精品解析：重庆市南开中学校2024-2025学年高一下学期定时练习一数学试题

重庆南开中学高2027级高一（下）数学练习一 2.23 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 选C 2. 在△中，“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由正弦定理，得，由得，即，由大边对大角得；当得，即，由正弦定理得，因此“”是“”的充要条件，故答案为C. 考点：1、正弦定理的应用；2、充要条件的判断. 3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. c>b>a B. b>c>a C. b>a>c D. a>b>c 【答案】A 【解析】 【分析】先求得a的值，再利用对数函数单调性求得b的范围，利用指数函数单调性求得c的范围，进而求得a，b，c的大小关系. 【详解】由，可得 又，， 则a，b，c的大小关系为c>b>a 故选：A 4. 已知是第二象限角且，，则值为（ ） A. 1 B. －1 C. －2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，求出，再根据求出，再利用两角差的正切公式求得答案. 【详解】因为是第二象限角且，所以 ， 则因为,所以， 所以， 故选：C. 5. 已知，，，则下列不等关系中必定不成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数值的符号可求的范围，从而可得正确的选项. 【详解】因为，，故， 同理， 故， 故的终边不在第二象限，故B不成立， 故选：B. 6. 已知，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方的方法，结合两角和的余弦公式、二倍角公式求得正确答案. 【详解】由两边平方得①， 由两边平方得②， 由①②两式相加并化简得， 所以. 故选：C 7. 已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由5是函数的最大值，结合已知可得周期，从而得值，再由不等式恒成立得的范围． 【详解】由题意的最大值是5，所以由的图象与直线相邻两个交点的距离为知，．即，即， 时，， 因为，所以，， 所以，解得． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质，解题时能确定具体数值的先确定具体值，如，而的求法有两种： （1）由的范围，求出的范围，并根据的范围得出和的范围，然后根据余弦函数性质得出不等关系． （2）先利用余弦函数性质，求出时，的范围，再由已知区间是这个范围的子集，得出结论． 8. 已知函数在区间上是增函数，且在区间上，方程恰好有两个不同的解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助三角恒等变换公式可得，再结合正弦函数单调性与最大、最小值计算即可得解. 详解】 ， 由在区间上是增函数， 则，，即，，即， 由在区间上，方程恰好有两个不同的解， 且在区间上是增函数，故当时，无解， 则有，，解得，， 又，故. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，以为周期的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数周期的定义，结合诱导公式逐一判断即可. 【详解】A：设， 因为， 所以该函数的周期不是； B：因为，所以该函数的周期为； C：因为， 所以该函数的周期为； D：因为，所以该函数的周期不是， 故选：BC 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 为偶函数 C. 的图象关于对称 D. 的值域为 【答案】BD 【解析】 【分析】通过与的关系即可判断项;通过与的关系即可判断项;通过化简与2的关系即可判断项，利用均值不等式及函数的单调性,即可得出值域,从而判断项. 【详解】对于,故错误; 对于由得,的定义域为 且是偶函数,故正确; 对于不是定值,故错误； 对于 当 ， 当且仅当，即时，等号成立； 令，则， 由在时均单调递减，所以单调递减， 又，所以； 即的值域为,故正确. 故选:. 11. 已知函数，若存在实数，使得是奇函数，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据奇函数，可得，由此可求出，，对进行取值，由此即可求出结果. 【详解】因为函数，所以， 若存在实数，使得是奇函数， 所以 又， 所以， 所以且， 所以，， 所以， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所以的值可能为. 故选：AC. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答.题卡上相应位置（只填结果，不写过程） 12. 若函数为奇函数，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据奇函数的定义,求得,再根据,即可得答案. 【详解】因为函数为奇函数,所以 由得,, 即,所以, 解得,,因为,取,得,所以的最小值为. 故答案为: 13. 已知函数的最大值为0，则的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助二倍角公式化简后结合二次函数性质即可得解. 【详解】， 由，则，即. 故答案为：. 14. 如图，一块边长为1的正方形区域，在处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，记探照灯照射在正方形内部区域（阴影部分）的面积为．若设，，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用，推出探照灯照射在正方形内部区域的面积，利用基本不等式即可求出面积的最大值． 【详解】解：因为，所以， 令，则，而，所以， ，当且仅当时取等号， 所以S的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）. 15. 已知为锐角，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由于，所以代值求解即可； （2）由求出的值，从而可求出的值，而，进而可求得结果 【详解】（1） （2）因为为锐角，所以，， 又，所以， ， 又， 所以 因为，所以. 16. 建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系. （1）求的表达式： （2）请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长. 【答案】（1） （2）8小时 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的图像即可求得表达式； （2）根据正弦函数的图像与性质解即可得. 【小问1详解】 因为图象上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为， 所以， 所以，解得， 将代入解析式，有， 故，解得， 由，故， 所以； 【小问2详解】 由（1）得，，所以， 所以， 解得， 因为，所以， 所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时. 17. 已知函数最小正周期为. （1）求的值和函数图象的对称中心； （2）将函数的图象上的各点向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；得到函数的图象，当时，方程有两个解，求实数的取值范围. 【答案】（1），对称中心为 （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变换公式将原函数化为正弦型函数后，利用正弦型函数周期可得，再借助正弦型函数对称性可得对称中心； （2）得到后，结合换元法可得的单调性，即可得实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 由的最小正周期为，得，故，所以， 令，得，故函数的对称中心为； 【小问2详解】 令，由，得， 在递减，在递增，所以， 又，所以有两个解时，. 18. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若时函数的值域为，求实数的取值范围； （3）若函数在区间上恰有2024个零点，求所有满足条件的实数与整数. 【答案】（1）； （2）； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数单调性求出递增区间. （2）求出相位范围，由给定的佳域求得，再利用正弦函数图象、性质求出范围. （3）化简函数，由零点的意义建立等式分离参数，换元结合函数图象及正弦函数的周期性分类分析判断. 【小问1详解】 函数， 由，得， 所以函数的单调递增区间是. 【小问2详解】 当时，，由时函数的值域为， 得，则， 而当时，，当时，， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 由（1）知，， 由，而，得，令， ，又，则作出函数的图象如下图： 当时，，，每个周期有2个零点，或， 当时，或，每个周期有3个零点，； 当时，，，每个周期有4个零点，； 当时，或，每个周期有3个零点，， 若，有2023个零点，若，有2025个零点，不可能为2024个零点； 当时，，，每个周期有2个零点，或， 所以当时，或；当时，； 当时，；当时，或. 19. 已知函数（，且）满足. （1）求a的值； （2）求证：在定义域内有且只有一个零点，且. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题可得，即求； （2）分类讨论结合对数函数的性质、正弦函数的性质及零点存在定理可得函数在定义域内有且只有一个零点，利用对数的运算可得，再利用对勾函数的性质即得. 【小问1详解】 因， 所以， 即， 解得. 【小问2详解】 由题意可知函数的图象在上连续不断. ①当时，因为与在上单调递增， 所以在上单调递增. 又因为， 所以. 根据函数零点存在定理，存在，使得， 所以在上有且只有一个零点. ②当时，，所以， 所以在上没有零点. ③当时，，所以， 所以在上没有零点. 综上所述，在定义域上有且只有一个零点. 因为，即. 所以， 又因为在上单调递减， 所以， 即. 【点睛】关键点点睛：对分类讨论时，①当时，函数与在上单调递增，结合零点存在定理可得函数有且只有一个零点；②当时，函数没有零点；③当时，函数没有零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学高2027级高一（下）数学练习一 2.23 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. A. B. C. D. 2. 在△中，“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. c>b>a B. b>c>a C. b>a>c D. a>b>c 4. 已知是第二象限角且，，则的值为（ ） A 1 B. －1 C. －2 D. 5. 已知，，，则下列不等关系中必定不成立的是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 6. 已知，，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上是增函数，且在区间上，方程恰好有两个不同解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，以为周期的是（　　） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 为偶函数 C. 的图象关于对称 D. 的值域为 11. 已知函数，若存在实数，使得是奇函数，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答.题卡上相应位置（只填结果，不写过程） 12. 若函数为奇函数，则的最小值为__________. 13. 已知函数的最大值为0，则的值是__________. 14. 如图，一块边长为1正方形区域，在处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，记探照灯照射在正方形内部区域（阴影部分）的面积为．若设，，则的最大值为______． 四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）. 15. 已知为锐角，，． （1）求的值； （2）求的值． 16. 建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系. （1）求的表达式： （2）请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长. 17. 已知函数最小正周期为. （1）求的值和函数图象的对称中心； （2）将函数的图象上的各点向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；得到函数的图象，当时，方程有两个解，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）求函数单调递增区间； （2）若时函数的值域为，求实数的取值范围； （3）若函数在区间上恰有2024个零点，求所有满足条件的实数与整数. 19. 已知函数（，且）满足. （1）求a的值； （2）求证：在定义域内有且只有一个零点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $