轴所围成的三角形面积为 ． 15．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13， 21，….该数列的特点如下：前两个数均为 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这 样的一列数组成的数列 na 称为斐波那契数列，现将 na 中的各项除以 2 所得的余数按原来的顺序排列， 构成的数列记为 nb ，数列 na 的前 n项和为 nS ，数列 nb 的前 n项和为 nT ，下列说法正确的是 ① 2024 1350T  ②若 2024nT  ，则 3036n  3 / 6 ③ 1000 1002 1S a  ④ 2 2 2 2 1 2 3 500 500 501a a a a a a     三、解答题：本题共 5 小题，共 85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分 12 分）求下列函数的导数． (1) 3 22 3 4y x x   ； (2) lny x x ； (3) cos x y x  ． 17．（满分 14 分）已知 na 是各项均为正数的等比数列， 1 1a  ，且 1a ， 2a ， 33a 成等差数列． (1)求 na 的通项公式； (2)求数列 na n 的前 n项和 nS ． 4 / 6 18．（满分 14 分）已知函数        3 21 1f x x a x a a x a     R 的图象在原点处的切线的斜率为 2. (1)求 a的值； (2)若 0a  ，求曲线  y f x 的过点  1,1A 的切线方程. 19．（满分 15 分）设公比不为 1 的等比数列 na 的前 n项和为 nS ，且 3 13S a ． (1)求 na 的公比； (2)若 1 2a  ，求数列 1n na a  的前 n项和 nT ． 5 / 6 20．（满分 15 分）求已知函数     2e 0xf x x a a   的图象在点   0, 0f 处的切线与坐标轴所围成的三角 形的面积为 3 2 . (1)求 a； (2)求  f x 在区间 4, 2 上的最大值和最小值. 6 / 6 21．（满分 15 分）求已知函数 3 2( ) 2f x x x ax    在 1x  时取得极值． (1)求函数 ( )f x 的单调区间； (2)求函数 ( )f x 在区间[ 2, 2] 上的最小值； (3)若 ( ) ( ) , [ 2, 2]h x f x m x    有两个零点，求m的值．