8.3 实数及其简单运算【10个必考点】（必考点分类集训）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册必考点分类集训系列（人教版2024）

8.3 实数及其简单运算【10个必考点】 【人教版2024】 【知识点1 无理数】 2 【必考点1 无理数的定义】 2 【知识点2 实数的概念及分类】 3 【必考点2 实数的分类】 3 【知识点3 实数与数轴的关系】 6 【必考点3 实数在数轴上的表示】 6 【必考点4 结合数轴及实数的性质化简代数式】 8 【必考点5 实数的性质综合运用】 9 【知识点4 实数的运算】 12 【必考点6 实数的混合运算】 13 【必考点7 实数的新定义运算】 15 【知识点5 实数大小比较】 16 【必考点8 无理数的大小比较】 17 【必考点9 无理数的估算】 18 【必考点10 以材料为背景估算无理数的近似值】 20 【知识点1 无理数】 1.定义：任何有限小数和无限循环小数都是有理数，无限不循坏小数都是无理数. 2.常见的无理数形式： ①开方开不尽的数，如，等； ②化简后含有π的数，如π，； ③有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001… 【必考点1 无理数的定义】 【例1】在实数，，，0.0，π，，0.301300130001…（3与1之间依次增加一个0）中，无理数的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据无理数的意义逐个数进行判断即可． 【解答】解：2，，，0.0都是有理数， 而π，，0.301300130001…（3与1之间依次增加一个0）都是无限不循环小数，因此是无理数， 所以无理数的个数有3个， 故选：A． 【变式1】实数3.14，，，0，，，，，，﹣2.5656656665⋯（相邻两个5之间6的个数逐次加1）．其中无理数的个数是（　　） A．4 B．2 C．1 D．3 【分析】根据无限不循环的小数判断即可． 【解答】解：无理数的定义：无限不循环的小数， ∵，， ∴有理数为：3.14，，，0，，； ∴无理数为：，，，﹣2.5656656665…（相邻两个5之间6的个数逐次加1），共4个， 故选：A． 【变式2】在，，，，，，3.14，0.5757757775……（相邻两个5之间7的个数逐次加1）中，无理数的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【解答】解：，，，0.5757757775……（相邻两个5之间7的个数逐次加1）是无限不循环小数，它们均为无理数， 即无理数的个数是4个， 故选：C． 【变式3】已知实数：，π，，0，3.1415926，，0.，，0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），则无理数的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】先求出，然后再根据无理数的定义一一判断即可． 【解答】解：，4是有理数， 在，π，，0，3.1415926，，，，0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）无理数有：，π，，0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）一共4个， 故选：C． 【知识点2 实数的概念及分类】 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类： 按定义分：实数 按符号分：实数 【必考点2 实数的分类】 【例1】把下列各数填入相应的集合里．（填序号） ①，②0，③﹣（﹣32），④0.1010010001…（两个1之间的0逐渐增加），⑤﹣3.2，⑥，⑦． 整数集合：{ 　 　…}； 负分数集合：{ 　 　…}； 正有理数集合：{ 　 　…}； 无理数集合：{ 　 　…}． 【分析】利用实数的分类逐一判断各个数即可． 【解答】解：整数集合：②③． 负分数集合：⑤⑦． 正有理数集合：③⑥． 无理数集合：①④． 故答案为：②③；⑤⑦；③⑥；①④． 【变式1】把下列各数的序号分别填入相应的集合内： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧0.13030030003•••（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩3.14． （1）整数集合：{ }： （2）分数集合：{ }， （3）无理数集合：{ }． 【分析】（1）根据整数的定义作答即可； （2）根据分数的定义作答即可； （3）根据无理数的定义作答即可． 【解答】解：（1）①是分数，②是无理数，③是整数，④0是整数，⑤是无理数，⑥5是整数，⑦是无理数，⑧0.13030030003•••（相邻的两个3之间依次多1个0）是无理数，⑨是分数，⑩3.14是分数． 整数集合：{③④⑥}： 故答案为：③④⑥． （2）分数集合：{①⑨⑩}， 故答案为：①⑨⑩． （3）无理数集合：{②⑤⑦⑧}． 故答案为：②⑤⑦⑧． 【变式2】把下列各数的序号分别填入相应的集合内： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩3.14． （1）负实数集合：　 　； （2）分数集合：　 　； （3）无理数集合：　 　． 【分析】（1）根据负实数的定义作答即可； （2）根据分数的定义作答即可； （3）根据无理数的定义作答即可． 【解答】解：（1）由题意知，，， ∴，，，，是负实数， 故答案为：①③⑤⑥⑦； （2）由题意知，，，3.14是分数， 故答案为：①⑨⑩； （3）由题意知，，，，0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0）是无理数， 故答案为：②⑤⑦⑧． 【变式3】将下列各数填在相应的集合里． ，π，3.1415926，﹣0.456，3.030030003…（每两个3之间依次多1个0），0，，，，． 有理数集合：{ 　 　…}； 无理数集合：{ 　 　…}； 正实数集合：{ 　 　…}； 整数集合：{ 　 　…}． 【分析】首先实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，由此即可求解． 【解答】解：根据定义知：有理数有：，3.1415926，﹣0.456，0，，； 无理数有：π，3.030030003…，，； 正实数有：，π，3.1415926，3.030030003…，，，，； 整数有：，0，； 故答案为：，3.1415926，﹣0.456，0，，；π，3.030030003…，，；，π，3.1415926，3.030030003…，，，，；，0，； 【知识点3 实数与数轴的关系】 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的. 【必考点3 实数在数轴上的表示】 【例1】如图，数轴上A，B两点对应的实数分别为1和，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所对应的实数为（　　） A．21 B．1 C．2 D．21 【分析】设点C所对应的实数是x，根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解． 【解答】解：设点C所对应的实数是x， 则有， 解得：，故A正确． 故选：A． 【变式1】如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段AB上的是（　　） A．0 B． C． D．π 【分析】考查用数轴上的点表示实数，关键是要准确理解选项所表示的实数． 【解答】解：0是有理数，不符合题意． 1≈0.414，是无理数且在线段AB上． 2.0801，π≈3.14都是无理数但都不在线段AB上． 所以只有1符合题意． 故选：B． 【变式2】数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础、如图所示，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A左侧），且AD＝AE，则点E所表示的数为（　　） A．﹣1.5 B． C． D． 【分析】根据正方形的面积为5得到，再结合AD＝AE，点A表示的数为1，点E在点A的左侧，然后确定点E表示的数即可． 【解答】解：∵正方形的面积为5， ∴， ∵AD＝AE， ∴， ∵点A表示的数为1，且点E在数轴上（点E在点A左侧）， ∴点E所表示的数为：． 故选：B． 【变式3】如图，已知线段OA，OB的长度分别是1，，以原点为圆心，分别以OA，OB的长为半径画弧，与数轴负半轴相交，交点对应的数字分别记为a，b，则a﹣b的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】求出a和b，再计算a﹣b即可． 【解答】解：∵线段OA，OB的长度分别是1，， ∴b为，a为﹣1， ∴a﹣b＝﹣1﹣（）＝﹣1， 故选：B． 【必考点4 结合数轴及实数的性质化简代数式】 【例1】已知a、b、c在数轴上的位置如图，化简：　 　． 【分析】先算开方和绝对值，再算加减即可． 【解答】解：由数轴可知，a＜0，a+b＜0，b﹣c＜0， ∴ ＝﹣a+a+b﹣b+c+b ＝b+c． 故答案为：b+c． 【变式1】已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简： 　 　． 【分析】先根据点在数轴上的位置，判断数和式子的符号，进而化简运算即可． 【解答】解：由图可知：a＜b＜0＜c，且|c|＞|b|， ∴b+c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴原式＝﹣a+b+b+c﹣b﹣c+a＝b； 故答案为：b． 【变式2】实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，请化简． 【分析】根据数轴可得b＜﹣1＜c＜0＜a＜1，则a﹣b＞0，b﹣c＜0，再去根号即可． 【解答】解：由图可知：b＜﹣1＜c＜0＜a＜1， ∴a﹣b＞0，b﹣c＜0， ∴ ＝﹣c﹣|a﹣b|﹣|b﹣c|+b ＝﹣c﹣（a﹣b）﹣[﹣（b﹣c）]+b ＝﹣a+3b﹣2c 【变式3】实数a，b在数轴上的位置如图所示． （1）化简：　 　，|a+b|＝　 　； （2）先化简再求值：，其中a是的一个平方根，b是3的算术平方根． 【分析】（1）由数轴得出﹣1＜a＜0，1＜b＜2，进一步判断出a+b＞0，再根据算术平方根、绝对值的意义化简即可； （2）由数轴判断出a+1＞0，b﹣2＜0，再根据算术平方根的意义化简，根据a是的一个平方根，b是3的算术平方根求出a、b的值，即可求出原式的值． 【解答】解：（1）由数轴得，﹣1＜a＜0，1＜b＜2， ∴a+b＞0， ∴，|a+b|＝a+b， 故答案为：﹣a；a+b； （2）由图可知﹣1＜a＜0，1＜b＜2， ∴a+1＞0，b﹣2＜0， ∴， ∵a是的一个平方根，b是3的算术平方根，﹣1＜a＜0， ∴， ∴． 【必考点5 实数的性质综合运用】 【例1】如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了3个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）实数m的值是 　 　； （2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且|2c+d|与互为相反数，求3c+d的值； （3）在数轴上还有E点表示实数x，且1＜x＜m，化简：． 【分析】（1）由“蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B”即可求解； （2）利用算术平方根和绝对值的非负性即可求解． （3）先判定x﹣1＞0，x﹣2＜0，再化简即可． 【解答】解：（1）∵点A表示，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了3个单位长度到达点B， ∴实数m的值是：， 故答案为：； （2）∵|2c+d|与互为相反数，所以． ∴2c+d＝0，d+4＝0， ∴c＝2，d＝﹣4， ∴3c+d＝2×3+（﹣4）＝2． （3）∵1＜x＜m，， ∴x﹣1＞0，x﹣2＜0， ∴ ＝|x﹣1|+|x﹣2| ＝x﹣1+2﹣x ＝1． 【变式1】如图，在数轴上，点A表示的数，若把点A向左平移4个单位得到的点为B，设点B所表示的数为m （1）实数m的值是 　 　； （2）求（4+m）2+|m+1|的值； （3）在数轴上有一点C表示的实数是c，若，求实数c的值． 【分析】（1）减去4即得； （2）把第（1）小问中求得的m的值代入（4+m）2+|m+1|中化简即得； （3）根据平移求出AB的长度，根据AB与BC的关系求出BC的长度，根据点C在点B的左边或右边两种情况分类计算，求出实数c． 【解答】解：（1）实数m的值是； 故答案为：； （2）当时， ； （3）由平移可得，AB＝4， ∵， ∴， ∵B点表示的数为， ∴当点C在点B右边时，点C表示的实数是c为； ∴当点C在点B左边时，点C表示的实数是c为． 【变式2】已知一个数m的两个平方根分别为a和． （1）求m的值； （2）如图在数轴上，若点A表示的数是a，点M表示的数是m，点B表示的数是b，点B在点A的左侧且满足BA＝2AM，求的立方根． 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，进行求解即可； （2）根据BA＝2AM，先求解b，可得，再根据立方根的定义进行求解即可 【解答】解：（1）∵一个数m的两个平方根分别为a和， ∴， 解得：， ∴m＝a2＝10； （2）∵点A表示的数是，点M表示的数是10，点B表示的数是b，点B在点A的左侧， ∴，， ∵BA＝2AM， ∴， 解得：， ∴ ＝8； ∴的立方根是2； 【变式3】如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示，设点A所表示的数为m． （1）实数m的值是 　 　； （2）求（m+2）2+|m+1|的值； （3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求2c+2d的平方根． 【分析】（1）由题意可直接求出m的值即可； （2）将（1）所求的值代入计算即可； （3）根据相反数的定义可得出，再根据绝对值和算术平方根的非负性可求出c＝﹣2，d＝4，进而可求出的平方根． 【解答】解：（1）依题意得：， 故答案为：； （2）由（1）得：， ∴ ； （3）依题意得：， ∴2c+4＝0，d﹣4＝0， ∴c＝﹣2，d＝4， ∴2c+2d＝2×（﹣2）+2×4＝4， ∴2c+2d的平方根为±2． 【知识点4 实数的运算】 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号先算括号内的. 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(例如，比计算结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五人. 【必考点6 实数的混合运算】 【例1】计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先根据零指数幂、二次根式的性质、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （2）先根据算术平方根、二次根式的性质、立方根、有理数的乘方法则计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【解答】解：（1） ＝1+2﹣（﹣3） ＝1+2+3 ＝6； （2） ＝3+6﹣4+1 ＝6． 【变式1】计算： （1）． （2）． 【分析】（1）先计算乘法及化简各式，然后再加减计算即可解答； （2）先根据乘方、立方根、算术平方根及绝对值的运算法则化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解：（1）原式7； （2）原式 ． 【变式2】计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简二次根式、计算绝对值、立方根和乘方，再计算加减即可； （2）先化简二次根式、立方根和乘方，再计算括号内的，最后计算乘法和加减即可． 【解答】解：（1）原式＝51﹣3﹣1 ； （2）原式＝﹣1+（﹣4+8）×9 ＝﹣1+6×9 ＝﹣1+54 ＝53． 【变式3】计算下列各式的值： （1）； （2）． 【分析】（1）先利用乘法分配律和绝对值进行计算，最后计算加减； （2）先计算二次根式、立方根，再计算加减． 【解答】解：（1） ＝2+23﹣21﹣3 ＝3； （2） 5﹣4 ＝2． 【必考点7 实数的新定义运算】 【例1】对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b，则★（★）＝（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【分析】先依据法则知★，据此得出原式★，再次利用法则计算可得． 【解答】解：∵， ∴★， 则原式★ ＝2， 故选：B． 【变式1】对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2，已知，min{，x}＝x，min{，y}，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【分析】根据题意求出x、y的值即可得到答案． 【解答】解：由题意得：，， 由于x和y为两个连续正整数， ， ∴x＝3，y＝4， 的算术平方根为2， 故选：D． 【变式2】对于实数a、b，定义max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b．例如：max{1，﹣2}＝1．已知max{，a}，max{，b}＝b，且a和b为两个连续正整数，则ab﹣（）2的立方根为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【分析】由题意求得a＝5，b＝6，即可求得ab﹣（）2＝30﹣29＝1，进一步求得ab﹣（）2的立方根为1． 【解答】解：∵max{，a}，max{，b}＝b， ∴a，b， ∵a和b为两个连续正整数， ∴a＝5，b＝6， ∴ab﹣（）2＝30﹣29＝1， ∴ab﹣（）2的立方根为1， 故选：B． 【变式3】对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b，a⊗b，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，[（﹣2）⊕3]⊗2＝2．那么（⊕2）⊗等于（　　） A． B．3 C．6 D． 【分析】根据定义的新运算进行计算，即可解答． 【解答】解：（⊕2）⊗ ⊗3 ， 故选：A． 【知识点5 实数大小比较】 1.利用数轴比较实数大小 （1）正数大于零，负数小于零，正数大于负数； （2）两个正数，绝对值大的数较大； （3）两个负数，绝对值大的数反而小。 2.无理数大小的比较 估算法： （1）若，则； （2）若，则； 根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则． 常见实数的估算值：，，． 【必考点8 无理数的大小比较】 【例1】比较大小： 　 　； 　 　；﹣7 　 　． 【分析】根据实数大小的比较即可 【解答】解：∵，， ∴； ∵， ∴； ∵72＝49，， ∴49＜50， ∴， ∴． 故答案为：＜；＜；＞． 【变式1】比较大小： 　 　（”用“＞”“＜”“＝”填空）． 【分析】应用放缩法，判断出1与3的大小关系，进而推出与的大小关系即可． 【解答】解：∵1＞2+1，2+1＝3， ∴1＞3， ∴． 故答案为：＞． 【变式2】比较大小： 　 　2．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【分析】首先分别求出与2的立方的值，比较出它们的立方的大小关系，进而可得出结论． 【解答】解：∵（）3＝6，23＝8，6＜8， ∴2． 故答案为：＜． 【变式3】比较大小：﹣3 　 　﹣5（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【分析】首先求出﹣3、﹣5的平方，比较出它们的平方的大小关系，然后根据两个负实数，平方大的这个数反而小，判断出﹣3、﹣5的大小关系即可． 【解答】解：45，50， ∵45＜50， ∴﹣35． 故答案为：＞． 【必考点9 无理数的估算】 【例1】若a﹣1a，且a为整数，则a的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】先估算在哪两个整数之间，然后根据已知条件，求出a即可． 【解答】解：，即， ∵a﹣1a， ∴a＝4， 故选：A． 【例2】估计的值在下列哪两个整数之间（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．无法确定 【分析】首先可求出9，然后根据4＜7＜9得23，据此可得出﹣32，然后根据不等式的性质可得出6＜97，据此可得出答案． 【解答】解：∵9，4＜7＜9， ∴23， ∴﹣32， ∴﹣3+9＜92+9， ∴6＜97， 即：67， ∴的值在6和7之间， 故选：B． 【变式1】设n为正整数，且nn+1，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案． 【解答】解：∵64＜66＜81， ∴89， ∴71＜8， ∴n＝7． 故选：C． 【变式2】若a，b均为正整数，且，，则a+b的最小值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】由a，b均为正整数，且，，推出a＞3，b＞2，由此即可解决问题． 【解答】解：∵，， ∴，， ∵a，b均为正整数，且最小正整数为：a＝4，b＝3， ∴a+b的最小值为7， 故选：B． 【变式3】正整数a、b分别满足，，则ba＝（　　） A．16 B．9 C．8 D．4 【分析】利用无理数的估算求得a，b的值后代入ba中计算即可． 【解答】解：∵54＜64＜96，3＜4＜7， ∴4，2， ∴a＝4，b＝2， ∴ba＝24＝16， 故选：A． 【变式4】已知的整数部分是a，的小数部分是b，则a+b的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先估算出及的值，从而估算出与的值，进而求出a，b的值，进行计算即可解答． 【解答】解：∵9＜15＜16， ∴， ∴， ∴的整数部分是：10， ∴a＝10， ∵， ∴， ∴的小数部分是， ∴， ∴， 故选：B． 【必考点10 以材料为背景估算无理数的近似值】 【例1】阅读材料 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法：∵，设3+k（0＜k＜1）， ∴，∴14＝9+6k+k2，∴14≈9+6k， 解得，k，∴3.83． 问题： （1）请你依照小明的方法，估算的近似值． （2）已知非负整数a、b、m，若aa+1，且m＝a2+b，结合上述材料估算的近似值（用含a、b的代数式表示）． 【分析】（1）根据题目信息，找出30前后的两个平方数，从而确定出5+k（0＜k＜1），再根据题目信息近似求解即可； （2）根据题目提供的求法，先求出k值，然后再加上a即可； 【解答】解：（1）∵， 设5+k（0＜k＜1）， ∴（）2＝（5+k）2， ∴30＝25+10k+k2， ∴30≈25+10k． 解得k， ∴55+0.5＝5.5； （2）设a+k（0＜k＜1）， ∴m＝a2+2ak+k2≈a2+2ak， ∵m＝a2+b， ∴a2+2ak＝a2+b， 解得k， ∴a． 【变式1】阅读与思考： 【阅读理解】：明明同学在探索的近似值的过程如下： ∵面积为126的正方形的边长是且， ∴设，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积S正方形＝112+2×11×x+x2， 又S正方形＝126， ∴112+2×11×x+x2＝126， 当x2＜1时，可忽略x2得22x+121＝126，得到x≈0.23， 即． （1）直接写出的整数部分的值； （2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据题目所提供的方法进行计算即可． 【解答】解：（1）∵， ∴1516， ∴ 的整数部分是15； （2）所画的示意图如下： ∵面积为253的正方形的边长是， ∴， ∵设，其中0＜x＜1， 由示意图可得图中大正方形的面积S＝152+2×15×x+x2， 又∵S大正方形＝253． ∴152+2×15×x+x2＝253， 当x2＜1 时，可忽略x2得30x+225≈253， 得到x≈0.93， ∴15.93． 【变式2】在数学课上“说不完的”探究活动中，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． （1）到底有多大？下面是龙龙探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且，设，画出如图1的示意图： 由图形面积可得x2+2×1.4x+1.96＝2． 因为x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程 　 　，解得x≈　 　（保留到0.001），即 　 　． （2）请仿照上述探究过程探究的大小． 已知：，在图2中画出示意图，并标出相关数据，求出的近似值（保留到0.001）． 【分析】（1）根据题目所提供的方法进行解答即可； （2）按照（1）的方法解答，即设2.6+y，由图形面积可得y2+2×2.6y+6.76＝7，略去y2，得方程5.2y+6.76＝7，求出y的值即可． 【解答】解：（1）设，由图形面积可得， x2+2×1.4x+1.96＝2． 因为x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程2.8x+1.96＝2，解得x≈0.014，即1.414． 故答案为：2.8x+1.96＝2，0.014，1.414； （2）设2.6+y，由图形面积可得， y2+2×2.6y+6.76＝7． 因为y值很小，所以y2更小，略去y2，得方程5.2y+6.76＝7，解得y≈0.046，即2.646． 【变式3】阅读材料，并解决下列问题： 在学习无理数的估算时用“无限逼近法”，借助计算器可以估算无理数的近似值，我们还可以用下面的方法来探索无理数的近似值． 我们知道，面积为2的正方形的边长为，易知．因此可设，并画出了如图1所示的示意图．根据图1中面积关系，得x2+2x+1＝2．忽略去x2，得2x+1≈2．解得x≈0.5 ∴． 易知．因此可设，并画出如图2所示的示意图．… （1）上述分析过程中，主要运用的数学思想是 　 　； A．数形结合思想 B．统计思想 C．分类讨论思想 （2）把上述内容结合如图2所示的示意图，计算出更加准确的近似值（结果精确到0.001） 【分析】（1）由示意图可知运用的数学思想是数形结合思想； （2）根据图2中面积关系，得y2+2y（1.5﹣y）+2＝1.52，整理后略去y2，求出y的近似值，然后根据可得答案． 【解答】解：（1）上述分析过程中，主要运用的数学思想是数形结合思想， 故选：A； （2）根据图2中面积关系，得y2+2y（1.5﹣y）+2＝1.52， 整理得：﹣y2+3y+2＝2.25， 略去y2，得3y+2≈2.25， 解得y≈0.0833， ∴． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.3 实数及其简单运算【10个必考点】 【人教版2024】 【知识点1 无理数】 1 【必考点1 无理数的定义】 1 【知识点2 实数的概念及分类】 2 【必考点2 实数的分类】 2 【知识点3 实数与数轴的关系】 3 【必考点3 实数在数轴上的表示】 3 【必考点4 结合数轴及实数的性质化简代数式】 4 【必考点5 实数的性质综合运用】 5 【知识点4 实数的运算】 6 【必考点6 实数的混合运算】 6 【必考点7 实数的新定义运算】 6 【知识点5 实数大小比较】 7 【必考点8 无理数的大小比较】 7 【必考点9 无理数的估算】 8 【必考点10 以材料为背景估算无理数的近似值】 8 【知识点1 无理数】 1.定义：任何有限小数和无限循环小数都是有理数，无限不循坏小数都是无理数. 2.常见的无理数形式： ①开方开不尽的数，如，等； ②化简后含有π的数，如π，； ③有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001… 【必考点1 无理数的定义】 【例1】在实数，，，0.0，π，，0.301300130001…（3与1之间依次增加一个0）中，无理数的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】实数3.14，，，0，，，，，，﹣2.5656656665⋯（相邻两个5之间6的个数逐次加1）．其中无理数的个数是（　　） A．4 B．2 C．1 D．3 【变式2】在，，，，，，3.14，0.5757757775……（相邻两个5之间7的个数逐次加1）中，无理数的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】已知实数：，π，，0，3.1415926，，0.，，0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），则无理数的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【知识点2 实数的概念及分类】 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类： 按定义分：实数 按符号分：实数 【必考点2 实数的分类】 【例1】把下列各数填入相应的集合里．（填序号） ①，②0，③﹣（﹣32），④0.1010010001…（两个1之间的0逐渐增加），⑤﹣3.2，⑥，⑦． 整数集合：{ 　 　…}； 负分数集合：{ 　 　…}； 正有理数集合：{ 　 　…}； 无理数集合：{ 　 　…}． 【变式1】把下列各数的序号分别填入相应的集合内： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧0.13030030003•••（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩3.14． （1）整数集合：{ }： （2）分数集合：{ }， （3）无理数集合：{ }． 【变式2】把下列各数的序号分别填入相应的集合内： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩3.14． （1）负实数集合：　 　； （2）分数集合：　 　； （3）无理数集合：　 　． 【变式3】将下列各数填在相应的集合里． ，π，3.1415926，﹣0.456，3.030030003…（每两个3之间依次多1个0），0，，，，． 有理数集合：{ 　 　…}； 无理数集合：{ 　 　…}； 正实数集合：{ 　 　…}； 整数集合：{ 　 　…}． 【知识点3 实数与数轴的关系】 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的. 【必考点3 实数在数轴上的表示】 【例1】如图，数轴上A，B两点对应的实数分别为1和，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所对应的实数为（　　） A．21 B．1 C．2 D．21 【变式1】如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段AB上的是（　　） A．0 B． C． D．π 【变式2】数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础、如图所示，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A左侧），且AD＝AE，则点E所表示的数为（　　） A．﹣1.5 B． C． D． 【变式3】如图，已知线段OA，OB的长度分别是1，，以原点为圆心，分别以OA，OB的长为半径画弧，与数轴负半轴相交，交点对应的数字分别记为a，b，则a﹣b的值为（　　） A． B． C． D． 【必考点4 结合数轴及实数的性质化简代数式】 【例1】已知a、b、c在数轴上的位置如图，化简：　 　． 【变式1】已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简： 　 　． 【变式2】实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，请化简． 【变式3】实数a，b在数轴上的位置如图所示． （1）化简：　 　，|a+b|＝　 　； （2）先化简再求值：，其中a是的一个平方根，b是3的算术平方根． 【必考点5 实数的性质综合运用】 【例1】如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了3个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）实数m的值是 　 　； （2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且|2c+d|与互为相反数，求3c+d的值； （3）在数轴上还有E点表示实数x，且1＜x＜m，化简：． 【变式1】如图，在数轴上，点A表示的数，若把点A向左平移4个单位得到的点为B，设点B所表示的数为m （1）实数m的值是 　 　； （2）求（4+m）2+|m+1|的值； （3）在数轴上有一点C表示的实数是c，若，求实数c的值． 【变式2】已知一个数m的两个平方根分别为a和． （1）求m的值； （2）如图在数轴上，若点A表示的数是a，点M表示的数是m，点B表示的数是b，点B在点A的左侧且满足BA＝2AM，求的立方根． 【变式3】如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示，设点A所表示的数为m． （1）实数m的值是 　 　； （2）求（m+2）2+|m+1|的值； （3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求2c+2d的平方根． 【知识点4 实数的运算】 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号先算括号内的. 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(例如，比计算结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五人. 【必考点6 实数的混合运算】 【例1】计算： （1）； （2）． 【变式1】计算： （1）． （2）． 【变式2】计算： （1）； （2）． 【变式3】计算下列各式的值： （1）； （2）． 【必考点7 实数的新定义运算】 【例1】对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b，则★（★）＝（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【变式1】对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2，已知，min{，x}＝x，min{，y}，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【变式2】对于实数a、b，定义max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b．例如：max{1，﹣2}＝1．已知max{，a}，max{，b}＝b，且a和b为两个连续正整数，则ab﹣（）2的立方根为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【变式3】对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b，a⊗b，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，[（﹣2）⊕3]⊗2＝2．那么（⊕2）⊗等于（　　） A． B．3 C．6 D． 【知识点5 实数大小比较】 1.利用数轴比较实数大小 （1）正数大于零，负数小于零，正数大于负数； （2）两个正数，绝对值大的数较大； （3）两个负数，绝对值大的数反而小。 2.无理数大小的比较 估算法： （1）若，则； （2）若，则； 根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则． 常见实数的估算值：，，． 【必考点8 无理数的大小比较】 【例1】比较大小： 　 　； 　 　；﹣7 　 　． 【变式1】比较大小： 　 　（”用“＞”“＜”“＝”填空）． 【变式2】比较大小： 　 　2．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【变式3】比较大小：﹣3 　 　﹣5（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【必考点9 无理数的估算】 【例1】若a﹣1a，且a为整数，则a的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【例2】估计的值在下列哪两个整数之间（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．无法确定 【变式1】设n为正整数，且nn+1，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】若a，b均为正整数，且，，则a+b的最小值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3】正整数a、b分别满足，，则ba＝（　　） A．16 B．9 C．8 D．4 【变式4】已知的整数部分是a，的小数部分是b，则a+b的值为（　　） A． B． C． D． 【必考点10 以材料为背景估算无理数的近似值】 【例1】阅读材料 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法：∵，设3+k（0＜k＜1）， ∴，∴14＝9+6k+k2，∴14≈9+6k， 解得，k，∴3.83． 问题： （1）请你依照小明的方法，估算的近似值． （2）已知非负整数a、b、m，若aa+1，且m＝a2+b，结合上述材料估算的近似值（用含a、b的代数式表示）． 【变式1】阅读与思考： 【阅读理解】：明明同学在探索的近似值的过程如下： ∵面积为126的正方形的边长是且， ∴设，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积S正方形＝112+2×11×x+x2， 又S正方形＝126， ∴112+2×11×x+x2＝126， 当x2＜1时，可忽略x2得22x+121＝126，得到x≈0.23， 即． （1）直接写出的整数部分的值； （2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【变式2】在数学课上“说不完的”探究活动中，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． （1）到底有多大？下面是龙龙探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且，设，画出如图1的示意图： 由图形面积可得x2+2×1.4x+1.96＝2． 因为x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程 　 　，解得x≈　 　（保留到0.001），即 　 　． （2）请仿照上述探究过程探究的大小． 已知：，在图2中画出示意图，并标出相关数据，求出的近似值（保留到0.001）． 【变式3】阅读材料，并解决下列问题： 在学习无理数的估算时用“无限逼近法”，借助计算器可以估算无理数的近似值，我们还可以用下面的方法来探索无理数的近似值． 我们知道，面积为2的正方形的边长为，易知．因此可设，并画出了如图1所示的示意图．根据图1中面积关系，得x2+2x+1＝2．忽略去x2，得2x+1≈2．解得x≈0.5 ∴． 易知．因此可设，并画出如图2所示的示意图．… （1）上述分析过程中，主要运用的数学思想是 　 　； A．数形结合思想 B．统计思想 C．分类讨论思想 （2）把上述内容结合如图2所示的示意图，计算出更加准确的近似值（结果精确到0.001） 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 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