精品解析：陕西省榆林市榆阳区2024-2025学年九年级上学期期末检测数学试题

榆阳区2024－2025学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试题 说明： 1．答题前，考生务必在答题卡上写清楚姓名、准考证号；考试结束后，监考老师只收答题卡． 2．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角三角函数值是关键；根据角的正切值即可求解． 【详解】解：； 故选：C． 2. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由三视图还原几何体；对四个选项中的几何体的三视图进行判断即可作答． 【详解】解：选项A中几何体的俯视图中有一个圆，故不符合题意； 选项B中几何体的俯视图右上角有一个正方形，故不符合题意； 选项C中几何体的主视图是一个倒放的“T”型，故不符合题意； 选项D中几何体，无论俯视图、主视图还是三视图，均符合题意； 故选：D． 3. 抛物线有（ ） A. 最小值3 B. 最大值3 C. 最大值 D. 最小值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质；根据二次函数顶点式知，当二次项系数为负时，函数有最大值，据此即可求解． 【详解】解：对于， 二次项系数为负，从而函数有最大值3； 故选：B． 4. 在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为（　 　） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【详解】由频率的定义知，解得a=12. 5. 如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ） A. (2，1) B. (2，0) C. (3，3) D. (3，1) 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标． 【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是， ∴， 又∵点A(6，3)、B(6，0)． ∴OB=6，AB=3， ∴OD=2，CD=1， ∴点C的坐标为：（2，1）， 故选A． 【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用． 6. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由关于的一元二次方程的一个根是，得，然后求出的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴， 解得：， 故选：． 7. 已知点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象的性质：当时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，随的增大而减小判断求解即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，随的增大而减小， ∵， ∴， ∵在第三象限， ∴， ∴，即， 故选：． 8. 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，则EF的长是（　　） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DF的长，然后利用勾股定理，求EF的长． 【详解】解：∵△ABE∽△DEF， ∴， ∵AB＝6，AE＝9，DE＝2， ∴， 解得：DF＝3， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°， ∴EF＝． 故选C． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质、矩形的性质以及勾股定理．难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 9. 如图，在边长为个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．若，则点的位置可以在（ ） A. 点处 B. 点处 C. 点处 D. 点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的定义，根据正切的定义逐一排除即可，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、过点作于点，连接，如图所示， ∴，， ∴，不符合题意； 、过点作于点，连接，如图所示， ∴，， ∴，不符合题意； 、过点作于点，连接，如图所示， ∴，， ∴，不符合题意； 、过点作交延长线于点，连接，如图所示， ∴，， ∴，符合题意； 故选：． 10. 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A. abc＜0 B. a+c＜b C. b2+8a＞4ac D. 2a+b＞0 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】（A）由图象开口可知：a＜0 由对称轴可知：＞0， ∴b＞0， ∴由抛物线与y轴的交点可知：c＞0， ∴abc＜0，故A正确，不符合题意； （B）由图象可知：x=﹣1，y＜0， ∴y=a﹣b+c＜0， ∴a+c＜b，故B正确，不符合题意； （C）由图象可知：顶点的纵坐标大于2， ∴＞2，a＜0， ∴4ac﹣b2＜8a， ∴b2+8a＞4ac，故C正确，不符合题意； （D）对称轴x=＜1，a＜0， ∴2a+b＜0，故D错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是正确理解二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型． 二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分） 11. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，当时，函数图象位于第二、四象限，当时，函数图象位于第一、三象限；据此即可求解． 【详解】解：∵函数图象位于第二、四象限， ∴； 故答案为：． 12. 如图，的对角线相交于点O，则添加一个适当的条件：______，可使其成为菱形（只填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理添加条件即可． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴添加条件：，即：邻边相等的平行四边形是菱形， 故答案为： (答案不唯一)． 【点睛】本题考查菱形的判定，熟记判定定理是解题关键． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在函数图象上，点P是矩形OABC内的一点，连结PO、PA、PB、PC，则图中阴影部分的面积是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】两个阴影图形均为三角形，根据三角形的面积公式计算推出阴影部分的面积和为矩形面积的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形OABC为矩形， ∴AB=OC， 由反比例函数的性质得：S矩形OABC=6， ∵， ∴ S矩形OABC ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义、矩形的性质和图形的转换等知识，解题关键在于将阴影的面积转换为已知条件． 14. 如图，在中，点E是边上的点，点F是边上的点，且，，点D是中点，若的面积为32，则的面积为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 根据，可得到，再由，可证得，从而得到，可得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D是中点， ∴． 故答案为：9． 三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选取解一元二次方程的方法是解题的关键；先把方程整理为一般形式：，利用公式法求解即可． 【详解】解：原方程整理为：， ∵， ∴， 即． 16. 在阳光下，小杰站在处，此时他的影长为，在处有一根直立在地面的木杆，请画出同一时刻下木杆的影长． 【答案】如图， 【解析】 【分析】本题考查了平行投影；连接，过点B作的平行线，过点作的平行线，两线交于点F，则即为影长． 【详解】解：连接，过点B作的平行线，过点作的平行线，两线交于点F，则即为木杆的影长． 17. 已知二次函数，说明：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点． 【答案】 证明∶， ， 即， 无论取何实数，抛物线总与轴有两个交点． 【解析】 【分析】先计算判别式得到，再根据非负数的性质得，然后根据抛物线与x轴的交点问题即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点∶二次函数是常数，与轴的交点与一元二次方程根之间的关系∶决定抛物线与轴的交点个数；时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 18. 如图，在矩形中，点、在边上，且，求证：． 【答案】 证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．由四边形为矩形得，，然后证明，再由全等三角形的性质即可求证． 【详解】略 19. 如图，小明在地面上放置一个平面镜来测量铁塔的高度，镜子与铁塔的距离米，镜子与小明的距离米时，小明刚好从镜子中看到铁塔顶端．已知小明的眼睛距地面的高度米，，，求铁塔的高度．（根据光的反射原理，可得） 【答案】铁塔的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形性质的应用，先证明，然后根据相似三角形的性质解答即可，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， 答：铁塔的高度为米． 20. 年某市政府投资了万元用于建设绿道免费公共自行车租赁系统，之后逐年增加投资，用于建设新站点，配置公共自行车，年投资了万元，求年到年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率． 【答案】年到年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率为． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设年到年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设年到年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率为， 依题意得：，即， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：年到年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率为． 21. 公园的小湖中有一座假山，某中学九年级某班数学兴趣小组的活动课题是“测量假山的高度”．测量小队带上测角仪和皮尺进行现场测量，如图，首先把测量仪放在处，测得假山顶的仰角为，向后退了15m到达处，在处测得假山顶的仰角为，测角仪的高，请你计算假山的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】假山的高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质等知识； 过E点作于G，则有，从而，在中，利用正切函数关系即可求得，从而求得假山的高度． 【详解】解：过E点作于G， ∵， ∴， ∴； 由题意，得四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴； 在中，， ∴， 即， 解得：， 则， 答：假山的高度为． 22. 某区域为响应“绿水青山就是金山银山”的号召，加强了绿化建设．为了解该区域群众对绿化建设的满意程度，某中学数学兴趣小组准备从位群众中随机选择位进行采访，已知这位群众中有位来自甲片区，另位来自乙片区，请用画树状图或列表的方法求出选择的群众均来自甲片区的概率． 【答案】选择的群众均来自甲片区的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图求概率，画树状图得到所有等可能的情况以及符合要求的情况数，利用概率公式进行计算即求解，掌握列表法或树状图求概率是解题的关键． 【详解】解：画树状图如图， 共有 种等可能的结果，选择的群众均来自甲片区的有种情况， ∴选择的群众均来自甲片区的概率为． 23. 如图，分别位于反比例函数，在第一象限图象上的两点、，与原点在同一直线上，且．求反比例函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】点，则可求得直线的解析式为，由此则可求得点B的坐标；再由，即可求得k的值，从而求解． 【详解】解：设点，则 设直线的解析式为， 把点A坐标代入得：，解得：， ∴直线的解析式为； 由于直线与交于点B， 解，得：（负值舍去）， ∴， 即， ∴ ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故函数解析式为． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是抛物线上异于点的动点，若的面积与的面积相等，求出点的坐标． 【答案】（1） （2）点N的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，与面积有关的二次函数综合，解一元二次方程等知识，掌握这些基础知识是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）设底边上的高为h，利用面积相等，可得，即，再解两个一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过，两点， ∴， 解得：， 所以二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：在中，令，则， 即， ∴； 设底边上的高为h， ∵的面积与的面积相等， ∴ 即， ∴， 当时，解得：， 此时点N的坐标为或； 当时，解得：（舍去）， 此时点N的坐标为； 综上，点N的坐标为或或． 25. 如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE．AC和BE相交于点O． （1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由； （2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R． ①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化．若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积； ②当线段PB的长为何值时，△PQR与△BOC相似． 【答案】 （1）菱形， 理由：四边形ABCE是菱形． ∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的， ∴EC∥AB，且EC=AB， ∴四边形ABCE是平行四边形， 又∵AB=BC， ∴四边形ABCE是菱形； （2）①不变，24； ②PB=． 【解析】 【详解】解：（1）略 （2）①四边形PQED的面积不发生变化． 方法一：∵ABCE是菱形， ∴AC⊥BE，OC=AC=3， ∵BC=5， ∴BO=4， 过A作AH⊥BD于H，（如图1） ∵， 即， 解得AH=． 或∵∠AHC=∠BOC=90°，∠BCA=∠BCA， ∴△AHC∽△BOC， ∴AH：BO=AC：BC， 即AH：4=6：5， ∴AH=． 由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO， ∴BP=QE， ∴ 方法二：由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO， ∴， ∵△ECD是由△ABC平移得到的， ∴ED∥AC，ED=AC=6， 又∵BE⊥AC， ∴BE⊥ED， ∴ =24 ②方法一：如图2， 当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时， ∵∠2是△OBP的外角， ∴∠2＞∠3， ∴∠2不与∠3对应， ∴∠2与∠1对应， 即∠2=∠1， ∴OP=OC=3 过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点， ∴△OGC∽△BOC， ∴CG：CO=CO：BC， 即CG：3=3：5， ∴CG=， ∴． 方法二：如图3， 当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时， ∵∠2是△OBP的外角， ∴∠2＞∠3， ∴∠2不与∠3对应， ∴∠2与∠1对应， ∴QR：BO=PR：OC 即：4=PR：3， ∴PR=， 过E作EF⊥BD于F，设PB=x，则RF=QE=PB=x， DF=， ∴BD=PB+PR+RF+DF=， 解得x=． 方法三：如图4， 若点P在BC上运动，使点R与C重合， 由菱形的对称性知，O为PQ的中点， ∴CO是Rt△PCQ斜边上的中线， ∴CO=PO， ∴∠OPC=∠OCP， 此时，Rt△PQR∽Rt△CBO， ∴PR：CO=PQ：BC， 即PR：3=6：5， ∴PR= ∴PB=BC﹣PR=． 【点睛】本题主要考查菱形的有关知识，有一定难度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆阳区2024－2025学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试题 说明： 1．答题前，考生务必在答题卡上写清楚姓名、准考证号；考试结束后，监考老师只收答题卡． 2．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. 1 B. C. D. 2. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线有（ ） A. 最小值3 B. 最大值3 C. 最大值 D. 最小值 4. 在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为（　 　） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 5. 如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ） A. (2，1) B. (2，0) C. (3，3) D. (3，1) 6. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 7. 已知点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，则EF的长是（　　） A. 4 B. 5 C. D. 9. 如图，在边长为个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．若，则点的位置可以在（ ） A. 点处 B. 点处 C. 点处 D. 点处 10. 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A. abc＜0 B. a+c＜b C. b2+8a＞4ac D. 2a+b＞0 二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分） 11. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______． 12. 如图，的对角线相交于点O，则添加一个适当的条件：______，可使其成为菱形（只填一个即可）． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在函数图象上，点P是矩形OABC内的一点，连结PO、PA、PB、PC，则图中阴影部分的面积是_________． 14. 如图，在中，点E是边上的点，点F是边上的点，且，，点D是中点，若的面积为32，则的面积为______． 三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 在阳光下，小杰站在处，此时他的影长为，在处有一根直立在地面的木杆，请画出同一时刻下木杆的影长． 17. 已知二次函数，说明：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点． 18. 如图，在矩形中，点、在边上，且，求证：． 19. 如图，小明在地面上放置一个平面镜来测量铁塔的高度，镜子与铁塔的距离米，镜子与小明的距离米时，小明刚好从镜子中看到铁塔顶端．已知小明的眼睛距地面的高度米，，，求铁塔的高度．（根据光的反射原理，可得） 20. 年某市政府投资了万元用于建设绿道免费公共自行车租赁系统，之后逐年增加投资，用于建设新站点，配置公共自行车，年投资了万元，求年到年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率． 21. 公园的小湖中有一座假山，某中学九年级某班数学兴趣小组的活动课题是“测量假山的高度”．测量小队带上测角仪和皮尺进行现场测量，如图，首先把测量仪放在处，测得假山顶的仰角为，向后退了15m到达处，在处测得假山顶的仰角为，测角仪的高，请你计算假山的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 22. 某区域为响应“绿水青山就是金山银山”的号召，加强了绿化建设．为了解该区域群众对绿化建设的满意程度，某中学数学兴趣小组准备从位群众中随机选择位进行采访，已知这位群众中有位来自甲片区，另位来自乙片区，请用画树状图或列表的方法求出选择的群众均来自甲片区的概率． 23. 如图，分别位于反比例函数，在第一象限图象上的两点、，与原点在同一直线上，且．求反比例函数的表达式． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是抛物线上异于点的动点，若的面积与的面积相等，求出点的坐标． 25. 如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE．AC和BE相交于点O． （1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由； （2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R． ①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化．若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积； ②当线段PB的长为何值时，△PQR与△BOC相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $